15.3.2等邊三角形第1課時(shí)等邊三角形的性質(zhì)與判定備課素材新課導(dǎo)人設(shè)計(jì)【情境導(dǎo)入】在一次探究活動(dòng)中，老師給同學(xué)們出了一道題目：“如果等腰三角形有一個(gè)角是60°，那么這個(gè)三角形的三邊有什么關(guān)系？”小明假設(shè)底角為60°，得出了三個(gè)角都是60°；小亮假設(shè)頂角為60°，也得出了三個(gè)角都是60°，根據(jù)“等角對(duì)等邊”，最后得出結(jié)論：三邊都相等．老師告訴他們：“這種三條邊都相等的三角形叫作等邊三角形．”小明、小亮也發(fā)表了自己的看法，小明認(rèn)為“三條邊都相等的三角形是等邊三角形，而不是等腰三角形”；小亮認(rèn)為“等邊三角形也是等腰三角形，只是比一般的等腰三角形特殊而已”．誰(shuí)的看法更有道理呢？教學(xué)設(shè)計(jì)課題15.3.2第1課時(shí)等邊三角形的性質(zhì)與判定授課人素養(yǎng)目標(biāo)1.能夠準(zhǔn)確理解等邊三角形的定義，明晰等邊三角形與等腰三角形的關(guān)系．2．全面掌握等邊三角形的性質(zhì)，包括邊、角及重要線段的特征；熟練運(yùn)用等邊三角形的判定方法，準(zhǔn)確判定一個(gè)三角形是否為等邊三角形．3．能夠靈活運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)與判定，高效解決相關(guān)的幾何計(jì)算和證明問(wèn)題.教學(xué)重點(diǎn)探究等邊三角形的性質(zhì)與判定方法，并能進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用.教學(xué)難點(diǎn)等邊三角形的性質(zhì)與判定的應(yīng)用.授課類型新授課課時(shí)教學(xué)活動(dòng)教學(xué)步驟師生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖回顧前面我們學(xué)習(xí)了等腰三角形的性質(zhì)與判定，請(qǐng)回答下面的問(wèn)題：1．?dāng)⑹龅妊切蔚男再|(zhì)，它是怎么得到的？2．?dāng)⑹龅妊切蔚呐卸?，它是怎么得到的？學(xué)生回憶并回答，為學(xué)習(xí)本節(jié)課做鋪墊.活動(dòng)一：創(chuàng)設(shè)情境、導(dǎo)入新課【課堂引入】在等腰三角形中，有一種特殊的等腰三角形，它的三條邊都相等，我們把這樣的三角形叫作等邊三角形．觀察與討論：如圖，把等腰三角形的性質(zhì)用于等邊三角形，能得到什么結(jié)論？學(xué)生回答：三條邊都相等的三角形叫作等邊三角形，它是一種特殊的等腰三角形．怎樣判定一個(gè)三角形是等邊三角形呢？今天我們來(lái)研究等邊三角形的性質(zhì)與判定.明確等邊三角形是特殊的等腰三角形，引發(fā)學(xué)生探尋其更多的性質(zhì).續(xù)表教學(xué)步驟師生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖活動(dòng)二：實(shí)踐探究、交流新知【探究新知】一、等邊三角形具有什么性質(zhì)呢？1．用量角器量出等邊三角形各個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，并提出猜想．2．你能否用已知的知識(shí)通過(guò)推理得到你的猜想是正確的？等邊三角形是特殊的等腰三角形，由等腰三角形“等邊對(duì)等角”的性質(zhì)得到三個(gè)角內(nèi)都相等，又由三角形的內(nèi)角和等于180°，從而推出每個(gè)內(nèi)角都等于60°.3．上面的條件和結(jié)論如何敘述？等邊三角形的三個(gè)角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°.等邊三角形是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，有幾條對(duì)稱軸？二、如何判定一個(gè)三角形是等邊三角形？1．在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C，你能得到AB＝BC＝CA嗎？為什么？2．求證：有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形．在學(xué)生充分討論的基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生利用口頭證明等方法，歸納等邊三角形的判定方法：(1)三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形．(2)有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形.1.學(xué)生通過(guò)觀察、思考、證明、歸納，培養(yǎng)自身的語(yǔ)言表達(dá)能力、觀察能力和歸納能力，養(yǎng)成自覺(jué)探索幾何命題的良好習(xí)慣．2．教師引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手，發(fā)現(xiàn)等邊三角形三個(gè)角的關(guān)系，讓學(xué)生經(jīng)歷觀察—實(shí)踐—猜想—證明的創(chuàng)新思維過(guò)程.活動(dòng)三：開(kāi)放訓(xùn)練、體現(xiàn)應(yīng)用 【典型例題】例1(教材第82頁(yè)例4)如圖，△ABC是等邊三角形，DE∥BC，分別交AB，AC于點(diǎn)D，E.求證：△ADE是等邊三角形．證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝∠B＝∠C.∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C.∴∠A＝∠ADE＝∠AED.∴△ADE是等邊三角形．想一想：本題還有其他證法嗎？例2如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，過(guò)點(diǎn)D作DE∥AB，交AC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥DE，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.(1)求∠F的度數(shù)；(2)求證：CD＝CF.解：(1)∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝60°.∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°.∵DE⊥EF，∴∠DEF＝90°.∴∠F＝180°－∠DEF－∠EDC＝180°－90°－60°＝30°.(2)證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝∠ACB＝60°.∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°.∴∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°.∴△DEC是等邊三角形．∴CE＝CD.∵∠ECD＝∠F＋∠CEF，∠F＝30°，∴∠CEF＝∠F＝30°.∴CE＝CF.∴CD＝CF.師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考，舉手回答，師生交流心得和方法.初步運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)與判定，讓學(xué)生經(jīng)歷運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的過(guò)程，從而給學(xué)生一種通過(guò)自己思考獲得成功的成就感，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性.續(xù)表教學(xué)步驟師生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖活動(dòng)三：開(kāi)放訓(xùn)練、體現(xiàn)應(yīng)用【變式訓(xùn)練】如圖，△ABC，△CDE都是等邊三角形，AD，BE相交于點(diǎn)O，M，N分別是線段AD，BE的中點(diǎn)．(1)求證：AD＝BE；(2)求∠DOE的度數(shù)；(3)求證：△MNC是等邊三角形．解：(1)證明：∵△ABC，△CDE都是等邊三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°.∴∠ACB＋∠BCD＝∠DCE＋∠BCD，即∠ACD＝∠BCE.在△ACD和△BCE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AC＝BC，,∠ACD＝∠BCE，,CD＝CE，))∴△ACD≌△BCE(SAS)．∴AD＝BE.(2)∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC＝∠BEC.∵△DCE為等邊三角形，∴∠CED＝∠CDE＝60°，∴∠ADE＋∠BED＝∠ADC＋∠CDE＋∠BED＝∠ADC＋∠BED＋60°＝∠BEC＋∠BED＋60°＝∠CED＋60°＝60°＋60°＝120°.∴∠DOE＝180°－(∠ADE＋∠BED)＝60°.(3)證明：∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD＝∠CBE，AD＝BE.∵M(jìn)，N分別是線段AD，BE的中點(diǎn)，∴AM＝eq\f(1,2)AD，BN＝eq\f(1,2)BE.∴AM＝BN.在△ACM和△BCN中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AC＝BC，,∠CAM＝∠CBN，,AM＝BN，))∴△ACM≌△BCN(SAS)．∴CM＝CN，∠ACM＝∠BCN.又∵∠ACB＝60°，∴∠ACM＋∠MCB＝60°.∴∠BCN＋∠MCB＝60°.∴∠MCN＝60°.∴△MNC是等邊三角形.活動(dòng)四：課堂檢測(cè)【課堂檢測(cè)】1．下列三角形，不一定是等邊三角形的是(C)A．三個(gè)角都相等的三角形B．有兩個(gè)角等于60°的三角形C．一邊上的高也是這邊上的中線的三角形D．有一個(gè)外角等于120°的等腰三角形2．在△ABC中，已知AB＝AC＝4cm，∠A＝60°，則△ABC的周長(zhǎng)為12cm.續(xù)表教學(xué)步驟師生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖活動(dòng)四：課堂檢測(cè)3.如圖，M，N是△ABC的邊BC上的兩點(diǎn)，且BM＝MN＝NC＝AM＝AN，則∠BAN＝90°．4．如圖，在等邊三角形ABC中，AB＝9cm，點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿邊CB向點(diǎn)B以2cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿邊BA向點(diǎn)A以5cm/s的速度移動(dòng)．P，Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，它們移動(dòng)的時(shí)間為ts.(1)請(qǐng)用含t的代數(shù)式表示BP和BQ的長(zhǎng)度；(2)請(qǐng)問(wèn)移動(dòng)幾秒后，△PBQ為等邊三角形？解：(1)∵△ABC是等邊三角形，∴BC＝AB＝9cm.∵點(diǎn)P的速度為2cm/s，時(shí)間為ts，∴CP＝2tcm.∴BP＝BC－CP＝(9－2t)cm.∵點(diǎn)Q的速度為5cm/s，時(shí)間為ts，∴BQ＝5tcm.(2)若△PBQ為等邊三角形，則BP＝BQ，即9－2t＝5t，解得t＝eq\f(9,7).∴當(dāng)t＝eq\f(9,7)時(shí)，△PBQ為等邊三角形．師生活動(dòng)：學(xué)生進(jìn)行當(dāng)堂檢測(cè)，完成后，教師進(jìn)行批閱、點(diǎn)評(píng)、講解.課堂檢測(cè)是為了加深學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解和運(yùn)用，在問(wèn)題的選擇上以基礎(chǔ)為主，分層次進(jìn)行檢測(cè)，使學(xué)生思維得到拓展，能力得以提升.課堂小結(jié)1.課堂小結(jié)：(1)等邊三角形的性質(zhì)與判定方法分別有哪些？(2)等邊三角形及其性質(zhì)與判定和等腰三角形有什么關(guān)系？2．布置作業(yè)：教材第82頁(yè)練習(xí)第1，2題，第84～85頁(yè)習(xí)題15.3第5，10，11題.注重課堂小結(jié)，激發(fā)學(xué)生參與課堂總結(jié)的主動(dòng)性，為每一個(gè)學(xué)生的發(fā)展與表現(xiàn)創(chuàng)造機(jī)會(huì).板書設(shè)計(jì)15.3.2等邊三角形第1課時(shí)等邊三角形的性質(zhì)與判定1．等邊三角形的性質(zhì)．2．等邊三角形的判定方法.提綱挈領(lǐng)，重點(diǎn)突出.教學(xué)反思在本節(jié)課的教學(xué)過(guò)程中，通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生回顧等腰三角形的知識(shí)，類比探究等邊三角形的性質(zhì)與判定，大部分學(xué)生能夠積極參與課堂活動(dòng)，掌握基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法．但在例題講解和課堂練習(xí)環(huán)節(jié)，發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生在將等邊三角形的性質(zhì)與判定和其他幾何知識(shí)綜合運(yùn)用時(shí)，存在一定困難，需要在今后的教學(xué)中加強(qiáng)練習(xí)和指導(dǎo)．同時(shí)，在小組合作學(xué)習(xí)中，個(gè)別小組的討論效率不高，需要進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的合作學(xué)習(xí)能力和團(tuán)隊(duì)協(xié)作精神.反思教學(xué)過(guò)程和教師表現(xiàn)，進(jìn)一步優(yōu)化操作流程和提高自身素質(zhì).

第2課時(shí)含30°角的直角三角形的性質(zhì)備課素材新課導(dǎo)人設(shè)計(jì)【情境導(dǎo)入】如圖，一艘輪船從A處出發(fā)，以10nmile/h的速度向正北方向航行，從A處測(cè)得一礁石C在北偏西30°的方向上．已知這艘船上午8：00從A處出發(fā)，10：00到達(dá)B處，從B處測(cè)得礁石C在北偏西60°的方向上．(1)畫出礁石C的大致位置；(2)輪船繼續(xù)航行多久，測(cè)得礁石C在正西方向？教學(xué)設(shè)計(jì)課題15.3.2第2課時(shí)含30°角的直角三角形的性質(zhì)授課人素養(yǎng)目標(biāo)1.理解并掌握含30°角的直角三角形的性質(zhì)．2．通過(guò)探究含30°角的直角三角形的性質(zhì)的過(guò)程，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)特殊直角三角形的認(rèn)識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．3．能夠熟練運(yùn)用該性質(zhì)進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算和證明，解決一些簡(jiǎn)單的幾何問(wèn)題.教學(xué)重點(diǎn)含30°角的直角三角形的性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)與運(yùn)用.教學(xué)難點(diǎn)含30°角的直角三角形的性質(zhì)與其他知識(shí)的綜合運(yùn)用.授課類型新授課課時(shí)教學(xué)活動(dòng)教學(xué)步驟師生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖回顧1.等邊三角形的性質(zhì)與判定方法有哪些？2．在△ABC中，∠A＝60°，請(qǐng)補(bǔ)充一個(gè)條件，使△ABC是等邊三角形．學(xué)生回憶并作答.復(fù)習(xí)鞏固，為本節(jié)課做鋪墊.活動(dòng)一：創(chuàng)設(shè)情境、導(dǎo)入新課【課堂引入】1．請(qǐng)同學(xué)們準(zhǔn)備好兩個(gè)全等的含30°角的直角三角尺，把相等的邊拼在一起組成平面圖形，有幾種拼法？2．探究：在這些圖形中，軸對(duì)稱圖形有________個(gè)，其中三角形有________個(gè)，各是一個(gè)怎樣的三角形？說(shuō)說(shuō)你的理由．3．你能借助如下拼出的△ABD，找到含30°角的Rt△ABC的直角邊BC與斜邊AB之間有什么數(shù)量關(guān)系嗎？1.提出問(wèn)題，創(chuàng)設(shè)情境．2．學(xué)生經(jīng)歷拼擺三角尺和度量三角尺的活動(dòng)，發(fā)現(xiàn)結(jié)論，同時(shí)復(fù)習(xí)鞏固軸對(duì)稱、等腰三角形、等邊三角形的概念及其性質(zhì)，加強(qiáng)知識(shí)間的聯(lián)系.續(xù)表教學(xué)步驟師生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖活動(dòng)二：實(shí)踐探究、交流新知【探究新知】1．將兩個(gè)含30°角的三角尺按如圖所示的方式擺放在一起，觀察并回答下面的問(wèn)題：(1)判斷△ABD的形狀，依據(jù)是什么？(2)線段BC與CD有什么數(shù)量關(guān)系？為什么？(3)線段BC與AB有什么數(shù)量關(guān)系？為什么？你能歸納含30°角的直角三角形的性質(zhì)嗎？師生活動(dòng)：學(xué)生觀察、思考、猜測(cè)、歸納結(jié)論．教師給出含30°角的直角三角形性質(zhì)的準(zhǔn)確描述，并板書性質(zhì)．歸納：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．2．問(wèn)題：我們僅憑實(shí)際操作得出的結(jié)論還需證明嗎？在直角三角形中，如果有一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．其題設(shè)和結(jié)論分別是什么？如何用數(shù)學(xué)符號(hào)來(lái)表達(dá)？如何證明？師生活動(dòng)：學(xué)生分析題設(shè)和結(jié)論，并轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)符號(hào)；教師糾正和補(bǔ)充學(xué)生的發(fā)言，引導(dǎo)學(xué)生從三角尺的擺拼過(guò)程中得到啟發(fā)．延長(zhǎng)BC至點(diǎn)D，使CD＝BC，連接AD.學(xué)生分組討論證明過(guò)程，板書演示．教師指導(dǎo)、糾錯(cuò)．3．總結(jié)：該性質(zhì)的適用范圍是什么？(直角三角形)運(yùn)用該性質(zhì)可求什么？(計(jì)算和證明線段的倍分，揭示了含30°角的直角三角形中邊的數(shù)量關(guān)系的特殊性)1.通過(guò)實(shí)踐操作，培養(yǎng)學(xué)生從一般到特殊轉(zhuǎn)化的思想．2．學(xué)生通過(guò)觀察、思考、猜測(cè)、證明、歸納，培養(yǎng)自身的語(yǔ)言表達(dá)能力、觀察能力和歸納能力，使學(xué)生養(yǎng)成自覺(jué)探索幾何命題的良好習(xí)慣.活動(dòng)三：開(kāi)放訓(xùn)練、體現(xiàn)應(yīng)用【典型例題】例1(教材第83頁(yè)例5)如圖，這是屋架設(shè)計(jì)圖的一部分，點(diǎn)D是斜梁AB的中點(diǎn)，立柱BC，DE垂直于橫梁AC，AB＝7.4m，∠A＝30°.求立柱BC，DE的長(zhǎng)．解：∵DE⊥AC，BC⊥AC，∠A＝30°，∴BC＝eq\f(1,2)AB，DE＝eq\f(1,2)AD.∴BC＝eq\f(1,2)×7.4＝3.7(m)．又∵AD＝eq\f(1,2)AB，∴DE＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(1,2)×3.7＝1.85(m)．答：立柱BC的長(zhǎng)是3.7m，DE的長(zhǎng)是1.85m.讓學(xué)生體會(huì)特殊形狀的三角形通過(guò)角的關(guān)系可以轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，同樣通過(guò)邊的關(guān)系也可以轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系．考查學(xué)生對(duì)含30°角的直角三角形的性質(zhì)的掌握.續(xù)表教學(xué)步驟師生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖活動(dòng)三：開(kāi)放訓(xùn)練、體現(xiàn)應(yīng)用例2上午8時(shí)，一條船從港口A出發(fā)，以15海里/時(shí)的速度向正北方向航行，10時(shí)到達(dá)海島B處，從A，B兩處望燈塔C，分別測(cè)得∠NAC＝15°，∠NBC＝30°.若該船從海島B繼續(xù)向正北方向航行，求航行過(guò)程中船與燈塔C的最小距離．解：過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AN.根據(jù)題意，得AB＝15×2＝30(海里)，當(dāng)船行駛到點(diǎn)D時(shí)，與燈塔的距離最小，即為CD的長(zhǎng)度．∵∠NAC＝15°，∠NBC＝30°，∴∠ACB＝∠NBC－∠NAC＝15°.∴∠NAC＝∠ACB.∴BC＝AB＝30海里．∵CD⊥AN，∠NBC＝30°，∴CD＝eq\f(1,2)BC＝15海里．∴航行過(guò)程中船與燈塔C的最小距離為15海里．【變式訓(xùn)練】如圖，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D為BC的中點(diǎn)，DE⊥AB于E.求證：AE＝eq\f(1,4)AB.證明：連接AD.∵AB＝AC，D為BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，∠B＝∠C.∴∠B＋∠BAD＝90°.∵∠BAC＝120°，∴∠B＝eq\f(1,2)(180°－∠BAC)＝30°.∵DE⊥AB，∴∠ADE＋∠BAD＝90°.∴∠ADE＝∠B＝30°.在Rt△ABD中，∠B＝30°，∴AD＝eq\f(1,2)AB.在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，∴AE＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,4)AB.師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考，舉手回答，師生交流心得和方法.續(xù)表教學(xué)步驟師生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖活動(dòng)四：課堂檢測(cè)【課堂檢測(cè)】1．如圖，△ABC是等邊三角形，D是邊BC上一點(diǎn)，DE⊥AC于點(diǎn)E.若EC＝3，則DC的長(zhǎng)為(C)A．4B．5C．6D．7第1題圖)第2題圖)2．如圖，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB，垂足為D，則AD與BD的比為(B)A．2∶1B．3∶1C．4∶1D．5∶13．如圖，△ABC是等邊三角形，BD平分∠ABC，交AC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作EF⊥AB于點(diǎn)E，交邊BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.若AE＝2，求BF的長(zhǎng)．解：∵△ABC是等邊三角形，BD平分∠ABC，∴∠A＝∠ACB＝60°，AC＝BC，AD＝C