第八節(jié)解三角形應(yīng)用舉例高三一輪復(fù)習(xí)講義湘教版第四章三角函數(shù)與解三角形課程標(biāo)準(zhǔn)能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題.0403考教銜接精研教材課時(shí)測(cè)評(píng)02考點(diǎn)探究提升能力教材梳理夯實(shí)基礎(chǔ)01內(nèi)容索引教材梳理夯實(shí)基礎(chǔ)測(cè)量中的幾個(gè)有關(guān)術(shù)語(yǔ)術(shù)語(yǔ)名稱術(shù)語(yǔ)意義圖形表示仰角與俯角在目標(biāo)視線與水平視線(兩者在同一鉛垂平面內(nèi))所成的角中，目標(biāo)視線在水平視線上方的叫作仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方的叫作俯角方位角從某點(diǎn)的指北方向線起按順時(shí)針?lè)较虻侥繕?biāo)方向線之間的夾角叫作方位角.方位角θ的范圍是0°≤θ<360°術(shù)語(yǔ)名稱術(shù)語(yǔ)意義圖形表示方向角正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角，通常表達(dá)為北(南)偏東(西)α北偏東α：南偏西α：坡角與坡比自主檢測(cè)

√√√

√

3.兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站北偏東40°，燈塔B在觀察站南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的A．北偏東10° B．北偏西10°C．南偏東10° D．南偏西10°√由題可知AC=BC，∠ACB=80°，所以∠ABC=50°，A，B，C位置關(guān)系如圖，

則燈塔A在燈塔B的北偏西10°.故選B．

√

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多維探究典例1角度1

測(cè)量距離問(wèn)題

為了測(cè)量一個(gè)不規(guī)則公園內(nèi)C，D兩點(diǎn)之間的距離，如圖，在東西方向上選取相距1km的A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)B在點(diǎn)A的正東方向上，且A，B，C，D四點(diǎn)在同一水平面上.從點(diǎn)A處觀測(cè)得點(diǎn)C在它的東北方向上，點(diǎn)D在它的西北方向上；從點(diǎn)B處觀測(cè)得點(diǎn)C在它的北偏東15°方向上，點(diǎn)D在它的北偏西75°方向上，則C，D之間的距離為_(kāi)_____km.2

求解距離問(wèn)題的兩個(gè)注意事項(xiàng)1.選定或確定要?jiǎng)?chuàng)建的三角形，首先確定所求量所在的三角形，若其他量已知，則直接求解；若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解.

2.確定用正弦定理還是用余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計(jì)算的定理.規(guī)律方法典例2

√

√

求解高度問(wèn)題的三個(gè)注意事項(xiàng)1.在處理有關(guān)高度問(wèn)題時(shí)，理解仰角、俯角(它們是在鉛垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是關(guān)鍵.

2.在實(shí)際問(wèn)題中，可能會(huì)遇到空間與平面(地面)同時(shí)研究的問(wèn)題，這時(shí)最好畫(huà)兩個(gè)圖形，一個(gè)空間圖形，一個(gè)平面圖形，這樣處理起來(lái)不容易搞錯(cuò).

3.注意山或塔垂直于地面或海平面，把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題.規(guī)律方法

典例330°

求解角度問(wèn)題的三個(gè)注意事項(xiàng)1.測(cè)量角度時(shí)，首先應(yīng)明確方位角及方向角的含義.

2.求角的大小時(shí)，先在三角形中求出其正弦或余弦值.

3.在解應(yīng)用題時(shí)，要根據(jù)題意正確畫(huà)出示意圖，通過(guò)這一步可將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的問(wèn)題，解題過(guò)程中也要注意體會(huì)正、余弦定理綜合使用的優(yōu)點(diǎn).規(guī)律方法

√

√

(3)

“落霞與孤鶩齊飛，秋水共長(zhǎng)天一色”，滕王閣，江南三大名樓之一，因初唐詩(shī)人王勃所作《滕王閣序》而名傳千古，如圖所示，在滕王閣旁的水平地面上共線的三點(diǎn)A，B，C處測(cè)得其頂點(diǎn)P的仰角分別為30°，60°，45°，且AB=BC=75米，則滕王閣的高度OP=________米.

考點(diǎn)二平面圖形中的計(jì)算問(wèn)題

師生共研

典例4

平面多邊形中解三角形問(wèn)題的求解思路1.將所給平面圖形拆分成若干個(gè)三角形，然后確定在哪些三角形中利用正、余弦定理建立邊角關(guān)系進(jìn)行求解.

2.尋找和各個(gè)三角形之間的聯(lián)系，特別是公共邊、鄰角之間的等量關(guān)系，交叉使用公共條件進(jìn)行求解.

注意：(1)三角形相似、平行四邊形性質(zhì)等幾何結(jié)論的應(yīng)用.(2)方程思想的靈活運(yùn)用，通過(guò)設(shè)出未知變量，建立方程進(jìn)行求.規(guī)律方法

考點(diǎn)三解三角形中的最值和范圍問(wèn)題

師生共研典例5

典例6

1.求解三角形中有關(guān)邊長(zhǎng)、角、面積的最值(范圍)問(wèn)題時(shí)，常利用正弦定理、余弦定理與三角形面積公式，建立a+b，ab，a2+b2之間的等量關(guān)系與不等關(guān)系，然后利用函數(shù)或基本不等式求解.

2.解決三角形中的某個(gè)量的最值或范圍問(wèn)題時(shí)，除了利用基本不等式外，還可以利用正弦定理、余弦定理，把該量轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個(gè)角的三角函數(shù)，利用函數(shù)思想求解.利用三角函數(shù)求解最值或范圍問(wèn)題時(shí)，解題的一個(gè)關(guān)鍵是求三角函數(shù)中角的范圍，此時(shí)要特別注意題目中隱含條件的應(yīng)用，如銳角三角形、鈍角三角形、三角形的內(nèi)角和為180°等.規(guī)律方法

返回考教銜接精研教材真題再現(xiàn)

√

返回教材呈現(xiàn)

課時(shí)測(cè)評(píng)1.如圖，一架飛機(jī)從A地飛往B地，兩地相距500km.飛行員為了避開(kāi)某一區(qū)域的雷雨云層，從A點(diǎn)起飛以后，就沿與原來(lái)的飛行方向AB成12°角的方向飛行，飛行到中途C點(diǎn)，再沿與原來(lái)的飛行方向AB成18°角的方向繼續(xù)飛行到終點(diǎn)B點(diǎn).這樣飛機(jī)的飛行路程比原來(lái)的路程500km大約多飛了(sin12°≈0.21，sin18°≈0.31)A．10km B．20km C．30km D．40km√

√

√

√

√

√√√

14

(5，6]

9.在△ABC中，a，b，c分別為三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，ccosB+(2a+b)

cosC=0，若△ABC的外接圓面積為π，則△ABC周長(zhǎng)的最大值是_______.

ccos

B+(2a+b)cos

C=0，由正弦定理得sin

Ccos

B+(2sin

A+sin

B)cos

C=0，即sin

Ccos

B+sin

Bcos

C+2sin

Acos

C=0，所以sin(B+C)+2sin

Acos

C=0，即sin

A(1+2cos

C)=0，

13.(數(shù)學(xué)文化)圖①是南北方向水平放置的圭表(一種度量日影長(zhǎng)的天文儀器，由“圭”和“表”兩個(gè)部件組成)的示意圖，其中表高為h，日影長(zhǎng)為l.圖②是地球軸截面的示意圖，虛線表示點(diǎn)A處的水平面.已知某測(cè)繪興趣小組在冬至日正午時(shí)刻(太陽(yáng)直射點(diǎn)的緯度為南緯23°26')，在某地利用一表高為