重難點(diǎn)專題圓錐曲線定值問題十三大題型匯總題型1線段長度定值問題 1題型2周長定值問題 3題型3面積定值問題 5題型4向量積定值問題 6題型5角度定值問題 8題型6運(yùn)算關(guān)系定值問題 9 ◆類型2差關(guān)系 ◆類型3積關(guān)系 ◆類型4商關(guān)系 ◆類型5平方關(guān)系 題型7坐標(biāo)相關(guān)定值問題 14題型8參數(shù)相關(guān)定值問題 16題型9斜率定值問題 題型10斜率和定值問題 19題型11斜率差定值問題 21題型12斜率積定值問題 22題型13斜率比定值問題 23與線段長度有關(guān)的定值問題通常是先引入?yún)?shù)，利用距離公式或弦長公式得到長度解析式，再對(duì)解析式化簡，得出結(jié)果為定值【例題1】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知橢圓C：a>b>0的左焦點(diǎn)為F—2,0，點(diǎn)(2,2)在C上.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)過F的兩條互相垂直的直線分別交C于A，B兩點(diǎn)和P，Q兩點(diǎn)，若線段AB，PQ的中點(diǎn)分別為M，N，且過F作直線MN的垂線，垂足為D，證明：存在定點(diǎn)H，使得DH為定值.【變式1-1】1.（2023上·河北滄州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知拋物線C:y2=2pxp>0)過點(diǎn)(1,p)，直線l與該拋物線C相交于M，N兩點(diǎn)，過點(diǎn)M作x軸的垂線，與直線y=—x交于點(diǎn)G，點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)G的對(duì)稱點(diǎn)為P，且O，N，P三點(diǎn)共線．(1)求拋物線C的方程；(2)若過點(diǎn)Q2,0作QH丄l，垂足為H（不與點(diǎn)Q重合是否存在定點(diǎn)T，使得HT為定值？若存在，求出該定點(diǎn)和該定值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【變式1-1】2.（2023下·廣東深圳·高二深圳外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)A(2,1)在雙曲線C上．(1)點(diǎn)A1，A2為C的左右頂點(diǎn)，P為雙曲線C上異于A1，A2的點(diǎn)，求KPA1.KPA2的值；定值．【變式1-1】3.（2023·云南曲靖·?？既＃╇p曲線Ca>0,b>0)的左頂點(diǎn)為A，焦距為4，過右焦點(diǎn)F作垂直于實(shí)軸的直線交C于B、D兩點(diǎn)，且△ABD是直角三角形.(1)求雙曲線C的方程；(2)已知M,N是C上不同的兩點(diǎn)，MN中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，且MN的中垂線為直線l，是否存在請(qǐng)說明理由.【變式1-1】4.（2023下·甘肅白銀·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）過雙曲線Ca>0,b>0)上一點(diǎn)A(3,0)作兩條漸近線的垂線，垂足分別為D，B，且ADAB(1)求雙曲線C的方程．(2)已知點(diǎn)P2,—1)，兩個(gè)不重合的動(dòng)點(diǎn)M，N在雙曲線C上，直線PM，PN分別與y軸交于點(diǎn)若是，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)和QT；若不存在，請(qǐng)說明理由．【變式1-1】5.（2023·海南省直轄縣級(jí)單位·文昌中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過點(diǎn)F且傾斜角為的直線交拋物線于點(diǎn)M（M在第一象限(1)求p的值.(2)若斜率不為0的直線l1與拋物線C相切，切點(diǎn)為G，平行于l1的直線交拋物線C于P,Q兩點(diǎn)，且匕PGQ=，點(diǎn)F到直線PQ與到直線l1的距離之比是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請(qǐng)說明理由.【例題2】（2023·云南大理·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知點(diǎn)M到定點(diǎn)F3,0的距離和它到直線l：x的距離的比是常數(shù)．(1)求點(diǎn)M的軌跡C的方程；(2)若直線l：y=kx+m與圓x2+y2=16相切，切點(diǎn)N在第四象限，直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，求證：△FAB的周長為定值．【變式2-1】1.（2023·湖南長沙·長沙市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？既＃┮阎狿為圓C：x2+y2—2x—(1)求點(diǎn)Q的軌跡方程；(2)點(diǎn)M在圓x2+y2=3上，且M在第一象限，過點(diǎn)M作圓x2+y2=3的切線交Q點(diǎn)軌跡于A，B兩點(diǎn)，問△ABC的周長是否為定值？若是，求出定值；若不是，說明理由.0)的左焦點(diǎn)為F，左、右頂點(diǎn)分別為A，B，上頂點(diǎn)為P.(1)若△PFB為直角三角形，求Γ的離心率；(2)若a=2，b=1，點(diǎn)Q，Q'是橢圓Γ上不同兩點(diǎn)，試判斷“PQ=PQ'”是“Q，Q'關(guān)于y軸對(duì)稱”的什么條件？并說明理由；(3)若a=2，b，點(diǎn)T為直線X=4上的動(dòng)點(diǎn)，直線TA，TB分別交橢圓Γ于C，D兩點(diǎn)，試問△FCD的周長是否為定值？請(qǐng)說明理由.【變式2-1】3.（2023·甘肅·統(tǒng)考二模）已知橢圓C的長軸長為4，A，B是其左、右頂點(diǎn)，M是橢圓上異于A，B的動(dòng)點(diǎn)，且kMA.kMB(1)求橢圓C的方程；(2)若P為直線X=4上一點(diǎn)，PA，PB分別與橢圓交于C，D兩點(diǎn)．①證明：直線CD過橢圓右焦點(diǎn)F2；②橢圓的左焦點(diǎn)為F1，求△CF1D的周長是否為定值，若是，求出該定值，若不是，請(qǐng)說明理由．【變式2-1】4.（2023·云南曲靖·曲靖一中?？寄M預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系Xoy中，動(dòng)圓P與圓C內(nèi)切，且與圓C外切，記動(dòng)圓圓心P的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程；直線TA1與C的另一個(gè)交點(diǎn)為M，直線TA2與C的另一個(gè)交點(diǎn)為N，F(xiàn)為曲線C的左焦點(diǎn)，求證：△FMN的周長為定值.2【變式2-1】5.（2023上·北京密云·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓C的長軸長是焦距的2倍，點(diǎn)F是橢圓的右焦點(diǎn)，且點(diǎn)P2,6在橢圓上，直線l:y=kX+1k≠20)與橢圓C交于A，B兩點(diǎn).(1)求橢圓C的方程；(2)當(dāng)K=1時(shí)，求△ABF的面積；(3)對(duì)?K≠0，△ABF的周長是否為定值？若是，給出證明，并求出定值；若不是，說明理由.與面積有關(guān)的定值問題通常是利用面積公式把面積表示成某些變量的表達(dá)式，再利用題中條件化簡，【例題3】（2023上·江西南昌·高三南昌市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)x，y∈R，向量EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(→),i)，EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(→),j)分別為平面直角坐標(biāo)內(nèi)x軸，y軸正方向上的單位向量，若向量EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up0(-→),a)=(x+3EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(→),i)+yEQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(→),j)，EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(-→),b)=x—3)i+yj，且EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up0(-→),a)+b=4.(1)求點(diǎn)Mx,y的軌跡C的方程；(2)設(shè)橢圓E：，曲線C的切線y=Kx+m交橢圓E于A、B兩點(diǎn)，試證：△OAB的面積為定值.【變式3-1】1.（2023上·上海浦東新·高三上海市進(jìn)才中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知橢圓E:+(1)若直線l經(jīng)過點(diǎn)C0,3，且OA=AC，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；(2)若直線l經(jīng)過點(diǎn)C0,3，且S△AOC=S△AOB，求直線l的方程；(3)若KOA.KOB=—，則△AOB的面積是否為定值?如果是，求出該定值；如果不是，請(qǐng)說明理由.【變式3-1】2.（2023上·湖北武漢·高三武鋼三中?？茧A段練習(xí)）已知A、B、C是直線l上的三點(diǎn)，且AB=1，BC=2，OO1切直線l于點(diǎn)A，又過B、C作OO1異于l的兩切線，設(shè)這兩切線交于點(diǎn)P.(1)求點(diǎn)P的軌跡E方程；(2)設(shè)M、N是P的軌跡E上的不同兩點(diǎn)且不關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，若OM，ON的斜率分別為K1，K2，問：是否存在實(shí)數(shù)λ,使得當(dāng)K1K2=λ時(shí)，△OMN的面積是定值？如果存在，求出λ的值；如果不存在，說明理由.【變式3-1】3.（2023·四川南充·四川省南充高級(jí)中學(xué)校考三模）已知橢圓Ca>b>0)的左、右焦點(diǎn)為F1,F2，離心率為.點(diǎn)P是橢圓C上不同于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，射線PF1,PF2分別與橢圓C交于點(diǎn)A,B，△PF1B的周長為8.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)△PF1F2，△PF1B，△PAB的面積分別為S1,S2,S3.求證：為定值.【變式3-1】4.（2023上·上海嘉定·高三上海市育才中學(xué)?？计谥校┮阎獧E圓Γ方程為+a>b>0B1、B2分別是橢圓Γ短軸上的上下兩個(gè)端點(diǎn)，F(xiàn)1是橢圓的左焦點(diǎn)，P是橢圓上異于B1、B2的點(diǎn)，△B1F1B2是邊長為4的等邊三角形．(1)求橢圓的離心率；(2)當(dāng)直線PB1的一個(gè)方向向量是（1，1）時(shí)，求以PB1為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(3)點(diǎn)R滿足：RB1丄PB1，RB2丄PB2，試問：△PB1B2與△RB1B2的面積之比是否為定值？并說明理由．題型4向量積定值問題與向量有關(guān)的定值問題常見類型一是求數(shù)量積有關(guān)的定值問題，二是根據(jù)向量共線，寫出向量系數(shù)的表達(dá)式，再通過計(jì)算得出與向量系數(shù)有關(guān)的定值結(jié)論.【例題4】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知橢圓C其離心率為，直線y=被橢圓截得的弦長為23．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up1(-),N)【變式4-1】1.（2023上·四川·高三南江中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）以坐標(biāo)原點(diǎn)為對(duì)稱中心，(1)求橢圓的方程．(2)設(shè)P是橢圓上一點(diǎn)（異于C,D直線PC,PD與X軸分別交于M,N兩點(diǎn)．證明在X軸上存在兩EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(-),M)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(-→),B)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(-),N)【變式4-1】2.（2022上·新疆昌吉·高二統(tǒng)考期中）已知橢圓C，F(xiàn)1，F(xiàn)2是C的左、右焦點(diǎn)，過F1的動(dòng)直線l與C交于不同的兩點(diǎn)A，B兩點(diǎn)，且△ABF2的周長為42，橢圓C的其中一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線y2=4X準(zhǔn)線上，(1)求橢圓C的方程；EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(-),M)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(-→),A)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(-),M)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(-→),B)【變式4-1】3.（2018·天津·統(tǒng)考一模）已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為，橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積為2.(1)求橢圓C的方程；(2)已知直線y=k(X—1)(k>0)與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，且與x軸，y軸交于M，N兩點(diǎn).EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(-),M)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(-→),B)【變式4-1】4.（2023·四川成都·成都七中?？寄M預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy(1)求點(diǎn)P的軌跡C的方程；EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(-→),S)題型5角度定值問題【例題5】（2023上·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖3所示，點(diǎn)F1，A分別為橢圓E的左焦點(diǎn)和右頂點(diǎn)，點(diǎn)F為拋物線C:y2=16x的焦點(diǎn)，且(1)求橢圓E的方程；(2)過點(diǎn)F1作直線l交橢圓E于B，D兩點(diǎn)，連接AB，AD并延長交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)M，N，求證：匕MF1N為定值.【變式5-1】1.（2023下·浙江·高二浙江省開化中學(xué)校聯(lián)考期中）已知離心率為2的雙曲線Ea>0,b>0的左右頂點(diǎn)分別為A，B，頂點(diǎn)到漸近線的距離為3.過雙曲線E右焦點(diǎn)F的直線l與雙曲線E交于P，Q（異于點(diǎn)A，B）兩點(diǎn).(1)求雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)記△ABP，△ABQ，△BPQ的面積分別為S1，S2，S3，當(dāng)時(shí)，求直線l的方程；(3)若直線AP，AQ分別與直線X=1交于M，N兩點(diǎn)，試問匕MFN是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由.【變式5-1】2.（2023下·北京海淀·高三人大附中?？奸_學(xué)考試）已知橢圓Ca>(1)求C的方程和離心率；(2)過點(diǎn)與作直線l交橢圓C于點(diǎn)D、E（不與點(diǎn)A重合匕DAE是否為定值?若是，求出該定值，若不是，求其取值范圍．【變式5-1】3.（2023下·河南安陽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓C的左頂點(diǎn)為A(—22,0)，右焦點(diǎn)為F(2,0)．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)F的直線l與橢圓C交于點(diǎn)M，N（異于點(diǎn)A直線AM，AN分別與直線X=4交于點(diǎn)P，Q．問：匕PFQ的大小是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請(qǐng)說明理由．【變式5-1】4.（2023上·湖北十堰·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知橢圓Ca>b>0的右焦點(diǎn)為F,P在橢圓C上，PF的最大值與最小值分別是6和2.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)若橢圓C的左頂點(diǎn)為A，過點(diǎn)F的直線l與橢圓C交于B,D（異于點(diǎn)A）兩點(diǎn)，直線AB,AD分別與直線X=8交于M,N兩點(diǎn)，試問匕MFN是否為定值?若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由.與代數(shù)式有關(guān)的定值問題，一般是依題意設(shè)條件，得出與代數(shù)式參數(shù)有關(guān)的等式，代入代數(shù)式、化簡即可得出定值【例題6-1】（2023·江西九江·統(tǒng)考一模）如圖，已知橢圓Ca>b>0)的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)A為C1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(非左右頂點(diǎn))，連接AF1并延長交C1于點(diǎn)B，且△ABF2的周長為8，△AF1F2面積的最大值為2．(1)求橢圓C1的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若橢圓C2的長軸端點(diǎn)為F1,F2，且C2與C1的離心率相等，P為AB與C2異于F1的交點(diǎn)，直線PF2交C1于M,N兩點(diǎn)，證明：IABI+IMNI為定值．【變式6-1】（2022上·浙江嘉興·高二?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系xoy中，已知橢圓E的焦點(diǎn)為F1(—3,0)，F(xiàn)2(3,0)，且滿足______，橢圓E的上、下頂點(diǎn)分別為A,B，右頂點(diǎn)為D，直線l過點(diǎn)D且垂直于x軸.現(xiàn)有如下兩個(gè)條件分別為：2條件①；橢圓過點(diǎn)(3,1，條件②：橢圓的離心率為32請(qǐng)從上述兩個(gè)條件中選擇一個(gè)補(bǔ)充在橫線上，并完成解答.(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若點(diǎn)Q在橢圓E上（且在第一象限直線AQ與l交于點(diǎn)N，直線BQ與X軸交于點(diǎn)M.試問：loMl+2DN是否為定值？若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由.◆類型2差關(guān)系【例題6-2】（2023上·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線與直線l:y=kX+m有唯一的公共點(diǎn)M.(1)若點(diǎn)N2,9在直線l上，求直線l的方程；(2)過點(diǎn)M且與直線l垂直的直線分別交x軸于A(X1,0)，y軸于B(0,y1)兩點(diǎn).是否存在定點(diǎn)G，H，使得M在雙曲線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P(X1,y1)使得PG—PH為定值.【變式6-2】（2023·湖北·模擬預(yù)測）已知橢圓Ey2=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過T(2,0)的直線l交E于A，B兩點(diǎn)，且A在線段TB上.(1)求直線AF2，BF2的斜率之和；(2)設(shè)AF1與BF2交于點(diǎn)P，證明：IPF1I—IPF2I為定值.◆類型3積關(guān)系【例題6-3】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知雙曲線Ca>0,b>0)的一個(gè)頂點(diǎn)為A2,0，D，E是C上關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱的兩點(diǎn)，且直線AD，AE的斜率之積為．(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)設(shè)Q是C上任意一點(diǎn)，過Q作與C的兩條漸近線平行的直線，與x軸分別交于點(diǎn)M，N，判斷x軸上是否存在點(diǎn)G，使得GMGN為定值．【變式6-3】已知雙曲線y2=1的漸近線傾斜角分別為30o和150o，F(xiàn)為其左焦點(diǎn)，P為雙曲線右支上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．(1)求雙曲線方程．【例題6-4】（2023上·廣西·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知雙曲線過點(diǎn)3,和點(diǎn)(4,15)．(1)求雙曲線的離心率；(2)過M0,1的直線與雙曲線交于P，Q兩點(diǎn)，過雙曲線的右焦點(diǎn)F且與PQ平行的直線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，試問是否為定值？若是定值，求該定值；若不是定值，請(qǐng)說明理由．【變式6-4】1.（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知雙曲線C的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2.過F2的直線l交C的右支于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)l垂直于x軸時(shí)，M，N到C的一條漸近線的距離之和為22.(1)求C的方程；(2)證明：EQ\*jc3\*hps11\o\al(\s\up5(MF1),MF2)+EQ\*jc3\*hps11\o\al(\s\up5(NF1),NF2)為定值.【變式6-4】2.（2023上·四川成都·高三?？茧A段練習(xí)）已知橢圓C的左，右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，離心率為，點(diǎn)P是橢圓C上不同于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，射線PF1，PF2分別與橢圓C交于點(diǎn)A，B，△PF1B的周長為8．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；AF1BF2(2)求證：PF1+PF2為定值．AF1BF2【變式6-4】3.（2023·山東德州·三模）已知F1,F2分別為雙曲線Ca>0,b>0)的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)P(2,26)在C上，且雙曲線C的漸近線與圓x2+y2—6y+8=0相切．(1)求雙曲線C的方程；(2)若過點(diǎn)F2且斜率為K的直線l交雙曲線C的右支于A,B兩點(diǎn)，Q為x軸上一點(diǎn)，滿足QA=QB，試問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由．◆類型5平方關(guān)系【例題6-5】（2023上·福建廈門·高三廈門一中?？茧A段練習(xí)）已知A,B分別是橢圓C:+a>b>0)的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，AB=5，直線AB的斜率為(1)求橢圓的方程；(2)直線l//AB，與x軸交于點(diǎn)M，與橢圓相交于點(diǎn)C,D，求證：CM2+MD2為定值.【變式6-5】1.（2023上·河南焦作·高三博愛縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知半橢圓+=1(y>0,a>b>0)和半圓x2+y2=b2(y≤0)組成曲線Γ.如圖所示，半橢圓內(nèi)切于矩形ABCD，CD與y軸交于點(diǎn)G，點(diǎn)P是半圓上異于A，B的任意一點(diǎn)處時(shí)，△AGP的面積最大.(1)求曲線Γ的方程；(2)連接PC，PD分別交AB于點(diǎn)E，F(xiàn)，求證：IAEI2+IBFI2為定值.【變式6-5】2.（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知雙曲線Ca>0,b>0的離心率為，且經(jīng)過點(diǎn)M2,0．(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程及其漸近線方程；(2)已知過點(diǎn)G(x1,y1)的直線l1:x1x+4y1y=4與過點(diǎn)H(x2,y2)(x2≠x1)的直線l2:x2x+4y2y=4的交點(diǎn)N在雙曲線C上，直線GH與雙曲線C的兩條漸近線分別交于P，Q兩點(diǎn)，證明4ON2—Op2—OQ2為定值，并求出定值．題型7坐標(biāo)相關(guān)定值問題【例題7】（2023上·江蘇南京·高三南京市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知拋物線C：y2＝4x，圓M：(x－3)2＋y2＝r2，圓M上的點(diǎn)到拋物線上的點(diǎn)距離最小值為2．(1)求圓M的方程；(2)設(shè)P為x=—7上一點(diǎn)，P的縱坐標(biāo)不等于±2．過點(diǎn)P作圓M的兩條切線，分別交拋物線C于兩個(gè)不同的點(diǎn)A(x1,y1)，B(x2,y2)和點(diǎn)Q(x3,y3)，R(x4,y4)，求證：y1y2y3y4為定值．4【變式7-1】1.（2023·湖北武漢·華中師大一附中校考模擬預(yù)測）已知拋物線T的頂點(diǎn)在4(1)求拋物線T的方程：(2)已知圓x2+y—22=3，過點(diǎn)p(m,—1)(m≠±3)作圓的兩條切線，分別交拋物線T于A(x1,y1，Bx2,y2和Cx3,y3，Dx4,y4)四個(gè)點(diǎn)，試判斷x1x2x3x4是否是定值?若是定值，求出定值，若不是定值，請(qǐng)說明理由.【變式7-1】2.（2023上·陜西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知拋物線C1的方程為y2=8x．(1)若M是C1上的一點(diǎn)，點(diǎn)N在C1的準(zhǔn)線l上，C1的焦點(diǎn)為F，且FM⊥FN，MF=10，求NF；(2)設(shè)p(x0,y0)(x0≠m±r,y0≠±m(xù))為圓C2:(x—m)2+y2=r2外一點(diǎn)，過P作C2的兩條切線，分別與C1相交于點(diǎn)A，B和C，D，證明：當(dāng)P在定直線x=t上運(yùn)動(dòng)時(shí)，A,B,C,D四點(diǎn)的縱坐標(biāo)乘積為定值的充要條件為m2=t2+r2(r≠0)．【變式7-1】3.（2023·河南信陽·信陽高中?？既＃┮阎獟佄锞€C1:y2=2px(p>0)上一點(diǎn)Q(1,a)到焦點(diǎn)的距離為3.(1)求a，p的值；y2=3的兩條切線，分別與曲線C1相交于點(diǎn)A，B和C，D，試判斷A，B，C，D四點(diǎn)縱坐標(biāo)之積是否為定值？若是，求該定值；若不是，請(qǐng)說明理由.【變式7-1】4.（2023·上海長寧·上海市延安中學(xué)?？既＃┮阎獧E圓b<2)的離心率是，點(diǎn)A是橢圓的上頂點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上不與橢圓頂點(diǎn)重合的任意一點(diǎn).(1)求橢圓Γ的方程；(2)設(shè)圓C:X2+y2+8X—23y+7=0.若直線AP與圓C相切，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)M是橢圓Γ上不與橢圓頂點(diǎn)重合且異于點(diǎn)P的任意一點(diǎn)，點(diǎn)M關(guān)于X軸的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)N，直線MP?NP分別交X軸與點(diǎn)Em,0?點(diǎn)Fn,0，探究m.n是否為定值，若為定值，求出該定值，若不為定值，說明理由.【變式7-1】5.（2022·安徽淮南·統(tǒng)考二模）已知離心率為的橢圓C:+=1(a>b>0)的下頂點(diǎn)為A(0,—2)，過點(diǎn)B（0，3）作斜率存在的直線交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，連AP，AQ分別與x軸交于點(diǎn)M，N，記點(diǎn)M，N的橫坐標(biāo)分別為xM，xN.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)試判斷xM·xN是否為定值？若為定值，請(qǐng)求出該定值；若不是定值，請(qǐng)說明理由.【變式7-1】6.（2023·吉林長春·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知橢圓+=1(a>b>0)的離心率為，四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形面積為22．(1)求橢圓方程；(2)若直線y=kx+m交橢圓于Ax1,y1，Bx2,y2，且S△AOB求證xEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up4(2),1)+xEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up4(2),2)為定值．（1）引出變量法，解題步驟為先選擇適當(dāng)?shù)牧繛樽兞?，再把要證明為定值的量用上述變量表示，最后把得到的式子化簡，得到定值；（2）特例法，從特殊情況入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)．【例題8】（2023上·貴州貴陽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓Ca>b>0的離心率為，上焦點(diǎn)F到上頂點(diǎn)的距離為2.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(-),D)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(-),P)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(-→),F)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(-),D)證明：λ+μ為定值.【變式8-1】1.（2023·四川南充·四川省南充高級(jí)中學(xué)校考三模）已知橢圓Ca>b>0)的左、右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，離心率為．點(diǎn)P是橢圓C上不同于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，射線PF1、PF2分別與橢圓C交于點(diǎn)A、B，△PF1B的周長為8．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(-),P)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(→),1)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(-),F)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(-),P)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(-→),2)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(-),F)1+λ2為定值．【變式8-1】2.（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考二模）已知橢圓C：+=1a>b>0)的離心率e=，短軸長為23．(1)求橢圓C的方程；(2)已知經(jīng)過定點(diǎn)P1,1的直線l與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，且與直線y=—x相交于點(diǎn)Q，EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(-),P)是否為定值？若是，請(qǐng)求出具體數(shù)值；若不是，請(qǐng)說明理由．【變式8-1】3.（2023·云南·云南師大附中?？寄M預(yù)測）已知雙曲線ca>0，b>0）的離心率是3，實(shí)軸長是2，O為坐標(biāo)原點(diǎn).設(shè)點(diǎn)P(x0,y0)為雙曲線c上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線l與雙曲線c的兩條漸近線分別交于M，N兩點(diǎn)，△OMN的面積為S.EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up1(-),M)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up1(-→),P)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up1(-),P)【變式8-1】4.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知M4,m是拋物線c:y2=2px(p>0)上一點(diǎn)，且M到C的焦點(diǎn)的距離為5.(1)求拋物線C的方程及點(diǎn)M的坐標(biāo)；EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(-),P)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(-),A)μPB，求證：λ【變式8-1】5.（2023·河北·模擬預(yù)測）已知拋物線c:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，圓D:(x—1)2+(y—2)2=4恰與c的準(zhǔn)線相切.(1)求c的方程及點(diǎn)F與圓D上點(diǎn)的距離的最大值；(2)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)M0,1的直線l與c相交于A，B兩點(diǎn)，直線AD，BD分別與y軸相交于EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(-),M)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(-→),P)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(-),M)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(-),O)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(-),M)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(-),Q)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(-),M)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(-),O)【變式8-1】6.（2023·安徽合肥·合肥市第八中學(xué)校考模擬預(yù)測1）若橢圓c:+=t(a>b>0,t>0)的離心率e且被直線y=X截得的線段長為求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）橢圓Ct1,Ct2其中t1=2t2t2>0，若點(diǎn)P是C2上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作C2的切線交C1于A?B兩點(diǎn)，Q為C1上異于A?B的任意一點(diǎn)，2+μ2是否為定值？若為定值，求出該定值；否則，說明理由.與斜率有關(guān)的定值問題常見類型是斜率之積商或斜率之和差為定值，求解時(shí)一般先利用斜率公式寫出表達(dá)式，再利用題中條件或韋達(dá)定理化簡.【例題9】（2022上·四川成都·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓C的對(duì)稱中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)在y軸上，離心率e且過點(diǎn)P(3,2)．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線l與橢圓交于A,B兩點(diǎn)，且直線PA,PB的傾斜角互補(bǔ)，判斷直線AB的斜率是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由．【變式9-1】1.（2023·河北保定·統(tǒng)考二模）已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在X軸上，長軸長為短軸長的2倍，若橢圓C經(jīng)過點(diǎn)P2,2，(1)求橢圓C的方程；(2)若A,B是橢圓上不同于點(diǎn)P的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線PA,PB與X軸圍成底邊在X軸上的等腰三角形，證明：直線AB的斜率為定值．【變式9-1】2.（2023上·江西·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知橢圓Ca>b>0的離心率為，且點(diǎn)A(—1,—3)在C上.(1)求C的方程；(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OA與C交于另一點(diǎn)B，與直線OA平行的直線交C于P，Q兩點(diǎn)，直線AP與BQ交于點(diǎn)D，證明：直線OD的斜率為定值.【變式9-1】3.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知A2,0，B—2,0分別是橢圓C1(a>b>0)長軸的兩個(gè)端點(diǎn)，C的焦距為2．M3,0，N,0)，P是橢圓C上異于A，B的動(dòng)點(diǎn)，直線PM與C的另一交點(diǎn)為D，直線PN與C的另一交點(diǎn)為E．(1)求橢圓C的方程；(2)證明：直線DE的傾斜角為定值．【變式9-1】4.（2023·廣東深圳·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知拋物線C：y2=2pX(p>0)的焦點(diǎn)為F(2,0).(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)拋物線C在X軸上方一點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2，過點(diǎn)A作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線，與曲線C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為B，C，求證：直線BC的斜率為定值．【例題10】（2022上·河南商丘·高三校考階段練習(xí)）已知A1，A2，B是橢圓a>b>0)的頂點(diǎn)（如圖直線l與橢圓交于異于頂點(diǎn)的P，Q兩點(diǎn)，且l//A2B，若橢圓的離心率是，且A2B(1)求此橢圓的方程；(2)設(shè)直線A1P和直線BQ的斜率分別為K1，K2，證明K1+K2為定值.【變式10-1】1.（2023上·河南許昌·高二統(tǒng)考期末）已知△PAB的兩個(gè)頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是(0,3),(0,—3),且直線PA，PB的斜率之積是—3，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為曲線H.(1)求曲線H的方程；(2)經(jīng)過點(diǎn)(1,3)且斜率為k的直線與曲線H交于不同的兩點(diǎn)E，F(xiàn)（均異于A，B證明：直線BE與BF的斜率之和為定值.【變式10-1】2.（2023上·河南洛陽·高三伊川縣第一高中校聯(lián)考開學(xué)考試）已知拋物線C1:y2=2p1x(p1>0)與拋物線C2:x2=2p2y(p2>0)在第一象限交于點(diǎn)P.(1)已知F為拋物線C1的焦點(diǎn)，若PF的中點(diǎn)坐標(biāo)為1,1，求p1；(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OP的斜率為K1.若斜率為K2的直線l與拋物線C1和C2均相切，證明K1+K2為定值，并求出該定值.【變式10-1】3.（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)拋物線E:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，過F且斜率為1的直線l與E交于A，B兩點(diǎn)，且AB=8．(1)求拋物線E的方程；(2)設(shè)P1,m為E上一點(diǎn)，E在P處的切線與x軸交于Q，過Q的直線與E交于M，N兩點(diǎn)，直線PM和PN的斜率分別為KPM和KPN．求證：KPM+KPN為定值．【變式10-1】4.（2023·河北滄州·校考模擬預(yù)測）已知橢圓Ca>b>0過點(diǎn)A(22,0)，點(diǎn)B與A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，橢圓C上的點(diǎn)H滿足直線HA與直線HB的斜率之積為—.(1)求橢圓C的方程；(2)直線l:yx+t與橢圓C相交于M,N兩點(diǎn)，已知點(diǎn)P—2,1，點(diǎn)Q與M關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，討論：直線PQ的斜率與直線PN的斜率之和是否為定值？如果是，求出此定值；如果不是，請(qǐng)說明理由.【變式10-1】5.（2023上·四川成都·高三成都七中?？奸_學(xué)考試）已知C1<(1)證明：y=x—2總與C1和C2相切；(2)在（1）的條件下，若y=x—2與C1在y軸右側(cè)相切于A點(diǎn)，與C2在y軸右側(cè)相切于B點(diǎn)．直線l與C1和C2分別交于P，Q，M，N四點(diǎn).是否存在定直線l使得對(duì)任意題干所給a，b，總有kAP+kAQ+kBP+kBQ為定值？若存在，求出l的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．【例題11】（2023上·湖南長沙·高三周南中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線Ca>0,b>0)的離心率為2，點(diǎn)M(3,—1)在雙曲線C上.(1)求雙曲線C的方程；(2)若F為雙曲線的左焦點(diǎn)，過點(diǎn)F作直線l交C的左支于A,B兩點(diǎn).點(diǎn)P—4,2，直線AP交直線x=—2于點(diǎn)Q.設(shè)直線QA,QB的斜率分別k1,k2，求證：k1—k2為定值.【變式11-1】1.（2023·湖北孝感·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知雙曲線Ca>0,b>0經(jīng)過點(diǎn)右焦點(diǎn)為FC,0，且C2，a2，b2成等差數(shù)列.(1)求C的方程；(2)過F的直線與C的右支交于P，Q兩點(diǎn)（P在Q的上方PQ的中點(diǎn)為M，M在直線l：x=2上的射影為N，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)△POQ的面積為S，直線PN，QN的斜率分別為k1，k2，證明：是定值.【變式11-1】2.（2023上·湖南永州·高三永州市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓C的左?右焦點(diǎn)分別為F1,F2，直線X=n與橢圓C交于E,F兩點(diǎn)，當(dāng)△EF1F的周長取得最大值8時(shí)，EF=3.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)F2作斜率存在且不為0的直線l交橢圓C于A?B兩點(diǎn)，若P1,，直線AP與直線X=4交于點(diǎn)Q，記直線QA?QB的斜率分別為k1,k2，試判斷k1—k2是否為定值，若是，求出該定值；若不是，說明理由.【例題12】（2023上·江西南昌·高三江西師大附中校考階段練習(xí)）已知雙曲線C:—=1(a>0,b>0)的實(shí)軸長為4，離心率為2．過點(diǎn)P4,2的直線l與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)．(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知點(diǎn)Q3,4，若直線QA，QB的斜率均存在，試問其斜率之積是否為定值？請(qǐng)給出判斷與證明．【變式12-1】1.（2023上·云南曲靖·高三曲靖一中?？茧A段練習(xí)）已知橢圓E：+=1(a>b>0)的離心率為，E的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P是橢圓上任意一點(diǎn)，滿足PF1+ PF2=4.拋物線C：y2=2PX(P>0)的焦點(diǎn)F與橢圓E的右焦點(diǎn)F2重合，點(diǎn)M是拋物線C的準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)，直線MA，MB分別與拋物線C相切于點(diǎn)A,B.(1)若直線l與橢圓E相交于D，N兩點(diǎn)，且DN的中點(diǎn)為Q1,，求直線l的方程；(2)設(shè)直線MA，MB的斜率分別為k1，k2，證明：k1.k2為定值.【變式12-1】2.（2023上·重慶沙坪壩·高三重慶一中校考階段練習(xí)）已知橢圓C:+=1(a>b>0)的焦距為26，且過點(diǎn)P2,1.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)(6,—3)的直線l與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn)，設(shè)直線PA,PB的斜率分別為k1,k2，試探究k1k2是否為定值？請(qǐng)說明理由.【變式12-1】3.（2023上·四川成都·高三石室中學(xué)?？茧A段練習(xí)）動(dòng)圓C與圓M：(X+2)2+y外切，與圓N：內(nèi)切.(1)求動(dòng)圓C的圓心C的軌跡方程；(2)直線l：y=k(X—1)(k≥0)與C相交于A,B兩點(diǎn)，過C上的點(diǎn)P作X軸的平行線交線段AB于點(diǎn)Q，直線OP的斜率為k'（O為坐標(biāo)原點(diǎn)若IAPI.IBQI=IBPI.IAQI，判斷k.k'是否為定值？并說明理由.【變式12-1】4.（2023上·甘肅金昌·高三永昌縣第一高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知離心率為的橢圓a>b>0)與x軸，y軸正半軸交于A,B兩點(diǎn)，作直線AB的平行線交橢圓于C,D兩點(diǎn).(1)若△AOB的面積為1，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)在（1）的條件下，記直線AC,BD的斜率分別為k1，k2，求證：k1k2為定值；【變式12-1】5.（2023上·江蘇南通·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）在直角坐標(biāo)系XOy中，點(diǎn)P到點(diǎn)F(3,0)的距離與到直線l：X的距離之比為，記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為W.(1)求W的方程；(2)過W上兩點(diǎn)A，B作斜率均為—的兩條直線，與W的另兩個(gè)交點(diǎn)分別為C，D.若直線AB，CD的斜率分別為k1，k2，證明：k1k2為定值.【例題13】（2023上·上海寶山·高三上海交大附中?？茧A段練習(xí)）我們約定，如果一個(gè)橢圓的長軸和短軸分別是另一條雙曲線的實(shí)軸和虛軸，則稱它們互為“姊妹”圓錐曲線.已知橢圓C，雙曲線C2是橢圓C1的“姊妹”圓錐曲線，e1，e2分別為C1，C2的離心率，且e1e點(diǎn)M，N分別為橢圓C1的左、右頂點(diǎn)，設(shè)過點(diǎn)G4,0的動(dòng)直線l交雙曲線C2右支A，B兩點(diǎn)，若直線AM，BN的斜率分別為KAM，KBN.(1)求雙曲線C2的方程；(2)試探究KAM與KBN的是否定值.若是定值，求出這個(gè)定值；若不是定值，請(qǐng)說明理由；求w=KKBN的取值范圍.【變式13-1】1.（2023上·湖北荊州·高三沙市中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線C1,(a>0,b>0)的實(shí)軸長為4，左右兩個(gè)頂點(diǎn)分別為A1,A2，經(jīng)過點(diǎn)B4,0的直線l交雙曲線(1)求雙曲線方程.(2)求證：直線MA1,NA2的斜率之比為定值.【變式13-1】2.已知橢圓C：a>b>0的右焦點(diǎn)是F23，0，過點(diǎn)F的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，若線段AB中點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(．(1)求橢圓C的方程；(2)已知p(0,—b)是橢圓C的下頂點(diǎn)，如果直線y=kx+1（k≠0）交橢圓C于不同的兩點(diǎn)M，(3)過點(diǎn)D，0)作一條非水平直線交橢圓C于R、S兩點(diǎn)，若A，B為橢圓的左右頂點(diǎn)，記直線AR、BS的斜率分別為k1、k2，則是否為定值，若是，求出該定值，若不是，請(qǐng)說明理由．【變式13-1】3.（2023·山東濟(jì)寧·嘉祥縣第一中學(xué)統(tǒng)考三模）已知橢圓Ea>b>0)的焦距為4，左、右頂點(diǎn)分別為A、B，左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，過右焦點(diǎn)F2的直線l交橢圓E于M，N兩點(diǎn)，△F1MN的周長為12.(1)記直線AM的斜率為k1，直線BN的斜率為k2.證明：為定值；(2)記△AMN的面積為S1，△BMN的面積為S2，求S1+S2的最大值.【變式13-1】4.（2023·山東威?！そy(tǒng)考二模）已知橢圓Ea>b>0的三個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成邊長為4的等邊三角形．(1)求E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知直線l的傾斜角為銳角，l分別與X軸、Y軸相交于點(diǎn)M，N，與E相交于A，B兩點(diǎn)，且N為線段MB的中點(diǎn)，B關(guān)于X軸的對(duì)稱點(diǎn)為C，直線CN與E的一個(gè)交點(diǎn)為D．（i）證明：直線CD與l的斜率之比為定值；（ii）當(dāng)直線AD的傾斜角最小時(shí)，求l的方程．1.（2023·廣東佛山·?？寄M預(yù)測）已知點(diǎn)A為直線l:X+1=0上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)A作射線AP（點(diǎn)P位于直線l的右側(cè)）使得AP丄l,F1,0，設(shè)線段AF的中點(diǎn)為B，設(shè)直線PB與X軸的交點(diǎn)為T,PF=TF.(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程.(2)設(shè)過點(diǎn)Q0,2的兩條射線分別與曲線C交于點(diǎn)M,N，設(shè)直線QM,QN的斜率分別為k1,k2，若請(qǐng)判斷直線MN的斜率是否為定值以及其是否過