試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)2025年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試模擬試題數(shù)學(xué)本試卷共4頁(yè)，19題.全卷滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答題前，先將自己的姓名、考號(hào)等填寫(xiě)在答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.寫(xiě)在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.3.填空題和解答題的作答：用簽字筆直接寫(xiě)在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫(xiě)在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知集合，，，則（

）A． B． C． D．2．已知函數(shù)，，則“”是“為減函數(shù)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．在等比數(shù)列中，，，則（

）A．2 B．4 C．5 D．84．粽子古稱“角黍”，由粽葉包裹糯米等食材蒸煮而成，是中國(guó)傳統(tǒng)節(jié)慶食物之一，因各地飲食習(xí)慣不同，粽子的形狀和味道也不同.如圖所示的是我國(guó)南方流行的“廣式五角粽”，其形狀可以近似看成正四棱錐.若一個(gè)廣式五角粽的底面棱長(zhǎng)為，并測(cè)得其側(cè)面與底面夾角的正切值為，則該廣式五角粽的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．5．若函數(shù)為偶函數(shù)，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．6．已知復(fù)數(shù)，且，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．7．若直線與球面恰好有一個(gè)公共點(diǎn)，則稱該直線為球的切線，該公共點(diǎn)為切點(diǎn).如圖，過(guò)球O外一點(diǎn)P作球O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，且A，B，O，P四點(diǎn)共面.已知球O的表面積為36π，點(diǎn)P與球面上的點(diǎn)的距離的最大值為8，記，則（

）A． B． C． D．8．已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)且垂直于x軸的直線與C交于點(diǎn)M，與C交于點(diǎn)N，設(shè)，若，則C的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9．已知向量，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．的最小值為B．若，可以作為平面向量的一組基底，則C．，D．若與的夾角為銳角，則m的取值范圍為10．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（

）A．，B．圖象的對(duì)稱中心為C．不等式的解集為D．當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增11．已知函數(shù)若函數(shù)恰有4個(gè)零點(diǎn)，分別為，，，，且，則（

）A．B．C．D．當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程最多有4個(gè)不相等的實(shí)根三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．已知點(diǎn)P在拋物線C：上，且點(diǎn)P到C的焦點(diǎn)F的距離為，則點(diǎn)P到x軸的距離為.13．如圖，某農(nóng)科所將一塊試驗(yàn)田分成1，2，3，4共四個(gè)不同的區(qū)域，該農(nóng)科所準(zhǔn)備在這四個(gè)區(qū)域中栽種農(nóng)作物，并要求相鄰兩個(gè)區(qū)域的農(nóng)作物品種不同.現(xiàn)有4種不同的農(nóng)作物品種可供選擇，則不同的栽種方案共有種；其中恰好用了3種不同農(nóng)作物品種的概率為.123414．已知函數(shù)，若存在，使得成立，則m的取值范圍為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15．記的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知.(1)若，求外接圓的半徑；(2)若，，點(diǎn)G為的重心，求線段AG的長(zhǎng).16．在雙碳戰(zhàn)略之下，新能源汽車發(fā)展成為乘用車市場(chǎng)轉(zhuǎn)型升級(jí)的重要方向，2024年我國(guó)新能源汽車銷量繼續(xù)走高．為了解新能源汽車車主對(duì)新能源汽車的滿意程度，某市某品牌的新能源汽車經(jīng)銷商從購(gòu)買了該品牌新能源汽車的車主中隨機(jī)選取了100人進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，并根據(jù)其滿意度評(píng)分（單位：分，總分100分）制作了如下的頻數(shù)分布表：滿意度評(píng)分頻數(shù)101520301510(1)計(jì)算滿意度評(píng)分的樣本平均數(shù)和樣本中位數(shù)；（每組數(shù)據(jù)以該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）(2)根據(jù)頻數(shù)分布表可以認(rèn)為該市該品牌新能源汽車車主對(duì)新能源汽車的滿意度評(píng)分近似地服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)近似為樣本的標(biāo)準(zhǔn)差，并求得．若該市恰有1萬(wàn)名該品牌的新能源汽車車主，試估計(jì)這些車主中滿意度評(píng)分位于區(qū)間的人數(shù)；(3)為提升新能源汽車的銷量，該品牌4S店針對(duì)購(gòu)買該品牌新能源汽車的顧客設(shè)置了抽獎(jiǎng)環(huán)節(jié)，抽獎(jiǎng)規(guī)則如下：每人可參加2次抽獎(jiǎng)，每次抽獎(jiǎng)都從裝有3個(gè)紅球、3個(gè)白球（形狀、大小、質(zhì)地完全相同）的抽獎(jiǎng)箱里一次性摸出3個(gè)球，若摸出3個(gè)紅球，則返還2000元現(xiàn)金；若摸出2個(gè)紅球，則返還1000元現(xiàn)金，其余情況不返還任何現(xiàn)金（兩次抽獎(jiǎng)返現(xiàn)金額疊加）．已知小王參加了抽獎(jiǎng)，記他獲得的返現(xiàn)金額為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量，則.17．如圖，在四棱臺(tái)中，平面，底面為梯形，，，.(1)證明：為直角三角形；(2)證明：平面平面；(3)若直線與平面所成角的正弦值為，且，求四棱臺(tái)的體積.18．已知橢圓：，點(diǎn)，，，中恰有兩點(diǎn)在C上.(1)求C的方程；(2)C的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)且斜率存在的直線與C交于P，Q兩點(diǎn).（i）若的面積為，求的斜率；（ii）過(guò)點(diǎn)P作直線：的垂線PR，垂足為R，試問(wèn)直線是否過(guò)定點(diǎn)?若過(guò)定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.19．定義：若函數(shù)在其定義域內(nèi)存在極大值和極小值，且存在一個(gè)常數(shù)k，使得成立，則稱為“極值可差比函數(shù)”，常數(shù)為的“極值差比系數(shù)”.已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，判斷是否為“極值可差比函數(shù)”，并說(shuō)明理由；(2)是否存在，使得的“極值差比系數(shù)”為?若存在，求出a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)設(shè)函數(shù)，數(shù)列滿足，，，證明：.答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)1．B【分析】先得到，根據(jù)補(bǔ)集和并集概念進(jìn)行求解【詳解】由題得，因?yàn)?，所?又，所以.故選：B.2．A【分析】判斷“”和“為減函數(shù)”之間的邏輯推理關(guān)系，即得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)；當(dāng)為減函數(shù)時(shí)，，，不一定是，故“”是“為減函數(shù)”的充分不必要條件.故選：A.3．D【分析】利用等比數(shù)列的項(xiàng)的性質(zhì)和通項(xiàng)的基本量運(yùn)算即得.【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列，故，解得，又，解得，設(shè)數(shù)列的公比為，則，故.故選：D.4．C【分析】分析可知該廣式五角粽的直觀圖為正四棱錐，取底面的中心，棱的中點(diǎn)，連接、、、，由二面角的定義可知即為側(cè)面與底面的夾角，求出的長(zhǎng)，結(jié)合勾股定理求出的長(zhǎng)，進(jìn)而可求得該正四棱錐的側(cè)面積.【詳解】設(shè)該廣式五角粽的直觀圖為如圖所示的正四棱錐，則，取底面的中心，棱的中點(diǎn)，連接、、、，則，為的中點(diǎn)，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，且，因?yàn)?，故，所以即為?cè)面與底面的夾角，所以.由正棱錐的幾何性質(zhì)可知平面，所以，則，故該廣式五角粽的側(cè)面積為.故選：C.5．A【分析】根據(jù)函數(shù)特征和分子為偶函數(shù)，得到分母也為偶函數(shù)，時(shí)滿足要求，結(jié)合，求出答案.【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，且為偶函數(shù)，所以為偶函數(shù)，若，則滿足要求，若，則，此時(shí)不是偶函數(shù)，不合要求，所以.所以，又，所以.故選：A.6．C【分析】由幾何意義得到點(diǎn)的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓，，的幾何意義為過(guò)圓C上的點(diǎn)與定點(diǎn)的直線的斜率，設(shè)出直線的方程，由點(diǎn)到直線距離得到不等式，求出答案.【詳解】因?yàn)椋?，所以，故?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓.，的幾何意義為過(guò)圓C上的點(diǎn)與定點(diǎn)的直線的斜率，設(shè)斜率為k，則直線的方程為，圓心C到直線的距離，即，解得，即，所以.故選：C.7．D【分析】先求出球的半徑，由題意求出的長(zhǎng)，利用三角形相似轉(zhuǎn)化角，借助于二倍角公式和三角函數(shù)的定義即可求得.【詳解】設(shè)與交于點(diǎn)，球的半徑為.則，解得.點(diǎn)P與球面上的點(diǎn)的距離的最大值為，則，因?yàn)镻A，PB均與球O相切，所以，，則在中，，易得，則，則.故選：D.8．B【分析】先確定的坐標(biāo)，由的坐標(biāo)結(jié)合求得的坐標(biāo)，根據(jù)在雙曲線上，得出和離心率的關(guān)系，進(jìn)而得解.【詳解】由題可得，，根據(jù)對(duì)稱性設(shè)點(diǎn)M在第一象限，可得，設(shè)，由，得，所以，解得，即，因?yàn)辄c(diǎn)N在雙曲線C上，所以，所以，解得.因?yàn)?，所以，則，所以，又.所以.故選：B9．AB【分析】對(duì)于A，根據(jù)向量減法的坐標(biāo)公式求，再利用向量模的坐標(biāo)公式求，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求其最小值，對(duì)于B，由條件可得，不共線，列不等式求的范圍，判斷B，根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示列方程，解方程判斷C，由條件可得，且，不共線，列式求m的取值范圍.【詳解】對(duì)于A，，則.所以當(dāng)時(shí)，取最小值，，故A正確；對(duì)于B，若，可以作為平面向量的一組基底，則與不共線，所以，解得，故B正確；對(duì)于C，，若，則，即，解得.故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若與的夾角為銳角，則，且，所以且.故D錯(cuò)誤.故選：AB.10．BCD【分析】根據(jù)圖象求出即可判斷A；根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)求解判斷BCD.【詳解】由圖可得，則，所以，則，解得，故A錯(cuò)誤：此時(shí)，則，解得，所以，令，得，所以圖象的對(duì)稱中心為，故B正確；由，得，則，解得，故C正確；當(dāng)時(shí)，，，則，當(dāng)時(shí)，，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，故D正確.故選：BCD.11．AC【分析】畫(huà)出函數(shù)的圖象，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì)、基本不等式、函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，結(jié)合換元法、數(shù)形結(jié)合法逐一判斷即可.【詳解】由題意，，函數(shù)圖象如下圖所示：，因?yàn)楹瘮?shù)恰有4個(gè)零點(diǎn)，分別為，，，，且，所以結(jié)合函數(shù)圖象可知：，又因?yàn)?，所?A：由上可知：，因?yàn)椋?，因此A正確；B：因?yàn)椋?，所以B錯(cuò)誤；C：因?yàn)?，所以，，設(shè)，且，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，于是有，因此有，所以C正確；D：令，則，由絕對(duì)值的非負(fù)性可知：，且只有當(dāng)時(shí)，函數(shù)值為零.因此由或，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)圖象與直線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，由函數(shù)的圖象可知，函數(shù)圖象與直線有三個(gè)不同的交點(diǎn)，所以關(guān)于的方程最多有5個(gè)不相等的實(shí)根，因此D錯(cuò)誤.故選：AC.12．4【分析】設(shè)，，根據(jù)焦半徑公式得到方程，求出，得到答案.【詳解】由，得，則拋物線C的準(zhǔn)線方程為.設(shè)，，則，∴，∴點(diǎn)P到軸的距離為4.故答案為：413．84【分析】（1）將方案總數(shù)分三種情況討論，計(jì)算出每種情況的方案數(shù)，即可求出總方案數(shù)；（2）計(jì)算出恰好使用3種不同農(nóng)作物品種的方案數(shù)，根據(jù)所求得的方案總數(shù)，即可求出相應(yīng)概率.【詳解】【答題空1】由題意，若選擇4種農(nóng)作物，則有種種植方案，若選擇3種農(nóng)作物，∵相鄰的區(qū)域種植的農(nóng)作物品種不同，∴只能是1、4區(qū)域或2、3區(qū)域相同，若1、4區(qū)域種植相同農(nóng)作物，有種方法，同理若2、4區(qū)域種植相同農(nóng)作物，也有24種方法，若選擇2種農(nóng)作物，只能是1、4區(qū)域和2、3分別種植相同的農(nóng)作物，有種方法，∴共有種植方案，故答案為：84.【答題空2】由題意及（1）得，共有84種植方案，其中恰好用了3種不同農(nóng)作物的方法有種方案，∴恰好用了3種不同農(nóng)作物品種的概率，故答案為：.14．【分析】的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，討論的符號(hào)，分離參數(shù)處理即可.【詳解】由可得，下對(duì)的范圍分情況討論：（1）當(dāng)，，即，不成立；（2）當(dāng)，由可得，設(shè)，則，則在上單調(diào)遞增，顯然，即時(shí)，，于是，由于在時(shí)有解，則，即；（3）當(dāng)，由可得，設(shè)，則，，，則在上遞減，在上遞增，又，而時(shí)單調(diào)遞減，但注意到，于是在上的值域?yàn)?，于是，由于在時(shí)有解，則，即.綜上所述，.故答案為：15．(1)2(2)【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理化簡(jiǎn)邊角關(guān)系，得到角A的值，再用正弦定理得到外接圓的半徑；（2）利用向量，用向量?jī)?nèi)積的夾角形式求解即可.【詳解】（1）因?yàn)椋杂烧叶ɡ淼?，所以，則由余弦定理得.又，所以.設(shè)外接圓的半徑為.則.（2）因?yàn)辄c(diǎn)G為的重心，所以，所以.所以線段AG的長(zhǎng)為.16．(1)，樣本中位數(shù)為(2)8186(3)分布列見(jiàn)解析，【分析】（1）結(jié)合題設(shè)數(shù)據(jù)，根據(jù)平均數(shù)和中位數(shù)的定義求解即可；（2）由題意，，，進(jìn)而根據(jù)正態(tài)分布特殊區(qū)間的概率求解即可；（3）由題意可得的所有取值為，再求出顧客每次抽獎(jiǎng)返還2000元現(xiàn)金的概率，顧客每次抽獎(jiǎng)返還1000元現(xiàn)金的概率，顧客每次抽獎(jiǎng)不返還任何現(xiàn)金的概率，進(jìn)而求解分布列和數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）由題意，平均數(shù)，前3組的頻率為，前4組的頻數(shù)為，所以樣本中位數(shù)位于，設(shè)為，則，解得，則樣本中位數(shù)為.（2）由題意，近似地服從正態(tài)分布，且，，由于，因此估計(jì)這些車主中滿意度評(píng)分位于區(qū)間的人數(shù)為.（3）由題意，的所有取值為，顧客每次抽獎(jiǎng)返還2000元現(xiàn)金的概率為，顧客每次抽獎(jiǎng)返還1000元現(xiàn)金的概率為，顧客每次抽獎(jiǎng)不返還任何現(xiàn)金的概率為，則，，，，，則的分布列為：01000200030004000所以.17．(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析(3)【分析】（1）解得的長(zhǎng)度，再用勾股定理可得；（2）通過(guò)證明平面，可得到平面平面.（3）建立空間正交坐標(biāo)系，表示出平面的法向量，直線與平面所成角的正弦值即可解出的值，最后求出答案.【詳解】（1）由題可得，，，則在中，由余弦定理得.所以，所以，所以為直角三角形.（2）由（1）可知，又，所以.因?yàn)槠矫?，平面，所?因?yàn)椋矫?，所以平?又平面，所以平面平面.（3）由（2）可知，又平面，所以，，兩兩垂直.以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，.則，，，，.因?yàn)?，所以，所?則，所以，，.設(shè)平面的法向量為，則，取，得，.所以.設(shè)直線與平面所成的角為，則，解得或（舍）.即.設(shè)梯形與梯形的面積分別為，，則.因?yàn)樘菪?，與梯形相似，且，所以，所以.所以四棱臺(tái)的體積.18．(1)(2)（i）；（ii）直線過(guò)定點(diǎn).【分析】（1）判斷哪兩個(gè)點(diǎn)在曲線上，代入計(jì)算，即可求得答案；（2）（i）設(shè)出直線方程，聯(lián)立橢圓方程，可得根與系數(shù)的關(guān)系式，利用三角形面積，即可求得答案；（ii）表示出直線的方程，判斷出所過(guò)定點(diǎn)在x軸上，即可求解.【詳解】（1）由題可知，，中有且僅有一點(diǎn)在橢圓C上，故或.若點(diǎn)在橢圓C上，則，不符合題意，故點(diǎn)一定不在橢圓C上，所以點(diǎn)一定在橢圓C上.當(dāng)點(diǎn)，在橢圓C上時(shí)，，解得.則橢圓C的方程為；當(dāng)點(diǎn)，在橢圓C上時(shí)，，方程組無(wú)解.綜上，橢圓C的方程為.（2）（i）