集合、區(qū)間與充要條件專題集合、區(qū)間與充要條件1.3充要條件

知識(shí)點(diǎn)1

充分不必要條件

若由條件p成立推出結(jié)論q成立，則把條件p叫作結(jié)論q的充分條件，記作

p?q.在p?q的情況下，p?/

q，則把條件p叫作結(jié)論q的充分不必要條件.知識(shí)點(diǎn)2

必要不充分條件

若由結(jié)論q成立推出條件p成立，則把條件p叫作結(jié)論q的必要條件，記作

p?q.在p?q的情況下，p?/

q，則把條件p叫作結(jié)論q的必要不充分條件.知識(shí)點(diǎn)3

充要條件

若p?q且p?q，則把條件p叫作結(jié)論q的充要條件，記作p?q.注：如果p?/

q，且q?/

p，則p是q的既不充分也不必要條件.

例1

（2023年安徽省職教高考真題）“x＝y(tǒng)”是“｜x｜＝｜y｜”的

（）.A.

充分不必要條件B.

必要不充分條件C.

充要條件D.

既不充分也不必要條件【考查目標(biāo)】本題考查條件的判斷.【解析】由“x＝y(tǒng)”可推出“｜x｜＝｜y｜”成立；而由“｜x｜＝｜y｜”

可推出“x＝y(tǒng)”或“x＝－y”成立，故“x＝y(tǒng)”是“｜x｜＝｜y｜”的充

分不必要條件.【答案】

A變式訓(xùn)練1（1）（2020年安徽省職教高考真題）“x＝1”是“x＞0”的（A）.A.

充分條件B.

必要條件C.

充要條件D.

既不充分也不必要條件【解析】由x＝1可以推出x＞0，而x＞0不可以推出x＝1，故“x＝1”是“x

＞0”的充分條件.（2）（2021年安徽省職教高考真題）“a＞1”是“a2＞1”的（A）.A.

充分條件B.

必要條件C.

充要條件D.

既不充分也不必要條件【解析】由a＞1能推出a2＞1，而由a2＞1得出a＞1或a＜－1.所以“a＞1”是

“a2＞1”的充分條件.AA（3）（2022年安徽省職教高考真題）“x＝2”是“－1＜x≤3”的（A）.A.

充分條件B.

必要條件C.

充要條件D.

既不充分也不必要條件【解析】因?yàn)閤＝2可以推出－1＜x≤3，而－1＜x≤3不可以推出x＝2，所以

“x＝2”是“－1＜x≤3”的充分條件.A例2

指出下列各組命題中的p是q的什么條件.（1）p：x2－1＝0，q：｜x｜－1＝0；【解析】根據(jù)充分不必要條件、必要不充分條件、充要條件的定義進(jìn)行推

理判斷.（1）解x2－1＝0，得x＝±1；解｜x｜－1＝0，得x＝±1，所以p是q的充要

條件.（2）p：0≤a－1＜2，q：0≤a＜4；【解析】

（2）0≤a－1＜2?1≤a＜3，因?yàn)?≤a＜3?0≤a＜4，但0≤a＜

4?/

1≤a＜3，所以p是q的充分不必要條件.（3）p：a，b是實(shí)數(shù)且a＞b，q：a2＞b2；【解析】

（3）a，b是實(shí)數(shù)且a＞b?/

a2＞b2，且a2＞b2?/

a，b是實(shí)數(shù)且

a＞b，所以p是q的既不充分也不必要條件.（4）p：三角形是等腰三角形，q：三角形是等邊三角形.【解析】

（4）等腰三角形不一定是等邊三角形，但等邊三角形一定是等腰三角

形，故p是q的必要不充分條件.【考查目標(biāo)】本題考查條件判斷.【解題技巧】在進(jìn)行充分條件與必要條件的判斷時(shí)，若p是q的充分條件，則

p?q；若p是q的必要條件，則p?q；若p是q的充要條件，則p?q；若p是

q的既不充分也不必要條件，則p?/

q且q?/

p.變式訓(xùn)練2（1）（2023屆安徽省“江淮十?！甭毥谈呖嫉谝淮温?lián)考）“a，b是偶數(shù)”是

“a＋b是偶數(shù)”的（A）.A.

充分不必要條件B.

必要不充分條件C.

充要條件D.

既不充分也不必要條件【解析】因?yàn)閍，b是偶數(shù)，兩個(gè)偶數(shù)的和一定是偶數(shù)，所以“a，b是偶數(shù)”

能推出“a＋b是偶數(shù)”；如果兩個(gè)數(shù)的和是偶數(shù)，那么這兩個(gè)數(shù)可以都是偶數(shù)

也可以都是奇數(shù)，所以“a，b是偶數(shù)”是“a＋b是偶數(shù)”的充分不必要條件.A（2）指出下列各組命題中條件p是結(jié)論q的什么條件.①p：｜x｜＞1，q：x＞1；解：①解｜x｜＞1，得x＞1或x＜－1，即｜x｜＞1?/x＞1，但x＞1?｜x｜

＞1，所以p是q的必要不充分條件.②p：m≥2，q：方程x2＋2x＋m＝0無(wú)實(shí)數(shù)解；解：②當(dāng)方程x2＋2x＋m＝0無(wú)實(shí)數(shù)解時(shí)，Δ＜0，即4－4m＜0，解得m＞1.因

為m≥2?m＞1，但m＞1?/m≥2，所以p是q的充分不必要條件.

例3

（2024年安徽省職教高考真題）“x＞2”是“x＞1”的（）.A.

充分不必要條件B.

必要不充分條件C.

充要條件D.

既不充分也不必要條件【考查目標(biāo)】本題考查條件的判斷.【解析】

當(dāng)x＞2時(shí)，一定有x＞1；但當(dāng)x＞1時(shí)，不一定有x＞2.故“x＞2”

是“x＞1”的充分不必要條件.【答案】

A【解題技巧】充要條件可按照集合范圍的大小和元素?cái)?shù)量的多少來(lái)理解.（1）充分條件從集合范圍角度：若A是B的充分不必要條件，則A所對(duì)應(yīng)的集合是B所對(duì)應(yīng)集

合的真子集，即A?B.

這意味著A的范圍比B小，A中的元素都在B中，但B中

存在一些元素不在A中.從元素?cái)?shù)量角度：若A是B的充分不必要條件，則A集合

中的元素?cái)?shù)量比B集合中的元素?cái)?shù)量少.（2）必要條件從集合范圍角度：若A是B的必要不充分條件，則B所對(duì)應(yīng)的集合是A所對(duì)應(yīng)集

合的真子集，即B?A.

也就是說(shuō)B的范圍比A小，B中的元素都在A中，但A中

存在一些元素不在B中.從元素?cái)?shù)量角度：若A是B的必要不充分條件，則B集合

中的元素?cái)?shù)量比A集合中的元素?cái)?shù)量少.即判斷充要條件可以利用“從小范圍到大范圍”“從數(shù)量少到數(shù)量多”的方法.注：【充要條件的解題口訣】充分條件前推后，必要條件后推前，充要條件

兩頭推.變式訓(xùn)練3（1）（2018年安徽省職教高考真題）設(shè)A，B為兩個(gè)非空的集合，且B?A，則

“x∈A”是“x∈B”的（B）.A.

充分條件B.

必要條件C.

充要條件D.

既不充分也不必要條件【解析】因?yàn)锳，B是兩個(gè)非空集合，且B?A，由子集的概念可知，

x∈B?x∈A，反之則不確定，所以“x∈A”是“x∈B”的必要條件.B（2）（2023屆安徽省“江淮十?！甭毥谈呖嫉诙温?lián)考）已知集合A＝（0，3]，集合B＝（0，2]，則“n∈A”是“n∈B”的（B）.A.

充分不必要條件B.

必要不充分條件C.

充要條件D.

既不充分也不必要條件B【解析】因?yàn)榧螧＝（0，2]中的元素一定在集合A＝（0，3]中，反之則不一

定，所以“n∈A”是“n∈B”的必要不充分條件.（3）已知集合A＝{x｜x＞2m2－4}，集合B＝{x｜－2＜x＜2}.若“x∈A”

是“x∈B”的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解：因?yàn)椤皒∈A”是“x∈B”的必要不充分條件，所以B?A，即2m2－4≤

－2，解得－1≤m≤1，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為[－1，1].

一、選擇題1.

“x＝2”是“｜x｜＝2”的（A）.A.

充分不必要條件B.

必要不充分條件C.

充要條件D.

既不充分也不必要條件【解析】因?yàn)閤＝2?｜x｜＝2，｜x｜＝2?x＝±2，即｜x｜＝2?/x＝2，所

以“x＝2”是“｜x｜＝2”的充分不必要條件.A2.

已知集合A＝（a－1，a），集合B＝[1，3].若“x∈A”是“x∈B”的充

分不必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（B）.A.[1，3]B.[2，3]C.

（1，3）D.

（2，3）

B

A.

充分不必要條件B.

必要不充分條件C.

充要條件D.

既不充分也不必要條件

A4.

“x＞1”是“x＞6”的（B）.A.

充分不必要條件B.

必要不充分條件C.

充要條件D.

既不充分也不必要條件【解析】因?yàn)閤＞1?/x＞6，而x＞6?x＞1，所以“x＞1”是“x＞6”的必要

不充分條件.B5.

（2024屆安徽省“江淮十校”職教高考第七次聯(lián)考）已知a∈R，則“a＝1”

是“方程ax2＋2x＋1＝0的解集中只有一個(gè)元素”的（A）.A.

充分不必要條件B.

必要不充分條件C.

充要條件D.

既不充分也不必要條件

A6.

（2019年安徽省職教高考真題）“a－b＝0”是“a2－b2＝0”的（A）.A.

充分條件B.

必要條件C.

充要條件D.

既不充分也不必要條件【解析】由a－b＝0，得a＝b，由a2－b2＝0，得a＝±b，所以“a－b＝0”

是“a2－b2＝0”的充分條件.7.

“a＞0，b＞0”是“ab＜0”的（D）.A.

充分不必要條件B.

必要不充分條件C.

充要條件D.

既不充分也不必要條件【解析】當(dāng)a＞0，b＞0時(shí)，ab＞0，則a＞0，b＞0?/ab＜0；當(dāng)ab＜0時(shí)，a

＞0，b＜0或a＜0，b＞0，則ab＜0?/a＞0，b＞0，所以“a＞0，b＞0”是

“ab＜0”的既不充分也不必要條件.AD

A.

充分不必要條件B.

必要不充分條件C.

充要條件D.

既不充分也不必要條件

C9.

“四邊形ABCD是菱形”是“四邊形ABCD的四條邊相等”的（A）.A.

充分不必要條件B.

必要不充分條件C.

充要條件D.

既不充分也不必要條件【解析】由四邊形ABCD是菱形可得到四邊形ABCD的四條邊相等，但反過(guò)來(lái)卻

不成立，故選A.

A10.

（2025屆安徽省“江淮十校”職教高考第二次聯(lián)考）“（a－1）2＋｜1－b｜2＝0”是“ab＝1”的（A）.A.

充分不必要條件B.

必要不充分條件C.

充要條件D.

既不充分也不必要條件【解析】因?yàn)椋╝－1）2＋｜1－b｜2＝0，所以a＝b＝1，所以ab＝1，滿足充

分條件；當(dāng)a＝b＝－1時(shí)，滿足ab＝1，但（a－1）2＋｜1－b｜2≠0，不滿足

必要條件.所以“（a－1）2＋｜1－b｜2＝0”是“ab＝1”的充分不必要條件.A11.

已知p是q的充分不必要條件，r是q的必要不充分條件，s是r的必要不充分

條件，則p是s的（A）.A.

充分不必要條件B.

必要不充分條件C.

充要條件D.

既不充分也不必要條件A二、填空題12.

“x＞3”的

條件是“x＞4”.（填“充分不必要”“必要不

充分”或“充要”或“既不充分也不必要”）【解析】當(dāng)x＞4時(shí)，一定有x＞3；但當(dāng)x＞3時(shí)，不一定有x＞4.故“x＞4”是

“x＞3”的充分不必要條件，即“x＞3”的充分不必要條件是“x＞4”.13.

已知△ABC中，p：a2＋b2＝c2，q：∠C＝90°，則p是q的

?條