2025成年人數(shù)學(xué)圓錐曲線方程求解考試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.拋物線\(y^2=8x\)的焦點坐標(biāo)是（）A.\((2,0)\)B.\((-2,0)\)C.\((0,2)\)D.\((0,-2)\)2.橢圓\(\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1\)的離心率是（）A.\(\frac{\sqrt{7}}{4}\)B.\(\frac{\sqrt{7}}{3}\)C.\(\frac{4}{5}\)D.\(\frac{3}{5}\)3.雙曲線\(\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1\)的漸近線方程是（）A.\(y=\pm\frac{3}{4}x\)B.\(y=\pm\frac{4}{3}x\)C.\(y=\pm\frac{3}{5}x\)D.\(y=\pm\frac{5}{3}x\)4.若拋物線\(y=ax^{2}\)的準(zhǔn)線方程是\(y=2\)，則\(a\)的值是（）A.\(\frac{1}{8}\)B.\(-\frac{1}{8}\)C.\(8\)D.\(-8\)5.已知橢圓\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)的左右焦點分別為\(F_1,F_2\)，\(P\)是橢圓上一點，且\(\angleF_1PF_2=90^{\circ}\)，若\(\triangleF_1PF_2\)的面積為\(9\)，則\(b\)等于（）A.\(3\)B.\(4\)C.\(5\)D.\(6\)6.雙曲線\(x^{2}-y^{2}=1\)的實軸長為（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(4\)D.\(8\)7.拋物線\(y^2=4x\)上一點\(M\)到焦點的距離為\(3\)，則點\(M\)的橫坐標(biāo)\(x\)為（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(3\)D.\(4\)8.橢圓\(\frac{x^{2}}{m}+\frac{y^{2}}{4}=1\)的焦距為\(2\)，則\(m\)的值為（）A.\(5\)B.\(3\)C.\(5\)或\(3\)D.\(8\)9.雙曲線\(\frac{y^{2}}{4}-\frac{x^{2}}{9}=1\)的實半軸長是（）A.\(2\)B.\(3\)C.\(4\)D.\(9\)10.已知橢圓\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)的離心率\(e=\frac{1}{2}\)，則雙曲線\(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\)的離心率為（）A.\(\frac{\sqrt{5}}{2}\)B.\(\frac{\sqrt{7}}{2}\)C.\(\frac{5}{4}\)D.\(\frac{7}{4}\)二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.以下關(guān)于橢圓的說法正確的是（）A.平面內(nèi)到兩個定點\(F_1,F_2\)的距離之和等于常數(shù)（大于\(|F_1F_2|\)）的點的軌跡B.橢圓\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)中，\(a\)為長半軸長，\(b\)為短半軸長C.橢圓的離心率\(e\in(0,1)\)D.橢圓的焦點一定在\(x\)軸上2.拋物線\(y^2=2px(p\gt0)\)的性質(zhì)有（）A.焦點坐標(biāo)為\((\frac{p}{2},0)\)B.準(zhǔn)線方程為\(x=-\frac{p}{2}\)C.拋物線上一點到焦點的距離等于到準(zhǔn)線的距離D.開口向右3.雙曲線\(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gt0,b\gt0)\)的性質(zhì)正確的是（）A.實軸長為\(2a\)，虛軸長為\(2b\)B.漸近線方程為\(y=\pm\frac{a}x\)C.離心率\(e=\frac{c}{a}\)，\(c^2=a^2+b^2\)D.焦點在\(y\)軸上4.若橢圓\(\frac{x^{2}}{m}+\frac{y^{2}}{n}=1(m\gt0,n\gt0)\)的焦點在\(x\)軸上，則（）A.\(m\gtn\)B.\(m\ltn\)C.\(a^2=m\)D.\(b^2=n\)5.以下哪些是圓錐曲線（）A.圓B.橢圓C.雙曲線D.拋物線6.對于雙曲線\(\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a\gt0,b\gt0)\)（）A.焦點坐標(biāo)為\((0,\pmc)\)，\(c^2=a^2+b^2\)B.漸近線方程為\(y=\pm\frac{a}x\)C.實軸長\(2a\)D.離心率\(e\gt1\)7.已知拋物線\(y^2=4x\)，下列說法正確的是（）A.\(p=2\)B.焦點到準(zhǔn)線的距離為\(2\)C.過焦點的弦長最小值為\(4\)D.拋物線上一點\((1,2)\)到焦點的距離為\(2\)8.橢圓\(\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1\)的相關(guān)性質(zhì)正確的是（）A.\(a=5\)B.\(b=3\)C.\(c=4\)D.離心率\(e=\frac{4}{5}\)9.關(guān)于雙曲線和橢圓的區(qū)別，正確的是（）A.橢圓上的點到兩焦點距離之和為定值，雙曲線上的點到兩焦點距離之差的絕對值為定值B.橢圓離心率\(e\in(0,1)\)，雙曲線離心率\(e\gt1\)C.橢圓有兩個焦點，雙曲線有四個焦點D.橢圓的漸近線方程為\(y=\pm\frac{a}x\)，雙曲線沒有漸近線10.拋物線\(y=ax^{2}(a\neq0)\)（）A.當(dāng)\(a\gt0\)時，開口向上B.當(dāng)\(a\lt0\)時，開口向下C.焦點坐標(biāo)為\((0,\frac{1}{4a})\)D.準(zhǔn)線方程為\(y=-\frac{1}{4a}\)三、判斷題（每題2分，共10題）1.橢圓\(\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1\)的焦點在\(x\)軸上。（）2.拋物線\(y^2=-8x\)的焦點坐標(biāo)是\((-2,0)\)。（）3.雙曲線\(\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{4}=1\)的離心率\(e=\sqrt{2}\)。（）4.橢圓上一點到兩焦點距離之和等于長軸長。（）5.拋物線\(x^2=4y\)的準(zhǔn)線方程是\(y=-1\)。（）6.雙曲線\(\frac{y^{2}}{9}-\frac{x^{2}}{16}=1\)的漸近線方程是\(y=\pm\frac{3}{4}x\)。（）7.橢圓\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)中，\(c^2=a^2-b^2\)。（）8.拋物線\(y=2x^{2}\)的焦點到準(zhǔn)線的距離為\(\frac{1}{4}\)。（）9.雙曲線的實軸長一定大于虛軸長。（）10.橢圓離心率越大，橢圓越扁。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.求橢圓\(\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1\)的長軸長、短軸長、焦距、離心率。2.寫出雙曲線\(\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1\)的焦點坐標(biāo)、漸近線方程。3.已知拋物線\(y^2=12x\)，求其焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程。4.橢圓\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)中，\(a=5\)，\(c=3\)，求\(b\)的值及離心率\(e\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論橢圓和雙曲線在定義、性質(zhì)上的主要區(qū)別與聯(lián)系。2.談?wù)剴佄锞€的性質(zhì)在實際生活中的應(yīng)用，舉例說明。3.如何根據(jù)圓錐曲線的方程判斷其類型、焦點位置及相關(guān)參數(shù)？4.對于給定的圓錐曲線方程，如何求其上一點到焦點的距離？請舉例說明。答案一、單項選擇題1.A2.A3.B4.B5.A6.B7.B8.C9.A10.B二、多項選擇題1.ABC2.ABCD3.ABC4.ACD5.BCD6.ABCD7.ABCD8.ABCD9.AB10.ABCD三、判斷題1.×2.√3.√4.√5.√6.×7.√8.√9.×10.√四、簡答題1.長軸長\(2a=10\)，短軸長\(2b=8\)，\(c^2=25-16=9\)，\(c=3\)，焦距\(2c=6\)，離心率\(e=\frac{c}{a}=\frac{3}{5}\)。2.焦點坐標(biāo)\((\pm5,0)\)，漸近線方程\(y=\pm\frac{4}{3}x\)。3.焦點坐標(biāo)\((3,0)\)，準(zhǔn)線方程\(x=-3\)。4.\(b^2=a^2-c^2=25-9=16\)，\(b=4\)，離心率\(e=\frac{c}{a}=\frac{3}{5}\)。五、討論題1.區(qū)別：定義上，橢圓是距離之和為定值，雙曲線是距離之差的絕對值為定值；性質(zhì)上，離心率范圍不同，橢圓\(e\in(0,1)\)，雙曲線\(e\gt1\)，且雙曲線有漸近線，橢圓沒有。聯(lián)系：都有兩個焦點，方程形式有相似之處。2.應(yīng)用如拋物線型的衛(wèi)星天線，利用其拋物面能將平行光線匯聚于焦點的性質(zhì)，提高信號接收能力；還有探照燈，將光源放在焦點處，光線經(jīng)拋物面反射后成平行光。3.根據(jù)方程形式判斷，\(x^2\)與\(y^2\)系數(shù)同號為橢圓，異號為雙曲線，只有一個二次項為拋物線。焦點位置看分母大小或二次項形式，進(jìn)而確定參數(shù)。例如橢圓