高等代數(shù)考試題庫及答案

單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.設(shè)\(A\)是\(n\)階方陣，若\(|A|=0\)，則（）A.\(A\)的列向量組線性無關(guān)B.\(A\)的行向量組線性無關(guān)C.\(A\)必有一個列向量是其余列向量的線性組合D.\(A\)是可逆矩陣2.向量組\(\alpha_1=(1,1,0)\)，\(\alpha_2=(1,0,1)\)，\(\alpha_3=(0,1,1)\)的秩為（）A.1B.2C.3D.03.設(shè)\(A\)為\(3\)階方陣，且\(|A|=2\)，則\(|-2A|\)等于（）A.-16B.-4C.4D.164.齊次線性方程組\(Ax=0\)有非零解的充要條件是（）A.\(A\)的行向量組線性相關(guān)B.\(A\)的列向量組線性相關(guān)C.\(A\)的行向量組線性無關(guān)D.\(A\)的列向量組線性無關(guān)5.若矩陣\(A\)與\(B\)相似，則（）A.\(A\)與\(B\)等價B.\(A\)與\(B\)合同C.\(|A|=|B|\)D.\(A\)與\(B\)有相同的特征向量6.設(shè)\(A\)是\(n\)階實(shí)對稱矩陣，則\(A\)的不同特征值對應(yīng)的特征向量（）A.線性相關(guān)B.線性無關(guān)C.正交D.相等7.多項(xiàng)式\(f(x)=x^3-3x^2+3x-1\)的重根是（）A.1（三重根）B.-1（三重根）C.1（二重根）D.無重根8.設(shè)\(V\)是數(shù)域\(P\)上的\(n\)維線性空間，\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\)是\(V\)的一組基，則\(V\)中任一向量\(\alpha\)可唯一地表示為（）A.\(\alpha=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_n\alpha_n\)，\(k_i\inP\)B.\(\alpha=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_n\alpha_n\)，\(k_i\)不全為0C.\(\alpha=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_n\alpha_n\)，\(k_i\)全為0D.以上都不對9.若\(A\)是可逆矩陣，則\(A\)的伴隨矩陣\(A^\)（）A.不可逆B.可逆且\((A^)^{-1}=\frac{1}{|A|}A\)C.可逆且\((A^)^{-1}=|A|A\)D.以上都不對10.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，\(r(A)=r\)，則\(A\)的列向量組的極大線性無關(guān)組所含向量個數(shù)為（）A.\(n\)B.\(r\)C.\(n-r\)D.無法確定多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列關(guān)于矩陣的說法正確的是（）A.若\(A\)是方陣，\(AB=AC\)，則\(B=C\)B.方陣\(A\)可逆的充要條件是\(|A|\neq0\)C.若\(A\)是實(shí)對稱矩陣，則\(A\)的特征值都是實(shí)數(shù)D.矩陣的初等變換不改變矩陣的秩2.向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)線性相關(guān)的充分必要條件是（）A.存在不全為零的數(shù)\(k_1,k_2,\cdots,k_s\)，使得\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0\)B.向量組中至少有一個向量可由其余向量線性表示C.向量組的秩小于\(s\)D.向量組中任意一個向量都可由其余向量線性表示3.設(shè)\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣，則（）A.\((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\)B.\((AB)^T=B^TA^T\)C.\(|AB|=|A||B|\)D.若\(A\)可逆，則\((A^{-1})^T=(A^T)^{-1}\)4.下列關(guān)于線性空間的說法正確的是（）A.線性空間中的零向量是唯一的B.線性空間中的基是唯一的C.線性空間中任意兩個向量都可以相加D.線性空間中向量的數(shù)乘滿足分配律5.對于實(shí)二次型\(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=X^TAX\)（\(A\)為實(shí)對稱矩陣），下列說法正確的是（）A.\(f\)正定的充要條件是\(A\)的所有順序主子式都大于0B.\(f\)正定的充要條件是\(A\)的特征值都大于0C.存在正交矩陣\(Q\)，使得\(Q^TAQ\)為對角矩陣D.二次型的標(biāo)準(zhǔn)形是唯一的6.設(shè)\(A\)是\(n\)階方陣，\(\lambda\)是\(A\)的一個特征值，則（）A.\(|\lambdaE-A|=0\)B.齊次線性方程組\((\lambdaE-A)x=0\)有非零解C.若\(\alpha\)是\(A\)對應(yīng)于\(\lambda\)的特征向量，則\(A\alpha=\lambda\alpha\)D.\(A\)的不同特征值對應(yīng)的特征向量線性無關(guān)7.多項(xiàng)式\(f(x)\)與\(g(x)\)互素的充要條件是（）A.存在多項(xiàng)式\(u(x)\)，\(v(x)\)，使得\(u(x)f(x)+v(x)g(x)=1\)B.\((f(x),g(x))=1\)C.\(f(x)\)與\(g(x)\)沒有公共根D.\(f(x)\)與\(g(x)\)的最大公因式是18.下列屬于矩陣的初等行變換的是（）A.交換矩陣的兩行B.用一個非零數(shù)乘矩陣的某一行C.將矩陣某一行的\(k\)倍加到另一行D.交換矩陣的兩列9.設(shè)\(V_1\)，\(V_2\)是線性空間\(V\)的子空間，則（）A.\(V_1\capV_2\)是\(V\)的子空間B.\(V_1+V_2\)是\(V\)的子空間C.若\(V_1\subseteqV_2\)，則\(\dimV_1\leqslant\dimV_2\)D.\(\dim(V_1+V_2)=\dimV_1+\dimV_2-\dim(V_1\capV_2)\)10.若\(A\)是\(n\)階方陣，且\(A^2=A\)，則（）A.\(A\)的特征值只能是0或1B.\(A\)一定可對角化C.\(r(A)+r(A-E)=n\)D.\(A\)是可逆矩陣判斷題（每題2分，共10題）1.若\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣，則\(|A+B|=|A|+|B|\)。（）2.向量組中含有零向量，則該向量組一定線性相關(guān)。（）3.若矩陣\(A\)與\(B\)等價，則\(A\)與\(B\)相似。（）4.數(shù)域\(P\)上的\(n\)維線性空間\(V\)中任意\(n\)個線性無關(guān)的向量都可作為\(V\)的一組基。（）5.實(shí)對稱矩陣\(A\)的屬于不同特征值的特征向量一定正交。（）6.多項(xiàng)式\(f(x)\)的重根一定是\(f(x)\)的導(dǎo)數(shù)\(f^\prime(x)\)的根。（）7.若\(A\)是\(n\)階方陣，且\(r(A)=n-1\)，則\(r(A^)=1\)。（）8.線性方程組\(Ax=b\)有解的充要條件是\(r(A)=r(A|b)\)。（）9.二次型\(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)\)的標(biāo)準(zhǔn)形是唯一的。（）10.若\(A\)是正交矩陣，則\(|A|=1\)。（）簡答題（每題5分，共4題）1.簡述矩陣可逆的判定條件。答案：方陣\(A\)可逆的充要條件是\(|A|\neq0\)；也等價于\(A\)滿秩，或\(A\)可表示為若干個初等矩陣的乘積。2.說明向量組線性相關(guān)和線性無關(guān)的定義。答案：向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)線性相關(guān)是指存在不全為零的數(shù)\(k_1,k_2,\cdots,k_s\)，使得\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0\)；線性無關(guān)是指只有當(dāng)\(k_1=k_2=\cdots=k_s=0\)時，\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0\)才成立。3.簡述實(shí)對稱矩陣的性質(zhì)。答案：實(shí)對稱矩陣\(A\)的特征值都是實(shí)數(shù)；不同特征值對應(yīng)的特征向量正交；必存在正交矩陣\(Q\)，使得\(Q^TAQ\)為對角矩陣，且對角線上元素為\(A\)的特征值。4.什么是線性空間的維數(shù)？答案：線性空間\(V\)中極大線性無關(guān)組所含向量的個數(shù)，稱為線性空間\(V\)的維數(shù)，記為\(\dim(V)\)。討論題（每題5分，共4題）1.討論矩陣相似對角化的條件及步驟。答案：條件：\(n\)階方陣\(A\)可相似對角化的充要條件是\(A\)有\(zhòng)(n\)個線性無關(guān)的特征向量。步驟：先求\(A\)的特征值，再對每個特征值求對應(yīng)的特征向量，若能找到\(n\)個線性無關(guān)的特征向量，以這些特征向量為列構(gòu)成可逆矩陣\(P\)，則\(P^{-1}AP\)為對角矩陣。2.探討線性方程組解的結(jié)構(gòu)。答案：對于非齊次線性方程組\(Ax=b\)，若有解，其通解是對應(yīng)的齊次線性方程組\(Ax=0\)的通解加上\(Ax=b\)的一個特解。齊次線性方程組\(Ax=0\)的通解由基礎(chǔ)解系的線性組合構(gòu)成，基礎(chǔ)解系所含向量個數(shù)為\(n-r(A)\)，\(n\)是未知數(shù)個數(shù)，\(r(A)\)是系數(shù)矩陣\(A\)的秩。3.論述二次型正定的判定方法。答案：判定方法有：實(shí)二次型\(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=X^TAX\)正定的充要條件是\(A\)的所有順序主子式都大于0；或\(A\)的特征值都大于0；也等價于\(A\)與單位矩陣合同。4.談?wù)劧囗?xiàng)式理論中最大公因式的求法。答案：常用輾轉(zhuǎn)相除法求多項(xiàng)式\(f(x)\)與\(g(x)\)的最大公因式。用次數(shù)較低的多項(xiàng)式去除次數(shù)較高的多項(xiàng)式，得余式，再用余式去除原來的除式，重復(fù)此過程，直到余式為零，最后一個非零余式就是\(f(