遼寧省重點高中聯(lián)合體2024-2025學年高一下學期7月期末檢測數(shù)學試題一、單選題1．復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知向量，，則（

）A． B． C． D．3．記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，，，則C和a的值分別為（

）A．， B．， C．， D．，4．已知某扇形的周長為60，圓心角為4，則該扇形的面積為（

）A．75 B．150 C．200 D．4005．將函數(shù)的圖象上的每個點向右平移個單位長度，再向上平移個單位長度，并將所得圖象上的每個點的橫坐標不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，得到函數(shù)的圖象，則（

）A． B． C． D．6．在中，已知，，則面積的最大值為（

）．A．1 B． C．3 D．27．如圖，在直三棱柱中，，，點P為棱的中點，則點P到直線AB的距離為（

）A． B． C． D．8．已知直線族：與曲線在區(qū)間內(nèi)的圖象共有2025個交點，則（

）A． B．1013 C． D．1012二、多選題9．關于斜二測畫法，下列命題為真命題的有（

）A．平行關系在直觀圖與原圖中保持不變 B．斜二測畫法不會改變邊長比例C．斜二測畫法會改變直角關系 D．通過斜二測畫法得到的直觀圖和原圖的面積相等10．已知復數(shù)，是方程的兩個根，且在復平面內(nèi)，對應的點在對應的點的上方，為坐標原點，則（

）A． B．C． D．11．已知，則的取值可以為（

）A． B． C． D．三、填空題12．已知，則.13．已知邊長為4的菱形的一個內(nèi)角為，則．14．如圖，在三棱錐中，D為BC的中點，平面平面ABC，，，，三棱錐的體積為，則銳二面角的正切值為．

四、解答題15．已知平面向量，.(1)若⊥，求的值；(2)若，且與的夾角為銳角，求的取值范圍.16．如圖，已知正四面體，分別是棱的中點．

(1)證明：四邊形為菱形；(2)求異面直線與所成角的余弦值．17．在中，A是銳角，且.(1)求B；(2)設P是所在平面內(nèi)的一點，A，P位于直線BC兩側(cè)，若，且，求四邊形的面積.18．已知函數(shù).(1)若，求的最小正周期；(2)若在區(qū)間上有定義.（i）求的最大值；（ⅱ）若曲線至少有兩個對稱中心在區(qū)間上，求的取值范圍.19．①斜圓錐，顧名思義，即圓錐錐體中軸線被拉斜后所形成的錐體.保持圓錐的頂點到圓錐底面的距離不變，將頂點位置改變后，所得到的錐體即為斜圓錐.②祖暅原理指出：“冪勢既同，則積不容異”，意思是兩個同高的幾何體，如在等高處的截面積相等，則體積相等.(1)如圖，已知圓柱的上底面圓心為，下底面圓心為，圓錐的頂點為，底面與圓柱的下底面相同.是圓柱的上底面圓周上一點，將與圓柱下底面圓周上的點相連，記構成的封閉幾何體為斜圓錐.是平行于圓柱底面且與圓柱有交點的平面，A，B是圓柱下底面圓周上的兩點，.（i）證明：；（ii）證明：截所得的圖形為圓面；(2)已知斜圓錐的底面半徑為，底面中心與頂點的連線長度為，且其與底面所成的角為，求該斜圓錐的體積.

題號12345678910答案ACDCBBAAACACD題號11答案AD1．A計算得到，在復平面內(nèi)對應的點為，得到所在象限.【詳解】，故z在復平面內(nèi)對應的點為，位于第一象限.故選：A.2．C根據(jù)給定條件，利用向量夾角公式列式求解.【詳解】依題意，.故選：C3．D利用正弦定理求解.【詳解】由三角形內(nèi)角和可得，由正弦定理可得，解得.故選：D.4．C根據(jù)給定條件，利用扇形弧長及面積公式列式求解.【詳解】設該扇形的弧長、半徑分別為l，r，則，解得，所以該扇形的面積為.故選：C5．B根據(jù)三角函數(shù)圖象平移的規(guī)則進行求解即可.【詳解】將函數(shù)的圖象上的每個點向右平移個單位長度，再向上平移個單位長度，函數(shù)解析式變?yōu)?；將所得圖象上的每個點的橫坐標不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，可得函數(shù)的圖象.故選：B.6．B根據(jù)余弦定理結合基本不等式求出的最大值，再根據(jù)三角形的面積公式即可得解.【詳解】由題意可得，，設，，由余弦定理可得，所以，可得，當且僅當時取等號，所以，故面積的最大值為．故選：B．7．A根據(jù)直三棱柱條件，可判斷為等腰三角形，進而可求出點P到直線的距離.【詳解】因為，，點P為棱的中點，所以，所以，，所以為等腰三角形.設點P到直線AB的距離為h，因為，，則.故選：A.8．A畫出在區(qū)間內(nèi)的圖象，可知方程分別有兩個不同實根，且各根均不同，從而得到，求出答案.【詳解】當時，，當時，，當時，，…，由題意及曲線在區(qū)間內(nèi)的圖象，可知方程分別有兩個不同實根，且各根均不同，所以需滿足，所以.故選：A.9．AC根據(jù)斜二測畫法的性質(zhì)依次判斷即可．【詳解】對于選項A，根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則，平行關系在直觀圖與原圖中保持不變，故選項A正確；對于選項B，斜二測畫法可能會改變邊長比例，故選項B錯誤；對于選項C，斜二測畫法會改變直角關系，故選項C正確；對于選項D，直觀圖的面積是原圖面積的，故選項D錯誤．故選：AC．10．ACDA選項，計算出方程的兩根，從而得到；A正確；B選項，，利用向量數(shù)量積公式計算；C選項，計算得到，利用模長公式進行求解；D選項，計算出，利用復數(shù)的乘方運算法則求解.【詳解】A選項，方程的判別式，的兩根為，兩根對應的點分別為，故，A正確；B選項，，故，B錯誤；C選項，，，故，C正確；D選項，，故，D正確.故選：ACD11．AD根據(jù)正切的和角公式可得，把表示成關于的函數(shù)，進而可求出的范圍，轉(zhuǎn)化即可得到的范圍.【詳解】由題可得，整理得，所以，所以，又因為，所以.記，則，解得，故可能取值有，.故選：AD.12．10利用誘導公式可求得，利用誘導公式與同角三角函數(shù)的商數(shù)關系化簡即可.【詳解】由正切函數(shù)誘導公式可得，故.故答案為：1013．或由平面向量數(shù)量積的定義即可求解．【詳解】由題可知，或，若，則，若，則，故答案為：或．14．2過點P作，垂足為E，根據(jù)面面垂直，線面垂直及線線垂直的性質(zhì)得到為二面角的平面角，再結合錐體的體積公式及勾股定理即可求解．【詳解】如圖，在平面PAD內(nèi)，過點P作，垂足為E，因為平面平面ABC，又平面平面，平面PAD，所以平面ABC，又因為平面ABC，所以，因為，即，又，PD，平面PAD，所以平面PAD，又因為平面PAD，所以，又因為，所以為二面角的平面角，因為三棱錐的體積，解得，由勾股定理可得，所以二面角的正切值為．故答案為：．

15．(1)(2)且（1）根據(jù)向量垂直得到數(shù)量積為0，得到，齊次化變形，代入求值；（2）計算出，利用夾角為銳角，得到且與不同向共線，從而得到不等式，求出答案.【詳解】（1）⊥，故，故，；（2），，，與的夾角為銳角，故，解得，且與不同向共線，即，即，綜上，且；16．(1)證明見解析；(2).（1）利用中位線即可求證四邊形為平行四邊形，再求證即可；（2）根據(jù)異面直線所成角的定義找出或其補角為所求角，在中利用余弦定理求得即可.【詳解】（1）由題知，為的中位線，是的中位線，所以，且，，且，故，且，故四邊形為平行四邊形，又是的中位線，則，因為在正四面體中，，所以，故四邊形為菱形．（2）因為，所以或其補角為異面直線與所成的角，設正四面體的棱長為，則，，在中，利用余弦定理得，，故異面直線與所成角的余弦值為．

17．(1)(2)（1）利用兩角和的正弦公式及誘導公式化簡即可求得結果；（2）本題可先判斷和的形狀，再結合已知條件求出相關角度，最后計算和的面積，即求得結果.【詳解】（1）依題意得，故.在中，，，，所以，所以，故.（2）由（1）知，，因為，所以，且點B為的外接圓的圓心，圓的半徑為2.由正弦定理得，，解得.因為，所以，故.故的面積為，的面積為，所以四邊形的面積為.18．(1)(2)（i）（ⅱ）（1）根據(jù)正切型函數(shù)最小正周期的計算公式直接計算即可；（2）根據(jù)正切型函數(shù)的定義域與對稱中心直接計算.【詳解】（1）當時，，易得的最小正周期；（2）（i）當時，，，若函數(shù)在區(qū)間上有定義，則，解得，故的最大值為；（ii）函數(shù)的對稱中心滿足，，解得，，其圖象至少有兩個對稱中心在區(qū)間上，則在區(qū)間上至少有兩解，故至少存在兩個值使，故至少有，兩個取值，所以，綜上，的取值范圍為.19．(1)（i）證明見解析；（ii）證明見解析(2)【詳解】（1）（?。┯深}可知平面平面OAB，且平面平面.又因為，即平面，所以.由于平行線分線段成比例，所以，即.（ii）如圖，連接，記，連，因為，，所以平面平面，又平面平面，平面平面，所以，于是有，同理可得，所以，又，所以，由于是圓柱下底面圓周上的任意兩點，故結論具有一般性，所以截所得的圖形是以為圓心的圓面.

（2）不妨去除斜圓錐的頂點在圓柱上底面圓周的限制，保留在圓柱上底面所在平面內(nèi)，則即為（