PAGE1試卷第=page4242頁，共=sectionpages4343頁1、第八章立體幾何初步（19題型清單）01思維導(dǎo)圖01思維導(dǎo)圖0202知識速記知識點1：棱柱（1）棱柱的定義定義：一般地，有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱底面(底)：兩個互相平行的面?zhèn)让妫浩溆喔髅鎮(zhèn)壤猓合噜弬?cè)面的公共邊頂點：側(cè)面與底面的公共頂點（2）棱柱的圖形（3）棱柱的分類及表示①按棱柱底面邊數(shù)分類:②按棱柱側(cè)棱與底面位置關(guān)系分類:③直棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱斜棱柱：側(cè)棱不垂直于底面的棱柱正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱平行六面體：底面是平行四邊形的四棱柱表示法：用各頂點字母表示棱柱，如圖棱柱知識點2：棱錐（1）棱錐的定義定義：有一面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐底面：多邊形面?zhèn)让妫河泄岔旤c的各三角形面?zhèn)壤猓合噜弬?cè)面的公共邊頂點：各側(cè)面的公共頂點（2）棱錐的圖形（3）棱錐的分類及表示按照棱錐的底面多邊形的邊數(shù)，棱錐可分為：三棱錐、四棱錐、五棱錐……特別地，三棱錐又叫四面體，底面是正多邊形，且頂點與底面中心的連線垂直于底面的棱錐叫做正棱錐表示法：棱錐也用頂點和底面各頂點字母表示，如圖棱錐知識點3：棱臺（1）棱臺的定義定義：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，我們把底面和截面之間的那部分多面體叫做棱臺上底面：原棱錐的截面下底面：原棱錐的底面?zhèn)让妫撼舷碌酌嬉酝獾拿鎮(zhèn)壤猓合噜弬?cè)面的公共邊頂點：側(cè)面與上(下)底面的公共頂點（2）棱臺的圖形（3）棱臺的分類及表示由三棱錐、四棱錐、五棱錐……截得的棱臺分別叫做三棱臺、四棱臺、五棱臺……用各頂點字母表示棱柱，如棱臺知識點4：圓柱（1）圓柱的定義以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體圓柱的軸：旋轉(zhuǎn)軸圓柱的底面：垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面圓柱的側(cè)面：平行于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面圓柱側(cè)面的母線：無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，平行于軸的邊（2）圓柱的圖形（3）圓柱的表示圓柱用表示它的軸的字母表示，如圖，圓柱知識點5：圓錐（1）圓錐的定義以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體軸：旋轉(zhuǎn)軸叫做圓錐的軸底面：垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面?zhèn)让妫褐苯侨切蔚男边呅D(zhuǎn)而成的曲面母線：無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，不垂直于軸的邊錐體：棱錐和圓錐統(tǒng)稱為錐體（2）圓錐的圖形（3）圓錐的表示用表示它的軸的字母表示，如圖，圓錐知識點6：圓臺（1）圓臺的定義用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面和截面之間的部分叫做圓臺軸：圓錐的軸底面：圓錐的底面和截面?zhèn)让妫簣A錐的側(cè)面在底面與截面之間的部分母線：圓錐的母線在底面與截面之間的部分臺體：棱臺和圓臺統(tǒng)稱為臺體（2）圓臺的圖形（3）圓臺的表示用表示它的軸的字母表示，如圖，圓臺知識點7：空間幾何體的直觀圖（1）空間幾何體的直觀圖的概念直觀圖是觀察者站在某一點觀察一個空間幾何體獲得的圖形.直觀圖是把空間圖形畫在平面內(nèi)，既富有立體感，又能表達(dá)出圖形各主要部分的位置關(guān)系和度量關(guān)系的圖形.（2）水平放置的平面圖形的直觀圖畫法（斜二測畫法）（1）畫軸：在平面圖形上取互相垂直的軸和軸，兩軸相交于點，畫直觀圖時作出與之對應(yīng)的軸和軸，兩軸相交于點，且使（或）（2）畫線：已知圖形中平行于或在軸，軸上的線段，在直觀圖中分別畫成平行或在軸，軸上的線段.（3）取長度：已知圖形中在軸上或平行于軸的線段，在直觀圖中長度不變.在軸上或平行于軸的線段，長度為原來長度的一半.（4）成圖：連接有關(guān)線段，擦去作圖過程中的輔助線，就得到了直觀圖.方法歸納：設(shè)一個平面多邊形的面積為，利用斜二測畫法得到的直觀圖的面積為，則有.知識點8：空間幾何體的直觀圖的繪制方法（1）畫軸.在平面圖形中取互相垂直的軸和軸，兩軸相交于點,畫直觀圖時，把它們分別畫成對應(yīng)的軸與軸，兩軸交于點,且使”(或）,它們確定的平面表示水平面；（2）畫底面.已知圖形中，平行于軸軸或軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于軸、軸或軸的線段；（3）畫側(cè)棱.已知圖形中平行于軸或軸的線段，在直觀圖中保持長度不變，平行于軸的線段，長度變?yōu)樵瓉淼囊话?；?）成圖.連線成圖以后，擦去作為輔助線的坐標(biāo)軸，就得到了空間圖形的直觀圖.簡記為：①畫軸；②畫底面；③畫側(cè)棱；④成圖.知識點9：斜二測畫法保留了原圖形中的三個性質(zhì)①平行性不變，即在原圖中平行的線在直觀圖中仍然平行；②共點性不變，即在原圖中相交的直線仍然相交；③平行于x，z軸的長度不變．知識點10：棱柱、棱錐、棱臺的表面積（1）正方體、長方體的表面積正方體、長方體的表面積就是各個面的面積的和長、寬、高分別為的長方體的表面積：棱長為的正方體的表面積：.（2）棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面展開圖棱柱的側(cè)面展開圖為平行四邊形，一邊為棱柱的側(cè)棱，另一邊等于棱柱的底面周長.如圖:棱錐的側(cè)面展開圖由若干個三角形拼成如圖棱臺的側(cè)面展開圖由若干個梯形拼成如圖（3）棱柱、棱錐、棱臺的表面積棱柱的表面積：棱錐的表面積：棱臺的表面積：知識點11：棱柱、棱錐、棱臺的體積（1）棱柱的體積①棱柱的高：柱體的兩底面之間的距離，即從一底面上任意一點向另一底面作垂線，這點與垂足（垂線與底面的交點）之間的距離，即垂線段的長.②棱柱的體積：柱體的體積等于它的底面積和高的乘積，即.（2）棱錐的體積①棱錐的高：錐體的頂點到底面之間的距離，即從頂點向底面作垂線，頂點與垂足（垂線與底面的交點）之間的距離，即垂線段的長.②棱錐的體積：錐體的體積等于它的底面積和高的乘積的,即理解.（3）棱臺的體積①棱臺的高：臺體的兩底面之間的距離，即從上底面上任意一點向下底面作垂線，此點與垂足（垂線與底面的交點）之間的距離，即垂線段的長②棱臺的體積：(,分別為上下底面面積，為臺體的高)知識點12：圓柱、圓錐、圓臺的表面積（1）圓柱的表面積①圓柱的側(cè)面積：圓柱的側(cè)面展開圖是一個矩形.圓柱的底面半徑為,母線長為,那么這個矩形的一邊長為圓柱的底面周長，另一邊長為圓柱的母線長，故圓柱的側(cè)面積為.②圓柱的表面積：.（2）圓錐的表面積①圓錐的側(cè)面積：圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形.圓錐的底面半徑為,母線長為,那么這個扇形的弧長為圓錐的底面周長，半徑為圓錐的母線長，故圓錐的側(cè)面積為②圓錐的表面積：（3）圓臺的表面積①圓臺的側(cè)面積：圓臺的側(cè)面展開圖是一個扇環(huán).圓臺的上底面半徑為,下底面半徑為,母線長為,故圓臺的側(cè)面積為②圓臺的表面積：知識點13：圓柱、圓錐、圓臺的體積（1）圓柱的體積：（2）圓錐的體積：（3）圓臺的體積：知識點14：球的表面積和體積（1）球的表面積：（2）球的體積:知識點15：異面直線（1）異面直線的概念不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線（2）異面直線的畫法畫異面直線時,為了體現(xiàn)它們不共面的特點，常借助一個或兩個平面來襯托（3）異面直線的判定①定義法②兩直線既不平行也不相交知識點16：直線與平面平行(1)直線與平面平行的判定定理如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行符號表述：圖形語言直線與平面的平行關(guān)系(空間問題)轉(zhuǎn)化為直線間的平行關(guān)系(平面問題)即線線平行線面平行(2)直線與平面平行的性質(zhì)定理如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線就和交線平行符號表述：，，簡記：線線平行線面平行注意：①定理中三個條件缺一不可②簡記：線面平行，則線線平行③定理的作用：判斷直線與直線平行的重要依據(jù)④定理的關(guān)鍵：尋找平面與平面的交線知識點17：平面與平面平行的判定定理（1）兩個平面平行的判定定理如果一個平面內(nèi)的有兩條相交直線平行于另一個平面,那么這兩個平面平行.（定理簡述：線面平行，則面面平行。）（2）符號語言（3）圖形語言（4）定理應(yīng)用線線平行面面平行知識點18：平面與平面平行的性質(zhì)定理（1）平面與平面平行的性質(zhì)定理兩個平行平面，如果另一個平面與這兩個平面相交，那么兩條交線平行.（2）符號語言（3）圖形語言（4）定理應(yīng)用面面平行線線平行知識點19：異面直線所成角的概念已知兩條異面直線，，經(jīng)過空間任一點分別作直線，，我們把直線QUOTEa'與QUOTEb'所成的角叫做異面直線a與b所成的角（或夾角）知識點20：異面直線所成角的范圍由異面直線所成角的定義得，異面直線所成的角是銳角或直角，即.注意：①異面直線所成角的大小不能是，若兩條直線所成角是，則這兩條直線平行，不可能異面.②空間兩直線所成的角的范圍是.知識點21：直線與平面垂直（1）定義：如果一條直線與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，那么直線垂直于平面，記為．直線叫做平面的垂線，平面叫做直線的垂面，垂線與平面的交點P叫垂足.（2）符號語言：對于任意，都有.（3）圖形語言：（4）應(yīng)用：①若直線與平面垂直，則這條直線與這個平面內(nèi)的所有直線都垂直，從而可判斷直線與平面內(nèi)的直線互相垂直，即“若,,則”,簡述為“若線面垂直，則線線垂直”因此直線與平面垂直的定義不僅是直線與平面垂直的判定方法，也是證明直線與直線垂直的重要且常用的方法.②重要結(jié)論：過一點有且只有一條直線與已知平面垂直；過一點有且只有一個平面與已知直線垂直.知識點22：直線與平面垂直的判定定理（1）直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直.簡記：線線垂直線面垂直（2）符號語言：，，，，（3）圖形語言：如圖知識點23：直線與平面所成角（1）直線與平面所成角的定義如圖，一條直線和一個平面相交，但不和這個平面垂直，這條直線叫做這個平面的斜線，斜線和平面的交點叫做斜足，過斜線上斜足以外的一點向平面引垂線，過垂足和斜足的直線叫做斜線在這個平面上的射影，平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角.（2）說明：①為斜線②與的交點為斜足③直線為在平面上的射影④直線與射影所成角(角)為直線與平面上所成角⑤當(dāng)直線與平面垂直時：；當(dāng)直線與平面平行或在平面內(nèi)時：⑥直線與平面所成角取值范圍：.（3）直線與平面所成角的求解步驟①作：在斜線上選取恰當(dāng)?shù)狞c向平而引垂線，在這一步確定垂足的位置是關(guān)鍵；②證：證明所找到的角為直線與平面所成的角，其證明的主要依據(jù)為直線與平面所成的角的定義；③算：一般借助三角形的相關(guān)知識計算.知識點24：二面角（1）二面角:從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角.這條直線叫做二面角的棱，每個半平面叫做二面角的面．（2）符號語言：①二面角.②在,內(nèi)分別取兩點，(,),可記作二面角;③當(dāng)棱記作時，可記作二面角或者二面角.知識點25：二面角的平面角（1）定義：在二面角的棱上任取一點,以點為垂足,在半平面和內(nèi)分別作垂直與直線的射線,,則射線和構(gòu)成的叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫做直二面角.（2）說明：①二面角的大小可以用它的平面角的大小來度量，二面角的平面角是多少度，就說這個二面角是多少度；②二面角的大小與垂足在上的位置無關(guān)一個二面角的平面角有無數(shù)個，它們的大小是相等的；③構(gòu)成二面角的平面角的三要素：“棱上”“面內(nèi)”“垂直”.即二面角的平面角的頂點必須在棱上，角的兩邊必須分別在兩個半平面內(nèi)，角的兩邊必須都與棱垂直，這三個條件缺一不可，前兩個要素決定了二面角的平面角大小的唯一性，后一個要素表明平面角所在的平面與棱垂直；④二面角的平面角的范圍是，當(dāng)兩個半平面重合時，；當(dāng)兩個半平面合成一個平面時，⑤當(dāng)兩個半平面垂直時，，此時的二面角稱為直二面角.知識點26：二面角的平面角求法（1）定義法：利用二面角的平面角的定義，在二面角的棱上取一點（一般取特殊點），過該點在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線，兩射線所成的角就是二面角的平面角，這是一種最基本的方法，要注意用二面角的平面角定義的三要素來找出平面角.（2）三垂線定理及其逆定理①定理：平面內(nèi)的一條直線如果和經(jīng)過這個平面的一條斜線在這個平面上的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直.②三垂線定理（逆定理）法：由二面角的一個面上的斜線的射影與二面角的棱垂直，推得它在二面角的另一面上的射影也與二面角的棱垂直.從而確定二面角的平面角.(3)找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定義可知兩個面的公垂面與棱垂直，因此公垂面與兩個面的交線所成的角，就是二面角的平面角.(4)轉(zhuǎn)化法：化歸為分別垂直于二面角的兩個面的兩條直線所成的角（或其補角）.(5)向量法：用空間向量求平面間夾角的方法（該方法我們將在選擇性必修第一冊中學(xué)到).知識點27：平面與平面垂直（1）定義:一般地,兩個平面相交,如果它們所成的二面角是直二面角,就說這兩個平面互相垂直.（2）符號語言:（3）圖形語言知識點28：平面與平面垂直的判定定理（1）定理：如果一個平面過另一個平面的的垂線，那么這兩個平面垂直.(線面垂直，則面面垂直)（2）符號（圖形）語言:，（3）應(yīng)用：線面垂直面面垂直.知識點29：平面與平面垂直的性質(zhì)定理（1）定理：兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直．(2)符號（圖形）語言：，，.(3)應(yīng)用：①面面垂直線面垂直②作平面的垂線.0303題型歸納題型一棱柱、棱錐、棱臺、旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征例題1：（23-24高一下·浙江·期中）下列四個命題中正確的是（

）A．每個面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐B．所有棱長都相等的四棱柱是正方體C．以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓柱D．以直角三角形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓錐例題2：（多選）（23-24高一下·河南南陽·階段練習(xí)）下列說法不正確的是（

）A．底面是矩形的四棱柱是長方體B．有兩個面平行，其余四個面都是平行四邊形的幾何體叫平行六面體C．棱柱的各個側(cè)面都是平行四邊形D．有兩個面平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱例題3：（23-24高一下·新疆烏魯木齊·期中）下列關(guān)于空間幾何體的說法：①各個面都是三角形的幾何體是三棱錐；②棱柱的兩個底面是全等的多邊形，且對應(yīng)邊互相平行；③棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是平行四邊形；④圓柱的任意兩條母線互相平行.其中正確結(jié)論的序號是.鞏固訓(xùn)練1．（23-24高一下·天津·期末）下列說法正確的是（

）A．在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點，則這兩點的連線是該圓柱的母線B．直四棱柱是長方體C．將一個等腰梯形繞著較長的底邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，所得的幾何體是一個圓錐D．正棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形2．（多選）（2024·全國·模擬預(yù)測）我們熟知的五面體有三棱柱、三棱臺、四棱錐等．《九章算術(shù)》中將有三條棱互相平行且不全相等，有一個面為矩形的五面體稱之為“芻甍”，對于“芻甍”下列判斷正確的是（

）A．三棱臺體不是“芻甍”B．“芻甍”有且僅有兩個面為三角形C．存在有兩個面為平行四邊形的“芻甍”D．“芻甍”存在兩個互相平行的面3．（多選）（23-24高一下·重慶璧山·階段練習(xí)）下列說法錯誤的是（

）A．棱柱是有且僅有兩個平面平行，其他平面為平行四邊形的多面體B．圓柱是由一個四邊形繞著其中一條邊旋轉(zhuǎn)得到的C．棱臺的所有側(cè)棱交于同一點D．用一個平面去截圓錐，這個平面和圓錐的底面之間的部分是圓臺題型二表面路徑最短問題例題1：（2024·湖南郴州·三模）已知圓臺的上?下底面圓半徑分別為10和5，側(cè)面積為為圓臺的一條母線（點在圓臺的上底面圓周上），為的中點，一只螞蟻從點出發(fā)，繞圓臺側(cè)面一周爬行到點，則螞蟻爬行所經(jīng)路程的最小值為（

）A．30 B．40 C．50 D．60例題2：（24-25高二上·上海寶山·期末）如圖是一座山的示意圖，山呈圓錐形，圓錐的底面半徑為10公里，母線長為40公里，是母線上一點，且公里.為了發(fā)展旅游業(yè)，要建設(shè)一條最短的從繞山一周到的觀光鐵路.這條鐵路從出發(fā)后首先上坡，隨后下坡，則上坡段鐵路的長度為公里.例題3：（23-24高一下·安徽·期中）（1）如圖1，底面半徑為1cm，高為3cm的圓柱，在點A處有一只螞蟻，現(xiàn)在這只螞蟻要圍繞圓柱，由點A爬到點B，求螞蟻爬行的最短路線長（π取3）；（2）如圖2，在長方體中，M是CC1的中點，，，一只螞蟻從點A出發(fā)沿長方體表面爬行到點M，求螞蟻爬行的最短路線長.鞏固訓(xùn)練1．（24-25高二上·上?！て谀┤鐖D，在長方體中，，點為上的動點，則的最小值為.2．（23-24高一下·山東菏澤·階段練習(xí)）正三棱錐中，，過點A作一截面與側(cè)棱分別交于點，，則截面周長的最小值為．3．（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，在棱長為1的正方體中，點P在側(cè)面上運動，則的最小值為．

題型三空間幾何體的截面圖及應(yīng)用例題1：（24-25高三上·天津南開·期末）在棱長為2的正方體中，分別為的中點，則平面截該正方體的外接球得到的截面的面積為（

）A． B． C． D．例題2：（多選）（24-25高三上·云南昆明·階段練習(xí)）如圖，已知正方體的棱長為1，分別是的中點，用一個平面截該正方體，截面面積為，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若經(jīng)過點，則B．若經(jīng)過點，則C．若經(jīng)過點，則經(jīng)過點D．則經(jīng)過點．則經(jīng)過的一個三等分點例題3：（2024高三·全國·專題練習(xí)）我國古代的數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)·商功》中，將底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”.在如圖所示的“塹堵”ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，M、N分別是BB1和A1C1的中點，則平面AMN截“塹堵”ABC－A1B1C1所得截面圖形的面積為.鞏固訓(xùn)練1．（24-25高二上·上海普陀·階段練習(xí)）已知圓錐的母線長為4，過該圓錐頂點的平面截此圓錐所得截面面積的最大值為8，則該圓錐底面半徑的取值集合為（

）A． B． C． D．2．（2024·四川綿陽·模擬預(yù)測）在長方體中，，點是線段上靠近的四等分點，點是線段的中點，則平面截該長方體所得的截面圖形為（

）A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形3．（多選）（2024·浙江杭州·模擬預(yù)測）已知正四面體，過點的平面將四面體的體積平分，則下列命題正確的是（

）A．截面一定是銳角三角形 B．截面可以是等邊三角形C．截面可能為直角三角形 D．截面為等腰三角形的有6個題型四立體圖形的直觀圖例題1：（24-25高三上·重慶·階段練習(xí)）如圖，按斜二測畫法所得水平放置的平面四邊形的直觀圖為梯形其中以原四邊形的邊為軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體體積為（

）

A． B．C． D．例題2：（多選）（23-24高一下·河北·期中）如圖所示，用斜二測畫法畫一個水平放置的，，，則在直觀圖中，以下說法正確的是（

）A． B．的面積為C．邊上的高為 D．邊上的高為例題3：（24-25高二上·上海·期中）已知用斜二測畫法畫出的直觀圖是邊長為1的正三角形（如圖），則中邊長與的邊長相等的邊上的高為

鞏固訓(xùn)練1．（24-25高二上·江西景德鎮(zhèn)·階段練習(xí)）用斜二測畫法畫水平放置的的直觀圖，得到如圖所示的等腰直角.已知是斜邊的中點，且，則的邊上的高為（

）

A．1 B．2 C． D．2．（23-24高一下·河南鄭州·階段練習(xí)）如圖所示，梯形是平面圖形ABCD用斜二測畫法得到的直觀圖，，，則平面圖形中對角線的長度為（

）A． B．3 C．2 D．53．（24-25高二上·上?！るA段練習(xí)）如圖，矩形是水平放置的一個平面圖形由斜二測畫法得到的直觀圖，其中，，則原圖形面積是.

題型五簡單組合體的表面積與體積例題1：（24-25高二上·廣東湛江·階段練習(xí)）已知圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為π且半徑為2的扇形，則該圓錐的體積為（

）A． B． C． D．例題2：（24-25高三上·河北·階段練習(xí)）已知三棱錐，，，，，三棱錐外接球的表面積與三棱錐的側(cè)面積之比為（

）A． B． C． D．例題3：（24-25高二上·上?！るA段練習(xí)）已知圓錐（是底面圓的圓心，是圓錐的頂點）的母線長為，高為1，、為底面圓周上任意兩點.有以下三個結(jié)論：①三角形面積的最大值為2；②三棱錐體積的最大值為③四面體外接球表面積的最小值為.以上正確的結(jié)論是.鞏固訓(xùn)練1．（24-25高三上·湖北·階段練習(xí)）已知三棱錐滿足，，，且其體積為，若點（正投影在內(nèi)部）到，，的距離相等，則三棱錐的表面積為（

）A．18 B．21 C．24 D．272．（24-25高三上·河南·開學(xué)考試）如圖所示是一個無蓋的瓶子，該瓶子由上部分圓柱和下部分圓臺組成，圓柱的底面圓的半徑為1，圓臺的下底面圓的半徑為2，圓柱和圓臺的高相等，若該瓶子的側(cè)面積為，則瓶子的體積為（

）A． B． C． D．3．（24-25高二上·上?！るA段練習(xí)）長為，寬為1的矩形，以它的對角線所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，得到的旋轉(zhuǎn)體的體積為．題型六內(nèi)切球問題之獨立截面法例題1：（24-25高二上·湖北荊州·階段練習(xí)）若某圓臺有內(nèi)切球（與圓臺的上下底面及每條母線均相切的球），且母線與底面所成角的正弦值為，則此圓臺與其內(nèi)切球的表面積之比為（

）A． B．2 C． D．例題2：（24-25高二上·山東濰坊·期中）已知圓臺的上、下底面半徑分別為和，母線長為.若該圓臺內(nèi)部有一個球，則球的半徑的最大值為；若該圓臺內(nèi)部有一個正方體，且底面在圓臺的下底面內(nèi)，當(dāng)正方體的棱長最大時，以為球心，半徑為的球與正方體表面交線的長度為.

例題3：（23-24高一下·福建龍巖·期中）“圓錐容球”是指圓錐形的容器里放了一個球，且球與圓錐的側(cè)面及底面均相切（即圓錐的內(nèi)切球）.已知某圓錐形容器的軸截面為等邊三角形，高為，則該圓錐內(nèi)切球的表面積為.（容器壁的厚度忽略不計）鞏固訓(xùn)練1．（22-23高二上·安徽宣城·開學(xué)考試）如圖，正四棱臺的上?下底面邊長分別為分別為，的中點，8個頂點構(gòu)成的十面體恰有內(nèi)切球，則該內(nèi)切球的表面積為（

）A． B． C． D．2．（24-25高三上·重慶·階段練習(xí)）與圓臺的上下底面及側(cè)面都相切的球，稱為圓臺的內(nèi)切球，若某圓臺的上底面圓的半徑為1，且該圓臺的內(nèi)切球半徑為2，則該圓臺的側(cè)面積為.3．（23-24高三上·江蘇·階段練習(xí)）如圖，若圓臺的上、下底面半徑分別為且，則此圓臺的內(nèi)切球(與圓臺的上、下底面及側(cè)面都相切的球叫圓臺的內(nèi)切球)的表面積為.題型七內(nèi)切球問題之等體積法例題1：（2024·吉林·三模）點M、N為正四面體的內(nèi)切球球面上的兩個動點，T為棱上的一動點，則當(dāng)取最大值時，（

）A．1 B． C． D．例題2：（23-24高二下·浙江寧波·期末）已知四棱錐的底面是矩形，平面平面，，，.若四棱錐內(nèi)存在內(nèi)切球（球與四棱錐的各個面均相切），則，該內(nèi)切球的表面積為.鞏固訓(xùn)練1．（23-24高二下·安徽·階段練習(xí)）已知矩形中，，沿著對角線將折起，使得點不在平面內(nèi)，當(dāng)時，求該四面體的內(nèi)切球和外接球的表面積比值為（

）A． B． C． D．2．（23-24高三上·江西萍鄉(xiāng)·期末）已知球O是棱長為1的正四面體的內(nèi)切球，AB為球O的一條直徑，點P為正四面體表面上的一個動點，則的取值范圍為.題型八外接球問題之補形法例題1：（24-25高二上·安徽宣城·開學(xué)考試）在四面體中，已知點，分別為棱，中點，且，，若，，則該四面體外接球半徑為（

）A． B． C． D．例題2：（23-24高一下·遼寧本溪·期末）正六面體部分頂點連線，面的中心連線完美的勾勒出正四面體，正八面體，而正四面體的外接球恰好是正方體的外接球，立體幾何中有好多類似的事實存在：若四面體，則該四面體外接球的體積為．例題3：（24-25高二上·上?！るA段練習(xí)）已知正四面體中，是棱上一點，過作平面，滿足，，若、到平面的距離分別是3和9，則正四面體的外接球被平面截得的截面面積為．鞏固訓(xùn)練1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知四面體的各個頂點都在球O的表面上，，，兩兩垂直，且，，，E是棱BC的中點，過E作四面體外接球O的截面，則所得截面圓的面積的最大值與最小值之差是（

）A． B． C． D．2．（2024·黑龍江·二模）已知三棱錐的四個面是全等的等腰三角形，且，，則三棱錐的外接球半徑為；點為三棱錐的外接球球面上一動點，時，動點的軌跡長度為．3．（23-24高一下·天津紅橋·期末）已知三棱錐四個頂點在球面上，，是邊長為的正三角形，，分別是，的中點，，則此球的半徑是.題型九外接球問題之單面定球心法例題1：（24-25高三上·甘肅張掖·期中）在三棱錐中，平面，，，則該棱錐的外接球半徑為（

）.A． B． C． D．例題2：（24-25高三上·山東菏澤·開學(xué)考試）已知正三棱錐的外接球為球，點為的中點，過點作球的截面，則所得截面圖形面積的取值范圍為（

）A． B． C． D．例題3：（24-25高二上·浙江杭州·期中）已知正三棱錐的外接球為球是球上任意一點，為的中點，則的取值范圍為.鞏固訓(xùn)練1．（23-24高一下·浙江·期中）已知一圓柱的底面直徑與母線長相等，高為3，在該圓柱內(nèi)放置一個棱長為的正四面體，并且正四面體在該圓柱內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動，則當(dāng)取得最大值時正四面體的高（

）A． B． C． D．22．（23-24高一下·四川南充·階段練習(xí)）已知正四棱錐底面正方形的邊長為2，側(cè)棱長為，球O為其外接球，若點是正四棱錐的表面上的一點，為球表面上的一點，則的最大值為（

）A． B．2 C． D．33．（23-24高一下·陜西西安·階段練習(xí)）現(xiàn)有10個直徑為4的小球，全部放進(jìn)棱長為的正四面體盒子中，則的最小值為（

）A． B． C． D．題型十證明三點共線（三線共點）問題例題1：（23-24高一·全國·課后作業(yè)）如圖，為空間四邊形，點、分別是、的中點，點、分別在、上，且，．求證：(1)、、、四點共面；(2)、必相交且交點在直線上．例題2：（24-25高二上·上?！るA段練習(xí)）如圖，在正方體中，點、分別是、的中點．求證：

(1)直線和在同一平面上；(2)直線、和交于一點．例題3：（23-24高二上·北京·階段練習(xí)）如圖，在空間四邊形中，、分別是、的中點，，分別在，上，且.

(1)求證：；(2)設(shè)與交于點，求證：三點共線.鞏固訓(xùn)練1．（2024高一下·全國·專題練習(xí)）已知與所在平面相交，并且交于一點.若，求證:共線.2．（23-24高二上·四川樂山·階段練習(xí)）在空間四邊形ABCD中，H，G分別是AD，CD的中點，E，F(xiàn)分別邊AB，BC上的點，且．求證：(1)四邊形EFGH為梯形；(2)直線EH，BD，F(xiàn)G相交于一點．3．（2024高一·江蘇·專題練習(xí)）如圖所示，在正方體中，分別為上的點且．求證：點三點共線．

題型十一由平面基本性質(zhì)做截面圖例題1：（24-25高二上·河南南陽·階段練習(xí)）已知正方體棱長為2，E為棱的中點，則經(jīng)過三點的正方體的截面面積為（

）A． B． C． D．例題2：（23-24高一下·河南三門峽·期末）在正四棱柱中，，分別是的中點，則平面截該四棱柱所得截面的周長為（

）A． B． C． D．例題3：（24-25高二上·上海·期中）如圖，已知，，，分別是正方體的棱，，，的中點，且與相交于點.(1)求證：點在直線上；(2)作出過、、三點的截面；（寫出作圖過程并保留作圖痕跡）鞏固訓(xùn)練1．（24-25高二上·黑龍江·開學(xué)考試）如圖，在棱長為12的正方體中，分別是棱的中點，平面與直線交于點，則（

）

A．10 B．15 C． D．2．（24-25高一下·全國·課后作業(yè)）在棱長為2的正方體中，是棱的中點，過，，作正方體的截面，則這個截面的形狀是，截面的面積是．3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）在正方體中，已知，Q是棱上的動點（可與D、重合）.當(dāng)Q是中點時，畫出過A，Q，的截面；題型十二異面直線所成角例題1：（24-25高二上·吉林·期末）如圖，在正方體中，M，N分別為的中點，異面直線MN與所成角為（

）A． B． C． D．例題2：（2025·上海·模擬預(yù)測）已知P是一個圓錐的頂點，是母線，，該圓錐的底面半徑是1．B、C分別在圓錐的底面上，則異面直線與所成角的最小值為．例題3：（24-25高二上·山東東營·開學(xué)考試）在三棱錐中，.記的中點為的中點為，則異面直線與的夾角的余弦值為.鞏固訓(xùn)練1．（24-25高二上·廣東廣州·階段練習(xí)）正四棱柱中，分別是的中點，則直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．2．（24-25高二上·廣東廣州·期中）在棱長為1的正四面體ABCD中，M，N分別是BC，AD的中點，則直線AM和CN夾角的余弦值為.3．（25-26高二上·上海·單元測試）已知空間四邊形ABCD中，，M、N分別為BC和AD的中點，設(shè)AM和CN所成的角為．求的值．題型十三平行關(guān)系例題1：（2024高二上·河南安陽·學(xué)業(yè)考試）如圖所示，已知圓錐是圓O的直徑，是等腰直角三角形，C是圓周上不同于的的一點，D為中點，且.(1)求證：平面；(2)求四棱錐的體積.例題2：（24-25高二上·湖南長沙·階段練習(xí)）如圖，在三棱錐中，、分別為、的中點，求證：(1)∥平面；(2)若點為棱上一點，是確定點的位置，使得平面∥平面，并說明理由．例題3：（23-24高一下·新疆省直轄縣級單位·階段練習(xí)）正方體如圖所示(1)求證:平面.(2)平面平面.鞏固訓(xùn)練1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖所示，在四棱錐中，底面是菱形，平面，，是棱上的一個動點，為的中點，為的中點．

(1)證明：平面；(2)若，求證：平面；(3)若，為的重心，證明平面.2．（23-24高一下·廣東·期中）如圖，在正方體中，為的中點.(1)求證：平面；(2)若為的中點，求證：平面平面.3．（2025高三·全國·專題練習(xí)）如圖，已知三棱柱中，與交于點為邊上一點，為中點，且平面.求證：平面平面.題型十四垂直關(guān)系例題1：（24-25高二上·山東·階段練習(xí)）在三棱錐中，G是的重心，P是面內(nèi)一點，且平面．

(1)畫出點P的軌跡，并說明理由；(2)平面，，，，當(dāng)最短時，指出P的位置，并說明理由．例題2：（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，三棱柱的底面是等腰直角三角形，，側(cè)面是菱形，，平面平面．證明：；例題3：（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，正三棱柱中，，點為的中點.(1)證明：平面平面(2)在棱上是否存在點，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.鞏固訓(xùn)練1．（24-25高二上·廣東湛江·階段練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，，，D、E分別為、的中點.(1)求證：平面；(2)求證：直線平面；(3)求三棱錐的體積.2．（24-25高二上·上海寶山·期末）如圖，在棱長為1的正方體中，及分別為棱和的中點．(1)求證：平面；(2)若為棱的中點，求證：平面．3．（24-25高三上·黑龍江佳木斯·階段練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，，，，，點E、F分別為、的中點.

(1)求證：平面；(2)求證：；題型十五求線面角例題1：（24-25高三上·安徽淮南·階段練習(xí)）已知三棱錐中，是邊長為的正三角形，，，若三棱錐的外接球體積為，則直線與平面所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．例題2：（2024·重慶·模擬預(yù)測）正三棱臺三側(cè)棱的延長線交于點，如果，三棱臺的體積為，的面積為，那么側(cè)棱與底面所成角的正切值為（

）A． B． C． D．例題3：（24-25高二上·廣東廣州·階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，平面，四邊形為平行四邊形，其中，，為棱上一動點．(1)若為中點，求證：平面；(2)若是棱上靠近的三等分點，求直線和平面夾角的正弦值．鞏固訓(xùn)練1．（23-24高二上·四川德陽·期末）在四棱錐中，平面，點是矩形內(nèi)的動點，，，．直線與平面所成角為，則點的軌跡長度為（

）A． B． C． D．22．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知正四棱臺的側(cè)面積為，，，則與平面所成的角為（

）A． B． C． D．3．（24-25高三上·安徽阜陽·階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，分別是棱的中點，.(1)證明：平面.(2)求與平面所成角的大小.題型十六已知線面角求參數(shù)例題1：（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖所示，在矩形中，，E為邊上的點，現(xiàn)將沿翻折至，使得點在平面上的射影在上，且直線與平面所成的角為，則線段的長為.例題2：（23-24高三上·山東青島·期末）已知正四棱臺的上?下底面邊長分別為2和4，若側(cè)棱與底面所成的角為，則該正四棱臺的體積為.例題3：（23-24高一下·天津·期中）如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，，，底面，，分別是，的中點．

(1)求證：平面；(2)若直線與平面所成角的正弦值為，求線段的長．鞏固訓(xùn)練1．（23-24高三上·四川·期末）在長方體中，，側(cè)面的面積為6，與底面所成角的正切值為，則該長方體外接球的表面積為．2．（23-24高二下·貴州銅仁·期末）粽子是端午節(jié)期間不可缺少的傳統(tǒng)美食，銅仁的粽子不僅餡料豐富多樣，形狀也是五花八門，有竹筒形、長方體形、圓錐形等，但最常見的還是“四角粽子”，其外形近似于正三棱錐．因為將粽子包成這樣形狀，既可以節(jié)約原料，又不失飽滿，而且十分美觀．如圖，假設(shè)一個粽子的外形是正三棱錐，其側(cè)棱和底面邊