五年制高等職業(yè)教育公共基礎(chǔ)課程教材《數(shù)學(xué)（第五冊(cè)）》教案課題23.2.2定積分的定義授課時(shí)間學(xué)習(xí)目標(biāo)通過(guò)具體實(shí)例，理解定積分的概念，掌握定積分表達(dá)式中的數(shù)學(xué)符號(hào)；2.了解定積分存在的條件，知道什么樣的函數(shù)的定積分是存在的；3.會(huì)計(jì)算簡(jiǎn)單函數(shù)在給定區(qū)間上的定積分，體會(huì)積分的思想方法.教學(xué)重點(diǎn)定積分的概念及計(jì)算教學(xué)難點(diǎn)定積分與實(shí)際問(wèn)題的聯(lián)系教學(xué)準(zhǔn)備PPT教學(xué)過(guò)程教學(xué)內(nèi)容一、問(wèn)題探究教師活動(dòng)問(wèn)題探究設(shè)某物體作直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，已知速度是時(shí)間區(qū)間上的一個(gè)連續(xù)函數(shù)，且，如何求物體在這段時(shí)間內(nèi)所經(jīng)過(guò)的路程？這是一個(gè)典型的求變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)路程的問(wèn)題.我們知道，對(duì)于勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，路程=速度時(shí)間.但是，現(xiàn)在速度隨時(shí)間而變化，在很短一段時(shí)間內(nèi)，其速度變化也很小，可近似看作勻速的情形.因此，把整段時(shí)間分割成若干小段，每個(gè)時(shí)間段上以勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)代替變速運(yùn)動(dòng)，則可以計(jì)算出在每個(gè)小時(shí)間段內(nèi)路程的近似值，再求出各個(gè)小時(shí)間段的路程和，便得到整個(gè)路程的近似值，最后通過(guò)求極限得到路程的精確值，具體步驟如下：（1）分割.如圖23-6，在時(shí)間間隔中任意插入個(gè)分點(diǎn)：，把T1，T2分成記第個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為，即?ti=ti在每個(gè)小時(shí)間段ti?1，ti上任取τi，以時(shí)刻τi的速度vτ學(xué)生活動(dòng)通過(guò)具體實(shí)例，體會(huì)“分割、求和、取極限”的積分思想方法.教學(xué)過(guò)程教學(xué)內(nèi)容教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)二、抽象概括三、合作交流.（2）求和.將這樣得到的n個(gè)小時(shí)間段上路程的近似值之和作為所求變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)路程的近似值，即.（3）取極限.設(shè)，當(dāng)時(shí)，取上述和式的極限，便得到變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)路程的精確值.可以看出，求曲邊梯形面積的幾何問(wèn)題、求變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)路程的物理問(wèn)題等，盡管實(shí)際背景完全不同，但通過(guò)“分割、求和、取極限”，最終都?xì)w結(jié)為和式的極限.由此，可以給出定積分的定義.抽象概括定義23.3設(shè)函數(shù)在上有定義，任取分點(diǎn)滿(mǎn)足，將區(qū)間分成個(gè)小區(qū)間，其長(zhǎng)度為．在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)(xi?1≤ξi≤xi)，作乘積的和式．如果不論對(duì)區(qū)間采取何種分法以及如何選取，當(dāng)最大小區(qū)間的長(zhǎng)度趨向于零時(shí)，上面和式極限存在，則稱(chēng)此極限為函數(shù)在區(qū)間上的定積分，記作，即.其中稱(chēng)為被積函數(shù)，稱(chēng)為被積表達(dá)式，稱(chēng)為積分變量，與分別稱(chēng)為積分的下限與上限，稱(chēng)為積分區(qū)間．如果函數(shù)在區(qū)間上的定積分存在，則稱(chēng)在區(qū)間上可積，否則稱(chēng)在區(qū)間上不可積．合作交流根據(jù)定積分定義，將函數(shù)的圖象與直線(xiàn)和軸所圍成平面圖形的面積用定積分表示.關(guān)于定積分的概念，還應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：(1)定積分是一個(gè)和式的極限，是一個(gè)確定的常量．定積分的值只與被積函數(shù)和積分區(qū)間有關(guān)，而與積分變量使用的字母無(wú)關(guān)，即有通過(guò)曲邊梯形面積的幾何問(wèn)題、求變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)路程的物理問(wèn)題等，進(jìn)一步加深積分思想方法.理解定積分的概念，掌握定積分表達(dá)式中的數(shù)學(xué)符號(hào).了解定積分存在的條件，知道什么樣的函數(shù)的定積分是存在的.利用定積分d的知識(shí)，解決問(wèn)題.深刻理解定積分是一個(gè)和式的極限，是一個(gè)確定的常量.教學(xué)過(guò)程教學(xué)內(nèi)容教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)四、例題講析五、課內(nèi)練習(xí)七、課堂小結(jié)(2)定義中區(qū)間的分法和的取法是任意的.(3)在定積分的定義中，總假定，如果,規(guī)定,即互換定積分的上、下限，定積分變號(hào).特別地,四、例題講析例3根據(jù)定義計(jì)算定積分五、課內(nèi)練習(xí)1.根據(jù)定積分的定義，證明：若，則.2.根據(jù)定義計(jì)算定積分七、課堂小結(jié)1.理解定積分的概念，掌握定積分表達(dá)式中的數(shù)學(xué)符號(hào)；2.了解定積分存在的條件，知道什么樣的函數(shù)的定積