區(qū)間粗糙數(shù)互反判斷矩陣：一致性分析與群決策方法的深度探究一、緒論1.1研究背景與意義在當(dāng)今復(fù)雜多變的社會(huì)經(jīng)濟(jì)環(huán)境中，決策問(wèn)題廣泛存在于各個(gè)領(lǐng)域，從個(gè)人生活中的日常選擇，到企業(yè)戰(zhàn)略規(guī)劃、政府政策制定等重大事務(wù)，決策的質(zhì)量直接影響著行動(dòng)的效果和目標(biāo)的達(dá)成。多屬性決策作為決策科學(xué)中的重要分支，致力于處理在多個(gè)屬性或準(zhǔn)則下對(duì)多個(gè)備選方案進(jìn)行評(píng)價(jià)和選擇的問(wèn)題，在實(shí)際應(yīng)用中具有至關(guān)重要的地位。然而，現(xiàn)實(shí)決策過(guò)程往往充滿(mǎn)了模糊性和不確定性。一方面，決策者對(duì)屬性的認(rèn)知和評(píng)價(jià)可能受到主觀因素、信息不完全或知識(shí)局限的影響，難以用精確的數(shù)值來(lái)表達(dá)；另一方面，屬性本身的定義和度量也可能存在模糊性，導(dǎo)致決策信息的不精確。傳統(tǒng)的多屬性決策方法在處理這些模糊和不確定信息時(shí)存在一定的局限性，難以準(zhǔn)確反映決策問(wèn)題的本質(zhì)。為了更有效地處理模糊和不確定信息，區(qū)間粗糙數(shù)互反判斷矩陣應(yīng)運(yùn)而生。區(qū)間粗糙數(shù)是一種結(jié)合了區(qū)間數(shù)和粗糙集理論的概念，它能夠更全面地描述決策信息的不確定性。區(qū)間數(shù)可以表示信息的范圍，而粗糙集理論則通過(guò)上近似集和下近似集來(lái)刻畫(huà)概念的邊界不確定性，兩者結(jié)合使得區(qū)間粗糙數(shù)在處理模糊和不確定信息時(shí)具有更強(qiáng)的能力。在多屬性決策中，區(qū)間粗糙數(shù)互反判斷矩陣用于描述決策者對(duì)不同屬性或方案之間相對(duì)重要性的判斷，這種判斷矩陣不僅考慮了屬性之間的相對(duì)關(guān)系，還能有效處理由于信息不精確而導(dǎo)致的不確定性。一致性是判斷矩陣的重要性質(zhì)，它反映了決策者思維的邏輯性和連貫性。在區(qū)間粗糙數(shù)互反判斷矩陣中，一致性的研究尤為重要，因?yàn)椴灰恢碌呐袛嗑仃嚳赡軐?dǎo)致決策結(jié)果的偏差甚至錯(cuò)誤。然而，由于區(qū)間粗糙數(shù)本身的復(fù)雜性，傳統(tǒng)的一致性定義和判別方法難以直接應(yīng)用于區(qū)間粗糙數(shù)互反判斷矩陣，需要深入研究適合的一致性定義、判別方法和修正算法，以確保決策的準(zhǔn)確性和可靠性。群決策是多屬性決策中的常見(jiàn)場(chǎng)景，涉及多個(gè)決策者共同參與決策過(guò)程。在群決策中，不同決策者的意見(jiàn)和偏好往往存在差異，如何將這些分散的信息進(jìn)行有效整合，形成合理的群體判斷矩陣，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行一致性分析和決策，是群決策研究的關(guān)鍵問(wèn)題。研究區(qū)間粗糙數(shù)互反判斷矩陣的群決策方法，能夠充分考慮不同決策者的意見(jiàn)和不確定性，提高群決策的科學(xué)性和有效性，為解決復(fù)雜的實(shí)際決策問(wèn)題提供有力支持。綜上所述，區(qū)間粗糙數(shù)互反判斷矩陣一致性與群決策方法的研究具有重要的理論和實(shí)際意義。從理論層面來(lái)看，它豐富和發(fā)展了多屬性決策理論，為處理模糊和不確定信息提供了新的思路和方法，有助于完善決策科學(xué)的理論體系。從實(shí)際應(yīng)用角度出發(fā)，該研究成果能夠?yàn)槠髽I(yè)、政府等各類(lèi)組織在面對(duì)復(fù)雜決策問(wèn)題時(shí)提供更準(zhǔn)確、可靠的決策支持，幫助決策者在不確定性環(huán)境下做出更合理的選擇，提高決策的質(zhì)量和效果，從而推動(dòng)各領(lǐng)域的科學(xué)發(fā)展和有效管理。1.2國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀多屬性決策作為決策領(lǐng)域的重要研究方向，在過(guò)去幾十年中取得了豐碩的成果。隨著決策環(huán)境的日益復(fù)雜和不確定性的增加，區(qū)間數(shù)互反判斷矩陣和區(qū)間粗糙數(shù)互反判斷矩陣的一致性研究以及群決策方法逐漸成為研究的熱點(diǎn)。在區(qū)間數(shù)互反判斷矩陣一致性研究方面，國(guó)內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了大量的工作。國(guó)外學(xué)者Saaty最早提出了一致性指標(biāo)和一致性比率來(lái)衡量互反判斷矩陣的不一致性程度，為后續(xù)的研究奠定了基礎(chǔ)。隨著模糊集理論的發(fā)展，Loargoven將模糊數(shù)引入判斷矩陣，提出了模糊層次分析法，進(jìn)一步拓展了判斷矩陣的應(yīng)用范圍。此后，眾多學(xué)者圍繞區(qū)間數(shù)互反判斷矩陣的一致性定義、判別方法和修正算法展開(kāi)了深入研究。例如，文獻(xiàn)[具體文獻(xiàn)]提出了一種基于區(qū)間數(shù)運(yùn)算的一致性判別方法，通過(guò)比較區(qū)間數(shù)的上下界來(lái)判斷矩陣的一致性；文獻(xiàn)[具體文獻(xiàn)]則利用優(yōu)化模型來(lái)求解區(qū)間數(shù)互反判斷矩陣的一致性權(quán)重，提高了決策的準(zhǔn)確性。在國(guó)內(nèi)，學(xué)者們也在區(qū)間數(shù)互反判斷矩陣一致性研究方面取得了一系列成果。周禮剛和陳華友研究了區(qū)間數(shù)互反判斷矩陣和區(qū)間數(shù)互補(bǔ)判斷矩陣一致性的關(guān)系，并給出了區(qū)間數(shù)互補(bǔ)判斷矩陣一致性的判定方法。樂(lè)琦和樊治平提出了能夠反映決策者風(fēng)險(xiǎn)偏好的區(qū)間數(shù)表示形式，刻畫(huà)了區(qū)間數(shù)互反判斷矩陣的一致性檢驗(yàn)方法，并給出了一致性逼近方法和權(quán)重計(jì)算公式。這些研究成果豐富了區(qū)間數(shù)互反判斷矩陣一致性的理論和方法體系，為實(shí)際決策提供了有力的支持。然而，區(qū)間數(shù)互反判斷矩陣在處理信息的不確定性時(shí)，雖然考慮了信息的范圍，但對(duì)于概念邊界的模糊性刻畫(huà)仍顯不足。區(qū)間粗糙數(shù)互反判斷矩陣作為一種更能全面描述決策信息不確定性的工具，近年來(lái)逐漸受到關(guān)注。目前，關(guān)于區(qū)間粗糙數(shù)互反判斷矩陣一致性的研究相對(duì)較少，仍處于探索階段。部分學(xué)者嘗試將區(qū)間數(shù)和粗糙集理論相結(jié)合，提出了一些初步的一致性定義和判別方法，但這些方法還存在一定的局限性，需要進(jìn)一步完善和優(yōu)化。在群決策方法研究方面，國(guó)內(nèi)外學(xué)者也進(jìn)行了廣泛的探索。國(guó)外學(xué)者Roubens提出了利用綜合矩陣對(duì)備選方案的權(quán)重進(jìn)行排序，然后進(jìn)行最優(yōu)選擇的觀點(diǎn)，為群決策提供了一種重要的思路。此后，許多學(xué)者圍繞群決策中的共識(shí)達(dá)成、意見(jiàn)集結(jié)和決策方法等問(wèn)題展開(kāi)了深入研究。例如，文獻(xiàn)[具體文獻(xiàn)]提出了一種基于證據(jù)理論的群決策方法，通過(guò)融合不同決策者的證據(jù)信息來(lái)提高決策的可靠性；文獻(xiàn)[具體文獻(xiàn)]則利用模糊偏好關(guān)系來(lái)表示決策者的意見(jiàn)，提出了一種模糊群決策方法，有效處理了決策中的模糊性和不確定性。國(guó)內(nèi)學(xué)者在群決策方法研究方面也取得了顯著成果。一些學(xué)者將區(qū)間數(shù)互反判斷矩陣應(yīng)用于群決策中，提出了基于區(qū)間數(shù)互反判斷矩陣的群決策方法，如文獻(xiàn)[具體文獻(xiàn)]通過(guò)對(duì)區(qū)間數(shù)互反判斷矩陣的集結(jié)和分析，實(shí)現(xiàn)了群決策中的方案排序和選擇。還有學(xué)者將粗糙數(shù)理論引入群決策，如“粗糙數(shù)驅(qū)動(dòng)的BWM-TOPSIS群決策法”，該方法結(jié)合粗糙集理論中的粗糙數(shù)概念來(lái)改進(jìn)BWM和TOPSIS方法，用于確定評(píng)價(jià)準(zhǔn)則的權(quán)重和評(píng)價(jià)備選方案，增強(qiáng)了方法在處理模糊、不確定信息時(shí)的穩(wěn)健性。然而，現(xiàn)有的群決策方法在處理區(qū)間粗糙數(shù)互反判斷矩陣時(shí)，仍存在一些問(wèn)題，如如何有效集結(jié)不同決策者的區(qū)間粗糙數(shù)判斷信息，如何在一致性分析的基礎(chǔ)上進(jìn)行合理的決策等，這些問(wèn)題亟待進(jìn)一步研究解決。綜上所述，雖然在區(qū)間數(shù)互反判斷矩陣一致性、區(qū)間粗糙數(shù)互反判斷矩陣一致性和群決策方法等方面已經(jīng)取得了一定的研究成果，但仍存在一些不足之處。例如，區(qū)間粗糙數(shù)互反判斷矩陣一致性的理論和方法體系還不完善，現(xiàn)有的一致性定義和判別方法存在局限性；在群決策中，如何更好地處理區(qū)間粗糙數(shù)互反判斷矩陣的信息，提高群決策的科學(xué)性和有效性，還需要進(jìn)一步深入研究。因此，開(kāi)展區(qū)間粗糙數(shù)互反判斷矩陣一致性與群決策方法的研究具有重要的理論和現(xiàn)實(shí)意義。1.3研究?jī)?nèi)容與方法本研究圍繞區(qū)間粗糙數(shù)互反判斷矩陣一致性與群決策方法展開(kāi)，具體內(nèi)容如下：區(qū)間粗糙數(shù)互反判斷矩陣一致性分析：深入剖析區(qū)間粗糙數(shù)互反判斷矩陣的結(jié)構(gòu)和特點(diǎn)，依據(jù)區(qū)間數(shù)和粗糙集理論，創(chuàng)新地提出適用于區(qū)間粗糙數(shù)互反判斷矩陣的一致性定義。通過(guò)對(duì)矩陣元素間關(guān)系的研究，構(gòu)建科學(xué)合理的一致性判別指標(biāo)，用于準(zhǔn)確衡量判斷矩陣的一致性程度。從理論層面深入分析一致性的性質(zhì)，為后續(xù)的研究奠定堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。區(qū)間粗糙數(shù)互反判斷矩陣不一致性調(diào)整：當(dāng)判斷矩陣出現(xiàn)不一致情況時(shí)，設(shè)計(jì)有效的修正算法至關(guān)重要。基于所提出的一致性定義和判別指標(biāo)，運(yùn)用優(yōu)化理論和方法，建立針對(duì)區(qū)間粗糙數(shù)互反判斷矩陣的不一致性調(diào)整模型。通過(guò)對(duì)模型的求解，找到對(duì)判斷矩陣元素的合理調(diào)整方案，使得調(diào)整后的判斷矩陣滿(mǎn)足一致性要求。在修正過(guò)程中，充分考慮決策者的偏好和實(shí)際決策背景，確保修正結(jié)果既符合理論要求，又能反映實(shí)際決策需求。基于區(qū)間粗糙數(shù)互反判斷矩陣的群決策方法研究：在群決策環(huán)境下，針對(duì)多個(gè)決策者給出的區(qū)間粗糙數(shù)互反判斷矩陣，研究有效的集結(jié)方法。綜合考慮不同決策者的權(quán)重和判斷信息，將多個(gè)判斷矩陣集結(jié)為一個(gè)群體判斷矩陣。對(duì)群體判斷矩陣進(jìn)行一致性分析和調(diào)整，確保其滿(mǎn)足一致性要求?；谡{(diào)整后的群體判斷矩陣，運(yùn)用合適的決策方法進(jìn)行方案排序和選擇，從而得出最終的決策結(jié)果。通過(guò)實(shí)例分析，驗(yàn)證群決策方法的有效性和可行性。為實(shí)現(xiàn)上述研究目標(biāo)，本研究將綜合運(yùn)用多種研究方法：理論分析：對(duì)區(qū)間粗糙數(shù)互反判斷矩陣一致性的相關(guān)理論進(jìn)行深入研究，分析已有研究成果的優(yōu)缺點(diǎn)，為新理論和方法的提出提供堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。通過(guò)嚴(yán)密的邏輯推理和數(shù)學(xué)證明，深入探討一致性的定義、判別方法以及調(diào)整算法的性質(zhì)和有效性。模型構(gòu)建：根據(jù)研究?jī)?nèi)容，構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，如一致性判別模型、不一致性調(diào)整模型和群決策模型等。運(yùn)用數(shù)學(xué)工具對(duì)模型進(jìn)行求解和分析，確定模型的參數(shù)和優(yōu)化策略，以實(shí)現(xiàn)對(duì)區(qū)間粗糙數(shù)互反判斷矩陣一致性和群決策問(wèn)題的有效解決。實(shí)例驗(yàn)證：通過(guò)實(shí)際案例分析，將所提出的理論和方法應(yīng)用于具體的決策問(wèn)題中，驗(yàn)證其有效性和可行性。收集實(shí)際決策數(shù)據(jù)，構(gòu)建區(qū)間粗糙數(shù)互反判斷矩陣，運(yùn)用所建立的模型和方法進(jìn)行一致性分析、調(diào)整和群決策，將決策結(jié)果與實(shí)際情況進(jìn)行對(duì)比，評(píng)估方法的性能和效果。二、相關(guān)理論基礎(chǔ)2.1區(qū)間數(shù)與區(qū)間數(shù)判斷矩陣區(qū)間數(shù)是一種用于表示不確定數(shù)值的數(shù)學(xué)工具，它實(shí)際上是一個(gè)閉區(qū)間上所有實(shí)數(shù)所組成的集合，其運(yùn)算法則一般與集合的運(yùn)算法則類(lèi)似。若用a^-表示區(qū)間的下界，a^+表示區(qū)間的上界，那么區(qū)間數(shù)X可表示為X=[a^-,a^+]=\{x|a^-\leqx\leqa^+\}，當(dāng)a^-=a^+時(shí)，區(qū)間數(shù)X為實(shí)數(shù)。設(shè)X=[x^-,x^+]和Y=[y^-,y^+]是兩個(gè)區(qū)間數(shù)，它們之間的運(yùn)算規(guī)則如下：加法運(yùn)算：X+Y=[x^-+y^-,x^++y^+]，例如，若X=[1,3]，Y=[2,4]，則X+Y=[1+2,3+4]=[3,7]。這在實(shí)際問(wèn)題中，比如在估算成本時(shí)，如果材料成本的估計(jì)區(qū)間是[1,3]萬(wàn)元，人工成本的估計(jì)區(qū)間是[2,4]萬(wàn)元，那么總成本的估計(jì)區(qū)間就是[3,7]萬(wàn)元。減法運(yùn)算：X-Y=[x^--y^+,x^+-y^-]，例如，若X=[5,7]，Y=[2,3]，則X-Y=[5-3,7-2]=[2,5]。假設(shè)在計(jì)算利潤(rùn)時(shí)，收入的區(qū)間是[5,7]萬(wàn)元，成本的區(qū)間是[2,3]萬(wàn)元，那么利潤(rùn)的區(qū)間就是[2,5]萬(wàn)元。乘法運(yùn)算：X\timesY=[min\{x^-y^-,x^-y^+,x^+y^-,x^+y^+\},max\{x^-y^-,x^-y^+,x^+y^-,x^+y^+\}]。當(dāng)區(qū)間數(shù)X，Y為非負(fù)區(qū)間數(shù)時(shí)，即x^-\geq0，y^-\geq0，有X\timesY=[x^-y^-,x^+y^+]。比如，若X=[2,3]，Y=[4,5]（均為非負(fù)區(qū)間數(shù)），則X\timesY=[2×4,3×5]=[8,15]。在計(jì)算面積時(shí)，如果長(zhǎng)的估計(jì)區(qū)間是[2,3]米，寬的估計(jì)區(qū)間是[4,5]米，那么面積的估計(jì)區(qū)間就是[8,15]平方米。除法運(yùn)算：X\divY=[min\{\frac{x^-}{y^-},\frac{x^-}{y^+},\frac{x^+}{y^-},\frac{x^+}{y^+}\},max\{\frac{x^-}{y^-},\frac{x^-}{y^+},\frac{x^+}{y^-},\frac{x^+}{y^+}\}]，當(dāng)區(qū)間數(shù)X，Y為正區(qū)間數(shù)時(shí)，有X\divY=[\frac{x^-}{y^+},\frac{x^+}{y^-}]。例如，若X=[4,6]，Y=[2,3]（均為正區(qū)間數(shù)），則X\divY=[\frac{4}{3},\frac{6}{2}]=[\frac{4}{3},3]。如果要計(jì)算速度，路程的區(qū)間是[4,6]千米，時(shí)間的區(qū)間是[2,3]小時(shí)，那么速度的區(qū)間就是[\frac{4}{3},3]千米/小時(shí)。指數(shù)關(guān)系：X^c=[(x^-)^c,(x^+)^c]，其中c為實(shí)數(shù)且c\gt1，X為正區(qū)間數(shù)。例如，若X=[2,3]，c=2，則X^2=[2^2,3^2]=[4,9]。對(duì)數(shù)關(guān)系：log_cX=[log_cx^-,log_cx^+]，其中c為實(shí)數(shù)且c\gt1，X為正區(qū)間數(shù)。例如，若X=[10,100]，c=10，則log_{10}X=[log_{10}10,log_{10}100]=[1,2]。乘方運(yùn)算：X^n=[(x^-)^n,(x^+)^n]，其中n為正整數(shù)，X為正區(qū)間數(shù)。例如，若X=[2,3]，n=3，則X^3=[2^3,3^3]=[8,27]。在多屬性決策中，區(qū)間數(shù)判斷矩陣是用來(lái)描述決策者對(duì)不同屬性或方案之間相對(duì)重要性判斷的矩陣。設(shè)A=(a_{ij})_{n\timesn}為一個(gè)n階區(qū)間數(shù)判斷矩陣，其中a_{ij}=[a_{ij}^-,a_{ij}^+]表示決策者對(duì)第i個(gè)屬性（或方案）相對(duì)于第j個(gè)屬性（或方案）的重要性程度的判斷區(qū)間。區(qū)間數(shù)判斷矩陣具有以下基本性質(zhì)：互反性：對(duì)于任意的i，j，有a_{ij}=\frac{1}{a_{ji}}，即[a_{ij}^-,a_{ij}^+]=[\frac{1}{a_{ji}^+},\frac{1}{a_{ji}^-}]。這表明如果決策者認(rèn)為屬性i比屬性j稍微重要，用區(qū)間數(shù)表示為a_{ij}=[1.5,2]，那么屬性j比屬性i就稍微不重要，a_{ji}=[\frac{1}{2},\frac{1}{1.5}]。一致性：當(dāng)區(qū)間數(shù)判斷矩陣滿(mǎn)足一定條件時(shí)，具有一致性。一致性是判斷矩陣的重要性質(zhì)，它反映了決策者思維的邏輯性和連貫性。對(duì)于區(qū)間數(shù)判斷矩陣的一致性，目前有多種定義和判別方法。例如，若對(duì)于任意的i，j，k，都有a_{ij}a_{jk}=a_{ik}，即[a_{ij}^-a_{jk}^-,a_{ij}^+a_{jk}^+]=[a_{ik}^-,a_{ik}^+]，則稱(chēng)該區(qū)間數(shù)判斷矩陣具有一致性。在實(shí)際決策中，一致性好的判斷矩陣能使決策結(jié)果更可靠、更合理。比如在選擇投資項(xiàng)目時(shí)，若對(duì)各項(xiàng)目在不同屬性（如收益、風(fēng)險(xiǎn)、市場(chǎng)前景等）上的重要性判斷矩陣具有良好的一致性，那么基于此矩陣做出的投資決策會(huì)更科學(xué)。2.2區(qū)間粗糙數(shù)與區(qū)間粗糙數(shù)互反判斷矩陣區(qū)間粗糙數(shù)是一種用于處理不確定性信息的數(shù)學(xué)工具，它結(jié)合了區(qū)間數(shù)和粗糙集的概念，能夠更全面地描述信息的不確定性。區(qū)間粗糙數(shù)由一對(duì)區(qū)間構(gòu)成，分別為下近似區(qū)間和上近似區(qū)間，下近似區(qū)間包含于上近似區(qū)間。具體定義如下：設(shè)X=([x^L,x^U],[\overline{x}^L,\overline{x}^U])，其中[x^L,x^U]為下近似區(qū)間，[\overline{x}^L,\overline{x}^U]為上近似區(qū)間，且滿(mǎn)足0\leqx^L\leqx^U\leq\overline{x}^L\leq\overline{x}^U，則稱(chēng)X為區(qū)間粗糙數(shù)。例如，區(qū)間粗糙數(shù)([2,3],[1,4])，下近似區(qū)間[2,3]表示在較為確定的情況下，某個(gè)量的取值范圍；上近似區(qū)間[1,4]則表示在更寬泛、包含更多不確定性的情況下，該量的取值范圍。區(qū)間粗糙數(shù)具有以下特點(diǎn)：邊界不確定性：通過(guò)下近似區(qū)間和上近似區(qū)間來(lái)刻畫(huà)概念的邊界不確定性，能夠更準(zhǔn)確地描述信息的模糊性。例如在評(píng)估一個(gè)項(xiàng)目的完成時(shí)間時(shí)，下近似區(qū)間可以表示在正常情況下項(xiàng)目可能完成的時(shí)間范圍，而上近似區(qū)間則考慮了可能出現(xiàn)的各種意外情況，給出了一個(gè)更寬泛的時(shí)間范圍。包含關(guān)系：下近似區(qū)間包含于上近似區(qū)間，這種包含關(guān)系體現(xiàn)了信息的確定性程度的差異，下近似區(qū)間表示相對(duì)確定的部分，上近似區(qū)間則包含了更多的不確定性。在多屬性決策中，區(qū)間粗糙數(shù)互反判斷矩陣用于描述決策者對(duì)不同屬性或方案之間相對(duì)重要性的判斷。設(shè)A=(a_{ij})_{n\timesn}為一個(gè)n階區(qū)間粗糙數(shù)互反判斷矩陣，其中a_{ij}=([a_{ij}^L,a_{ij}^U],[\overline{a}_{ij}^L,\overline{a}_{ij}^U])表示決策者對(duì)第i個(gè)屬性（或方案）相對(duì)于第j個(gè)屬性（或方案）的重要性程度的判斷區(qū)間粗糙數(shù)。區(qū)間粗糙數(shù)互反判斷矩陣的基本形式如下：A=\begin{pmatrix}([1,1],[1,1])&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&([1,1],[1,1])&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&([1,1],[1,1])\end{pmatrix}其中，a_{ij}和a_{ji}滿(mǎn)足互反關(guān)系，即a_{ij}=([a_{ij}^L,a_{ij}^U],[\overline{a}_{ij}^L,\overline{a}_{ij}^U])與a_{ji}=([\frac{1}{\overline{a}_{ij}^U},\frac{1}{\overline{a}_{ij}^L}],[\frac{1}{a_{ij}^U},\frac{1}{a_{ij}^L}])。例如，若a_{12}=([2,3],[1,4])，則a_{21}=([\frac{1}{4},\frac{1}{3}],[\frac{1}{3},\frac{1}{2}])。這種互反關(guān)系在實(shí)際決策中體現(xiàn)了屬性或方案之間相對(duì)重要性的反向?qū)?yīng)，若決策者認(rèn)為屬性1比屬性2在一定程度上更重要，那么屬性2相對(duì)于屬性1就具有相應(yīng)程度的不重要性。2.3判斷矩陣群決策模型判斷矩陣群決策是指多個(gè)決策者參與決策過(guò)程，共同對(duì)多個(gè)屬性或方案進(jìn)行評(píng)價(jià)和選擇的決策方法。在實(shí)際決策中，由于單個(gè)決策者的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)和信息有限，難以全面考慮決策問(wèn)題的各個(gè)方面，而群決策可以充分利用多個(gè)決策者的智慧和經(jīng)驗(yàn)，提高決策的科學(xué)性和可靠性。判斷矩陣群決策的基本流程如下：確定決策問(wèn)題和決策目標(biāo)：明確需要解決的決策問(wèn)題以及期望達(dá)到的目標(biāo)，例如在企業(yè)投資決策中，決策問(wèn)題可能是選擇合適的投資項(xiàng)目，決策目標(biāo)可能是實(shí)現(xiàn)投資收益最大化和風(fēng)險(xiǎn)最小化。選擇決策者：根據(jù)決策問(wèn)題的性質(zhì)和要求，挑選具有相關(guān)知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)和專(zhuān)業(yè)背景的決策者組成決策群體，如企業(yè)的高層管理人員、財(cái)務(wù)專(zhuān)家、市場(chǎng)分析師等參與投資項(xiàng)目決策。收集決策者的判斷信息：讓每個(gè)決策者針對(duì)決策問(wèn)題中的屬性或方案，構(gòu)建判斷矩陣，表達(dá)他們對(duì)不同屬性或方案之間相對(duì)重要性的判斷。這些判斷矩陣可以是區(qū)間數(shù)判斷矩陣、區(qū)間粗糙數(shù)互反判斷矩陣等形式，以反映決策信息的不確定性。集結(jié)判斷矩陣：運(yùn)用合適的集結(jié)方法，將多個(gè)決策者的判斷矩陣合并為一個(gè)群體判斷矩陣。常見(jiàn)的集結(jié)方法有加權(quán)平均法、幾何平均法等。加權(quán)平均法根據(jù)決策者的權(quán)重對(duì)其判斷矩陣進(jìn)行加權(quán)求和，幾何平均法則通過(guò)計(jì)算各判斷矩陣元素的幾何平均值來(lái)得到群體判斷矩陣。一致性分析和調(diào)整：對(duì)群體判斷矩陣進(jìn)行一致性檢驗(yàn)，判斷其是否滿(mǎn)足一致性要求。若不滿(mǎn)足，則采用相應(yīng)的修正算法對(duì)矩陣進(jìn)行調(diào)整，使其達(dá)到可接受的一致性水平。決策分析：基于調(diào)整后的群體判斷矩陣，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臎Q策方法，如層次分析法（AHP）、逼近理想解排序法（TOPSIS）等，對(duì)方案進(jìn)行排序和選擇，從而得出最終的決策結(jié)果。在群決策中，常用的模型有以下幾種：基于加權(quán)平均的群決策模型：該模型通過(guò)為每個(gè)決策者分配權(quán)重，然后對(duì)他們的判斷矩陣進(jìn)行加權(quán)平均，得到群體判斷矩陣。權(quán)重的確定可以根據(jù)決策者的經(jīng)驗(yàn)、知識(shí)水平、權(quán)威性等因素來(lái)確定，也可以采用客觀的方法，如熵權(quán)法、變異系數(shù)法等。例如，在一個(gè)由三位決策者參與的決策中，決策者A、B、C的權(quán)重分別為0.4、0.3、0.3，他們對(duì)某兩個(gè)方案的重要性判斷分別為判斷矩陣A_1、A_2、A_3，則群體判斷矩陣A為A=0.4A_1+0.3A_2+0.3A_3。基于證據(jù)理論的群決策模型：證據(jù)理論是一種處理不確定性信息的理論，它通過(guò)信任函數(shù)和似然函數(shù)來(lái)描述信息的不確定性。在群決策中，將每個(gè)決策者的判斷信息看作是一個(gè)證據(jù)，利用證據(jù)理論的合成規(guī)則將這些證據(jù)進(jìn)行融合，得到綜合的決策信息。這種模型能夠有效處理決策信息中的不確定性和沖突性，提高決策的可靠性。例如，在對(duì)多個(gè)投資項(xiàng)目進(jìn)行評(píng)估時(shí)，不同決策者對(duì)項(xiàng)目的風(fēng)險(xiǎn)、收益等方面的判斷存在差異，基于證據(jù)理論的群決策模型可以將這些不同的判斷進(jìn)行融合，給出更合理的投資決策建議。基于模糊偏好關(guān)系的群決策模型：模糊偏好關(guān)系用于描述決策者對(duì)方案的偏好程度，它可以用模糊矩陣來(lái)表示。在群決策中，將多個(gè)決策者的模糊偏好關(guān)系進(jìn)行集結(jié)，得到群體的模糊偏好關(guān)系，然后根據(jù)模糊偏好關(guān)系的性質(zhì)對(duì)方案進(jìn)行排序和選擇。這種模型能夠較好地處理決策中的模糊性和不確定性，使決策結(jié)果更符合實(shí)際情況。例如，在評(píng)選優(yōu)秀員工時(shí)，決策者對(duì)不同員工在工作業(yè)績(jī)、團(tuán)隊(duì)合作、創(chuàng)新能力等方面的表現(xiàn)有模糊的偏好判斷，基于模糊偏好關(guān)系的群決策模型可以將這些模糊判斷進(jìn)行整合，選出最符合優(yōu)秀員工標(biāo)準(zhǔn)的人選。三、區(qū)間粗糙數(shù)互反判斷矩陣的一致性分析3.1判斷矩陣一致性的基本概念一致性是判斷矩陣的一個(gè)關(guān)鍵性質(zhì)，它反映了決策者在判斷過(guò)程中思維的邏輯性和連貫性。在經(jīng)典的層次分析法（AHP）中，對(duì)于確定型互反判斷矩陣A=(a_{ij})_{n\timesn}，若滿(mǎn)足a_{ij}a_{jk}=a_{ik}，其中i,j,k=1,2,\cdots,n，則稱(chēng)該判斷矩陣具有一致性。這意味著，如果決策者認(rèn)為屬性i比屬性j重要程度為a_{ij}，屬性j比屬性k重要程度為a_{jk}，那么按照一致性要求，屬性i比屬性k的重要程度就應(yīng)該是a_{ij}a_{jk}，即a_{ik}。例如，在選擇旅游目的地的決策中，若決策者認(rèn)為景點(diǎn)豐富度比交通便利性重要程度為3，交通便利性比住宿條件重要程度為2，那么按照一致性，景點(diǎn)豐富度比住宿條件重要程度就應(yīng)為3\times2=6。然而，在實(shí)際決策中，由于各種因素的影響，決策者很難保證判斷矩陣完全滿(mǎn)足一致性條件。為了衡量判斷矩陣的不一致程度，Saaty提出了一致性指標(biāo)（ConsistencyIndex，CI）和一致性比例（ConsistencyRatio，CR）。一致性指標(biāo)CI的計(jì)算公式為：CI=\frac{\lambda_{max}-n}{n-1}，其中\(zhòng)lambda_{max}為判斷矩陣A的最大特征值，n為判斷矩陣的階數(shù)。\lambda_{max}與n的差值越大，說(shuō)明判斷矩陣的不一致程度越高。當(dāng)判斷矩陣完全一致時(shí)，\lambda_{max}=n，此時(shí)CI=0。例如，對(duì)于一個(gè)三階判斷矩陣，若其最大特征值\lambda_{max}=3.1，則CI=\frac{3.1-3}{3-1}=0.05。一致性比例CR的計(jì)算公式為：CR=\frac{CI}{RI}，其中RI為平均隨機(jī)一致性指標(biāo)，它是通過(guò)大量隨機(jī)判斷矩陣計(jì)算得到的經(jīng)驗(yàn)值，不同階數(shù)的判斷矩陣對(duì)應(yīng)的RI值如下表所示：階數(shù)n12345678910RI000.520.891.121.261.361.411.461.49一般認(rèn)為，當(dāng)CR\lt0.1時(shí)，判斷矩陣的不一致程度在可接受范圍內(nèi)，即認(rèn)為該判斷矩陣具有滿(mǎn)意的一致性；當(dāng)CR\geq0.1時(shí)，判斷矩陣的不一致程度較高，需要對(duì)其進(jìn)行修正。比如，對(duì)于上述三階判斷矩陣，CR=\frac{0.05}{0.52}\approx0.096\lt0.1，說(shuō)明該判斷矩陣具有滿(mǎn)意的一致性。常用的一致性檢驗(yàn)方法除了基于一致性指標(biāo)和一致性比例的檢驗(yàn)外，還有其他一些方法。例如，行和法一致性檢驗(yàn)，先計(jì)算判斷矩陣每行元素之和r_i=\sum_{j=1}^{n}a_{ij}，i=1,2,\cdots,n，然后計(jì)算一致性指標(biāo)CI_r=\frac{\max\{r_i\}-\min\{r_i\}}{(n-1)\overline{r}}，其中\(zhòng)overline{r}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}r_i，通過(guò)比較CI_r與預(yù)先設(shè)定的閾值來(lái)判斷一致性。還有列和法一致性檢驗(yàn)，其原理與行和法類(lèi)似，是基于判斷矩陣每列元素之和進(jìn)行計(jì)算和判斷。這些方法從不同角度對(duì)判斷矩陣的一致性進(jìn)行檢驗(yàn)，在實(shí)際應(yīng)用中可以根據(jù)具體情況選擇合適的方法。3.2區(qū)間粗糙數(shù)互反判斷矩陣的一致性定義與性質(zhì)對(duì)于區(qū)間粗糙數(shù)互反判斷矩陣的一致性，我們給出如下定義：設(shè)A=(a_{ij})_{n\timesn}為一個(gè)n階區(qū)間粗糙數(shù)互反判斷矩陣，其中a_{ij}=([a_{ij}^L,a_{ij}^U],[\overline{a}_{ij}^L,\overline{a}_{ij}^U])，若對(duì)于任意的i，j，k，都滿(mǎn)足以下條件：\begin{cases}[a_{ij}^La_{jk}^L,a_{ij}^Ua_{jk}^U]\subseteq[a_{ik}^L,a_{ik}^U]\\[\overline{a}_{ij}^L\overline{a}_{jk}^L,\overline{a}_{ij}^U\overline{a}_{jk}^U]\subseteq[\overline{a}_{ik}^L,\overline{a}_{ik}^U]\end{cases}則稱(chēng)該區(qū)間粗糙數(shù)互反判斷矩陣A具有一致性。例如，對(duì)于一個(gè)三階區(qū)間粗糙數(shù)互反判斷矩陣A，若a_{12}=([2,3],[1,4])，a_{23}=([3,4],[2,5])，那么根據(jù)一致性條件，a_{13}應(yīng)滿(mǎn)足[2??3,3??4]\subseteq[a_{13}^L,a_{13}^U]，即[6,12]\subseteq[a_{13}^L,a_{13}^U]，同時(shí)[1??2,4??5]\subseteq[\overline{a}_{13}^L,\overline{a}_{13}^U]，即[2,20]\subseteq[\overline{a}_{13}^L,\overline{a}_{13}^U]。該一致性定義具有以下性質(zhì)：傳遞性：若a_{ij}與a_{jk}滿(mǎn)足一致性條件，那么a_{ij}與a_{ik}也滿(mǎn)足一致性條件，這體現(xiàn)了判斷矩陣元素之間的邏輯傳遞關(guān)系，類(lèi)似于確定型互反判斷矩陣中a_{ij}a_{jk}=a_{ik}所表達(dá)的傳遞性，只不過(guò)在區(qū)間粗糙數(shù)互反判斷矩陣中是以區(qū)間包含的形式來(lái)體現(xiàn)。邊界單調(diào)性：隨著下近似區(qū)間和上近似區(qū)間的邊界值變化，一致性條件也會(huì)相應(yīng)變化。當(dāng)下近似區(qū)間的下限值增大或上限值減小，以及上近似區(qū)間的下限值增大或上限值減小，都可能影響判斷矩陣是否滿(mǎn)足一致性。例如，若a_{ij}的下近似區(qū)間下限值增大，為了滿(mǎn)足一致性條件，a_{ik}的下近似區(qū)間下限值也可能需要相應(yīng)增大。互反性與一致性的協(xié)調(diào)性：區(qū)間粗糙數(shù)互反判斷矩陣的互反性與一致性是相互協(xié)調(diào)的。由于a_{ij}與a_{ji}滿(mǎn)足互反關(guān)系，在一致性條件下，這種互反關(guān)系不會(huì)破壞判斷矩陣的一致性，即當(dāng)a_{ij}滿(mǎn)足一致性條件時(shí)，其互反元素a_{ji}也能保證整個(gè)矩陣的一致性。例如，若a_{12}=([2,3],[1,4])，a_{21}=([\frac{1}{4},\frac{1}{3}],[\frac{1}{3},\frac{1}{2}])，在判斷矩陣的一致性分析中，a_{12}和a_{21}的這種互反關(guān)系與其他元素之間的一致性條件是相互協(xié)調(diào)的，共同保證了判斷矩陣的一致性。3.3基于不同視角的一致性分析方法3.3.1基于構(gòu)造的一致性分析為了深入研究區(qū)間粗糙數(shù)互反判斷矩陣的一致性，我們嘗試構(gòu)造特殊的區(qū)間粗糙數(shù)互反判斷矩陣，以此為基礎(chǔ)分析其一致性條件和判定方法。通過(guò)構(gòu)造這樣的特殊矩陣，能夠更清晰地揭示一致性的本質(zhì)特征，為一般情況下的一致性分析提供參考和借鑒。假設(shè)我們構(gòu)造一個(gè)三階區(qū)間粗糙數(shù)互反判斷矩陣A：A=\begin{pmatrix}([1,1],[1,1])&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&([1,1],[1,1])&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&([1,1],[1,1])\end{pmatrix}其中a_{12}=([a_{12}^L,a_{12}^U],[\overline{a}_{12}^L,\overline{a}_{12}^U])，a_{21}=([\frac{1}{\overline{a}_{12}^U},\frac{1}{\overline{a}_{12}^L}],[\frac{1}{a_{12}^U},\frac{1}{a_{12}^L}])，a_{13}=([a_{13}^L,a_{13}^U],[\overline{a}_{13}^L,\overline{a}_{13}^U])，a_{31}=([\frac{1}{\overline{a}_{13}^U},\frac{1}{\overline{a}_{13}^L}],[\frac{1}{a_{13}^U},\frac{1}{a_{13}^L}])，a_{23}=([a_{23}^L,a_{23}^U],[\overline{a}_{23}^L,\overline{a}_{23}^U])，a_{32}=([\frac{1}{\overline{a}_{23}^U},\frac{1}{\overline{a}_{23}^L}],[\frac{1}{a_{23}^U},\frac{1}{a_{23}^L}])。根據(jù)前面給出的一致性定義，對(duì)于這個(gè)特殊的矩陣，一致性條件可具體化為：\begin{cases}[a_{12}^La_{23}^L,a_{12}^Ua_{23}^U]\subseteq[a_{13}^L,a_{13}^U]\\[\overline{a}_{12}^L\overline{a}_{23}^L,\overline{a}_{12}^U\overline{a}_{23}^U]\subseteq[\overline{a}_{13}^L,\overline{a}_{13}^U]\end{cases}若上述條件滿(mǎn)足，則該矩陣具有一致性。例如，若a_{12}=([2,3],[1,4])，a_{23}=([3,4],[2,5])，則[2??3,3??4]=[6,12]，[1??2,4??5]=[2,20]。此時(shí)，若a_{13}滿(mǎn)足[6,12]\subseteq[a_{13}^L,a_{13}^U]且[2,20]\subseteq[\overline{a}_{13}^L,\overline{a}_{13}^U]，如a_{13}=([7,15],[3,25])，那么這個(gè)構(gòu)造的三階區(qū)間粗糙數(shù)互反判斷矩陣A就具有一致性。對(duì)于一般的n階區(qū)間粗糙數(shù)互反判斷矩陣，我們可以通過(guò)類(lèi)似的方式，利用矩陣元素之間的關(guān)系來(lái)構(gòu)造特殊情況進(jìn)行分析。通過(guò)不斷調(diào)整矩陣元素，觀察一致性條件的變化，從而總結(jié)出一致性的判定方法。例如，可以固定部分元素，改變其他元素的值，研究在不同情況下矩陣是否滿(mǎn)足一致性條件，進(jìn)而確定元素取值范圍與一致性之間的關(guān)聯(lián)。這種基于構(gòu)造的一致性分析方法，為我們深入理解區(qū)間粗糙數(shù)互反判斷矩陣的一致性提供了一種直觀且有效的途徑，能夠幫助我們發(fā)現(xiàn)一些在一般分析中不易察覺(jué)的一致性特征和規(guī)律。3.3.2基于集合論的一致性分析從集合論的角度出發(fā)，我們可以為區(qū)間粗糙數(shù)互反判斷矩陣的一致性分析提供新的思路和方法。集合論是數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，它研究集合的性質(zhì)和運(yùn)算，能夠幫助我們更抽象、更本質(zhì)地理解和處理各種數(shù)學(xué)對(duì)象和關(guān)系。首先，給出基于集合論的一致性相關(guān)定義。設(shè)A=(a_{ij})_{n\timesn}為區(qū)間粗糙數(shù)互反判斷矩陣，其中a_{ij}=([a_{ij}^L,a_{ij}^U],[\overline{a}_{ij}^L,\overline{a}_{ij}^U])。我們可以將每個(gè)區(qū)間粗糙數(shù)a_{ij}看作是一個(gè)由下近似區(qū)間[a_{ij}^L,a_{ij}^U]和上近似區(qū)間[\overline{a}_{ij}^L,\overline{a}_{ij}^U]組成的集合對(duì)。定義一致性集合：對(duì)于任意的i，j，k，定義集合S_{ijk}^L=\{x|x=a_{ij}^La_{jk}^L,a_{ij}^L\in[a_{ij}^L,a_{ij}^U],a_{jk}^L\in[a_{jk}^L,a_{jk}^U]\}，S_{ijk}^U=\{x|x=a_{ij}^Ua_{jk}^U,a_{ij}^U\in[a_{ij}^L,a_{ij}^U],a_{jk}^U\in[a_{jk}^L,a_{jk}^U]\}，\overline{S}_{ijk}^L=\{x|x=\overline{a}_{ij}^L\overline{a}_{jk}^L,\overline{a}_{ij}^L\in[\overline{a}_{ij}^L,\overline{a}_{ij}^U],\overline{a}_{jk}^L\in[\overline{a}_{jk}^L,\overline{a}_{jk}^U]\}，\overline{S}_{ijk}^U=\{x|x=\overline{a}_{ij}^U\overline{a}_{jk}^U,\overline{a}_{ij}^U\in[\overline{a}_{ij}^L,\overline{a}_{ij}^U],\overline{a}_{jk}^U\in[\overline{a}_{jk}^L,\overline{a}_{jk}^U]\}。若S_{ijk}^L\subseteq[a_{ik}^L,a_{ik}^U]，S_{ijk}^U\subseteq[a_{ik}^L,a_{ik}^U]，\overline{S}_{ijk}^L\subseteq[\overline{a}_{ik}^L,\overline{a}_{ik}^U]，\overline{S}_{ijk}^U\subseteq[\overline{a}_{ik}^L,\overline{a}_{ik}^U]，則稱(chēng)區(qū)間粗糙數(shù)互反判斷矩陣A具有基于集合論的一致性。這個(gè)定義從集合包含的角度，更加形式化地描述了一致性的條件，與前面基于區(qū)間包含的一致性定義在本質(zhì)上是相通的，但從集合論的視角能夠更方便地運(yùn)用集合的運(yùn)算和性質(zhì)進(jìn)行一致性分析?；诩险摰囊恢滦耘袆e準(zhǔn)則如下：通過(guò)判斷上述集合之間的包含關(guān)系來(lái)確定矩陣的一致性。若存在至少一組i，j，k使得集合包含關(guān)系不成立，則矩陣不具有一致性。例如，在一個(gè)實(shí)際的決策問(wèn)題中，對(duì)于一個(gè)四階區(qū)間粗糙數(shù)互反判斷矩陣，當(dāng)計(jì)算S_{123}^L，S_{123}^U，\overline{S}_{123}^L，\overline{S}_{123}^U后，發(fā)現(xiàn)S_{123}^U中的某個(gè)元素x不在[a_{13}^L,a_{13}^U]范圍內(nèi)，那么就可以判定該矩陣不具有基于集合論的一致性?；诩险摰囊恢滦苑治龇椒ň哂幸韵聝?yōu)勢(shì)：一是它能夠利用集合論中豐富的理論和方法，如集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算，以及集合的性質(zhì)和定理，來(lái)深入研究一致性問(wèn)題，為一致性分析提供更強(qiáng)大的工具和更嚴(yán)密的邏輯基礎(chǔ)。二是這種方法更具抽象性和一般性，能夠?qū)^(qū)間粗糙數(shù)互反判斷矩陣的一致性問(wèn)題與其他相關(guān)的數(shù)學(xué)理論和方法聯(lián)系起來(lái)，為跨學(xué)科研究和方法融合提供可能。在實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)景中，當(dāng)決策問(wèn)題涉及到多個(gè)屬性或方案之間復(fù)雜的關(guān)系，且這些關(guān)系可以用集合來(lái)描述時(shí)，基于集合論的一致性分析方法能夠更好地發(fā)揮作用。在資源分配決策中，不同資源的分配方案可以看作是不同的集合，通過(guò)基于集合論的一致性分析，可以更準(zhǔn)確地判斷決策者對(duì)資源分配的判斷矩陣是否具有一致性，從而為合理的資源分配提供決策支持。四、不一致區(qū)間粗糙數(shù)互反判斷矩陣的調(diào)整方法4.1偏差修正方法不一致區(qū)間粗糙數(shù)互反判斷矩陣產(chǎn)生偏差的來(lái)源是多方面的。首先，決策者的主觀認(rèn)知和判斷能力存在差異，在面對(duì)復(fù)雜的決策問(wèn)題時(shí)，難以保證對(duì)所有屬性或方案之間的相對(duì)重要性做出完全準(zhǔn)確和一致的判斷。不同決策者的知識(shí)背景、經(jīng)驗(yàn)水平、思維方式以及個(gè)人偏好等因素，都會(huì)影響他們對(duì)屬性重要性的判斷，從而導(dǎo)致判斷矩陣中出現(xiàn)不一致的情況。在選擇投資項(xiàng)目時(shí)，有的決策者可能更關(guān)注項(xiàng)目的短期收益，而有的決策者則更看重項(xiàng)目的長(zhǎng)期發(fā)展?jié)摿Γ@種偏好差異可能會(huì)使他們對(duì)不同項(xiàng)目在收益屬性上的重要性判斷產(chǎn)生偏差，進(jìn)而影響判斷矩陣的一致性。其次，決策信息的不完全和不確定性也是導(dǎo)致不一致的重要原因。在實(shí)際決策中，決策者往往無(wú)法獲取關(guān)于決策問(wèn)題的全面、準(zhǔn)確的信息，信息的缺失或模糊會(huì)增加判斷的難度和不確定性。市場(chǎng)環(huán)境的變化、數(shù)據(jù)的不準(zhǔn)確或不完整等因素，都可能使決策者在構(gòu)建判斷矩陣時(shí)出現(xiàn)偏差。在評(píng)估一個(gè)新產(chǎn)品的市場(chǎng)前景時(shí)，由于缺乏足夠的市場(chǎng)調(diào)研數(shù)據(jù)，決策者對(duì)產(chǎn)品的市場(chǎng)需求、競(jìng)爭(zhēng)態(tài)勢(shì)等信息了解不充分，可能會(huì)對(duì)產(chǎn)品在市場(chǎng)前景屬性上與其他產(chǎn)品的相對(duì)重要性判斷不準(zhǔn)確，導(dǎo)致判斷矩陣不一致。此外，判斷矩陣的構(gòu)造過(guò)程也可能引入偏差。在將決策者的定性判斷轉(zhuǎn)化為定量的判斷矩陣時(shí)，可能會(huì)因?yàn)闃?biāo)度的選擇、數(shù)據(jù)的處理等環(huán)節(jié)出現(xiàn)問(wèn)題，從而影響判斷矩陣的一致性。如果采用的標(biāo)度不能準(zhǔn)確反映決策者的判斷強(qiáng)度，或者在數(shù)據(jù)處理過(guò)程中出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤，都可能導(dǎo)致判斷矩陣出現(xiàn)不一致。基于偏差修正的調(diào)整方法遵循以下原則：一是盡量保持決策者原始判斷的信息，避免過(guò)度調(diào)整導(dǎo)致丟失重要的決策信息。在修正過(guò)程中，應(yīng)在滿(mǎn)足一致性要求的前提下，最小限度地改變判斷矩陣的元素，以確保調(diào)整后的矩陣能夠最大程度地反映決策者的初始意圖。二是調(diào)整過(guò)程應(yīng)具有可解釋性和合理性，使決策者能夠理解和接受調(diào)整后的結(jié)果。調(diào)整方法應(yīng)基于明確的理論和邏輯，通過(guò)合理的計(jì)算和分析來(lái)確定調(diào)整方案，而不是隨意地改變矩陣元素。具體步驟如下：計(jì)算偏差矩陣：根據(jù)區(qū)間粗糙數(shù)互反判斷矩陣的一致性定義，計(jì)算判斷矩陣中每個(gè)元素與一致性條件的偏差。對(duì)于元素a_{ij}=([a_{ij}^L,a_{ij}^U],[\overline{a}_{ij}^L,\overline{a}_{ij}^U])，計(jì)算其與滿(mǎn)足一致性條件的元素a_{ik}（通過(guò)a_{ij}與其他相關(guān)元素的關(guān)系計(jì)算得出）之間的區(qū)間包含偏差。若[a_{ij}^La_{jk}^L,a_{ij}^Ua_{jk}^U]不完全包含于[a_{ik}^L,a_{ik}^U]，則計(jì)算它們之間的差值，得到偏差值。設(shè)a_{12}=([2,3],[1,4])，a_{23}=([3,4],[2,5])，根據(jù)一致性條件計(jì)算得到a_{13}應(yīng)滿(mǎn)足[6,12]\subseteq[a_{13}^L,a_{13}^U]，若實(shí)際的a_{13}=([5,10],[3,15])，則下近似區(qū)間的偏差為[6-5,12-10]=[1,2]，上近似區(qū)間的偏差需進(jìn)一步分析[1??2,4??5]=[2,20]與[3,15]的關(guān)系，計(jì)算其偏差。確定調(diào)整優(yōu)先級(jí)：根據(jù)偏差的大小和影響程度，確定矩陣元素的調(diào)整優(yōu)先級(jí)。偏差較大的元素對(duì)判斷矩陣一致性的影響更為顯著，應(yīng)優(yōu)先進(jìn)行調(diào)整?？梢酝ㄟ^(guò)設(shè)定偏差閾值來(lái)篩選出需要優(yōu)先調(diào)整的元素，對(duì)于超過(guò)閾值的偏差元素，列為重點(diǎn)調(diào)整對(duì)象。例如，設(shè)定偏差閾值為[1,1]，若某個(gè)元素的偏差超過(guò)該閾值，則將其作為優(yōu)先調(diào)整的對(duì)象。調(diào)整矩陣元素：按照調(diào)整優(yōu)先級(jí)，對(duì)判斷矩陣的元素進(jìn)行調(diào)整。調(diào)整時(shí)，可以采用線(xiàn)性調(diào)整、非線(xiàn)性調(diào)整等方法。線(xiàn)性調(diào)整是根據(jù)偏差的大小，按一定比例對(duì)矩陣元素進(jìn)行調(diào)整。若元素a_{ij}的下近似區(qū)間下限值a_{ij}^L需要調(diào)整，且偏差為\Deltaa_{ij}^L，則調(diào)整后的下限值為a_{ij}^L+k\Deltaa_{ij}^L，其中k為調(diào)整系數(shù)，可根據(jù)實(shí)際情況確定。非線(xiàn)性調(diào)整則可以采用更復(fù)雜的函數(shù)關(guān)系進(jìn)行調(diào)整，以更好地滿(mǎn)足一致性要求和決策者的偏好。在某些情況下，根據(jù)決策問(wèn)題的特點(diǎn)和決策者對(duì)不同屬性的重視程度，采用非線(xiàn)性函數(shù)對(duì)偏差較大的元素進(jìn)行調(diào)整，使調(diào)整后的矩陣更符合實(shí)際決策需求。檢驗(yàn)調(diào)整后的一致性：對(duì)調(diào)整后的區(qū)間粗糙數(shù)互反判斷矩陣進(jìn)行一致性檢驗(yàn)，判斷是否滿(mǎn)足一致性要求。若不滿(mǎn)足，則返回步驟1，繼續(xù)進(jìn)行偏差計(jì)算和調(diào)整，直到判斷矩陣達(dá)到滿(mǎn)意的一致性水平?？梢圆捎们懊娼榻B的基于區(qū)間包含、集合論等一致性分析方法來(lái)檢驗(yàn)調(diào)整后的矩陣一致性。4.2判斷矩陣排序權(quán)重確定方法4.2.1一致逼近法一致逼近法是一種用于求解判斷矩陣排序權(quán)向量的有效方法，其核心原理是通過(guò)對(duì)判斷矩陣進(jìn)行特定的變換和計(jì)算，找到一個(gè)與原判斷矩陣最為接近且滿(mǎn)足一致性條件的矩陣，進(jìn)而確定排序權(quán)向量。該方法基于最佳一致逼近理論，旨在使逼近矩陣與原矩陣在某種度量下的偏差達(dá)到最小。具體步驟如下：設(shè)定目標(biāo)函數(shù)：以原區(qū)間粗糙數(shù)互反判斷矩陣與逼近矩陣之間的偏差最小為目標(biāo)，構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)。設(shè)原區(qū)間粗糙數(shù)互反判斷矩陣為A=(a_{ij})_{n\timesn}，逼近矩陣為B=(b_{ij})_{n\timesn}，偏差函數(shù)可以定義為d(A,B)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}w_{ij}|a_{ij}-b_{ij}|，其中w_{ij}為權(quán)重系數(shù)，用于調(diào)整不同元素偏差的重要程度。這里的權(quán)重系數(shù)w_{ij}可以根據(jù)決策者對(duì)不同屬性或方案的關(guān)注程度來(lái)確定。在選擇投資項(xiàng)目時(shí)，若決策者更關(guān)注項(xiàng)目的收益屬性，那么在計(jì)算偏差時(shí)，與收益屬性相關(guān)的元素對(duì)應(yīng)的w_{ij}可以設(shè)置得較大，以突出這些元素偏差的重要性。一致性約束條件：約束逼近矩陣B滿(mǎn)足一致性條件，即對(duì)于任意的i，j，k，有b_{ij}b_{jk}=b_{ik}。這是一致逼近法的關(guān)鍵約束，確保逼近矩陣具有良好的一致性，從而使確定的排序權(quán)向量更具合理性。求解優(yōu)化問(wèn)題：運(yùn)用優(yōu)化算法求解上述目標(biāo)函數(shù)在一致性約束條件下的最優(yōu)解，得到逼近矩陣B。常用的優(yōu)化算法有線(xiàn)性規(guī)劃算法、非線(xiàn)性規(guī)劃算法等。在實(shí)際應(yīng)用中，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)和約束條件的特點(diǎn)選擇合適的優(yōu)化算法。如果目標(biāo)函數(shù)是線(xiàn)性的，約束條件也是線(xiàn)性的，那么可以選擇單純形法等線(xiàn)性規(guī)劃算法進(jìn)行求解；如果目標(biāo)函數(shù)或約束條件是非線(xiàn)性的，則需要采用非線(xiàn)性規(guī)劃算法，如梯度下降法、遺傳算法等。確定排序權(quán)向量：根據(jù)逼近矩陣B確定排序權(quán)向量?？梢酝ㄟ^(guò)計(jì)算逼近矩陣B的特征向量，將最大特征值對(duì)應(yīng)的特征向量進(jìn)行歸一化處理，得到排序權(quán)向量。假設(shè)通過(guò)優(yōu)化算法得到逼近矩陣B，計(jì)算其最大特征值\lambda_{max}對(duì)應(yīng)的特征向量W=(w_1,w_2,\cdots,w_n)^T，然后對(duì)特征向量進(jìn)行歸一化，即\overline{W}=(\frac{w_1}{\sum_{i=1}^{n}w_i},\frac{w_2}{\sum_{i=1}^{n}w_i},\cdots,\frac{w_n}{\sum_{i=1}^{n}w_i})^T，\overline{W}即為最終的排序權(quán)向量。以一個(gè)簡(jiǎn)單的三階區(qū)間粗糙數(shù)互反判斷矩陣為例，假設(shè)原矩陣A為：A=\begin{pmatrix}([1,1],[1,1])&([2,3],[1,4])&([3,4],[2,5])\\([\frac{1}{4},\frac{1}{3}],[\frac{1}{3},\frac{1}{2}])&([1,1],[1,1])&([4,5],[3,6])\\([\frac{1}{5},\frac{1}{4}],[\frac{1}{4},\frac{1}{3}])&([\frac{1}{6},\frac{1}{5}],[\frac{1}{5},\frac{1}{4}])&([1,1],[1,1])\end{pmatrix}按照一致逼近法的步驟，首先設(shè)定目標(biāo)函數(shù)，假設(shè)權(quán)重系數(shù)w_{ij}均為1，構(gòu)建偏差函數(shù)d(A,B)。然后添加一致性約束條件，運(yùn)用優(yōu)化算法（如遺傳算法）求解該優(yōu)化問(wèn)題，得到逼近矩陣B。對(duì)逼近矩陣B計(jì)算其最大特征值對(duì)應(yīng)的特征向量，并進(jìn)行歸一化處理，得到排序權(quán)向量。假設(shè)經(jīng)過(guò)計(jì)算得到排序權(quán)向量為(0.25,0.35,0.4)^T，這表明在該決策問(wèn)題中，第三個(gè)屬性或方案相對(duì)更為重要，其權(quán)重為0.4；第一個(gè)屬性或方案的權(quán)重為0.25，相對(duì)重要性較低。通過(guò)這個(gè)實(shí)例可以看出，一致逼近法能夠有效地處理區(qū)間粗糙數(shù)互反判斷矩陣，確定合理的排序權(quán)向量，為決策提供有力的支持。4.2.2特征根法特征根法是確定判斷矩陣排序權(quán)重的常用方法之一，在區(qū)間粗糙數(shù)互反判斷矩陣中也有廣泛應(yīng)用。其基本原理基于矩陣的特征值和特征向量理論，對(duì)于一個(gè)判斷矩陣A，通過(guò)計(jì)算其最大特征值\lambda_{max}以及對(duì)應(yīng)的特征向量W，將特征向量進(jìn)行歸一化處理后得到排序權(quán)向量。具體計(jì)算步驟如下：計(jì)算最大特征值和特征向量：對(duì)于區(qū)間粗糙數(shù)互反判斷矩陣A=(a_{ij})_{n\timesn}，求解特征方程|A-\lambdaI|=0，得到矩陣A的特征值\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n，其中最大特征值為\lambda_{max}。然后求解方程組(A-\lambda_{max}I)W=0，得到對(duì)應(yīng)的特征向量W=(w_1,w_2,\cdots,w_n)^T。在計(jì)算過(guò)程中，由于區(qū)間粗糙數(shù)的運(yùn)算較為復(fù)雜，需要運(yùn)用區(qū)間粗糙數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算。對(duì)于區(qū)間粗糙數(shù)的乘法運(yùn)算，如a_{ij}=([a_{ij}^L,a_{ij}^U],[\overline{a}_{ij}^L,\overline{a}_{ij}^U])與a_{jk}=([a_{jk}^L,a_{jk}^U],[\overline{a}_{jk}^L,\overline{a}_{jk}^U])相乘，需要按照相應(yīng)的區(qū)間運(yùn)算規(guī)則進(jìn)行計(jì)算。歸一化處理：將得到的特征向量W進(jìn)行歸一化處理，得到排序權(quán)向量\overline{W}。歸一化公式為\overline{w}_i=\frac{w_i}{\sum_{j=1}^{n}w_j}，i=1,2,\cdots,n。通過(guò)歸一化處理，使得排序權(quán)向量的各分量之和為1，便于對(duì)各屬性或方案的相對(duì)重要性進(jìn)行比較。以一個(gè)四階區(qū)間粗糙數(shù)互反判斷矩陣為例，假設(shè)矩陣A為：A=\begin{pmatrix}([1,1],[1,1])&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&([1,1],[1,1])&a_{23}&a_{24}\\a_{31}&a_{32}&([1,1],[1,1])&a_{34}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&([1,1],[1,1])\end{pmatrix}首先運(yùn)用區(qū)間粗糙數(shù)的運(yùn)算規(guī)則計(jì)算矩陣A的特征值和特征向量，假設(shè)計(jì)算得到最大特征值\lambda_{max}對(duì)應(yīng)的特征向量W=(0.2,0.3,0.25,0.25)^T。然后對(duì)特征向量W進(jìn)行歸一化處理，\sum_{j=1}^{4}w_j=0.2+0.3+0.25+0.25=1，則歸一化后的排序權(quán)向量\overline{W}=(0.2,0.3,0.25,0.25)^T。這表明在這個(gè)決策問(wèn)題中，第二個(gè)屬性或方案的權(quán)重相對(duì)較高，為0.3；第一個(gè)、第三個(gè)和第四個(gè)屬性或方案的權(quán)重分別為0.2、0.25和0.25。特征根法在區(qū)間粗糙數(shù)互反判斷矩陣中的應(yīng)用具有一定的優(yōu)勢(shì)和局限性。優(yōu)勢(shì)在于其原理清晰，計(jì)算過(guò)程相對(duì)較為明確，并且在理論上有較為堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，能夠利用矩陣?yán)碚撝械南嚓P(guān)成果進(jìn)行分析和推導(dǎo)。然而，該方法也存在一些不足之處。由于區(qū)間粗糙數(shù)的運(yùn)算復(fù)雜性，計(jì)算特征值和特征向量的過(guò)程較為繁瑣，計(jì)算量較大，需要耗費(fèi)較多的時(shí)間和計(jì)算資源。而且，特征根法對(duì)于判斷矩陣的一致性要求較高，如果判斷矩陣的一致性較差，可能會(huì)導(dǎo)致計(jì)算得到的排序權(quán)向量偏差較大，影響決策的準(zhǔn)確性。在實(shí)際應(yīng)用中，需要根據(jù)具體情況綜合考慮特征根法的適用性，結(jié)合其他方法進(jìn)行驗(yàn)證和補(bǔ)充，以提高決策的科學(xué)性和可靠性。4.3區(qū)間粗糙數(shù)的常用排序方法4.3.1基于可能度的排序方法基于可能度的排序方法是區(qū)間粗糙數(shù)排序中一種較為常用的方法，其核心原理是通過(guò)定義區(qū)間粗糙數(shù)之間的可能度，來(lái)衡量一個(gè)區(qū)間粗糙數(shù)大于另一個(gè)區(qū)間粗糙數(shù)的可能性大小，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)對(duì)區(qū)間粗糙數(shù)的排序。這種方法充分考慮了區(qū)間粗糙數(shù)的不確定性，能夠更全面地反映區(qū)間粗糙數(shù)之間的大小關(guān)系?？赡芏鹊亩x公式有多種形式，這里介紹一種常見(jiàn)的定義。設(shè)X=([x^L,x^U],[\overline{x}^L,\overline{x}^U])和Y=([y^L,y^U],[\overline{y}^L,\overline{y}^U])為兩個(gè)區(qū)間粗糙數(shù)，其可能度P(X\geqY)定義為：P(X\geqY)=\frac{1}{4}\left(\frac{\min\{x^U,y^U\}-\max\{x^L,y^L\}}{\max\{x^U,y^U\}-\min\{x^L,y^L\}}+\frac{\min\{\overline{x}^U,\overline{y}^U\}-\max\{\overline{x}^L,\overline{y}^L\}}{\max\{\overline{x}^U,\overline{y}^U\}-\min\{\overline{x}^L,\overline{y}^L\}}\right)當(dāng)\max\{x^L,y^L\}=\min\{x^U,y^U\}且\max\{\overline{x}^L,\overline{y}^L\}=\min\{\overline{x}^U,\overline{y}^U\}時(shí)，P(X\geqY)=0.5。這個(gè)公式綜合考慮了區(qū)間粗糙數(shù)的下近似區(qū)間和上近似區(qū)間，通過(guò)計(jì)算兩個(gè)區(qū)間粗糙數(shù)在不同近似區(qū)間上的重疊程度來(lái)確定可能度?；诳赡芏鹊呐判虿襟E如下：計(jì)算可能度矩陣：對(duì)于一組區(qū)間粗糙數(shù)X_1,X_2,\cdots,X_n，計(jì)算任意兩個(gè)區(qū)間粗糙數(shù)X_i和X_j之間的可能度P(X_i\geqX_j)，得到可能度矩陣P=(p_{ij})_{n\timesn}，其中p_{ij}=P(X_i\geqX_j)。確定排序指標(biāo)：可以采用不同的方法確定排序指標(biāo)，一種常見(jiàn)的方法是計(jì)算每個(gè)區(qū)間粗糙數(shù)的排序指標(biāo)r_i=\sum_{j=1}^{n}p_{ij}，i=1,2,\cdots,n。r_i越大，說(shuō)明X_i大于其他區(qū)間粗糙數(shù)的可能性越大。排序：根據(jù)排序指標(biāo)r_i的大小對(duì)區(qū)間粗糙數(shù)進(jìn)行排序，r_i越大，對(duì)應(yīng)的區(qū)間粗糙數(shù)越排在前面。例如，假設(shè)有三個(gè)區(qū)間粗糙數(shù)X_1=([2,3],[1,4])，X_2=([1,2],[0.5,3])，X_3=([3,4],[2,5])。首先計(jì)算可能度矩陣：\begin{align*}P(X_1\geqX_2)&=\frac{1}{4}\left(\frac{\min\{3,2\}-\max\{2,1\}}{\max\{3,2\}-\min\{2,1\}}+\frac{\min\{4,3\}-\max\{1,0.5\}}{\max\{4,3\}-\min\{1,0.5\}}\right)\\&=\frac{1}{4}\left(\frac{2-2}{3-1}+\frac{3-1}{4-0.5}\right)\\&=\frac{1}{4}\left(0+\frac{2}{3.5}\right)\\&\approx0.143\end{align*}\begin{align*}P(X_1\geqX_3)&=\frac{1}{4}\left(\frac{\min\{3,4\}-\max\{2,3\}}{\max\{3,4\}-\min\{2,3\}}+\frac{\min\{4,5\}-\max\{1,2\}}{\max\{4,5\}-\min\{1,2\}}\right)\\&=\frac{1}{4}\left(\frac{3-3}{4-2}+\frac{4-2}{5-1}\right)\\&=\frac{1}{4}\left(0+\frac{2}{4}\right)\\&=0.125\end{align*}\begin{align*}P(X_2\geqX_1)&=\frac{1}{4}\left(\frac{\min\{2,3\}-\max\{1,2\}}{\max\{2,3\}-\min\{1,2\}}+\frac{\min\{3,4\}-\max\{0.5,1\}}{\max\{3,4\}-\min\{0.5,1\}}\right)\\&=\frac{1}{4}\left(\frac{2-2}{3-1}+\frac{3-1}{4-0.5}\right)\\&=\frac{1}{4}\left(0+\frac{2}{3.5}\right)\\&\approx0.143\end{align*}\begin{align*}P(X_2\geqX_3)&=\frac{1}{4}\left(\frac{\min\{2,4\}-\max\{1,3\}}{\max\{2,4\}-\min\{1,3\}}+\frac{\min\{3,5\}-\max\{0.5,2\}}{\max\{3,5\}-\min\{0.5,2\}}\right)\\&=\frac{1}{4}\left(\frac{2-3}{4-1}+\frac{3-2}{5-0.5}\right)\\&=\frac{1}{4}\left(-\frac{1}{3}+\frac{1}{4.5}\right)\\&\approx-0.028\end{align*}\begin{align*}P(X_3\geqX_1)&=\frac{1}{4}\left(\frac{\min\{4,3\}-\max\{3,2\}}{\max\{4,3\}-\min\{3,2\}}+\frac{\min\{5,4\}-\max\{2,1\}}{\max\{5,4\}-\min\{2,1\}}\right)\\&=\frac{1}{4}\left(\frac{3-3}{4-2}+\frac{4-2}{5-1}\right)\\&=\frac{1}{4}\left(0+\frac{2}{4}\right)\\&=0.125\end{align*}\begin{align*}P(X_3\geqX_2)&=\frac{1}{4}\left(\frac{\min\{4,2\}-\max\{3,1\}}{\max\{4,2\}-\min\{3,1\}}+\frac{\min\{5,3\}-\max\{2,0.5\}}{\max\{5,3\}-\min\{2,0.5\}}\right)\\&=\frac{1}{4}\left(\frac{2-3}{4-1}+\frac{3-2}{5-0.5}\right)\\&=\frac{1}{4}\left(-\frac{1}{3}+\frac{1}{4.5}\right)\\&\approx-0.028\end{align*}得到可能度矩陣P為：P=\begin{pmatrix}0.5&0.143&0.125\\0.143&0.5&-0.028\\0.125&-0.028&0.5\end{pmatrix}然后計(jì)算排序指標(biāo)：\begin{align*}r_1&=\sum_{j=1}^{3}p_{1j}=0.5+0.143+0.125=0.768\\r_2&=\sum_{j=1}^{3}p_{2j}=0.143+0.5-0.028=0.615\\r_3&=\sum_{j=1}^{3}p_{3j}=0.125-0.028+0.5=0.6\\\end{align*}根據(jù)排序指標(biāo)大小排序?yàn)閄_1\gtX_2\gtX_3。通過(guò)這個(gè)例子可以清晰地看到基于可能度的排序方法的具體應(yīng)用過(guò)程和效果。4.3.2期望—方差法期望—方差法是另一種用于區(qū)間粗糙數(shù)排序的有效方法，其基本思想是利用區(qū)間粗糙數(shù)的期望和方差這兩個(gè)度量指標(biāo)來(lái)綜合衡量區(qū)間粗糙數(shù)的大小和穩(wěn)定性，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)區(qū)間粗糙數(shù)的排序。期望反映了區(qū)間粗糙數(shù)的平均水平，方差則體現(xiàn)了區(qū)間粗糙數(shù)的離散程度或不確定性程度。對(duì)于區(qū)間粗糙數(shù)X=([x^L,x^U],[\overline{x}^L,\overline{x}^U])，其期望E(X)和方差D(X)的計(jì)算公式如下：E(X)=\frac{1}{4}(x^L+x^U+\overline{x}^L+\overline{x}^U)D(X)=\frac{1}{4}\left[(x^L-E(X))^2+(x^U-E(X))^2+(\overline{x}^L-E(X))^2+(\overline{x}^U-E(X))^2\right]期望E(X)的計(jì)算是對(duì)區(qū)間粗糙數(shù)下近似區(qū)間和上近似區(qū)間的四個(gè)端點(diǎn)值進(jìn)行平均，它表示了區(qū)間粗糙數(shù)的中心趨勢(shì)。方差D(X)則是通過(guò)計(jì)算每個(gè)端點(diǎn)值與期望的偏差平方和的平均值來(lái)衡量區(qū)間粗糙數(shù)的離散程度，方差越大，說(shuō)明區(qū)間粗糙數(shù)的不確定性越大。在利用期望—方差法進(jìn)行排序時(shí)，首先計(jì)算每個(gè)區(qū)間粗糙數(shù)的期望和方差。然后，根據(jù)期望和方差的大小關(guān)系來(lái)確定排序規(guī)則。一種常見(jiàn)的排序規(guī)則是：優(yōu)先比較期望：期望越大的區(qū)間粗糙數(shù)，其排序越靠前。這是因?yàn)槠谕^大意味著區(qū)間粗糙數(shù)的平均水平較高。期望相同時(shí)比較方差：當(dāng)兩個(gè)區(qū)間粗糙數(shù)的期望相等時(shí)，方差較小的區(qū)間粗糙數(shù)排序更靠前。這是因?yàn)榉讲钚”硎緟^(qū)間粗糙數(shù)的不確定性較小，相對(duì)更穩(wěn)定。例如，假設(shè)有兩個(gè)區(qū)間粗糙數(shù)X=([2,4],[1,5])和Y=([3,5],[2,6])。首先計(jì)算它們的期望和方差：E(X)=\frac{1}{4}(2+4+1+5)=3\begin{align*}D(X)&=\frac{1}{4}\left[(2-3)^2+(4-3)^2+(1-3)^2+(5-3)^2\right]\\&=\frac{1}{4}(1+1+4+4)\\&=\frac{10}{4}=2.5\end{align*}E(Y)=\frac{1}{4}(3+5+2+6)=4\begin{align*}D(Y)&=\frac{1}{4}\left[(3-4)^2+(5-4)^2+(2-4)^2+(6-4)^2\right]\\&=\frac{1}{4}(1+1+4+4)\\&=\frac{10}{4}=2.5\end{align*}由于E(X)=3，E(Y)=4，且3\lt4，根據(jù)排序規(guī)則，Y的排序在X之前。再假設(shè)有兩個(gè)區(qū)間粗糙數(shù)A=([1,3],[0.5,4])和B=([2,4],[1,5])，計(jì)算可得：E(A)=\frac{1}{4}(1+3+0.5+4)=2.125\begin{align*}D(A)&=\frac{1}{4}\left[(1-2.125)^2+(3-2.125)^2+(0.5-2.125)^2+(4-2.125)^2\right]\\&=\frac{1}{4}(1.265625+0.765625+2.640625+3.515625)\\&=\frac{8.1875}{4}=2.046875\end{align*}E(B)=\frac{1}{4}(2+4+1+5)=3\begin{align*}D(B)&=\frac{1}{4}\left[(2-3)^2+(4-3)^2+(1-3)^2+(5-3)^2\right]\\&=\frac{1}{4}(1+1+4+4)\\&=\frac{10}{4}=2.5\end{align*}這里E(A)\ltE(B)，所以B的排序在A之前。通過(guò)這些實(shí)例可以看出，期望—方差法能夠根據(jù)區(qū)間粗糙數(shù)的期望和方差有效地對(duì)其進(jìn)行排序，為多屬性決策中處理區(qū)間粗糙數(shù)提供了一種實(shí)用的方法。4.4實(shí)例分析假設(shè)某企業(yè)計(jì)劃進(jìn)行新產(chǎn)品研發(fā)，有三個(gè)備選方案：方案A、方案B和方案C。邀請(qǐng)了三位專(zhuān)家對(duì)這三個(gè)方案在技術(shù)可行性、市場(chǎng)前景、成本效益三個(gè)屬性上的重要性進(jìn)行評(píng)價(jià)，得到如下區(qū)間粗糙數(shù)互反判斷矩陣：專(zhuān)家1的判斷矩陣專(zhuān)家1的判斷矩陣A_1：A_1=\begin{pmatrix}([1,1],[1,1])&([2,3],[1,4])&([3,4],[2,5])\\([\frac{1}{4},\frac{1}{3}],[\frac{1}{3},\frac{1}{2}])&([1,1],[1,1])&([4,5],[3,6])\\([\frac{1}{5},\frac{1}{4}],[\frac{1}{4},\frac{1}{3}])&([\frac{1}{6},\frac{1}{5}],[\frac{1}{5},\frac{1}{4}])&([1,1],[1,1])\end{pmatrix}專(zhuān)家2的判斷矩陣A_2：A_2=\begin{pmatrix}([1,1],[1,1])&([1,2],[0.5,3])&([2,3],[1,4])\\([\frac{1}{3},\frac{1}{2}],[\frac{1}{2},1])&([1,1],[1,1])&([3,4],[2,5])\\([\frac{1}{4},\frac{1}{3}],[\frac{1}{3},\frac{1}{2}])&([\frac{1}{5},\frac{1}{4}],[\frac{1}{4},\frac{1}{3}])&([1,1],[1,1])\end{pmatrix}專(zhuān)家3的判斷矩陣A_3：A_3=\begin{pmatrix}([1,1],[1,1])&([3,4],[2,5])&([4,5],[3,6])\\([\frac{1}{5},\frac{1}{4}],[\frac{1}{4},\frac{1}{3}])&([1,1],[1,1])&([5,6],[4,7])\\([\frac{1}{6},\frac{1}{5}],[\frac{1}{5},\frac{1}{4}])&([\frac{1}{7},\frac{1}{6}],[\frac{1}{6},\frac{1}{5}])&([1,1],[1,1])\end{pmatrix}首先，運(yùn)用基于偏差修正的調(diào)整方法對(duì)每個(gè)判斷矩陣進(jìn)行一致性調(diào)整。以專(zhuān)家1的判斷矩陣A_1為例，計(jì)算偏差矩陣，確定調(diào)整優(yōu)先級(jí)。假設(shè)經(jīng)過(guò)計(jì)算，發(fā)現(xiàn)a_{13}元素的偏差較大，按照調(diào)整方法，對(duì)其進(jìn)行調(diào)整。通過(guò)線(xiàn)性調(diào)整方法，根據(jù)偏差大小按一定比例調(diào)整a_{13}的下近似區(qū)間下限值和上限值，以及上近似區(qū)間下限值和上限值，得到調(diào)整后的判斷矩陣A_1'。同樣的方法對(duì)A_2和A_3進(jìn)行調(diào)整，得到A_2'和A_3'。然后，采用一致逼近法確定每個(gè)調(diào)整后判斷矩陣的排序權(quán)向量。以A_1'為例，設(shè)定目標(biāo)函數(shù)，以原判斷矩陣A_1'與逼近矩陣之間的偏差最小為目標(biāo)，構(gòu)建偏差函數(shù)d(A_1',B)=\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3}w_{ij}|a_{ij}-b_{ij}|，假設(shè)權(quán)重系數(shù)w_{ij}均為1。添加一致性約束條件，運(yùn)用優(yōu)化算法（如遺傳算法）求解該優(yōu)化問(wèn)題，得到逼近矩陣B_1。對(duì)逼近矩陣B_1計(jì)算其最大特征值對(duì)應(yīng)的特征向量，并進(jìn)行歸一化處理，得到排序權(quán)