第5章拉普拉斯變換5.1從傅里葉變換到拉普拉斯變換5.2拉普拉斯變換的收斂域5.3拉普拉斯變換的性質(zhì)

5.4拉普拉斯反變換5.5小結(jié)習(xí)題5.1從傅里葉變換到拉普拉斯變換

由第3章內(nèi)容可知，當(dāng)f(t)滿足絕對可積條件時(shí)，其傅里葉變換對為f(t)

F(

)，即

（5.1）當(dāng)有些信號(hào)不衰減，不能滿足絕對可積條件時(shí)，不能用式(5.1)直接進(jìn)行傅里葉變換。為解決這一問題，將f(t)與衰減因子（收斂因子）e－σt相乘，只要σ

取值合適，就可保證f(t)e－σt滿足絕對可積條件，其傅里葉變換為

(5.2)由傅里葉變換定義，式(5.2)可寫為

F［f(t)e－σt］=F(σ+jω)其傅里葉反變換為將上式兩邊同乘以eσt，則得(5.3)令s=σ+jω，則ds=jdω，當(dāng)ω=±∞時(shí)，s=σ±j∞，因此式（5.2）、式（5.3）可分別改寫為（5.4）（5.5）式（5.4）和式（5.5）是一對拉普拉斯變換。式（5.4）稱為f(t)的雙邊拉普拉斯變換，把關(guān)于時(shí)間t為變量的函數(shù)變換為關(guān)于s為變量的函數(shù)F(s)，稱F(s)為f(t)的象函數(shù)；式（5.5）稱為F(s)的拉普拉斯反變換，把復(fù)頻域函數(shù)F(s)變?yōu)閷?yīng)時(shí)域函數(shù)f(t)，稱f(t)是F(s)的原函數(shù)。通常拉普拉斯變換與反變換用以下簡記的形式表示:

F(s)=L［f(t)］

f(t)=L－1［F(s)］

同樣，也可用雙箭頭表示f(t)與F(s)為拉普拉斯變換對:

（5.7）（5.6）實(shí)際問題中人們用物理手段和實(shí)驗(yàn)方法所能記錄與產(chǎn)生的一切信號(hào)都是有始信號(hào)，即f(t)=f(t)u(t)，則式（5.4）可變?yōu)椋?.8）式(5.8)稱為f(t)的單邊拉普拉斯變換，其反變換式為（5.９）考慮到工程應(yīng)用，本書只研究單邊拉氏變換，以后所稱的拉氏變換均為單邊拉普拉斯變換。

5.2拉普拉斯變換的收斂域

從定義可知，式（5.8）中時(shí)域函數(shù)f(t)的拉氏變換F(s)存在的條件是f(t)e－σt絕對可積，即

f(t)e－σt絕對可積的σ

的范圍稱為拉氏變換的收斂域，或者說是f(t)能求出F(s)的條件。即對某些σ的取值滿足條件:（5.10）則F(s)必然存在。式(5.10)是拉普拉斯變換存在的充要條件。在s平面（以σ為橫軸，jω為縱軸的復(fù)平面）上，收斂域是一個(gè)區(qū)域。對有始信號(hào)f(t)，若滿足:（5.11）則其收斂條件為σ>σ0，其收斂域如圖5.1所示。其中，過σ0平行于虛軸的直線稱為收斂軸或收斂邊界，σ0的取值與信號(hào)f(t)有關(guān)。圖5.1σ>σ0的收斂域

例5.1

分別求信號(hào)f1(t)=e－atu(t)，f2(t)=eatu(t)(a>0)的收

斂域。

解若則有σ+a>0，所以有σ>－a，σ0=－a，其收斂域如圖5.2(a)所示。若則有σ－a>0，其收斂域?yàn)棣?gt;a，σ0=a，其收斂域如圖5.2(b)所示。圖5.2例5.1圖從以上分析可見，對于滿足式（5.11）的信號(hào)可借助于指數(shù)函數(shù)的衰減作用將函數(shù)f(t)可能存在的發(fā)散性壓下去，使之成為收斂函數(shù)。因此，其收斂域都位于收斂軸的右邊。對于一些比指數(shù)函數(shù)增長更快的函數(shù)，例如tt，不存在收斂區(qū)域，因而不存在拉氏變換。但在實(shí)際工程中常見的有始信號(hào)其拉氏變換總是存在的，其收斂域總在σ>σ0的區(qū)域，因此以后對其收斂域不再一一說明。

例5.2

用定義求以下三個(gè)常用信號(hào)的拉普拉斯變換：

(1)單位沖激信號(hào)δ(t)；

(2)單位階躍信號(hào)u(t);

(3)指數(shù)信號(hào)e－atu(t)。

解(1)即（5.12）(2)即（5.13）(3)即（5.14）

5.3拉普拉斯變換的性質(zhì)

與傅里葉變換一樣，拉氏變換也有很多重要性質(zhì)，掌握這些性質(zhì)，將為今后的系統(tǒng)分析帶來方便。同樣，這里主要討論單邊拉氏變換。

1.線性性質(zhì)

若，則（5.15）式中:a、

b為常數(shù)。線性性質(zhì)反映了拉氏變換的齊次性和疊加性。證明:

例5.3

試求下列信號(hào)的拉氏變換:

(1)f(t)=sinωt·u(t);

(2)f(t)=cosωt·u(t);

(3)f(t)=(1－e－at)·u(t)。

解(1)利用線性性質(zhì)有：即（5.16）(2)利用線性性質(zhì)有:即（5.17）(3)利用線性性質(zhì)有：即（5.18）

2.時(shí)移（延時(shí)）性質(zhì)

若，則當(dāng)t0>0時(shí)，有:

證明:（5.19）令t－t0=x，則t=x+t0，dx=dt，上式改寫為上式規(guī)定t0>0，即限定波形沿時(shí)間軸向右平移。在使用該性質(zhì)時(shí)，要區(qū)分下列不同的四個(gè)時(shí)間函數(shù)：f(t－t0)，f(t－t0)·u(t)，f(t)·u(t－t0)和f(t－t0)·u(t－t0)。其中，只有最后一個(gè)函數(shù)才是有始信號(hào)f(t)·u(t)延時(shí)t0后得到的延時(shí)信號(hào)，只有它的拉氏變換能直接應(yīng)用延時(shí)特性來求得。延時(shí)特性的一個(gè)重要應(yīng)用是求有始周期信號(hào)的拉普拉斯變換。如圖5.3所示的周期信號(hào)f(t)可分解為

f(t)=f1(t)+f2(t)+f3(t)+…

式中:f1(t)是第一周期波形的函數(shù)；f2(t)是第二周期波形的函數(shù)，其余類推。因?yàn)楹笠恢芷谠谇耙恢芷谘訒r(shí)T后出現(xiàn)，所以f(t)可表示為

f(t)=f1(t)·u(t)+f1(t－T)·u(t－T)+f1(t－2T)·u(t－2T)+…

若，則根據(jù)延時(shí)特性可得f(t)的象函數(shù)為(5.20)式(5.20)表明，周期信號(hào)的拉氏變換等于其第一周期波形的拉氏變換乘以。圖5.3有始周期信號(hào)示例

例5.4

求如圖5.4所示矩形波的拉氏變換。

解已知該矩形波為

f(t)=u(t)－u(t－τ)

由時(shí)移性質(zhì)可得所以圖5.4矩形波

例5.5

求如圖5.5(a)所示正弦半波整流信號(hào)的拉氏變換。解圖5.5(a)所示信號(hào)為周期信號(hào)，其拉氏變換等于第一

周期波形f1(t)的拉氏變換乘以。第一周期波形f1(t)的

拉氏變換可以看做兩個(gè)有始正弦信號(hào)fa(t)與fb(t)之和，fa(t)、fb(t)分別如圖5.5(b)、(c)所示。即式中:。上式的拉氏變換為從而得到f(t)的象函數(shù)為圖5.5正弦脈沖信號(hào)

3.S域平移

若，則有復(fù)頻移特性：（5.21）證明:式中:s0為實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)。該性質(zhì)表明，時(shí)間函數(shù)乘以，其變換式在S域內(nèi)移動(dòng)

。已知顯然有:(5.22)(5.23)

4.時(shí)域尺度變換

若，則有拉氏變換的尺度變換特性:（5.24）

證明:令x=at，dx=adt，則當(dāng)a>0時(shí)有：對于單邊拉氏變換必須規(guī)定a>0，因?yàn)閒(t)是有始信號(hào)，若a<0，則f(at)在t>0時(shí)為零，從而使L［f(at)］=0，不能應(yīng)用上式。

例5.6

已知，求f(at－b)·u(at－b)的拉氏變換。

解由尺度變換性質(zhì)和時(shí)移特性有:即

5.卷積性質(zhì)

若,則

該性質(zhì)稱為時(shí)域卷積特性，表明兩信號(hào)在時(shí)域的卷積的拉氏變換等于兩信號(hào)的拉氏變換的乘積。證明:由定義知有始信號(hào)的卷積為（5.25）對于有始信號(hào)f2(t－τ)，積分可改寫為變換積分次序，有:根據(jù)拉氏變換的時(shí)移性質(zhì)，有:若，則有:（5.26）該特性稱為復(fù)頻域卷積性質(zhì)。其證明方法類似于時(shí)域卷積性質(zhì)，讀者可自行證明。

例5.7

已知，利用卷積定理求其原函數(shù)f(t)。

解

F(s)可表示為令則有原函數(shù)由卷積定理有:

6.時(shí)域微分若，則有時(shí)域微分性質(zhì):（5.27）證明：由拉氏變換定義可知因f(t)存在拉氏變換，故在收斂域內(nèi)有，所以由此，可推導(dǎo)出（5.28）應(yīng)用拉氏變換的時(shí)域微分性質(zhì)可將微分方程轉(zhuǎn)化為S域內(nèi)的代數(shù)方程，并將系統(tǒng)的起始狀態(tài)f(0－)，f′(0－)，f″(0－),

…很方便地歸到變換式中，對S域內(nèi)代數(shù)方程的求解后通過反變換可直接獲得系統(tǒng)的全響應(yīng)，該性質(zhì)在系統(tǒng)分析中非常有用。

例5.8

如圖5.6所示RL電路，設(shè)iL(0－)=5A，試求響應(yīng)iL(t)。圖中R=4Ω，L=2H，

U=3u(t)V。圖5.6例5.8電路圖解電路的微分方程為對方程兩邊取拉氏變換，有:將起始值代入上式，整理后得所以反變換得

7.S域微分

若，則有:（5.29）（5.30）證明:由拉氏變換定義可知可得即反復(fù)利用上式可推出:如單位斜坡函數(shù)f(t)=t·u(t)，由于，因此應(yīng)用復(fù)頻域微分性質(zhì)有:

以此類推，得（5.31）

8.時(shí)域積分

若，則（5.32）證明:由拉氏變換定義可知（5.33）利用分部積分公式，令則可得式中：項(xiàng)為0。該積分特性可以推廣到n次積分。

例5.9

如圖5.7(a)所示三角形脈沖信號(hào)f(t)，試求其拉氏變換F(s)。圖5.7例5.9圖解先將f(t)求導(dǎo)兩次，得f′(t)和f″(t)，如圖5.7(b)和(c)所示，則有:由微分定理和延時(shí)特性，得f″(t)的象函數(shù)F2(s)為由積分定理可得f(t)的象函數(shù)F(s)為

9.初值定理與終值定理

1)初值定理

若，且f(t)連續(xù)可導(dǎo)，f(t)及其導(dǎo)數(shù)

的拉氏變換存在，存在，則（5.34）證明:由時(shí)域微分定理可知由于在區(qū)間［0－，0+］，t=0，e－st|t=0=1，所以對上式兩邊令s→∞，取極限有利用初值定理可直接通過時(shí)間函數(shù)的拉氏變換F(s)求原函數(shù)f(t)的初值，即如果已知函數(shù)的拉氏變換F(s)，而不需求其反拉氏變換就能獲得原函數(shù)f(t)的初值。初值定理的初值指的是在t=0+處的值，其應(yīng)用條件是：F(s)必須是真分式。當(dāng)F(s)不是真分式時(shí)，須將其分成一個(gè)s的多項(xiàng)式與一個(gè)真分式F1(s)之和。對于s的多項(xiàng)式，其反變

換是沖激函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)，在t=0+處全為0?？衫贸踔刀ɡ韽腇1(s)中求其初值，即（5.35）

例5.10

求下列信號(hào)的初值:

(1)

(2)

解(1)F(s)為真分式，可直接利用定理得(2)F(s)不是真分式，先將其分解為則初值為

2)終值定理

若，f(t)及其導(dǎo)數(shù)可以進(jìn)行拉氏變

換，且存在，則（5.36）證明:由時(shí)域微分定理可知對上式兩邊取s→0的極限，即由于e－st|s=0=1，此時(shí)綜合以上兩等式，可得即綜上分析，現(xiàn)將拉氏變換的一些性質(zhì)列于表5-1中，供查閱時(shí)使用。

5.4拉普拉斯反變換

應(yīng)用拉普拉斯變換法求解系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)時(shí)，不僅要根據(jù)已知的激勵(lì)信號(hào)求其象函數(shù)，還必須把響應(yīng)的象函數(shù)反變換為時(shí)間函數(shù)，這就是拉氏反（逆）變換。下面將介紹對F(s)進(jìn)行反變換的一般方法。5.4.1有理拉普拉斯反變換

對線性系統(tǒng)而言，響應(yīng)的象函數(shù)F(s)常具有有理分式的形式，它可以表示為兩個(gè)s多項(xiàng)式之比的形式，即（5.37）式中:an，an－1，…，a1，a0和bm，bm－1，…，b1，b0均為實(shí)數(shù)，n和m為正整數(shù)；分母多項(xiàng)式D(s)稱為系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式，方程D(s)=0稱為特征方程，它的根稱為特征根（系統(tǒng)的固有頻率或自然頻率）。若m<n，則F(s)為有理真分式。對此形式的象函數(shù)可以用部分分式展開法將其表示為許多簡單分式之和的形式，而這些簡單項(xiàng)S域函數(shù)的反變換很容易查得。部分分式展開法簡單易行，避免了用拉氏反變換的定義式計(jì)算復(fù)變函數(shù)的積分問題。m≥n

時(shí)，F(xiàn)(s)是假分式，可將F(s)寫成多項(xiàng)式與真分式之和，即（5.38）式(5.38)中，由于多項(xiàng)式B(s)的拉普拉斯反變換是沖激函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)，可直接獲得，因此，只需確定真分式

的反變換就可以了。接下來，我們將討論拉普拉斯反變換的計(jì)算。

5.4.2拉普拉斯反變換的計(jì)算

如前所述，F(xiàn)(s)的反變換主要是利用部分分式展開法將真分式展開為簡單分式之和，獲得簡單項(xiàng)的反變換，再求和。下面針對方程D(s)=0的根的情況來計(jì)算拉氏反變換。

1.D(s)=0的所有根均為單實(shí)根的情況

設(shè)分母多項(xiàng)式D(s)=0的n個(gè)單實(shí)根分別為s1，s2，…，sn，則F(s)可以展開成下列簡單的部分分式之和:式中:K1，K2，…，Kn為待定系數(shù)。這些系數(shù)可以按下述方法確定：將上式兩邊乘以因子（s－si），再令s=si(i=1，2，…，n），于是上式右邊僅留下Ki項(xiàng)，即（5.39）因故F(s)的原函數(shù)為（5.40）

例5.11

求的原函數(shù)f(t)。

解F(s)為真分式，其分母多項(xiàng)式有三個(gè)單根：s1=0，s2=－1，s3=－2，故F(s)可展開為各系數(shù)分別為所以經(jīng)反變換可得

2.D(s)=0具有共軛單復(fù)根的情況（5.41）式中:D1(s)=an(s－s1)(s－s2)…(s－sn－2),s1，s2，…，sn－2為D(s)=0的互不相等的n－2個(gè)單實(shí)根；在二次多項(xiàng)式s2+bs+c中，若b2<4c，則D(s)=0中出現(xiàn)一對共軛復(fù)根。由于F(s)可寫成：（5.42）項(xiàng)可以展開為部分分式的方法如前所述。對于項(xiàng)，若b2<4c，則其分母特征根方程的共軛復(fù)根為：s1=α+jω與s2=α－jω，其展開式中將含有如下兩項(xiàng):引入式（5.39），可得（5.43）顯然，K1與K2呈共軛關(guān)系，假定則式（5.42）中項(xiàng)部分的反變換為

(5.44)

例5.12

設(shè)有象函數(shù)，求f(t)。

解方法一：部分分式展開法。

F(s)分母多項(xiàng)式的特征根為一對共軛復(fù)根：s1、2=－1±j2,故F(s)可展開為式中:因此，其反變換為方法二：配方法。利用配方法可將F(s)展開為利用拉普拉斯變換性質(zhì)和例5.2中的結(jié)論可得反變換為

3.D(s)=0含有重根

若D(s)=0含有一個(gè)p重根s1，則D(s)可寫為

D(s)=an(s－s1)p(s－sp+1)…(s－sn)

F(s)可寫為(5.45)式(5.45)中D(s)的非重根因子組成的部分分式的系數(shù)Kp+1，Kp+2，…，Kn－1，Kn的求法如前所述，下面重點(diǎn)介紹重根項(xiàng)部分分式系數(shù)的求法。

確定系數(shù)K11，K12，…

，K1(p－1)，K1p的過程如下：將式（5.45）兩邊乘以(s－s1)p，得（5.46）令s=s1,代入式(5.46)，可得將式（5.46）兩邊對s求導(dǎo)后，令s=s1可得依此類推，可得重根項(xiàng)的部分分式系數(shù)的一般公式為（5.47）當(dāng)全部系數(shù)確定后，由于（5.48）可得F(s)的原函數(shù)為（5.49）

例5.13

求的原函數(shù)f(t)。

解F(s)可展開為式中:所以反變換得原函數(shù)為

4.m≥n時(shí)F(s)的反變換

當(dāng)F(s)不是真分式，即m≥n時(shí)，可將F(s)寫成多項(xiàng)式與真分式之和，即（5.50）多項(xiàng)式B(s)的拉普拉斯反變換是沖激函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)，可直接獲得，而為真分式，可用部分分式展開。

例5.14

求的原函數(shù)f(t)。

解F(s)是假分式，可采用長除法將其分解為其中，真分式又可運(yùn)用部分分式法展開為式中:則F(s)為故原函數(shù)為

5.變換中含有指數(shù)的情況

在許多情況下，函數(shù)F(s)具有以下的形式：（5.51）式中：hi為不相等的正實(shí)數(shù)；Ni(s)和Di(s)均為s的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式。式（5.51）不是s的有理式，這是由于指數(shù)項(xiàng)的出現(xiàn)而引起的。具有式（5.51）這種形式的函數(shù)是s

的無理函數(shù)，又稱為s的超越函數(shù)。由于式（5.51）不是s的有理式，因此不能直接對其進(jìn)行部分分式展開，但還是可以用部分分式展開來計(jì)算F(s)的反函數(shù)。計(jì)算過程如下：首先，將F(s)寫成:（5.52）式中:每一個(gè)是s的有理函數(shù)，可以用前述方法獲得其拉氏反變換。令fi(t)代表的反變換，利用線性性質(zhì)和右移性質(zhì)，F(xiàn)(s)的拉普拉斯反變換為（5.53）

例5.15

求的原函數(shù)f(t)。

解利用一些簡單信號(hào)的拉普拉斯變化，可得利用拉普拉斯變換的時(shí)移性質(zhì)，可得原函數(shù)為

5.5小結(jié)

拉普拉斯變換是求解線性常系數(shù)微分方程的有力工具，應(yīng)用非常廣泛。本章從傅里葉變換引入函數(shù)f(t)的雙邊、單邊拉氏變換的定義，并討論了拉氏變換存在的收斂域，著重論證并分析了拉氏變換的性質(zhì)，主要包括：線性性質(zhì)、時(shí)移（延時(shí)）性質(zhì)、S域平移性質(zhì)、時(shí)域尺度變換性質(zhì)、卷積性質(zhì)、時(shí)域微分性質(zhì)、S域微分性質(zhì)、時(shí)域積分性質(zhì)、共軛性質(zhì)、初值定理和終值定理。拉氏逆變換是將S域的分式F(s