復(fù)數(shù)專(zhuān)題一復(fù)數(shù)的概念和意義10.1復(fù)數(shù)的概念和意義

重點(diǎn)難點(diǎn)易錯(cuò)點(diǎn)理解復(fù)數(shù)的概念及代數(shù)表

示，復(fù)數(shù)相等的充要條

件；通過(guò)類(lèi)比實(shí)數(shù)運(yùn)算、

多項(xiàng)式運(yùn)算，掌握復(fù)數(shù)加

法、減法和乘法的運(yùn)算；

能夠在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)求解實(shí)

系數(shù)一元二次方程.復(fù)數(shù)的概念及幾何意義的

認(rèn)識(shí)；復(fù)數(shù)的加法、減法

和乘法的運(yùn)算法則的應(yīng)

用；實(shí)系數(shù)一元二次方程

有虛根時(shí)根與系數(shù)的關(guān)系

的理解.關(guān)于虛數(shù)單位i，i2＝－1

易搞錯(cuò)；實(shí)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)

與實(shí)數(shù)的相反數(shù)混淆；實(shí)

系數(shù)一元二次方程有虛根

時(shí)求根公式記不準(zhǔn).

知識(shí)點(diǎn)1

虛數(shù)單位和復(fù)數(shù)的概念1.

引入一個(gè)新的數(shù)，記作i，i2

＝－1，稱(chēng)i為虛數(shù)單位.2.

復(fù)數(shù)的概念：把形如a＋bi（a，b∈R）的數(shù)稱(chēng)為復(fù)數(shù)，其中a稱(chēng)為復(fù)數(shù)的

實(shí)部，b稱(chēng)為復(fù)數(shù)的虛部.知識(shí)點(diǎn)2

復(fù)數(shù)的分類(lèi)和復(fù)數(shù)集1.

復(fù)數(shù)的分類(lèi)當(dāng)b＝0時(shí)，復(fù)數(shù)a＋bi就是實(shí)數(shù)；當(dāng)b≠0時(shí)，復(fù)數(shù)a＋bi稱(chēng)為虛數(shù)；當(dāng)a＝0且b≠0時(shí)，復(fù)數(shù)bi稱(chēng)為純虛數(shù).2.

復(fù)數(shù)集：復(fù)數(shù)通常用小寫(xiě)英文字母z，w，…表示，如z＝a＋bi.全體復(fù)數(shù)構(gòu)

成的集合稱(chēng)為復(fù)數(shù)集，用字母C表示，C＝{z｜z＝a＋bi，a，b∈R}，全體虛

數(shù)構(gòu)成的集合稱(chēng)為虛數(shù)集，全體純虛數(shù)構(gòu)成的集合稱(chēng)為純虛數(shù)集.3.

復(fù)數(shù)集、實(shí)數(shù)集、虛數(shù)集、純虛數(shù)集之間的關(guān)系可以用下圖表示.知識(shí)點(diǎn)3

復(fù)數(shù)的相等

如果兩個(gè)復(fù)數(shù)a＋bi與c＋di的實(shí)部與虛部分別相等，就稱(chēng)這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等，

記作a＋bi＝c＋di.即，如果a，b，c，d都是實(shí)數(shù)，那么a＋bi＝c＋di?a

＝c且b＝d.特別地，a＋bi＝0?a＝0且b＝0.知識(shí)點(diǎn)4

復(fù)數(shù)的幾何意義1.

復(fù)數(shù)的坐標(biāo)表示如圖所示，復(fù)數(shù)z＝a＋bi（a，b∈R）可以用平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)Z（a，

b）來(lái)表示.用來(lái)表示復(fù)數(shù)的平面稱(chēng)為復(fù)平面，直角坐標(biāo)系中的x軸稱(chēng)為實(shí)軸，y

軸（除去原點(diǎn)）稱(chēng)為虛軸.實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)；虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù).

例1

指出下列復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部，并判斷這些復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)還是虛數(shù).若是虛數(shù)，

判斷其是否為純虛數(shù).（1）－2；（2）2－3i；（3）6i.【考查目標(biāo)】本題考查復(fù)數(shù)的概念及分類(lèi).【解析】

（1）復(fù)數(shù)－2的實(shí)部是－2，虛部是0，它是實(shí)數(shù).（2）復(fù)數(shù)2－3i的實(shí)部是2，虛部是－3，它是虛數(shù)，但不是純虛數(shù).（3）復(fù)數(shù)6i的實(shí)部是0，虛部是6，它是虛數(shù)，且是純虛數(shù).【解題技巧】

i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z＝a＋bi（a，b∈R），a是實(shí)部，b是虛

部.當(dāng)b＝0時(shí)，復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù)；當(dāng)b≠0時(shí)，復(fù)數(shù)z是虛數(shù)；當(dāng)a＝0且b≠0時(shí)，復(fù)

數(shù)z

是純虛數(shù).變式訓(xùn)練1已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z＝m2－1＋（m－1）i，求滿(mǎn)足下列條件的實(shí)數(shù)m的值.（1）z是實(shí)數(shù)；解：（1）復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù)，則m－1＝0，即m＝1.（2）z是虛數(shù)；解：（2）復(fù)數(shù)z是虛數(shù)，則m－1≠0，即m≠1.（3）z是純虛數(shù).解：（3）復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)，則m2－1＝0且m－1≠0，即m＝－1.例2

已知（x－2）＋i＝y(tǒng)－（3－y）i，其中x，y∈R，求x與y的值.【考查目標(biāo)】本題考查復(fù)數(shù)的相等.

【解題技巧】如果a，b，c，d都是實(shí)數(shù)，兩個(gè)復(fù)數(shù)z1＝a＋bi與z2＝c＋di相

等，那么z1＝z2?a＝c且b＝d.變式訓(xùn)練2求滿(mǎn)足下列條件的實(shí)數(shù)x，y的值.（1）（x＋y）＋（2y＋1）i＝（2x＋3y）＋（y－1）i；

（2）（x－y＋2）＋（x－1）i＝0.

例3

已知復(fù)數(shù)z1＝3－4i，z2＝－4＋3i，試回答下列問(wèn)題.（1）在復(fù)平面內(nèi)畫(huà)出復(fù)數(shù)z1，z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)和向量，并求復(fù)數(shù)z1，z2的模；

（2）設(shè)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z，若1≤｜z｜≤2，則點(diǎn)Z的集合是什么

圖形？

變式訓(xùn)練3已知復(fù)數(shù)z1＝2－i，z2＝－2－4i，z3＝3i，z4＝－5，試回答下列問(wèn)題.（1）在復(fù)平面內(nèi)畫(huà)出這些復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量，并求這些復(fù)數(shù)的模；

（2）設(shè)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z，若4＜｜z｜＜5，則點(diǎn)Z的集合是什么

圖形？

例4

若復(fù)數(shù)z1＝2m＋2i與復(fù)數(shù)z2＝4＋ni互為共軛復(fù)數(shù)，求實(shí)數(shù)m與n的值，并

求它們的模.【考查目標(biāo)】本題考查共軛復(fù)數(shù).

【解題技巧】互為共軛復(fù)數(shù)的兩個(gè)復(fù)數(shù)實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù).

A.4C.

－4

2.

已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z＝－2i，其實(shí)部與虛部分別是（D）.A.0，－2iB.

不存在，－2C.0，2D.0，－2【解析】復(fù)數(shù)z＝－2i，實(shí)部是0，虛部是－2.AD3.

已知i是虛數(shù)單位，m，n都是實(shí)數(shù)，若復(fù)數(shù)z＝m－1＋ni是虛數(shù)但不是純虛

數(shù)，則（D）.A.

n≠0B.

m≠1C.

m≠1或n≠0D.

m≠1且n≠0【解析】復(fù)數(shù)z＝m－1＋ni是虛數(shù)但不是純虛數(shù)，則實(shí)部m－1≠0且虛部

n≠0，故m≠1且n≠0.D4.

已知i是虛數(shù)單位，m，n都是實(shí)數(shù)，若復(fù)數(shù)z＝m＋（n－1）i是實(shí)數(shù)，則

（C）.A.

n≠1B.

m≠0C.

n＝1D.

m≠0且n＝1【解析】因?yàn)閺?fù)數(shù)z＝m＋（n－1）i是實(shí)數(shù)，則虛部為0，即n－1＝0，故n

＝1.

A.18B.8C.15D.5

CB6.

已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z＝2i－1在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是（D）.A.

（2，1）B.

（2，－1）C.

（1，2）D.

（－1，2）【解析】復(fù)數(shù)z＝2i－1的實(shí)部是－1，虛部是2，故復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是

（－1，2）.7.

已知i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z＝1－m2＋mi在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則

實(shí)數(shù)m的取值范圍是（C）.A.

（－1，1）B.

（－1，0）C.

（1，＋∞）D.

（0，1）

DC

A.3＋2iB.

－3－2iC.

－3＋2iD.2－3i

9.

已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)a2＋ai的共軛復(fù)數(shù)是1＋a2i，則實(shí)數(shù)a的值為

（

B）.A.0B.

－1C.1D.1或－1

AB10.

如果復(fù)數(shù)z的實(shí)部為非負(fù)數(shù)，虛部為－2，那么在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)

的集合是（D）.A.

直線(xiàn)x＝－2B.

射線(xiàn)x＝－2（y≥0）C.

直線(xiàn)y＝－2D.

射線(xiàn)y＝－2（x≥0）【解析】由題意可知復(fù)數(shù)z的對(duì)應(yīng)的點(diǎn)橫坐標(biāo)是非負(fù)數(shù)，縱坐標(biāo)是－2，故復(fù)數(shù)z

對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的集合是射線(xiàn)y＝－2（x≥0）.D二、填空題11.

已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z1＝2＋i，z2＝3i，z3＝2，其中是純虛數(shù)的

是

，是實(shí)數(shù)的是

?.【解析】復(fù)數(shù)z2實(shí)部是0，虛部是3，是純虛數(shù)；復(fù)數(shù)z3實(shí)部是2，虛部是0，是實(shí)

數(shù)；復(fù)數(shù)z1是虛數(shù)但不是純虛數(shù).

z2z3－4＋3i

14.

設(shè)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z，若點(diǎn)Z的集合是以原點(diǎn)O為圓心，以4為

半徑的圓，則｜z｜滿(mǎn)足的關(guān)系是

?.【解析】由復(fù)數(shù)的幾何意義，得｜z｜＝4.｜z｜＝4三、解答題15.

已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z＝（m2－4）＋（m2＋2m）i，求滿(mǎn)足下列條件

時(shí)，實(shí)數(shù)m的值.（1）z是實(shí)數(shù)；解：復(fù)數(shù)z實(shí)部是m2－4，虛部是