第1頁/共1頁太原師范學(xué)院附屬中學(xué)2024級高二年級分班測評數(shù)學(xué)試卷注意事項：1.本試卷共4頁，滿分150分，考試時間120分鐘.2.答題前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色墨跡簽字筆在答題卡上填寫好自己的考號?姓名?校班等信息.將條形碼橫貼在答題卡“考生條形碼粘貼區(qū)”.3.考生作答時，請將答案正確地填寫在答題卡上，答在本試卷上無效.4.考試結(jié)束后，將答題卡交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)集合，則（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用集合交集的定義求解即可.【詳解】由題可得，故選：C2.在平行四邊形中，為的中點，為的中點，若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)條件，利用向量的線性運算得，再由平面向量基本定理，即可求解.【詳解】因為為的中點，為的中點，則，得到，又，所以，故選：A.3.甲?乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是，乙獲勝的概率是，則甲獲勝的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)概率和為即可得到.【詳解】因為兩人下成和棋的概率是，乙獲勝的概率是，所以獲勝的概率.故選：B4.已知是兩條不重合的直線，是兩個不重合的平面，則下列說法正確的是（）A.若，，，則 B.若，，則C.若，，，則 D.若，，，則【答案】D【解析】【分析】根據(jù)面面平行判定定理、線面平行的性質(zhì)定理及線線、線面、面面關(guān)系逐一分析即可.【詳解】對于A：根據(jù)面面平行判定定理，直線應(yīng)為相交直線，故A錯誤；對于B：直線可能在平面α內(nèi)，故B錯誤；對于C：若，，，則與β垂直、平行，相交不垂直或，故C錯誤；對于D：若，，，則，故D正確．故選：D．5.平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)都是刻畫一組數(shù)據(jù)的集中趨勢的信息，它們的大小關(guān)系和數(shù)據(jù)分布的形態(tài)有關(guān)．在如圖的分布形態(tài)中，分別對應(yīng)這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)，則下列關(guān)系正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由頻率分布直方圖估計中位數(shù)、由頻率分布直方圖估計平均數(shù)、根據(jù)頻率分布直方圖計算眾數(shù)【詳解】根據(jù)直方圖矩形高低以及數(shù)據(jù)的分布趨勢判斷，可得出結(jié)論:由數(shù)據(jù)分布圖知，眾數(shù)是最高矩形下底邊的中點橫坐標(biāo)，因此眾數(shù)為左起第二個矩形下底邊的中點值，直線左右兩邊矩形面積相等，而直線右邊矩形面積大于左邊矩形面積，則，又數(shù)據(jù)分布圖右拖尾，則平均數(shù)大于中位數(shù)，即，因此有.故選：D.6.已知定義域為的偶函數(shù)滿足：對任意，，都有成立，則滿足的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意得到函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合偶函數(shù)化簡不等式求解即可.【詳解】由對任意，都有成立，得在上單調(diào)遞增，又為偶函數(shù)，則不等式等價于，所以，解得，即滿足題意的x取值范圍為：故選：C.7.實數(shù)，滿足，則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知的范圍，然后將目標(biāo)式轉(zhuǎn)化為，利用基本不等式可得.【詳解】因為，所以，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以的最小值為.故選：B.8.已知正三棱錐的底面的邊長為6，直線AB與底面BCD所成角的余弦值為，則正三棱錐外接球的體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】作面，因為三棱錐為正三棱錐，所以是正三角形的中心，連接，設(shè)球心為，則在上，連接.由，求出，設(shè)外接球半徑為，由，解得，即可求解．【詳解】如圖所示，作面，因為三棱錐為正三棱錐，所以是正三角形的中心，連接，設(shè)球心為，則在上，連接.正三棱錐的底面的邊長為6，所以，因為直線AB與底面BCD所成角的余弦值為，即，所以，設(shè)外接球半徑為，則，，所以在中，可得，解得，則外接球體積為.故選：B.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知復(fù)數(shù)：滿足，則（）A. B.的實部為1C.的共軛復(fù)數(shù)為 D.在復(fù)平面中對應(yīng)的點位于第四象限【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)代數(shù)形式的除法運算化簡復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的概念及幾何意義判斷即可.【詳解】因為，所以，的實部為1，虛部為1，故B正確；，故A正確；的共軛復(fù)數(shù)為，故C不正確；在復(fù)平面中對應(yīng)的點位于第四象限，故D正確.故選：ABD.10.下列說法正確的是（）A.數(shù)據(jù)2，3，4，5，6，7，8，9的第75百分位數(shù)為7B.若一組樣本數(shù)據(jù)3，，7，5，4，8的極差為5，則實數(shù)的取值范圍為C.和的方差分別為和，若，則D.在對高一某班學(xué)生數(shù)學(xué)成績調(diào)查中，抽取男生10人，其平均數(shù)為105，方差為24，抽取女生5人，其平均數(shù)為102，方差為21，則這15名學(xué)生數(shù)學(xué)成績的方差為25【答案】BCD【解析】【分析】對于A求出第75百分位數(shù)即可判斷，對于B根據(jù)極差的定義即可判斷，對于C根據(jù)方差的性質(zhì)即可判斷，對于D計算分成抽樣的方差即可判斷.【詳解】對于A：由，所以第75百分位數(shù)為，故A錯誤；對于B：若一組樣本數(shù)據(jù)3，，7，5，4，8的極差為5，所以，故B正確；對于C：若，即，故C正確；對于D：由已知有這15名學(xué)生數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)為，所以這15名學(xué)生數(shù)學(xué)成績的方差為，故D正確.故選：BCD.11.已知定義域為，，且，當(dāng)時，.則下列說法正確的有（）A.直線是的對稱軸B.在上單調(diào)遞減C.D.設(shè)與圖象的第i個交點為（），若與的圖象有個交點，則【答案】ACD【解析】【分析】依據(jù)題意判斷函數(shù)的奇偶性，對稱性，周期性，然后依據(jù)性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】由題可知：，可知函數(shù)關(guān)于對稱，又，可知函數(shù)為奇函數(shù)，所以，則，即，所以4為函數(shù)的一個周期.對A，由函數(shù)關(guān)于對稱，且4為函數(shù)的一個周期，故是的對稱軸，正確；對B，，所以函數(shù)在的單調(diào)性與函數(shù)在單調(diào)性相同，由，，且函數(shù)為上的奇函數(shù)，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，錯誤；對C,，則又，所以，正確；對D，函數(shù)為上奇函數(shù)，函數(shù)也為上的奇函數(shù)，所以可知兩函數(shù)圖象在軸的左右兩邊交點個數(shù)相同，且對應(yīng)交點的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，且都過原點，所以，正確.故選：ACD三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量，，則向量在向量上投影向量的坐標(biāo)為______.【答案】【解析】【分析】由投影向量的定義求解即可.【詳解】已知向量，，則向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)為.故答案為：.13.已知函數(shù)有3個零點，則實數(shù)的取值范圍為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)性質(zhì)得在上有一個零點，進而分析函數(shù)在有兩個零點，然后利用二次函數(shù)零點分布列不等式組，即可求解.【詳解】當(dāng)時，由，得，則在上有一個零點；若有3個零點，則在時函數(shù)必有兩個零點，因為，所以函數(shù)在有兩個零點，當(dāng)時，無零點，不合題意，當(dāng)時，由題意在有兩個零點，且，則需滿足，解得，綜上，實數(shù)的取值范圍為.故答案為：14.如圖，八面體的每一個面都是邊長為4的正三角形，且頂點B，C，D，E，在同一個平面內(nèi)．若點在四邊形內(nèi)（包含邊界）運動，當(dāng)時，則點的軌跡的長度為________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)可知點軌跡是以為直徑的球與四邊形（包括邊界）的交線，求出在四邊形內(nèi)的圓的半徑即可得出結(jié)果.【詳解】以為直徑作球，球半徑，與球上任意一點(除去點)均能構(gòu)成直角，故點軌跡為球與四邊形（包括邊界）的交線.易知在平面上的投影為菱形的外心，且都全等,故四邊形為正方形，四棱錐為正四棱錐，在平面上的投影為正方形的中心，記球心在平面上的投影為，，故平面截球的小圓半徑，即點的軌跡以中點為圓心，半徑為的圓在四邊BCDE內(nèi)（包含邊界）的一段弧，由題意可知如圖所示，設(shè)該圓弧交于點，所以四點共圓，而，所以，所以三點共線，即也是半徑為的圓的直徑，故所求為.故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟15.某校高一年級期中考試測試后，為了解本次測試的情況，在整個年級中隨機抽取了200名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績，將成績分為，共6組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）在樣本中，采取等比例分層抽樣的方法從成績在內(nèi)的學(xué)生中抽取13名，則成績在內(nèi)的學(xué)生有幾個？（2）學(xué)校計劃對本次測試數(shù)學(xué)成績優(yōu)異的學(xué)生進行表彰，且表彰人數(shù)不超過，根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，試估計獲得表彰的學(xué)生的最低分數(shù).【答案】（1）（2）分【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)，求出參數(shù)，根據(jù)分層抽樣的規(guī)則，計算抽取人數(shù)；（2）根據(jù)頻率分布直方圖估計總體第百分位數(shù)的方法，計算最低分數(shù).【小問1詳解】由題意有：，解得，采用分層抽樣在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)有：，所以成績在內(nèi)的學(xué)生有2個；【小問2詳解】因為成績在內(nèi)的頻率為：，所以最低分數(shù)為：，所以估計獲得表彰的學(xué)生的最低分數(shù)為分.16.已知函數(shù)的部分圖像，如圖所示.（1）求函數(shù)的解析式；（2）將函數(shù)的圖像向右平移個單位，再將得到的圖像上各點的橫坐標(biāo)縮短為原來的，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖像，求函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)遞增區(qū)間.【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）結(jié)合三角函數(shù)的圖像求參數(shù)的值即可得解；（2）由三角函數(shù)圖像的平移和伸縮變換求出函數(shù)的解析式，再結(jié)合三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法即可.【小問1詳解】由題圖得，因為，∴.由，得，所以，解得.又因為，∴當(dāng)時，.又由，得.故.【小問2詳解】將的圖像向右平移個單位，得到的圖像，再將得到的圖像上各點的橫坐標(biāo)縮短為原來的，縱坐標(biāo)不變，得到的圖像.由，，得，當(dāng)時，；當(dāng)時，，因為，所以函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)遞增區(qū)間為，17.甲、乙、丙三人進行乒乓球比賽，比賽規(guī)則如下：先通過拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子的結(jié)果來決定第一局誰作為裁判，裁判外的兩人比賽．一局結(jié)束后，敗者作為下一局裁判，原裁判與勝者進行下一局比賽，按此規(guī)則共進行三局比賽，每局比賽結(jié)果相互獨立且每局比賽無平局．（1）設(shè)事件A=“兩個骰子點數(shù)和能被3整除”，求事件A的概率；（2）若在每一局比賽中，甲勝乙、甲勝丙的概率均為．現(xiàn)已決定出乙作為第一局的裁判，求甲恰好勝一局的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意可得樣本總共有36個，符合的有12個，再利用古典概率即可求解；（2）記事件為第局甲勝，，記事件為甲恰好勝一局，有如下兩種情況：①第1局甲勝，第2局甲敗，②第1局甲敗，第3局甲勝，再結(jié)合概率的乘法公式即可求解.【小問1詳解】因為骰子的質(zhì)地均勻，所以各個樣本點出現(xiàn)的可能性相等，因此這個試驗是古典概型，樣本空間：共個樣本點，事件含有：共12個樣本點，故．【小問2詳解】記事件為第局甲勝，，由題意知，記事件為甲恰好勝一局，有如下兩種情況：①第1局甲勝，第2局甲敗，②第1局甲敗，第3局甲勝，因為每局比賽結(jié)果相互獨立，所以事件與與也獨立，則，，因為，且事件與互斥，所以，所以甲恰好勝一局的概率為．18.在中，角所對的邊分別為，滿足.（1）求的值；（2）當(dāng)與邊上的中線長均為2時，求的周長；（3）當(dāng)內(nèi)切圓半徑為1時，求面積的最小值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用正弦定理化邊角，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及兩角和得正弦公式化簡即可得解；（2）利用余弦定理及向量化求出，即可得解；（3）先利用等面積法求出與的關(guān)系，再結(jié)合余弦定理可求出與的關(guān)系，再結(jié)合基本不等式及三角形的面積公式即可得解.【小問1詳解】因為，由正弦定理得，又由，得.因為，所以；【小問2詳解】由余弦定理得，即，①設(shè)的中點為，則，則，則，②由①②得，聯(lián)立，解得，所以，即的周長為；【小問3詳解】由（1）得，由內(nèi)切圓半徑為1，得，即，由余弦定理得，所以，得，因為，所以，解得或，又因為的面積大于其內(nèi)切圓面積，即，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，的面積取到最小值.【點睛】方法點睛：解三角形的基本策略：（1）利用正弦定理實現(xiàn)“邊化角”；（2）利用余弦定理實現(xiàn)“角化邊”.求三角形有關(guān)代數(shù)式取值范圍也是一種常見的類型，主要方法有兩類：（1）找到邊與邊之間的關(guān)系，利用基本不等式來求解；（2）利用正弦定理，轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個角的三角函數(shù)，利用函數(shù)思想求解.19.如圖，直三棱柱的體積為的面積為為線段上一動點，.（1）當(dāng)時，證明：平面.（2）當(dāng)時，若，平面平面.（i）證明：；（ii）求二面角的正弦值范圍.【答案】（1）證明見解析（2）（i）證明見解析（ii）【解析】【分析】（1）設(shè)，利用線面平行的判定定理可得答案；（2）（i）作出輔助線，寫出各角余弦值的表達式即可求解；（ii）作出輔助線，找到二面角的平面角，即可求解.【小問1詳解】當(dāng)時，即為的中點，設(shè)，連接，則是的中位線，則，因為平面，平面，所以平面；【小問2詳解】（i）過點作交AC于點，過點作交于點，連接．在直三棱柱中，平面平面，平面平面平面，所以平面．又因為平面，所以．又因為，所以平面DFG．又因為平面DFG，所以．于是，故有．（ii）在矩形中，，故矩形為正方形，從而．又因為