全國(guó)二卷14年數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.函數(shù)f(x)=log?(x2-2x+3)的定義域是（）

A.(-1,3)

B.(-∞,-1)∪(3,+∞)

C.[1,3]

D.(-∞,-1]∪[3,+∞)

2.若復(fù)數(shù)z=1+i滿足z2+az+b=0（a,b∈R），則a+b的值為（）

A.-1

B.0

C.1

D.2

3.設(shè)等差數(shù)列{a?}的公差為d，若a?+a?+a?=9，則a?+a?+a?的值為（）

A.12

B.15

C.18

D.21

4.函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱的充要條件是（）

A.π/6+kπ(k∈Z)

B.π/3+kπ(k∈Z)

C.π/2+kπ(k∈Z)

D.2π/3+kπ(k∈Z)

5.已知圓O的半徑為1，圓心在原點(diǎn)，則直線x+y=c與圓O相切的c值為（）

A.√2

B.2

C.√3

D.3

6.設(shè)函數(shù)f(x)=e^x-ax在x=1處取得極值，則a的值為（）

A.e

B.e2

C.1/e

D.1/e2

7.在△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，若a2+b2-c2=ab，則cosC的值為（）

A.1/2

B.1/3

C.1/4

D.1/5

8.已知函數(shù)f(x)=x3-ax2+bx在x=1和x=-1處都取得極值，則a+b的值為（）

A.-1

B.0

C.1

D.2

9.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(1,2)和B(3,0)的連線上有一點(diǎn)P，使得|AP|+|PB|的最小值為（）

A.√5

B.2√2

C.√10

D.3

10.已知函數(shù)f(x)=sin2x+cos2x-sinx·cosx，則f(x)的最小正周期為（）

A.π/2

B.π

C.2π

D.4π

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.已知函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+2|，則下列說(shuō)法正確的有（）

A.f(x)的最小值為3

B.f(x)在(-∞,-2]上單調(diào)遞減

C.f(x)在[-2,1]上單調(diào)遞減

D.f(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增

2.在等比數(shù)列{a?}中，若a?·a?=64，則下列說(shuō)法正確的有（）

A.a?=±8

B.a?·a?=16

C.若a?>0，則數(shù)列{a?}單調(diào)遞增

D.數(shù)列{a?}的前n項(xiàng)和S?總為正數(shù)

3.已知圓C?:x2+y2-2x+4y-3=0與圓C?:x2+y2+4x-6y+k=0相切，則下列說(shuō)法正確的有（）

A.k=-15時(shí)，兩圓外切

B.k=15時(shí)，兩圓內(nèi)切

C.兩圓的圓心距為√20

D.k=0時(shí)，兩圓相交

4.已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+2在區(qū)間[-2,3]上的極值點(diǎn)為x?,x?,x?（從小到大排列），則下列說(shuō)法正確的有（）

A.x?=-1

B.x?=1

C.f(x?)=f(-2)

D.f(x)在(-2,x?)上單調(diào)遞增

5.在△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，若f(A)=(b+c-a)/(b-c)，則下列說(shuō)法正確的有（）

A.f(A)的取值范圍是(-∞,-1)∪(1,+∞)

B.當(dāng)A=90°時(shí)，f(A)=0

C.當(dāng)A<90°時(shí)，f(A)>0

D.當(dāng)B=C時(shí)，f(A)=-1

三、填空題（每題4分，共20分）

1.已知函數(shù)f(x)=2^x-1，若f(a)=3，則a=_______.

2.在等差數(shù)列{a?}中，a?=10，a??=19，則該數(shù)列的公差d=_______.

3.函數(shù)f(x)=sin(x-π/4)的圖像關(guān)于直線x=π/2對(duì)稱的充要條件是x=_______(k∈Z).

4.圓O?:x2+y2=4與圓O?:x2+y2-4x+4y-4=0的公共弦所在直線的方程為_(kāi)______.

5.已知向量a=(1,k),b=(3,-2)，且向量a+2b與向量2a-b共線，則實(shí)數(shù)k=_______.

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.設(shè)函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+2|，求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-3,3]上的最大值和最小值。

2.已知等比數(shù)列{a?}中，a?=6，a?=162，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式a?。

3.討論函數(shù)f(x)=x3-3x2+2在區(qū)間[-2,3]上的單調(diào)性和極值。

4.求圓C?:x2+y2-2x+4y-3=0與圓C?:x2+y2+4x-6y+k=0相切時(shí)，k的值。

5.已知向量a=(1,2)，向量b=(3,-1)，求向量a與向量b的夾角θ的余弦值。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.C[函數(shù)內(nèi)部x2-2x+3=(x-1)2+2恒大于0，故定義域?yàn)镽]

2.C[z2=1+2i-1=2i，代入z2+az+b=0得2i+az+b=0，故a=-2,b=1,a+b=-1]

3.D[a?+a?=2a?，a?+a?+a?=3a?，故a?+a?+a?=3(a?+a?+a?)/3=3×9/3=21]

4.B[f(x)圖像關(guān)于y軸對(duì)稱需滿足f(-x)=f(x)，即sin(-2x+π/3)=sin(2x+π/3)，得-2x+π/3=2x+π/3+2kπ，解得x=kπ/3，故充要條件為x=π/3+kπ]

5.B[圓心(0,0)到直線x+y=c的距離d=|c|/√2=1，解得|c|=√2，即c=±√2，取正值c=2]

6.A[f'(x)=e^x-a，由題意f'(1)=e-a=0，得a=e]

7.A[由余弦定理cosC=(a2+b2-c2)/(2ab)，代入已知條件得cosC=ab/(2ab)=1/2]

8.B[f'(x)=3x2-2ax+b，由題意f'(1)=3-2a+b=0，f'(-1)=3+2a+b=0，聯(lián)立解得a=0,b=-3，故a+b=-3]

9.B[點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A'(1,-2)，|AP|+|PB|的最小值為|A'B|=√((3-1)2+(0+2)2)=2√2]

10.B[f(x)=sin2x+cos2x-sinx·cosx=1-1/2sin(2x)，故最小正周期T=2π/(2π/2)=π]

二、多項(xiàng)選擇題答案及解析

1.ABD[f(x)=|x-1|+|x+2|的圖像是折線，在(-∞,-2]段斜率為-1，[-2,1]段斜率為1，[1,+∞)段斜率為1，故最小值在x=-2處取到f(-2)=3；在(-∞,-2]單調(diào)遞減；在[1,+∞)單調(diào)遞增]

2.ABC[a?·a?=a?2=64，故a?=±8；a?·a?=a?+4d·a?+5d=16；若a?>0，則公比q=a?/a?>0，數(shù)列單調(diào)性與a?正負(fù)同向，故單調(diào)遞增；當(dāng)q>1時(shí)S?=(a?(1-q?))/(1-q)>0，當(dāng)0<q<1時(shí)S?=a?/(1-q)>0，若q=1則S?=na?>0，若q<0則S?分母為負(fù)，需進(jìn)一步討論]

3.ABCD[圓心距|O?O?|=√((-2-2)2+(4-0)2)=√20；k=-15時(shí)圓O?方程為x2+y2-4x+4y-4=0，圓心(-2,0)，半徑√8，兩圓圓心距√20>√8+2，外切；k=15時(shí)圓O?方程為x2+y2-4x+4y+15=0，圓心(-2,2)，半徑√19，兩圓圓心距√20>√19-2，內(nèi)切；公共弦方程為(2x-4y-3)+(x+4y-4)=0即3x-5y-7=0]

4.ABCD[f'(x)=3x2-6x，令f'(x)=0得x=0或x=2；f''(x)=6x-6，f''(0)=-6<0，f''(2)=6>0，故x=0為極大值點(diǎn)，x=2為極小值點(diǎn)；區(qū)間[-2,0]上f'(x)=3x(x-2)>0單調(diào)遞增；f(-2)=12，f(2)=-4，f(0)=2，極小值f(2)=-4]

5.ACD[f(A)=(b+c-a)/(b-c)=(2RsinB+2RsinC-2RsinA)/(2RsinB-2RsinC)=sinA/(sinB-sinC)，當(dāng)A>90°時(shí)sinA<0，sinB-sinC<0，故f(A)>0；當(dāng)A=90°時(shí)sinA=1，sinB-sinC>0，故f(A)=1/sinB-sinC>0；當(dāng)B=C時(shí)三角形等腰，sinB=sinC，故f(A)=sinA/(0)，極限為-∞，實(shí)際計(jì)算發(fā)現(xiàn)f(A)=-1]

三、填空題答案及解析

1.log?4[由2^x-1=3得2^x=4，故x=log?4]

2.3[設(shè)公差為d，則a?+4d=10，a?+9d=19，聯(lián)立解得d=3]

3.π/2+kπ[f(x-π/4)=sinx需關(guān)于x=π/2對(duì)稱，即x-π/4=π/2+mπ，得x=3π/4+mπ]

4.2x-4y+4=0[圓C?與圓C?相交，作差得(x2+y2)-(x2+y2-4x+4y-4)=4x-4y+4=0]

5.-3[向量a+2b=(7,2k-4)，向量2a-b=(1,4)，由共線條件7×4=(2k-4)×1，解得k=-3]

四、計(jì)算題答案及解析

1.最大值5，最小值2

解：f(x)分段函數(shù)為：

x<-2時(shí)f(x)=-2x-1

-2≤x≤1時(shí)f(x)=3-x

x>1時(shí)f(x)=2x-1

在x=-2處f(-2)=3，x=1處f(1)=2，x=3處f(3)=5，故最大值5，最小值2

2.a?=2^(n-2)·3^(n-1)

解：由a?/a?=3，a?/a?=27得公比q=3，a?=6/3=2

故通項(xiàng)公式a?=2×3^(n-1)=2^(n-2)·3^(n-1)

3.在(-∞,1)單調(diào)遞增，在(1,2)單調(diào)遞減，在(2,+∞)單調(diào)遞增，極大值f(1)=0，極小值f(2)=-2

解：f'(x)=3x2-6x，令f'(x)=0得x=0或x=2

f''(x)=6x-6，f''(0)=-6<0，f''(2)=6>0

故x=0為極大值點(diǎn)，x=2為極小值點(diǎn)

在(-∞,0)上f'(x)>0單調(diào)遞增，在(0,2)上f'(x)<0單調(diào)遞減，在(2,+∞)上f'(x)>0單調(diào)遞增

4.k=-20或k=8

解：圓心距|O?O?|=√((-1-2)2+(2-(-2))2)=√13

當(dāng)外切時(shí)，|O?O?|=r?+r?=√10+√(k+4)，解得k=-20

當(dāng)內(nèi)切時(shí)，|O?O?|=|r?-r?|=|√10-√(k+4)|，解得k=8

5.cosθ=-3/√13

解：cosθ=(a·b)/(|a||b|)=(1×3+2×(-1))/(√(12+22)√(32+(-1)2))=-3/√13

知識(shí)點(diǎn)分類總結(jié)

1.函數(shù)部分

-絕對(duì)值函數(shù)圖像與性質(zhì)

-指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)

-函數(shù)單調(diào)性與極值判定

-函數(shù)周期性判斷

2.數(shù)列部分

-等差數(shù)列通項(xiàng)與求和

-等比數(shù)列通項(xiàng)與求和

-數(shù)列性質(zhì)與證明

3.三角函數(shù)部分

-三角函數(shù)圖像與性質(zhì)

-函數(shù)周期性判斷

-向量代數(shù)運(yùn)算

-復(fù)數(shù)基本運(yùn)算

4.解析幾何部分

-圓的方程與性質(zhì)

-直線與圓的位置關(guān)系

-向量坐標(biāo)運(yùn)算

-距離公式應(yīng)用

題型知識(shí)點(diǎn)詳解及示例

選擇題：

-考察基礎(chǔ)概念與性質(zhì)理解，如函數(shù)定義域、極值點(diǎn)判定等

-示例：判斷函數(shù)奇偶性、周期性等

-考察計(jì)算能力，如