第十一章三角形11.3

多邊形及其內(nèi)角和11.3.2多邊形的內(nèi)角和學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解并掌握多邊形內(nèi)角和與外角和公式.2.理解多邊形內(nèi)角和與外角和公式的推導(dǎo)過程.3.靈活運(yùn)用多邊形的內(nèi)角和與外角和定理解決實(shí)際問題.復(fù)習(xí)導(dǎo)入在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形.1.什么是多邊形？3.從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以引出_______條對(duì)角線，將多邊形

分割成了________個(gè)三角形.2.什么是多邊形的對(duì)角線？

連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對(duì)角線.n－3n－2探究新知ACBD解：連接AC

∵對(duì)角線AC將四邊形分為△ACD和△ACB，

∴在△ACD中，∠D+∠DAC+∠DCA=180°，

在△ACB中，∠B+∠BAC+∠BCA=180°.∵∠D+∠DAC+∠DCA+∠B+∠BAC+∠BCA=360°，∴∠D+∠DAB+∠B+∠BCD=360°.

∴四邊形ABCD的內(nèi)角和為360°.如圖，在四邊形ABCD中，連接對(duì)角線AC，求四邊形ABCD的內(nèi)角和.你能根據(jù)剛才的推理過程，計(jì)算出五邊形、六邊形的內(nèi)角和嗎？知識(shí)點(diǎn)1多邊形的內(nèi)角和類比上面的方法(從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)畫對(duì)角線)，完成下列表格.你能發(fā)現(xiàn)n邊形的內(nèi)角和與邊數(shù)的關(guān)系嗎？多邊形的邊數(shù)分成的三角形個(gè)數(shù)多邊形的內(nèi)角和2

2

180°3

3

180°.........454

4

180°6n

2n(n

2)

180°n邊形的內(nèi)角和等于：(n

2)

180°你能根據(jù)表中的信息得出什么結(jié)論嗎？例1.如果一個(gè)四邊形的一組對(duì)角互補(bǔ)，那么另一組對(duì)角有什么關(guān)系？解：∵∠A+∠B+∠C+∠D=（4-2）×180°=360°，

∵∠A＋∠C=180°，

∴∠B＋∠D=360°-（∠A+∠C）=180°.這就是說(shuō)，如果四邊形一組對(duì)角互補(bǔ)，那么另一組對(duì)角也互補(bǔ).ACDB1.七邊形的內(nèi)角和等于(

)A.360°B.900°

C.1080°D.1260°B2.在四邊形ABCD中，若∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝3∶1∶2∶3，則該四邊形中最大的角的度數(shù)是

.120°練一練ABCDEF123546例2：如圖，在六邊形的每個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角，這些外角的和叫做六邊形的外角和，六邊形的外角和等于多少？

思考：(1)一個(gè)外角＋相鄰的內(nèi)角

.(2)6個(gè)外角＋它們相鄰的內(nèi)角

.180°6

180°六個(gè)平角的和六邊形的內(nèi)角和(3)六邊形的外角和

-

.知識(shí)點(diǎn)2多邊形的外角和ABCDEF123546例2：如圖，在六邊形的每個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角，這些外角的和叫做六邊形的外角和，六邊形的外角和等于多少？

解：六邊形的任何一個(gè)外角加上與它相鄰的內(nèi)角都等于180°.因此六邊形的6個(gè)外角加上與它們相鄰的內(nèi)角，所得總和等于6

180°.

這個(gè)總和就是六邊形的外角和加上內(nèi)角和.所以外角和等于總和減去內(nèi)角和，即外角和等于6

180°

(6

2)

180°

360°那n邊形的外角和是多少呢？如圖，從多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)A出發(fā)，沿多邊形的各邊走過各頂點(diǎn)，再回到點(diǎn)A，然后轉(zhuǎn)向出發(fā)的方向．在行程中轉(zhuǎn)過的各個(gè)角的和，就是多邊形的外角和．由于走了一周，所轉(zhuǎn)過的各個(gè)角的和等于一個(gè)周角，所以多邊形外角和等于360°．多邊形的外角和等于360°結(jié)論：練一練1.若一個(gè)正多邊形的每個(gè)內(nèi)角為150°，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為______.122.若一個(gè)多邊形的每個(gè)外角都等于45°，則它的內(nèi)角和等于_____.1080°3.如圖所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù).解:連接BE，構(gòu)造出四邊形ABEF.

∵∠1=∠C+∠D，∠1=∠CBE+∠DEB,

∴∠C+∠D=∠CBE+∠DEB,

∴∠A+∠ABC+∠C+D+∠DEF+∠F

=∠A+∠ABC+∠CBE+∠DEB+∠DEF+∠F

=∠A+∠ABE+∠BEF+∠F=360°.課堂總結(jié)多邊形的內(nèi)角和多邊形的外角和等于360°（與邊數(shù)無(wú)關(guān)）內(nèi)角和計(jì)算公式外角和（n-2）×180°（n為≥3的整數(shù)）當(dāng)堂檢測(cè)1.如圖，∠1、∠2、∠3、∠4是五邊形ABCDE的4個(gè)外角，若∠A＝120°，則∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝________．2.如圖，一束平行太陽(yáng)光線照射到正五邊形上，則∠1=_____300°30°第1題第2題3.已知一個(gè)多邊形，它的內(nèi)角和等于外角和的2倍，求這個(gè)多邊形的邊數(shù).解：設(shè)多邊形的邊數(shù)為n.∵它的內(nèi)角和等于(n－2)?180°，外角和等于360°，∴(n－2)?180°=2×360°.解得n=6.∴這個(gè)多邊形的邊數(shù)為6.4.如圖所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù).解:連接BE，構(gòu)造出四邊形ABEF.