5.4計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)如果系統(tǒng)的狀態(tài)是完全可控的，而且狀態(tài)變量是可觀測(cè)的，可以用作反饋控制的。那么通過選擇合適的反饋增益矩陣，用狀態(tài)反饋方法，可將閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)配置在任意需要的位置，從而使控制系統(tǒng)具有優(yōu)良的動(dòng)態(tài)性能。下面，我們首先討論控制信號(hào)是標(biāo)量的條件下，證明系統(tǒng)的狀態(tài)完全可控是閉環(huán)極點(diǎn)能夠配置在Z平面上任意位置的必要且充足條件；其次討論求取狀態(tài)反饋增益矩陣的幾種方法；最后討論控制信號(hào)是向量的條件下，極點(diǎn)配置的設(shè)計(jì)問題。1．極點(diǎn)任意配置的必要與充足條件考慮圖5-19（a）所示的開環(huán)控制系統(tǒng)。它的狀態(tài)方程為

（5.82）其中x(k)為第k次采樣瞬時(shí)的狀態(tài)向量（n維向量）；

u(k)為第k次采樣瞬時(shí)的控制信號(hào)（標(biāo)量）。

G為nxn維矩陣；

H為nx1維矩陣。假定控制信號(hào)u(k)的幅值是無約束的，并選擇為其中K是狀態(tài)反饋增益矩陣1xn（矩陣）

于是系統(tǒng)成為圖5.19（b）所示的閉環(huán)控制系統(tǒng)

（5.83）圖5.19（a）開環(huán)控制系統(tǒng)；（b）的閉環(huán)控制系統(tǒng)而G-HK的特征值是閉環(huán)極點(diǎn)的期望值。現(xiàn)在證明系統(tǒng)的狀態(tài)完全可控是閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)任意配置的必要與充足條件。首先推導(dǎo)必要條件。

（5.84）假定方程式（5.82）所示系統(tǒng)的狀態(tài)不是完全可控的，于是可控性矩陣的秩一定小于n，即這意味著可控性矩陣中有q列線性獨(dú)立的向量，定義為q列線性獨(dú)立向量，并選擇為個(gè)附加向量，于是得到一個(gè)滿秩的變換矩陣：用矩陣P作為變換矩陣，并定義于是，有或

(5.85)(5.86)因?yàn)椋@里有q個(gè)線性獨(dú)立的向量，能夠使用凱萊一哈密頓（Cayley-Hamilton）定理表示為矩陣因?yàn)椋匠淌剑?.85）可以寫成使用簡(jiǎn)化符號(hào)，令于是，方程式（5.85）可寫成因此

（5.87）對(duì)于方程式（5.86），有

（5.88）

向量H可寫成為q個(gè)線性獨(dú)立的列向量，即因而，方程式（5.88）可以寫為于是

（5.89）其中現(xiàn)在考慮方程式（5.82）所示的閉環(huán)系統(tǒng)，它們特征方程式為令

或（5.90）其中是矩陣以及是矩陣。矩陣可寫為于是，閉環(huán)系統(tǒng)特征方程式經(jīng)過P陣變換后，能夠?qū)懗蓪⒎匠淌剑?.87），（5.89）和（5.90）代入上式，得

(5.91)方程式（5.91）表示矩陣能控制的q個(gè)特征值，但不能控制的個(gè)特征值，也就是說，的特征值不能由K來確定，由此可證明，系統(tǒng)狀態(tài)完全可控是控制矩陣的特征值（即閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)位置）的必要條件。下面來導(dǎo)出充足條件。如果系統(tǒng)的狀態(tài)是完全可控的，存在著一個(gè)矩陣K能使G-HK的特征值有任意的期望值，或配置閉環(huán)極點(diǎn)在任意期望的位置上。假設(shè)的期望特征值為，，…，；系統(tǒng)的期望特征方程式為

令，變換矩陣為

（5.92）其中（5.93）則證明：以3階系統(tǒng)為例，則或者（5.252）先證明

上式等號(hào)兩邊左求M陣，得

(5.253)（5.254）上式等號(hào)右邊為

根據(jù)caley-Hamilton定律，矩陣G滿足自身的特征方程式，即對(duì)3階系統(tǒng)，有

（5.255）利用（5.255）式，再乘H向量，(5.254)式右邊第3列，成為將上式代入（5.254）式中，得（5.253）式左邊由此，證明了（5.253）式成立。于是，再證明（5.252）式，即

（5.256）將（5.256）式的等號(hào)兩邊左乘W陣，得

（5.257）（5.257）式左邊為

（5.257）式右邊為

可見（5.256）式成立，也即（5.252）式成立。證畢。

令（5.94）于是

（5.95）特征方程式成為

（5.95）系統(tǒng)的期望特征方程式為

（5.96）使方程式（5.95）和(5.96)中，z相同階次項(xiàng)的系數(shù)相等，得

（5.97）因此，由方程式（5.94），得其中和是已知的系數(shù)以及T是已知的矩陣。因此，就能確定的反饋增益矩陣K。如果方程式(5.82)所示的系統(tǒng)是狀態(tài)完全可控的，于是對(duì)任意的極點(diǎn)配置，總可以找到所要求的反饋增益矩陣K，這就證明了系統(tǒng)的狀態(tài)完全可控是極點(diǎn)任意配置的充足條件。2．奧克曼（Ackermann）公式方程式（5.97）不是求狀態(tài)反饋增益矩陣的唯一形式，下面討論狀態(tài)反饋增益矩陣K的另一個(gè)形式，被稱為奧克曼公式。如果系統(tǒng)是狀態(tài)完全可控的，用狀態(tài)反饋，使期望閉環(huán)極點(diǎn)能配置在。這樣，期望特征方程式為

令

根據(jù)凱萊—哈密頓（Cayley-Hamilton）定理。若的特征多項(xiàng)式為那么，下述矩陣多項(xiàng)式必為零

上式表示滿足它自身的特征方程式。應(yīng)用凱萊—哈密頓定理，可推導(dǎo)出下述奧克曼公式。考慮到以下的等式對(duì)上述的n個(gè)方程分別乘上（其中），并相加后，得注意到因此，方程式（5.98）可改寫成

（5.99）它能寫成為

（5.98）因?yàn)橄到y(tǒng)的狀態(tài)是完全可控的，則可控性矩陣的秩為n以及它的逆陣存在，方程式（5.99）可改寫成上式能簡(jiǎn)化為方程式（5.100）給出了狀態(tài)反饋增益矩陣K。這個(gè)矩陣K的特別表達(dá)式，通常稱為奧克曼(Ackermann)公式。將上式的等號(hào)兩邊左乘[00…01]，得

(5.100)3．求狀態(tài)反饋增益矩陣的幾種方法一旦期望閉環(huán)極點(diǎn)被選定后，有4種不同的方法來求取相應(yīng)的狀態(tài)反饋增益矩陣，現(xiàn)說明如下：

（5.101）（1）按照方程式（5.97），矩陣K可表示為其中是原系統(tǒng)特征方程的系數(shù)，即以及是狀態(tài)反饋系統(tǒng)期望特征方程階的系數(shù)，即

矩陣T為其中M和W分別由方程式（5.92）、（5.93）給出。（2）按照奧克曼（Ackermann）公式，狀態(tài)反饋增益矩陣可表示為

(5.102)其中

(3)如果期望特征值是各不相同的，則狀態(tài)反饋增益矩陣K可以表示為其中向量滿足下述方程式

注意到，是矩陣的特征向量，即滿足下述方程式

(5.103)將上式的等號(hào)兩邊乘上，得因?yàn)榈米C明:

按照奧克曼（Ackermann）公式，狀態(tài)反饋增益矩陣可表示為

令因此，可得那么，方程式（5.262）可改寫為同理，可得因此，可得或（5.263）下面證明是矩陣的特征向量。因?yàn)?/p>

因?yàn)?，我們已證明過那么，方程式（5.264）可簡(jiǎn)化為

(5.104)對(duì)最少拍系統(tǒng)，，（證明參見本章附錄D），這時(shí)，方程式（5.103）可簡(jiǎn)化為其中代入到特征方程式于是,使這個(gè)特征方程式與下述期望特征方程式