2023-2024學(xué)年湖北省武漢市硚口區(qū)九年級上學(xué)期數(shù)學(xué)期中試題及答案一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）下列各題中均有四個備選答案，其中有且只有一個正確，請在答題卡上將正確答案的代號涂黑．1.中國“二十四節(jié)氣”已被列入聯(lián)合國教科文組織人類非物質(zhì)文化遺產(chǎn)代表作名錄，下列四幅作品分別代表“立春”、“立夏”、“芒種”、“大雪”，其中既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義：如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形；中心對稱圖形的定義：把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心，進(jìn)行逐一判斷即可．【詳解】解：A．不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故A選項不合題意；B．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故B選項不合題意；C．不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故C選項不合題意；D．既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故D選項合題意；故選：D．【點睛】本題主要考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義．2.將一元二次方程化為一般形式后，常數(shù)項是，則二次項系數(shù)和一次項系數(shù)分別是（）A.、 B.、 C.、 D.、【答案】A【解析】【分析】本題考查了一元二次方程的一般形式，將所有的項都移到方程的左邊，方程的右邊為0，再得出二次項系數(shù)，一次項系數(shù)．【詳解】解：，∴二次項系數(shù)為，一次項系數(shù)為．故選：A．3.把圖中的交通標(biāo)志圖案繞著它的中心旋轉(zhuǎn)一定角度后與自身重合，則這個旋轉(zhuǎn)角度至少為（）A.30° B.90° C.120° D.180°【答案】C【解析】【分析】根據(jù)圖形的對稱性，用360°除以3計算即可得解．【詳解】解：∵360°÷3=120°，∴旋轉(zhuǎn)的角度是120°的整數(shù)倍，∴旋轉(zhuǎn)的角度至少是120°．故選C．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)對稱圖形，仔細(xì)觀察圖形求出旋轉(zhuǎn)角是120°的整數(shù)倍是解題的關(guān)鍵．4.關(guān)于二次函數(shù)，下列說法正確的是（）A.開口向上 B.對稱軸是C.有最小值 D.頂點坐標(biāo)是【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題目中的函數(shù)解析式，可以寫出該函數(shù)圖象的開口方向、對稱軸、最值和頂點坐標(biāo)，從而可以判斷哪個選項是符合題意的．【詳解】解：∵，，∴該函數(shù)的圖象開口向下，故選項A不符合題意；對稱軸是直線，故選項B不符合題意；當(dāng)時取得最大值，故選項C不符合題意；頂點坐標(biāo)為，故選項D符合題意；故選：D．【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．5.某一個人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有64個人患了流感．設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染了x個人，則正確的方程是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查根據(jù)實際問題列出一元二次方程，先用含有x的代數(shù)式計算出第一輪感染后的人數(shù)，再在第一輪感染人數(shù)的基礎(chǔ)上列出第二輪感染后的人數(shù)，列出等式，能夠找到等量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．【詳解】根據(jù)題意可知：第一輪傳染后的感染人數(shù)為：，第二輪傳染后的感染人數(shù)為：，故可列方程為：，故選：C．6.將拋物線平移后得到拋物線，正確的平移方式是（）A.向右移動1個單位長度，向上移動3個單位長度B.向左移動1個單位長度，向上移動3個單位長度C.向右移動1個單位長度，向下移動3個單位長度D.向左移動1個單位長度，向下移動3個單位長度【答案】D【解析】【分析】直接根據(jù)“上加下減，左加右減”的原則進(jìn)行解答即可．熟練掌握向左移動個單位，向下移動個單位，得這個知識點是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、將拋物線向右移動1個單位長度，向上移動3個單位長度，得，不符合題意，該選項是錯誤的；B、將拋物線向左移動1個單位長度，向上移動3個單位長度，得，不符合題意，該選項是錯誤的；C、將拋物線向右移動1個單位長度，向下移動3個單位長度，得，不符合題意，該選項是錯誤的；D、將拋物線向左移動1個單位長度，向下移動3個單位長度，得，符合題意，該選項是正確的；故選：D7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為等腰直角三角形，，，邊在y軸正半軸上，點A在第一象限內(nèi)，將繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)，則第2023次旋轉(zhuǎn)后，點A所對應(yīng)的點的坐標(biāo)是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】觀察圖象可得，點A旋轉(zhuǎn)8次為一個循環(huán)，從而可得點與點的坐標(biāo)相同，即可求解．【詳解】解：如圖，點A旋轉(zhuǎn)8次為一個循環(huán)，∵，∴點與點的坐標(biāo)相同，∴點的坐標(biāo)為，故選：C．8.一塊圓形玻璃鏡面碎成了幾塊，其中一塊如圖所示，測得弦長20厘米，弓形高為2厘米，則鏡面半徑是（）A.24厘米 B.26厘米 C.28厘米 D.30厘米【答案】B【解析】【分析】本題考查垂徑定理和勾股定理求線段長，令圓的半徑為，則，根據(jù)勾股定理求出，進(jìn)而求出半徑．詳解】解：如圖，由題意，得垂直平分，厘米，令圓的半徑為，則，在中，，，解得．故選：B．9.關(guān)于x的一元二次方程的兩個實數(shù)根分別是，則的最大值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式得到，根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系得到，利用一元二次方程根的定義得到，代入得到，利用不等式的性質(zhì)進(jìn)一步即可求出答案．【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程的兩個實數(shù)根分別是，∴，，，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，則的最大值是，故選：B【點睛】此題考查了一元二次方程根定義、根與系數(shù)關(guān)系、根的判別式、不等式的性質(zhì)等知識，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系和根的判別式是解題關(guān)鍵．10.一個水杯豎直放置時的縱向截面如圖1所示，其左右輪廓線AC，BD都是同一條拋物線的一部分，AB，CD都與水面桌面平行．已知水杯底部AB寬為4cm，水杯高度為12cm，當(dāng)水面高度為6cm時，水面寬度為2cm．如圖2先把水杯盛滿水，再將水杯繞A點傾斜倒出部分水，如圖2，當(dāng)傾斜角時，杯中水面CE平行水平桌面AF．則此時水面CE的值是（）A.7cm B.12cm C.8cm D.14cm【答案】D【解析】【分析】以的中點為原點，直線為軸，線段的中垂線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，得出和杯子中間點的坐標(biāo)用待定系數(shù)法求拋物線的解析式；將杯子繞傾斜倒出部分液體，當(dāng)傾斜角時停止轉(zhuǎn)動，求出與軸的交點坐標(biāo)，把點代入求出直線的解析式，再將二次函數(shù)和一次函數(shù)聯(lián)立求解，求出點坐標(biāo)，用兩點間的距離公式求出點到點的距離．【詳解】解：設(shè)與的中點分別為O、F，以所在的直線為x軸，以所在的直線為y軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，∵在圖3中，，∴．過點C作，交y軸于點G，則即為圖3中傾倒后的．∵點O是的中點，∴．∴，同理可知：圖1液面的右端點是根據(jù)對稱性可知：左右輪廓線，所在的拋物線的對稱軸為y軸，設(shè)這個拋物線的解析式為：，則由圖1可知，拋物線經(jīng)過點和點，∴解得：，∴拋物線的解析式是：．令，解得∴，，又∵，∴，∴在中，，解得：，∴，∴，設(shè)直線的解析式是：，∵直線經(jīng)過點，，∴解得：，∴直線的解析式是：，將拋物線與直線的解析式聯(lián)立得：，解得：或，∴，又∵，∴故選：D．【點睛】本題考查了二次函數(shù)，一次函數(shù)在實際生活中的應(yīng)用，建立合適的直角坐標(biāo)系和待定系數(shù)法求解析式是解題的關(guān)鍵．二、填空題（共6小題，每小題3分，共18分）下列各題不需要寫出解題過程，請將結(jié)果直接填寫在答題卡指定位置．11.已知點與點關(guān)于原點對稱，則x的值是_________．【答案】【解析】【分析】此題考查了關(guān)于原點對稱的點坐標(biāo)特點：橫縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)，熟記特點是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵點與點關(guān)于原點對稱，∴，故答案為：．12.參加某商品交易會的每兩家公司之間都簽訂兩份合同，所有公司共簽訂了20份合同，則共有_________家公司參加了該商品交易會．【答案】【解析】【分析】考查了一元二次方程的應(yīng)用，甲乙之間都簽訂兩份合同，算兩份，本題屬于重復(fù)記數(shù)問題．解答中注意舍去不符合題意的解．【詳解】解：設(shè)共有x家公司參加了該商品交易會，則列方程得解得：，（舍去），故答案為：．13.如圖，某小區(qū)有一塊長為15米，寬為10米的矩形空地，計劃在其中修建兩塊相同的矩形綠地，它們的面積之和為，兩塊綠地之間及周邊留有寬度相等的人行通道．設(shè)人行通道的寬度為x米，則所列方程是____________________________________．【答案】【解析】【分析】設(shè)人行通道的寬度為x米，利用“平移法”將兩塊矩形綠地合在一起，則長為，寬為，即可列出方程．審清題意，根據(jù)面積正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：若設(shè)人行通道的寬度為x米，將兩塊矩形綠地合在一起長為，寬為，由已知得：．故答案：14.關(guān)于x的一元二次方程判斷它的根的情況是__________________．【答案】方程有兩個不相等的實數(shù)根【解析】【分析】本題考查的是一元二次方程根的判別式，先把方程化為一般形式，再利用根的判別式計算得出，從而可判斷方程根的情況．【詳解】解：∵，∴，∴，∴原方程有兩個不相等的實數(shù)根；故答案為：方程有兩個不相等的實數(shù)根．15.拋物線（，是常數(shù)且，）經(jīng)過點．下列四個結(jié)論：①該拋物線一定經(jīng)過；②；③點，在拋物線上，且，則④若，是方程的兩個根，其中，則．其中正確的結(jié)論是______（填寫序號）．【答案】①②④【解析】【分析】①：根據(jù)函數(shù)圖象經(jīng)過點的意義，只要得到即可；②：由①得，結(jié)合判斷出的正負(fù)即可；③：特值法，取時也符合題意，從而可得到結(jié)論；④：將兩個根轉(zhuǎn)化為交點的橫坐標(biāo)，畫出圖象即可判斷．【詳解】解：拋物線經(jīng)過點，，，當(dāng)時，，，該拋物線一定經(jīng)過，故此項正確．②由①得：，，，，，，．故此項正確．③拋物線的對稱軸為直線，當(dāng)時，，，，，也符合題意與矛盾，故此項錯誤．④，是方程兩個根，，是拋物線與直線交點的橫坐標(biāo)，，如圖：由圖得：．故此項正確．故答案：①②④．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合思想，掌握二次函數(shù)的基本性質(zhì)并會靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．16.如圖，在矩形中，E在邊上，H在邊上，是矩形的外角的平分線，，連接，，則的長是_________，的長是_________．【答案】①.3②.【解析】【分析】此題考查了矩形的性質(zhì)，四點共圓，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，在上截取，連接，推出，進(jìn)而得到，利用四點共圓得到，由此得到的長，求出，再根據(jù)勾股定理求出的長，正確掌握各知識點并綜合應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：在上截取，連接，∵四邊形是矩形，∴∵平分，∴，∴∵，∴∵∴∵∴，∵∴∴點E，C，G，H四點共圓，∴，∴，∴∵，∴，，∴∴，故答案為：3，．【點睛】,三、解答題（共8小題，共72分）下列各題需要在答題卡指定的位置寫出文字說明、證明過程、演算步驟或畫出圖形．17.若關(guān)于x的一元二次方程有一個根是x=1，求b的值及方程的另一個根．【答案】b的值為3，方程另一根為x=2．【解析】【分析】將x=1代入方程x2﹣bx+2=0得到b的值，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出另一根．【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣bx+2=0有一個根是x=1，∴1﹣b+2=0，解得：b=3，把b=3代入方程得：x2﹣3x+2=0，設(shè)另一根為m，可得1+m=3，解得：m=2，則b的值為3，方程另一根為x=2．【點睛】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，記牢公式并靈活運用是解題關(guān)鍵．18.如圖，在中，，為互相垂直且相等的兩條弦，，，垂足分別為D，E．（1）求證：四邊形是正方形；（2）若，求的半徑．【答案】（1）見詳解（2）【解析】【分析】本題考查正方形的判定，勾股定理，以及垂徑定理：（1）根據(jù)三個直角可得四邊形是矩形，因為，故四邊形是正方形；運用垂徑定理得到是解題關(guān)鍵；（2）連接，根據(jù)勾股定理可得半徑．【小問1詳解】證明：證明：∵，，∴，∵，為互相垂直且相等的兩條弦，∴，∵，∴四邊形是矩形；∵，∴四邊形是正方形；【小問2詳解】解：連接，如圖所示∵∴由（1）知四邊形是正方形；則在中，所以的半徑是．19.如圖，在等邊中，D在邊上，連接，將繞點B順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，．（1）求證：；（2）若，，直接寫出的周長．【答案】（1）證明見解析（2）11.5【解析】【分析】本題考查的是圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，1.旋轉(zhuǎn)圖形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等；2.有一角為60度的等腰三角形是等邊三角形；3.兩邊及夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等．（1）先由是等邊三角形得出，，根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，，進(jìn)而得出，然后根據(jù)證明即可證明；（2）由，故可得出，由，即可判斷出是等邊三角形，故，由此即可得到的周長．【小問1詳解】證明：∵是等邊三角形，∴，，∵將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，∴，，∴，∴，∵在和中，，∴，∴．【小問2詳解】∵是等邊三角形，∴，∵，，，，是等邊三角形，，的周長．20.某商品現(xiàn)在的售價為每件60元，每星期可賣出300件．市場調(diào)查反映，如調(diào)整價格，每漲價1元，每星期要少賣出10件．已知商品的進(jìn)價為每件40元，如何定價才能使利潤最大？最大利潤是多少？【答案】當(dāng)定價為元時，利潤最大，最大利潤是元．【解析】【分析】設(shè)定價為元，利潤為元，根據(jù)題意求出與的函數(shù)解析式，即可求解．【詳解】解：設(shè)定價元，利潤為元，由題意可得：∵，開口向下∴當(dāng)元時，最大，即利潤最大為元，答：當(dāng)定價為元時，利潤最大，最大利潤是元．【點睛】本題考查了二次函數(shù)在銷售問題中的應(yīng)用，理清題中的數(shù)量關(guān)系，列出函數(shù)解析式并熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．21.如圖是由小正方形組成的網(wǎng)格，每個小正方形的頂點叫做格點．的頂點都是格點，為線段上的點，僅用無刻度尺的直尺在給定網(wǎng)格中畫圖，畫圖過程用虛線表示，畫圖結(jié)果用實線表示，按步驟完成下列問題：（1）在圖1中，先將線段沿方向平移，使點與點重合，畫出平移后的線段；再連接，畫，使與成中心對稱；（2）在圖2中，先在上畫點，連接，使；再在上畫點，連接，使．【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)畫出，連接，找到的中點，過點與的中點作直線，交于點，則即為所求；（2）根據(jù)網(wǎng)格的特點作等腰直角三角形，斜邊與交于點，則；連接與交于一點，連接并延長交于點，連接交于點，則即為所求；【小問1詳解】如圖所示，即為所求；【小問2詳解】如圖所示，即為所求；

根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及作圖可得垂直平分，∴又∴∴∵，∴∴又∵是等腰直角三角形，∴∴，即【點睛】本題考查了無刻度作圖，平移的性質(zhì)，中心對稱的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)與判定，熟練掌握網(wǎng)格的特點并運用以上知識是解題的關(guān)鍵．22.如圖，小明訓(xùn)練推鉛球，鉛球行進(jìn)高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）之間的關(guān)系是．（1）第一次推鉛球時，鉛球運行到水平距離為時，鉛球行進(jìn)的最大高度為，求鉛球推出的水平距離；（2）第二次推鉛球時，推出的水平距離剛好與第一次相同，且，求推出鉛球行進(jìn)的最大高度；（3）小明第三次推出的鉛球運行路徑的形狀與第二次相同，推出的水平距離超過第一次，但不足10米，直接寫出b的取值范圍．【答案】（1）8m（2）m（3）【解析】【分析】（1）運用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，然后令，求出鉛球推出的水平距離即可；（2）運用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，配方為頂點式寫出最大值即可；（3）把代入（2）中的解析式，求出b值，結(jié)合題意寫出取值范圍即可．【小問1詳解】解：設(shè)，即，∵，∴，∴，令，則，解得：，（舍去），∴鉛球推出的水平距離米；【小問2詳解】解：設(shè)拋物線的解析式為，把代入得：，解得：，∴，∴推出鉛球行進(jìn)的最大高度為米；【小問3詳解】解：拋物線的解析式為，當(dāng)過時，，解得：，∵推出的水平距離超過第一次，但不足10米，∴．【點睛】本題考查二次函數(shù)的實際問題，運用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．23.在中，，，，將線段繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)α得到線段．（1）如圖1，當(dāng)時，過點D作于E，求證：；（2）如圖2，當(dāng)時，連接．①求證：；②如圖3，F(xiàn)是的中點，連接，直接寫出的長（用含m，n的式子表示）．【答案】（1）見詳解（2）①見詳解②【解析】【分析】（1）因為，，得，結(jié)合將線段繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)α得到線段，得，即可證明，即可作答；（2）將繞點A旋轉(zhuǎn)，與重合，點的對應(yīng)點是點，過點A作，所以，，得，則，那么，因為，得，根據(jù)勾股定理即可證明①；連接，因為F是的中點，且是的中點，故是的中位線，即，則，因為，所以，根據(jù)，得三點、、共線，則，即可作答②．【小問1詳解】證明：因為，，所以，因為將線段繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，所以，故，所以，則【小問2詳解】解：因為繞點A旋轉(zhuǎn)，與重合，點的對應(yīng)點是點，過點A作，所以，，因為所以，是的中點，則，那么，因為，得，在中，，故可證明①；連接，如圖因為F是的中點，且是的中點，所以是的中位線，即，則，因為，所以，因為，所以三點、、共線，則，故②中的的長為．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，三角函數(shù)，勾股定理，等腰三角形的三線合一性