醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第一章函數(shù)與極限(functionsandlimits)目的與要求熟練掌握復(fù)合函數(shù)的分解掌握兩個(gè)重要極限及函數(shù)極限的求法理解函數(shù)連續(xù)的定義及其性質(zhì)第一節(jié)函數(shù)一、函數(shù)的概念（要點(diǎn)）二、函數(shù)的性質(zhì):（要點(diǎn)）有界性單調(diào)性奇偶性周期性三、函數(shù)的分類初等函數(shù)：基本初等函數(shù)、復(fù)合函數(shù)（要點(diǎn)、難點(diǎn)）、初等函數(shù)分段函數(shù)中學(xué)階段研究得比較深入的函數(shù)三角函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)冪函數(shù)…映射設(shè)X和Y是兩個(gè)非空集合，若存在一個(gè)法則f，使得對(duì)X中的每個(gè)元素x，在Y中有唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng)，則稱f為從X到Y(jié)的映射，記作：定義1-1函數(shù)設(shè)數(shù)集

,則稱映射f：為定義在D上的函數(shù)(function).記為:變量x

稱為自變量(independentvariable);變量y

稱為因變量(dependentvariable);因變量與自變量間的依賴關(guān)系稱為函數(shù)關(guān)系;定義1-1函數(shù)(cont’d)D稱為函數(shù)的定義域(domain);y

所有對(duì)應(yīng)值的集合稱為函數(shù)的值域(range),記為R.當(dāng)自變量取某一定值時(shí),函數(shù)f(x)的對(duì)應(yīng)值稱為函數(shù)當(dāng)時(shí)的函數(shù)值,記為.oM-Mxy=f(x)有界ab無(wú)界M-Mxoabxyoxyoyxox-xyxox-x基本初等函數(shù)(cont’d)冪函數(shù)指數(shù)函數(shù)基本初等函數(shù)(cont’d)對(duì)數(shù)函數(shù)基本初等函數(shù)(cont’d)三角函數(shù)正弦函數(shù)基本初等函數(shù)(cont’d)基本初等函數(shù)(cont’d)正切函數(shù)基本初等函數(shù)(cont’d)余切函數(shù)基本初等函數(shù)(cont’d)正割函數(shù)基本初等函數(shù)(cont’d)余割函數(shù)基本初等函數(shù)(cont’d)反三角函數(shù)基本初等函數(shù)(cont’d)基本初等函數(shù)(cont’d)基本初等函數(shù)(cont’d)基本初等函數(shù)(cont’d)弄清幾個(gè)問(wèn)題2.并非任何兩個(gè)函數(shù)都可以復(fù)合成復(fù)合函數(shù);1.復(fù)合函數(shù)的定義域小于(等于)子函數(shù)的定義域;3.復(fù)合函數(shù)允許有有限個(gè)中間變量;4.復(fù)合函數(shù)分解時(shí)分解到簡(jiǎn)單函數(shù)或基本初等函數(shù)即可.第二節(jié)極限

(Limits)第二節(jié)極限一、極限的概念（要點(diǎn)、難點(diǎn)）1、函數(shù)的極限2、函數(shù)的極限3、左極限與右極限4、數(shù)列的極限二、無(wú)窮小量及其性質(zhì)（要點(diǎn)）1、無(wú)窮小量和無(wú)窮大量的定義2、無(wú)窮小階的比較三、極限的運(yùn)算法則（要點(diǎn)）四、極限的判斷準(zhǔn)則五、兩個(gè)重要極限（要點(diǎn)、難點(diǎn)）

播放1、函數(shù)的極限描述性定義:當(dāng)自變量x的絕對(duì)值無(wú)限增大時(shí),若函數(shù)f(x)無(wú)限地趨近于一個(gè)常數(shù)A,則稱:當(dāng)x趨于無(wú)窮大時(shí),函數(shù)f(x)以A為極限.記為:例AxyoA+

A

XX1、函數(shù)的極限其分析性定義:注意|x|>Xx>Xx<-X注意2、函數(shù)的極限考慮函數(shù)x024y2、函數(shù)的極限描述性定義:當(dāng)自變量x以任意方式無(wú)限地趨近于時(shí),若函數(shù)f(x)無(wú)限地趨近于一個(gè)常數(shù)A,則稱:當(dāng)時(shí),函數(shù)f(x)以A為極限.記為:極限的分析性定義AxyoA+

A

x0

y=f(x)x0x0+xy013、左極限與右極限當(dāng)自變量x從小于的方向趨近于時(shí),記為:當(dāng)自變量x從大于的方向趨近于時(shí),記為:若在這樣的極限過(guò)程中,函數(shù)f(x)的極限存在,就稱為單側(cè)極限,即左極限或右極限,分別記為:左、右極限分析性定義極限存在的充要條件例題例題例題4、數(shù)列的極限若函數(shù)f(n)的定義域是正整數(shù)集，當(dāng)n從小到大取值，全體對(duì)應(yīng)函數(shù)值的排列

f(1)，f(2)，f(3)，…，f(n)，…

稱為數(shù)列(sequencesofnumbers).通常用an表示f(n)，且稱an為數(shù)列的第n項(xiàng)，亦稱為通項(xiàng)(generalterm)，并用{an}記此數(shù)列。4、數(shù)列的極限當(dāng)n→∞時(shí)，數(shù)列{an}的極限可類比函數(shù)f(x)當(dāng)自變量x→∞的情形。當(dāng)n→∞時(shí)，若an無(wú)限地趨近于一個(gè)常數(shù)A，則稱：n→∞時(shí)，{an}以A為極限。記為：否則，稱不存在4、數(shù)列的極限例：判斷下面數(shù)列的極限是否存在。二、無(wú)窮小與無(wú)窮大1、無(wú)窮小與無(wú)窮大的定義注意：1.無(wú)窮大量和無(wú)窮小量都是變量。都是與自變量x特定的極限過(guò)程聯(lián)系的。2.任何很小的常數(shù)（零除外）或任何很大的常數(shù)都不是無(wú)窮小量或無(wú)窮大量，因?yàn)槌?shù)的極限總是等于其本身，故零是唯一的可作為無(wú)窮小量的常數(shù)。3.無(wú)窮小量和無(wú)窮大量之間是倒數(shù)的關(guān)系1、無(wú)窮小與無(wú)窮大的定義2、無(wú)窮小量的比較和階2、無(wú)窮小量的比較和階在求兩個(gè)無(wú)窮小之比的極限時(shí)，分子與分母都可以用各自的等價(jià)無(wú)窮小代換。只要代換的無(wú)窮小選擇適當(dāng)，就可以簡(jiǎn)化計(jì)算。常用等價(jià)無(wú)窮小:2、無(wú)窮小量的比較和階切記：只能對(duì)函數(shù)的因子作等價(jià)無(wú)窮小代換，不能對(duì)分母和分子的某個(gè)加項(xiàng)作代換，否則就會(huì)出錯(cuò)。2、無(wú)窮小量的比較和階三、極限的運(yùn)算法則分式，先化簡(jiǎn)無(wú)理式，先有理化多個(gè)分式，先通分無(wú)理式，先有理化四、極限的判斷準(zhǔn)則準(zhǔn)則1(夾逼準(zhǔn)則)若在同一極限過(guò)程中,三個(gè)函數(shù)且則：

三、極限的判斷準(zhǔn)則準(zhǔn)則2(單調(diào)有界準(zhǔn)則)單調(diào)有界數(shù)列一定有極限.如.注.有界的單調(diào)函數(shù)在如.五、兩個(gè)重要極限1、兩個(gè)重要極限2、利用兩個(gè)重要極限求極限極限=1第二節(jié)極限小結(jié)一、極限的概念（要點(diǎn)）1、函數(shù)的極限2、函數(shù)的極限3、左極限與右極限4、數(shù)列的極限二、無(wú)窮小量及其性質(zhì)（要點(diǎn)）1、無(wú)窮小量和無(wú)窮大量的定義2、無(wú)窮小階的比較三、極限的判斷準(zhǔn)則四、極限的運(yùn)算法則（要點(diǎn)）

五、兩個(gè)重要極限（要點(diǎn)、難點(diǎn)）

第三節(jié)函數(shù)的連續(xù)性

（continuityoffunctions）

函數(shù)的連續(xù)性目的與要求

理解函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)(continuityatapoint)的概念，了解函數(shù)區(qū)間上連續(xù)(continuityonaninterval)的概念會(huì)判別函數(shù)間斷點(diǎn)的類型了解初等函數(shù)連續(xù)性，了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì):介值定理(intermediatevaluetheorem)、零點(diǎn)定理、最值定理○○○○一、函數(shù)的間斷點(diǎn)與連續(xù)性函數(shù)的增量可去間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)無(wú)窮間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn)可去型第一類間斷點(diǎn)oyx跳躍型無(wú)窮型振蕩型第二類間斷點(diǎn)oyxoyxoyx例4解如例4中,注意

可去間斷點(diǎn)只要改變或者補(bǔ)充間斷處函數(shù)的定義,則可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn).例6解第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn)：振蕩間斷點(diǎn)左右極限都存在的間斷點(diǎn)為第一類間斷點(diǎn).不是第一類的任何間斷點(diǎn)為第二類間斷點(diǎn).注二、初等函數(shù)的連續(xù)性重要結(jié)論：一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間都是連續(xù)的。對(duì)初等函數(shù)求極限，就是求