數(shù)列的綜合應用第五節(jié)課程內(nèi)容要求1.會解等差、等比數(shù)列的綜合問題.2.能在具體的問題情境中識別等差或等比數(shù)列.3.能用相關(guān)知識解決數(shù)列與其他知識的交匯問題.命題視角一等差、等比數(shù)列的綜合問題[典例]

(2022·新課標Ⅱ卷)已知{an}是等差數(shù)列，{bn}是公比為2的等比數(shù)列，且a2-b2=a3-b3=b4-a4.(1)證明：a1=b1;[解]

證明：設等差數(shù)列{an}的公差為d，由a2-b2=a3-b3，得a1+d-2b1=a1+2d-4b1，即d=2b1，由a2-b2=b4-a4，得a1+d-2b1=8b1-(a1+3d)，即a1=5b1-2d，將d=2b1代入，得a1=5b1-2×2b1=b1，即a1=b1.(2)求集合{k|bk=am+a1，1≤m≤500}中元素的個數(shù).[解]

由(1)知an=a1+(n-1)d=a1+(n-1)×2b1=(2n-1)a1，bn=b1·2n-1，由bk=am+a1，得b1·2k-1=(2m-1)a1+a1，由a1=b1≠0，得2k-1=2m，由題知1≤m≤500，所以2≤2m≤1

000，所以k=2，3，4，…，10，共9個數(shù)，即集合{k|bk=am+a1，1≤m≤500}={2，3，4，…，10}中元素的個數(shù)為9.等差、等比數(shù)列的綜合問題的解題技巧(1)將已知條件轉(zhuǎn)化為等差與等比數(shù)列的基本量之間的關(guān)系，利用方程思想和通項公式、前n項和公式求解.求解時，應“瞄準目標”，靈活應用數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)，簡化運算過程.求解過程中注意合理選擇有關(guān)公式，正確判斷是否需要分類討論.方法技巧

已知等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}滿足a1=2，b2=4，an=2log2bn，n∈N*.(1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式;(2)設數(shù)列{an}中不在數(shù)列{bn}中的項按從小到大的順序構(gòu)成數(shù)列{cn}，記數(shù)列{cn}的前n項和為Sn，求S100.針對訓練

命題視角二數(shù)列與不等式的綜合問題

數(shù)列與不等式的交匯問題(1)函數(shù)法：即構(gòu)造函數(shù)，通過函數(shù)的單調(diào)性、極值等得出關(guān)于正實數(shù)的不等式，通過對關(guān)于正實數(shù)的不等式賦特殊值得出數(shù)列中的不等式.(2)放縮法：數(shù)列中的不等式可以通過對中間過程或者最后的結(jié)果放縮得到.(3)比較法：作差或者作商進行比較.方法技巧

針對訓練

命題視角三數(shù)列與函數(shù)的綜合問題√

(2)在數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=3an-2n-1(n∈N*)，記cn=3n-2×(-1)nλan，若對任意的n∈N*，cn+1>cn恒成立，則實數(shù)λ的取值范圍為

.

數(shù)列與函數(shù)的綜合問題主要有以下兩類：①已知函數(shù)條件，解決數(shù)列問題，此類問題一般利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象來解決;②已知數(shù)列條件，解決函數(shù)問題，此類問題一般要充分利用數(shù)列的范圍、公式、求和方法對所給條件化簡變形.方法技巧1.已知定義在R上的函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且滿足f(x+3)=f(x)，f(1)=-3，數(shù)列{an}滿足Sn=2an+n(其中Sn為{an}的前n項和)，則f(a5)+f(a6)=

(

)A.-3

B.-2

C.3

D.2針對訓練√解析：對任意的n∈N*，Sn=2an+n，當n=1時，a1=S1=2a1+1，解得a1=-1;當n≥2時，由Sn=2an+n可得Sn-1=2an-1+n-1，上述兩式作差得an=2an-2an-1+1，即an=2an-1-1，所以an-1=2(an-1-1)，所以數(shù)列{an-1}是以a1-1=-2為首項，以2為公比的等比數(shù)列，所以an-1=-2·2n-1=-2n，即an=1-2n，則a5=-31，a6=-63.因為函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(0)=0，函數(shù)f(x)滿足f(x+3)=f(x)，f(1)=-3，所以f(a5)=f(-31)=-f(31)=-f(1)=3，f(a6)=f(-63)=f(0)=0，因此f(a5)+f(a6)=3.故選C.

課時跟蹤檢測

√

2.已知集合P={x|x=2n，n∈N*}，Q={x|x=2n-1，n∈N*}，將P∪Q中的所有元素從小到大依次排列構(gòu)成一個數(shù)列{an}，記Sn為數(shù)列{an}的前n項和，則使得Sn<1000成立的n的最大值為

(

)A.9

B.32C.35

D.61√

√√√

9.已知等差數(shù)列{an}滿足：a1+3，a3，a4成等差數(shù)列，且a1，a3，a8成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；