高一數(shù)學(xué)必修一教學(xué)課件第一章集合與常用邏輯用語1.1集合的概念集合的定義集合是具有某種特定性質(zhì)的事物的總體，組成這個(gè)集合的事物稱為該集合的元素。集合用大寫字母表示，如A、B、C等。常見數(shù)集自然數(shù)集NN={0,1,2,3,...}整數(shù)集ZZ={...,-2,-1,0,1,2,...}有理數(shù)集Q所有可以表示為分?jǐn)?shù)形式m/n的數(shù)（其中m、n為整數(shù)，n≠0）實(shí)數(shù)集R包含所有有理數(shù)和無理數(shù)1.2集合的表示列舉法將集合中所有元素一一列舉出來，用大括號括起來。例如：A={1,2,3,4,5}特點(diǎn)：適用于元素有限且較少的集合。描述法用元素的共同特征來描述集合。例如：B={x|x是10以內(nèi)的正偶數(shù)}特點(diǎn)：適用于元素?zé)o限或難以一一列舉的集合。集合的符號表示元素a屬于集合A：a∈A元素b不屬于集合A：b?A1.3集合間的基本關(guān)系子集關(guān)系如果集合A中的每個(gè)元素都是集合B的元素，則稱A是B的子集，記作A?B。任何集合都是自身的子集：A?A空集是任何集合的子集：??A真子集如果A?B，且A≠B，則稱A是B的真子集，記作A?B。集合的相等兩個(gè)集合A和B相等，當(dāng)且僅當(dāng)A?B且B?A，記作A=B。判斷兩個(gè)集合相等的方法：證明互為子集1.4集合的基本運(yùn)算交集A∩B={x|x∈A且x∈B}交集是同時(shí)屬于集合A和集合B的所有元素組成的集合。并集A∪B={x|x∈A或x∈B}并集是屬于集合A或集合B的所有元素組成的集合。補(bǔ)集A′={x|x∈U且x?A}在全集U中，不屬于集合A的所有元素組成的集合。集合運(yùn)算的基本性質(zhì)交換律：A∪B=B∪A；A∩B=B∩A結(jié)合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C)；(A∩B)∩C=A∩(B∩C)分配律：A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)德摩根律：(A∪B)′=A′∩B′；(A∩B)′=A′∪B′Venn圖示集合的并、交、補(bǔ)關(guān)系Venn圖是用圖形直觀表示集合關(guān)系的重要工具。通常用圓或其他閉合曲線表示集合，全集用矩形表示。Venn圖的基本表示法并集A∪B：兩個(gè)圓形區(qū)域的所有部分交集A∩B：兩個(gè)圓形重疊的部分補(bǔ)集A′：全集中除A以外的部分差集A-B：屬于A但不屬于B的部分通過Venn圖，我們可以直觀理解并驗(yàn)證集合運(yùn)算的各種性質(zhì)和定理。1.5邏輯用語及其應(yīng)用命題命題是一個(gè)能判斷真假的陳述句。真命題：判斷為真的命題假命題：判斷為假的命題命題的基本形式簡單命題：不能再分解的命題復(fù)合命題：由簡單命題通過邏輯連接詞構(gòu)成的命題命題邏輯連接詞否定(?p)"不是p"，當(dāng)p為真時(shí)，?p為假；當(dāng)p為假時(shí)，?p為真。合取(p∧q)"p且q"，當(dāng)p、q都為真時(shí)，p∧q為真；否則為假。析取(p∨q)"p或q"，當(dāng)p、q至少有一個(gè)為真時(shí)，p∨q為真；都為假時(shí)為假。充分條件與必要條件"p是q的充分條件"表示"如果p，則q"，記作p→q。"p是q的必要條件"表示"如果q，則p"，記作q→p。"p是q的充要條件"表示"p當(dāng)且僅當(dāng)q"，記作p?q。典型例題：判斷集合關(guān)系與邏輯命題真值1集合關(guān)系判斷已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={1,2}，判斷A與B的關(guān)系。解析：A={x|x2-3x+2=0}={x|(x-1)(x-2)=0}={1,2}結(jié)論：A=B2命題真值判斷判斷命題"若n2是偶數(shù)，則n是偶數(shù)"的真假。解析：若n為奇數(shù)，則n2=(2k+1)2=4k2+4k+1=2(2k2+2k)+1，是奇數(shù)。反之，若n2為偶數(shù)，則n不可能是奇數(shù)，只能是偶數(shù)。結(jié)論：命題為真。3集合運(yùn)算計(jì)算已知全集U={1,2,3,4,5,6}，A={1,3,5}，B={2,3,4}，求(A∪B)′和A′∩B′。解析：A∪B={1,2,3,4,5}，(A∪B)′={6}A′={2,4,6}，B′={1,5,6}，A′∩B′={6}結(jié)論：(A∪B)′=A′∩B′={6}，驗(yàn)證了德摩根律。第二章函數(shù)的概念與基本初步本章將學(xué)習(xí)函數(shù)的定義、表示方法以及基本性質(zhì)，掌握函數(shù)圖象的變換規(guī)律，為后續(xù)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。2.1函數(shù)的定義函數(shù)的基本概念設(shè)D是一個(gè)非空數(shù)集，如果按照某種對應(yīng)關(guān)系f，使對于任意x∈D，有唯一確定的值y與之對應(yīng)，則稱f:D→R為定義在D上的函數(shù)。記作y=f(x)，其中x是自變量，y是因變量。函數(shù)的三要素定義域：函數(shù)的自變量x所取值的集合，記作D或domf對應(yīng)關(guān)系：自變量x與函數(shù)值y之間的關(guān)系，通常用解析式表示值域：函數(shù)的所有函數(shù)值構(gòu)成的集合，記作R或ranf函數(shù)的映射關(guān)系示意圖函數(shù)是一種特殊的映射，它滿足：對定義域中的每個(gè)元素，有且僅有一個(gè)值域中的元素與之對應(yīng)。2.2函數(shù)的表示方法解析式用數(shù)學(xué)公式表示自變量與函數(shù)值之間的關(guān)系。例如：f(x)=2x+3，f(x)=x2圖象法用坐標(biāo)平面上的點(diǎn)集表示函數(shù)。函數(shù)f(x)的圖象是平面上所有點(diǎn)(x,f(x))的集合，其中x∈D。列表法當(dāng)定義域?yàn)橛邢藜瘯r(shí)，可用表格列出所有的自變量與對應(yīng)的函數(shù)值。常見的基本函數(shù)一次函數(shù)f(x)=ax+b(a≠0)圖象是一條直線，斜率為a，y軸截距為b。二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)圖象是一條拋物線，開口方向由a的符號決定。2.3函數(shù)的性質(zhì)單調(diào)性在區(qū)間I上，對任意x?,x?∈I：若x?<x?時(shí)，都有f(x?)<f(x?)，則稱f(x)在I上是單調(diào)遞增的若x?<x?時(shí)，都有f(x?)>f(x?)，則稱f(x)在I上是單調(diào)遞減的有界性在區(qū)間I上，若存在常數(shù)M，使得對任意x∈I，都有|f(x)|≤M，則稱f(x)在I上有界。奇偶性若函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，且對任意x∈D：若f(-x)=f(x)，則稱f(x)為偶函數(shù)若f(-x)=-f(x)，則稱f(x)為奇函數(shù)周期性若存在正數(shù)T，使得對任意x∈D，都有x+T∈D且f(x+T)=f(x)，則稱f(x)為周期函數(shù)，最小的正數(shù)T稱為函數(shù)的最小正周期。2.4函數(shù)的圖象變換1平移變換y=f(x-h)+k將函數(shù)f(x)的圖象向右平移h個(gè)單位（h>0）將函數(shù)f(x)的圖象向上平移k個(gè)單位（k>0）2伸縮變換y=Af(Bx)|A|>1時(shí)，圖象在y軸方向伸長|A|倍0<|A|<1時(shí)，圖象在y軸方向壓縮至原來的|A|倍|B|>1時(shí)，圖象在x軸方向壓縮至原來的1/|B|倍0<|B|<1時(shí)，圖象在x軸方向伸長1/|B|倍3對稱變換關(guān)于坐標(biāo)軸和原點(diǎn)的對稱y=f(-x)：關(guān)于y軸對稱y=-f(x)：關(guān)于x軸對稱y=-f(-x)：關(guān)于原點(diǎn)對稱理解函數(shù)圖象變換可以幫助我們從已知的基本函數(shù)圖象快速繪制復(fù)雜函數(shù)的圖象，提高解題效率。典型例題：函數(shù)圖象的變換與性質(zhì)判斷1函數(shù)圖象變換已知函數(shù)f(x)=x2的圖象，求函數(shù)g(x)=2(x-1)2+3的圖象。解析：g(x)=2(x-1)2+3=2f(x-1)+3這是將f(x)=x2的圖象先向右平移1個(gè)單位，再在y軸方向伸長為原來的2倍，最后向上平移3個(gè)單位得到的。2函數(shù)性質(zhì)判斷判斷函數(shù)f(x)=x3-3x的單調(diào)區(qū)間和奇偶性。解析：f'(x)=3x2-3=3(x2-1)=3(x-1)(x+1)當(dāng)x<-1或x>1時(shí)，f'(x)>0，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)-1<x<1時(shí)，f'(x)<0，函數(shù)單調(diào)遞減。f(-x)=(-x)3-3(-x)=-x3+3x=-(x3-3x)=-f(x)，所以f(x)是奇函數(shù)。3函數(shù)值域求解求函數(shù)f(x)=2x2-4x+5的值域。解析：f(x)=2x2-4x+5=2(x2-2x)+5=2(x2-2x+1)+5-2=2(x-1)2+3因?yàn)?x-1)2≥0，所以f(x)≥3，即函數(shù)的值域?yàn)閇3,+∞)。第三章方程與不等式基礎(chǔ)本章將學(xué)習(xí)一元一次方程與不等式、一元二次方程、不等式性質(zhì)與解法以及絕對值不等式，掌握求解方程與不等式的基本方法。3.1一元一次方程與不等式一元一次方程形如ax+b=0（a≠0）的方程，其解為x=-b/a。解方程的基本步驟去分母（有分式時(shí)）去括號（有括號時(shí)）移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)解出未知數(shù)一元一次不等式形如ax+b>0或ax+b<0（a≠0）的不等式。解不等式的基本性質(zhì)不等式兩邊同加（減）同一數(shù)，不等號方向不變不等式兩邊同乘（除）同一正數(shù)，不等號方向不變不等式兩邊同乘（除）同一負(fù)數(shù)，不等號方向改變一元一次方程與不等式的應(yīng)用一元一次方程與不等式可以用來解決許多實(shí)際問題，如行程問題、比例問題、濃度問題等。解題時(shí)，關(guān)鍵是正確地列出方程或不等式。3.2一元二次方程標(biāo)準(zhǔn)形式與求根公式標(biāo)準(zhǔn)形式：ax2+bx+c=0（a≠0）求根公式：x=(-b±√(b2-4ac))/2a判別式判別式：Δ=b2-4acΔ>0：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根Δ=0：方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根Δ<0：方程沒有實(shí)數(shù)根韋達(dá)定理若x?和x?是方程ax2+bx+c=0的兩根，則：x?+x?=-b/ax?·x?=c/a一元二次方程的解法1.公式法直接應(yīng)用求根公式x=(-b±√(b2-4ac))/2a。2.因式分解法若能將ax2+bx+c分解為a(x-x?)(x-x?)的形式，則x?和x?就是方程的根。3.配方法將ax2+bx+c=0變形為a(x+b/2a)2=(b2-4ac)/4a，再求解。4.特殊方程如x2=d（d>0）的解為x=±√d。3.3不等式的性質(zhì)與解法基本不等式算術(shù)平均值≥幾何平均值：(a+b)/2≥√(ab)，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號對于n個(gè)正數(shù)a?,a?,...,a?：(a?+a?+...+a?)/n≥?√(a?·a?·...·a?)當(dāng)且僅當(dāng)a?=a?=...=a?時(shí)取等號線性不等式組由多個(gè)一元一次不等式組成的不等式組。例如：2x+1>03x-4<0解不等式組的方法是分別求解每個(gè)不等式，然后取它們的交集。二次不等式形如ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0（a≠0）的不等式。解二次不等式的步驟：求對應(yīng)的二次方程ax2+bx+c=0的根在數(shù)軸上標(biāo)出這些根，將數(shù)軸分成若干區(qū)間在每個(gè)區(qū)間上判斷不等式的符號，確定解集3.4絕對值不等式絕對值的定義對于任意實(shí)數(shù)x，其絕對值|x|定義為：|x|=x（當(dāng)x≥0時(shí)）|x|=-x（當(dāng)x<0時(shí)）絕對值的性質(zhì)|x|≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號|-x|=|x||xy|=|x|·|y||x+y|≤|x|+|y|（三角不等式）絕對值不等式的基本類型|x|<a（a>0）等價(jià)于-a<x<a|x|>a（a>0）等價(jià)于x<-a或x>a|x|≤a（a>0）等價(jià)于-a≤x≤a|x|≥a（a>0）等價(jià)于x≤-a或x≥a解絕對值不等式的技巧分類討論法根據(jù)絕對值的定義，將問題分成x≥0和x<0兩種情況討論。轉(zhuǎn)化法將含絕對值的不等式轉(zhuǎn)化為不含絕對值的不等式組或不等式。典型例題：綜合方程與不等式應(yīng)用題1一元二次方程應(yīng)用某矩形的周長為20厘米，求矩形的面積最大值。解析：設(shè)矩形的長為x，寬為y，則2(x+y)=20，即x+y=10。矩形的面積S=xy=x(10-x)=10x-x2。當(dāng)x=5時(shí)，S取最大值S=10×5-52=25。結(jié)論：矩形的面積最大值為25平方厘米，此時(shí)矩形為正方形。2不等式組應(yīng)用求解不等式組：2x+3y≤6，x≥0，y≥0，x+y≥1。解析：這是一個(gè)線性規(guī)劃問題，解集是平面上由四個(gè)不等式確定的一個(gè)多邊形區(qū)域。由2x+3y≤6，得y≤(6-2x)/3=2-2x/3。結(jié)合x≥0，y≥0，x+y≥1，可以畫出可行域。3絕對值不等式求解不等式|2x-3|+|x+1|<5。解析：分段討論：當(dāng)x≤-1時(shí)，|2x-3|+|x+1|=|2x-3|-(x+1)=...當(dāng)-1<x≤3/2時(shí)，|2x-3|+|x+1|=-(2x-3)+(x+1)=...當(dāng)x>3/2時(shí)，|2x-3|+|x+1|=(2x-3)+(x+1)=...解得x∈(-2,2)。第四章立體幾何初步本章將學(xué)習(xí)空間幾何體的基本概念、棱柱與棱錐、圓柱、圓錐與球以及空間直線與平面的位置關(guān)系，掌握計(jì)算立體圖形表面積和體積的方法。4.1空間幾何體的認(rèn)識點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系點(diǎn)與直線的位置關(guān)系空間中的點(diǎn)與直線要么在直線上，要么不在直線上。點(diǎn)與平面的位置關(guān)系空間中的點(diǎn)與平面要么在平面上，要么不在平面上。直線與直線的位置關(guān)系相交（有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)）平行（無公共點(diǎn)且在同一平面內(nèi)）異面（無公共點(diǎn)且不在同一平面內(nèi)）直線與平面的位置關(guān)系直線在平面內(nèi)（直線上的所有點(diǎn)都在平面上）直線與平面平行（無公共點(diǎn)）直線與平面相交（有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)）平面與平面的位置關(guān)系平行（無公共點(diǎn)）相交（公共部分是一條直線）理解空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系是學(xué)習(xí)立體幾何的基礎(chǔ)，這些基本概念將幫助我們分析復(fù)雜的立體圖形。4.2棱柱與棱錐棱柱定義：兩個(gè)面是全等的多邊形，且相互平行，其余各面是平行四邊形的立體圖形。特點(diǎn)：上下底面是全等的多邊形，側(cè)面是平行四邊形。表面積：S=2S底+S側(cè)體積：V=S底×h棱錐定義：一個(gè)面是多邊形，其余各面是有公共頂點(diǎn)的三角形的立體圖形。特點(diǎn)：底面是多邊形，側(cè)面是三角形，所有側(cè)面的頂點(diǎn)匯聚于一點(diǎn)（頂點(diǎn)）。表面積：S=S底+S側(cè)體積：V=(1/3)×S底×h正多面體正多面體是指所有面都是全等的正多邊形且每個(gè)頂點(diǎn)處的面數(shù)相同的多面體。只有五種正多面體：正四面體、正六面體（立方體）、正八面體、正十二面體和正二十面體。4.3圓柱、圓錐與球圓柱定義：兩個(gè)面是全等的圓，且相互平行，側(cè)面是由兩個(gè)圓的對應(yīng)點(diǎn)連結(jié)形成的曲面。側(cè)面積：S側(cè)=2πrh表面積：S=2πr2+2πrh=2πr(r+h)體積：V=πr2h圓錐定義：一個(gè)面是圓，側(cè)面是由圓上各點(diǎn)與圓外一點(diǎn)連結(jié)形成的曲面。母線：l=√(r2+h2)側(cè)面積：S側(cè)=πrl表面積：S=πr2+πrl=πr(r+l)體積：V=(1/3)πr2h球定義：空間中到定點(diǎn)（球心）的距離等于定值（半徑）的點(diǎn)的集合。表面積：S=4πr2體積：V=(4/3)πr3典型例題一個(gè)圓錐的底面半徑為3厘米，高為4厘米，求它的表面積和體積。解析：母線l=√(r2+h2)=√(32+42)=√(9+16)=√25=5厘米表面積S=πr2+πrl=π·32+π·3·5=9π+15π=24π≈75.4厘米2體積V=(1/3)πr2h=(1/3)·π·32·4=(1/3)·π·9·4=12π≈37.7厘米3圓錐展開圖與母線示意圖圓錐的展開圖圓錐的側(cè)面展開后是一個(gè)扇形，底面是一個(gè)圓。扇形的圓心角θ滿足：θ=(l/r)×360°其中，l是圓錐的母線長度，r是底面圓的半徑。母線的性質(zhì)圓錐的所有母線長度相等母線與底面半徑和高形成直角三角形母線長度l=√(r2+h2)通過圓錐的展開圖，我們可以更直觀地理解圓錐的表面積計(jì)算公式，側(cè)面積等于扇形的面積。4.4立體幾何中的空間直線與平面位置關(guān)系平行關(guān)系的判定直線與直線平行兩條異面直線所在的平面平行，且一條直線與另一條直線所在平面平行。直線與平面平行直線與平面內(nèi)的任意直線都不相交。平面與平面平行兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn)。垂直關(guān)系的判定直線與平面垂直直線與平面內(nèi)的所有直線都垂直。平面與平面垂直一個(gè)平面內(nèi)存在一條直線垂直于另一個(gè)平面。二面角由兩個(gè)半平面和它們的公共邊組成的圖形?？臻g中的角度與距離兩條直線的夾角空間中兩條異面直線的夾角是指這兩條直線的平行投影所成的角。直線與平面的夾角直線與其在平面上的射影所成的角。兩個(gè)平面的夾角兩個(gè)平面的夾角是指這兩個(gè)平面所形成的二面角的大小。典型例題：立體幾何綜合應(yīng)用1正方體中的距離問題已知邊長為a的正方體ABCD-A?B?C?D?，求對角線AC?的長度及其與面BCC?B?的夾角。解析：設(shè)坐標(biāo)系原點(diǎn)在A，三條坐標(biāo)軸分別沿AB、AD、AA?方向，則C?的坐標(biāo)為(a,a,a)。AC?的長度為√(a2+a2+a2)=a√3。面BCC?B?的法向量為(0,1,0)，AC?的方向向量為(1,1,1)。夾角θ滿足sinθ=|(0,1,0)·(1,1,1)|/[|(0,1,0)|·|(1,1,1)|]=1/√3。所以θ=arcsin(1/√3)≈35.3°。2圓柱與圓錐的組合體一個(gè)圓柱底面的半徑為r，高為h?，在其上放置一個(gè)底面與圓柱上底面重合的圓錐，圓錐的高為h?，求這個(gè)組合