2025年統(tǒng)計學期末考試：t檢驗與卡方檢驗在統(tǒng)計推斷中的應用比較試題考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共15小題，每小題2分，共30分。在每小題列出的四個選項中，只有一項是最符合題目要求的。）1.在進行t檢驗之前，需要首先檢驗數(shù)據(jù)的正態(tài)性，這是因為t檢驗的假設條件中包含（）。A.方差相等B.數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布C.樣本量足夠大D.數(shù)據(jù)具有線性關系2.當樣本量較?。ū热缧∮?0）時，我們應該選擇（）。A.Z檢驗B.t檢驗C.F檢驗D.卡方檢驗3.在單樣本t檢驗中，我們通常用樣本均值與總體均值的差值作為檢驗的統(tǒng)計量，這個差值被稱為（）。A.標準誤差B.t值C.p值D.效應量4.當兩個樣本的方差相等時，我們通常使用（）。A.獨立樣本t檢驗B.配對樣本t檢驗C.方差分析D.卡方檢驗5.在獨立樣本t檢驗中，如果兩組數(shù)據(jù)的方差不等，我們應該使用（）。A.獨立樣本t檢驗B.配對樣本t檢驗C.方差齊性檢驗D.卡方檢驗6.配對樣本t檢驗適用于（）。A.兩個獨立樣本的比較B.同一個樣本在不同時間點的比較C.兩個相關樣本的比較D.多個樣本的比較7.在t檢驗中，p值越小，說明（）。A.觀察到的差異越有可能是由隨機因素造成的B.觀察到的差異越有可能是由系統(tǒng)因素造成的C.拒絕原假設的證據(jù)越強D.接受原假設的證據(jù)越強8.當p值小于顯著性水平α時，我們應該（）。A.拒絕原假設B.接受原假設C.無法判斷D.需要增加樣本量9.在卡方檢驗中，我們通常用卡方統(tǒng)計量來衡量（）。A.觀察頻數(shù)與期望頻數(shù)之間的差異B.樣本均值與總體均值之間的差異C.樣本方差與總體方差之間的差異D.數(shù)據(jù)的線性關系10.卡方檢驗適用于（）。A.連續(xù)性數(shù)據(jù)的比較B.離散性數(shù)據(jù)的比較C.定量數(shù)據(jù)的比較D.定性數(shù)據(jù)的比較11.在卡方檢驗中，如果卡方統(tǒng)計量大于臨界值，我們應該（）。A.拒絕原假設B.接受原假設C.無法判斷D.需要增加樣本量12.在卡方檢驗中，如果期望頻數(shù)小于5，我們應該（）。A.使用連續(xù)性校正B.不使用連續(xù)性校正C.增加樣本量D.使用F檢驗13.在卡方檢驗中，我們通常用自由度來衡量（）。A.數(shù)據(jù)的離散程度B.數(shù)據(jù)的集中程度C.檢驗的嚴格程度D.檢驗的靈活程度14.在卡方檢驗中，自由度越小，說明（）。A.觀察頻數(shù)與期望頻數(shù)之間的差異越小B.觀察頻數(shù)與期望頻數(shù)之間的差異越大C.拒絕原假設的證據(jù)越強D.接受原假設的證據(jù)越強15.在卡方檢驗中，如果自由度為1，我們應該（）。A.使用連續(xù)性校正B.不使用連續(xù)性校正C.增加樣本量D.使用F檢驗二、簡答題（本大題共5小題，每小題6分，共30分。）1.簡述t檢驗和卡方檢驗的區(qū)別。2.簡述單樣本t檢驗的步驟。3.簡述獨立樣本t檢驗的步驟。4.簡述配對樣本t檢驗的步驟。5.簡述卡方檢驗的步驟。三、計算題（本大題共3小題，每小題10分，共30分。）1.某醫(yī)生想比較兩種不同的治療方法對血壓的影響。他隨機選擇了20名高血壓患者，將他們分為兩組，每組10人。一組接受治療A，另一組接受治療B。經過一個月的治療后，記錄了兩組患者的血壓變化數(shù)據(jù)如下：治療A組：5,8,12,3,7,9,6,10,4,11；治療B組：3,6,9,2,5,7,4,8,1,0。假設兩組數(shù)據(jù)的方差相等，請計算獨立樣本t檢驗的t值，并說明在α=0.05的顯著性水平下，兩種治療方法對血壓的影響是否有顯著差異。2.某教師想了解學生的考試成績與學習時間之間的關系。他隨機抽取了30名學生，記錄了他們的學習時間和考試成績數(shù)據(jù)如下：學習時間（小時）：2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30；考試成績（分）：50,55,60,65,70,75,80,85,90,95,100,105,110,115,120,125,130,135,140,145,150,155,160,165,170,175,180,185,190。請計算配對樣本t檢驗的t值，并說明在α=0.05的顯著性水平下，學習時間與考試成績之間是否有顯著關系。3.某公司想了解不同廣告方式對產品銷售的影響。他們進行了以下廣告實驗：在一個月內，他們選擇了10個地區(qū)，其中5個地區(qū)采用廣告A，另外5個地區(qū)采用廣告B。記錄了每個地區(qū)的銷售數(shù)據(jù)如下：廣告A組：100,150,200,250,300；廣告B組：120,180,240,300,360。請計算卡方檢驗的卡方值，并說明在α=0.05的顯著性水平下，不同廣告方式對產品銷售的影響是否有顯著差異。四、論述題（本大題共2小題，每小題15分，共30分。）1.在實際應用中，如何選擇t檢驗和卡方檢驗？請結合具體例子說明。2.在進行t檢驗和卡方檢驗時，需要注意哪些問題？請結合具體例子說明。本次試卷答案如下一、選擇題答案及解析1.答案：B解析：t檢驗的假設條件之一是數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布，這是因為在小樣本情況下，t檢驗依賴于正態(tài)分布的理論推導。如果數(shù)據(jù)不服從正態(tài)分布，t檢驗的結果可能不準確。2.答案：B解析：當樣本量較?。ㄍǔＰ∮?0）時，數(shù)據(jù)分布可能不夠接近正態(tài)分布，此時應選擇t檢驗，因為t檢驗更適用于小樣本數(shù)據(jù)。3.答案：B解析：在單樣本t檢驗中，我們用樣本均值與總體均值的差值作為檢驗的統(tǒng)計量，這個差值被稱為t值，它是t檢驗的核心統(tǒng)計量。4.答案：A解析：當兩個樣本的方差相等時，我們通常使用獨立樣本t檢驗，因為獨立樣本t檢驗假設兩個樣本的方差相等，這樣可以更準確地檢驗兩組數(shù)據(jù)的均值差異。5.答案：C解析：在獨立樣本t檢驗中，如果兩組數(shù)據(jù)的方差不等，我們應該使用方差齊性檢驗（如Levene檢驗）來檢驗方差的齊性，如果方差不齊，可以選擇Welcht檢驗。6.答案：C解析：配對樣本t檢驗適用于兩個相關樣本的比較，例如同一組人在不同時間點的測試結果，或者配對設計的數(shù)據(jù)。7.答案：C解析：在t檢驗中，p值越小，說明觀察到的差異越有可能是由系統(tǒng)因素造成的，拒絕原假設的證據(jù)越強。8.答案：A解析：當p值小于顯著性水平α時，我們應該拒絕原假設，因為這意味著觀察到的差異在統(tǒng)計上顯著，不太可能是隨機因素造成的。9.答案：A解析：在卡方檢驗中，我們通常用卡方統(tǒng)計量來衡量觀察頻數(shù)與期望頻數(shù)之間的差異，卡方統(tǒng)計量越大，說明觀察頻數(shù)與期望頻數(shù)之間的差異越大。10.答案：B解析：卡方檢驗適用于離散性數(shù)據(jù)的比較，例如分類數(shù)據(jù)或者計數(shù)數(shù)據(jù)，它主要用于檢驗分類變量之間的關聯(lián)性。11.答案：A解析：在卡方檢驗中，如果卡方統(tǒng)計量大于臨界值，我們應該拒絕原假設，因為這意味著觀察頻數(shù)與期望頻數(shù)之間的差異在統(tǒng)計上顯著。12.答案：A解析：在卡方檢驗中，如果期望頻數(shù)小于5，我們應該使用連續(xù)性校正，因為卡方分布在小樣本情況下可能不夠準確，連續(xù)性校正可以提高檢驗的準確性。13.答案：C解析：在卡方檢驗中，我們通常用自由度來衡量檢驗的嚴格程度，自由度越小，檢驗越嚴格。14.答案：B解析：在卡方檢驗中，自由度越小，說明觀察頻數(shù)與期望頻數(shù)之間的差異越大，拒絕原假設的證據(jù)越強。15.答案：A解析：在卡方檢驗中，如果自由度為1，我們應該使用連續(xù)性校正，因為自由度為1時，卡方分布與二項分布的差異較大，連續(xù)性校正可以提高檢驗的準確性。二、簡答題答案及解析1.簡述t檢驗和卡方檢驗的區(qū)別。答案：t檢驗主要用于連續(xù)性數(shù)據(jù)的均值比較，而卡方檢驗主要用于離散性數(shù)據(jù)的頻數(shù)比較。t檢驗假設數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布，而卡方檢驗假設數(shù)據(jù)服從多項分布或二項分布。t檢驗檢驗的是均值差異，而卡方檢驗檢驗的是分類變量之間的關聯(lián)性。解析：t檢驗和卡方檢驗在應用場景和數(shù)據(jù)類型上有所不同。t檢驗適用于連續(xù)性數(shù)據(jù)，如身高、體重等，它檢驗的是兩組或多組數(shù)據(jù)的均值是否存在顯著差異。而卡方檢驗適用于離散性數(shù)據(jù)，如性別、血型等，它檢驗的是分類變量之間的關聯(lián)性，即一個分類變量的取值是否與另一個分類變量的取值有關聯(lián)。2.簡述單樣本t檢驗的步驟。答案：單樣本t檢驗的步驟包括：提出假設、計算t值、確定自由度、查找臨界值、做出決策。解析：單樣本t檢驗的步驟首先是從樣本數(shù)據(jù)中提出假設，即原假設和備擇假設。然后計算t值，t值是樣本均值與總體均值之差除以標準誤差。接著確定自由度，自由度等于樣本量減1。然后查找臨界值，臨界值取決于顯著性水平和自由度。最后根據(jù)計算得到的t值與臨界值進行比較，做出拒絕或接受原假設的決策。3.簡述獨立樣本t檢驗的步驟。答案：獨立樣本t檢驗的步驟包括：提出假設、計算t值、確定自由度、查找臨界值、做出決策。解析：獨立樣本t檢驗的步驟首先是從兩個獨立樣本中提出假設，即原假設和備擇假設。然后計算t值，t值是兩組樣本均值之差除以標準誤差。接著確定自由度，自由度取決于兩個樣本的樣本量和方差。然后查找臨界值，臨界值取決于顯著性水平和自由度。最后根據(jù)計算得到的t值與臨界值進行比較，做出拒絕或接受原假設的決策。4.簡述配對樣本t檢驗的步驟。答案：配對樣本t檢驗的步驟包括：提出假設、計算t值、確定自由度、查找臨界值、做出決策。解析：配對樣本t檢驗的步驟首先是從同一組樣本的不同時間點的數(shù)據(jù)中提出假設，即原假設和備擇假設。然后計算t值，t值是配對樣本均值之差除以標準誤差。接著確定自由度，自由度等于樣本量減1。然后查找臨界值，臨界值取決于顯著性水平和自由度。最后根據(jù)計算得到的t值與臨界值進行比較，做出拒絕或接受原假設的決策。5.簡述卡方檢驗的步驟。答案：卡方檢驗的步驟包括：提出假設、計算卡方值、確定自由度、查找臨界值、做出決策。解析：卡方檢驗的步驟首先是從分類數(shù)據(jù)中提出假設，即原假設和備擇假設。然后計算卡方值，卡方值是觀察頻數(shù)與期望頻數(shù)之差的平方除以期望頻數(shù)之和。接著確定自由度，自由度取決于分類變量的個數(shù)和類別數(shù)。然后查找臨界值，臨界值取決于顯著性水平和自由度。最后根據(jù)計算得到的卡方值與臨界值進行比較，做出拒絕或接受原假設的決策。三、計算題答案及解析1.獨立樣本t檢驗的計算答案：t值約為3.16，拒絕原假設，兩種治療方法對血壓的影響有顯著差異。解析：首先計算兩組樣本的均值和標準差。治療A組的均值為8.5，標準差為4.12；治療B組的均值為6.2，標準差為3.48。然后計算兩組樣本的方差齊性檢驗，結果顯示方差齊性。接下來計算獨立樣本t檢驗的t值，t值約為3.16。查找臨界值，在α=0.05的顯著性水平下，臨界值為2.064。因為t值大于臨界值，所以拒絕原假設，兩種治療方法對血壓的影響有顯著差異。2.配對樣本t檢驗的計算答案：t值約為2.5，拒絕原假設，學習時間與考試成績之間有顯著關系。解析：首先計算配對樣本的均值和標準差。學習時間的均值為15，標準差為5.47；考試成績的均值為82.5，標準差為22.36。然后計算配對樣本t檢驗的t值，t值約為2.5。查找臨界值，在α=0.05的顯著性水平下，臨界值為2.045。因為t值大于臨界值，所以拒絕原假設，學習時間與考試成績之間有顯著關系。3.卡方檢驗的計算答案：卡方值約為10，拒絕原假設，不同廣告方式對產品銷售的影響有顯著差異。解析：首先計算觀察頻數(shù)和期望頻數(shù)。廣告A組的觀察頻數(shù)為100,150,200,250,300，期望頻數(shù)分別為120,180,240,300,360；廣告B組的觀察頻數(shù)為120,180,240,300,360，期望頻數(shù)分別為120,180,240,300,360。然后計算卡方值，卡方值約為10。查找臨界值，在α=0.05的顯著性水平下，自由度為4，臨界值為9.488。因為卡方值大于臨界值，所以拒絕原假設，不同廣告方式對產品銷售的影響有顯著差異。四、論述題答案及解析1.在實際應用中，如何選擇t檢驗和卡方檢驗？請結合具體例子說明。答案：選擇t檢驗還是卡方檢驗主要取決于數(shù)據(jù)的類型和檢驗的目的。如果數(shù)據(jù)是連續(xù)性數(shù)據(jù)，并且檢驗的是均值差異，應選擇t檢驗。例如，比較兩種不同教學方法對學生成績的影響。如果數(shù)據(jù)是離散性數(shù)據(jù)，并且檢驗的是分類變量之間的關聯(lián)性，應選擇卡方檢驗。例如，檢驗不同性別學生在不同專業(yè)選擇上的差異。解析：選擇t檢驗還是卡方檢驗主要取決于數(shù)據(jù)的類型和檢驗的目的。t檢驗適用于連續(xù)性數(shù)據(jù)，如身高、體重等，它檢驗的是兩組或多組數(shù)據(jù)的均值是否存在顯著差異。例如，比較兩種不同教學方法對學生成績的影響，如果學生成績是連續(xù)性數(shù)據(jù)，應選擇t檢驗?？ǚ綑z驗適用于離散性數(shù)據(jù)，如性別、血型等，它檢驗的是分類變量之間的關聯(lián)性，即一個分類變量的取值是否與另一個分類變量的取值有關聯(lián)。例如，檢驗不同性別學生在不同專業(yè)選擇上的差異，如果性別和專業(yè)選擇都是分類變量，應選擇卡方檢驗。2.在進行t檢驗和卡方檢驗時，需要注意哪些問題？請結合具體例子說明。答案：在進行t檢驗和卡方檢驗時，需要注意數(shù)據(jù)的正態(tài)性、方差的齊性、樣本量的大小以及檢驗的假設條件。例如，在進行獨立樣本t檢驗時，需要檢驗兩個樣本的方差是否齊性，如果不齊，可以選擇Welcht檢驗。在進行卡方檢驗時，需要