高等代數(shù)教學課件目錄第一章線性方程組與矩陣基礎(chǔ)線性方程組的解法與判別數(shù)域的定義與例子行列式的定義、性質(zhì)與計算第二章線性空間與線性映射線性空間的定義與公理線性相關(guān)性與線性無關(guān)組基與維數(shù)的概念線性映射的性質(zhì)與表示第三章多項式與環(huán)論基礎(chǔ)多項式環(huán)的定義與性質(zhì)多項式的不可約性環(huán)的基本概念歐幾里得整環(huán)與唯一分解環(huán)第四章群論與域論概述群的定義與基本性質(zhì)群的同態(tài)與同構(gòu)域的定義與擴張Galois理論簡介第一章線性方程組與矩陣基礎(chǔ)線性方程組的解法線性方程組是高等代數(shù)研究的基本對象，解決線性方程組是理解更高級抽象代數(shù)概念的基礎(chǔ)。對于一般形式的線性方程組：主要解法包括：矩陣消元法與初等行變換：通過對增廣矩陣進行行變換，將其化為階梯形或簡化階梯形解的情況分析：根據(jù)階梯形矩陣判斷方程組有無解、唯一解或無窮多解增廣矩陣階梯形與解的判別：結(jié)合系數(shù)矩陣的秩與增廣矩陣的秩進行判斷線性方程組解的判別條件秩與解的關(guān)系對于線性方程組AX=b，設(shè)系數(shù)矩陣A的秩為r，增廣矩陣(A|b)的秩為r'，未知數(shù)個數(shù)為n。則：當r'>r時，方程組無解當r'=r時，方程組有解，且：若r=n，則方程組有唯一解若r<n，則方程組有無窮多解，且通解中含有n-r個任意常數(shù)階梯形判別法將增廣矩陣化為階梯形后：若出現(xiàn)形如(0,0,...,0|k)（其中k≠0）的行，說明方程組無解若不出現(xiàn)上述情況，且主元個數(shù)r=n，則方程組有唯一解若不出現(xiàn)上述情況，且主元個數(shù)r<n，則方程組有無窮多解解空間維數(shù)當線性方程組有解時，其解空間的維數(shù)等于n-r，其中n為未知數(shù)個數(shù)，r為系數(shù)矩陣的秩。例如，對于三元線性方程組，若系數(shù)矩陣的秩為2，則解空間維數(shù)為3-2=1，表示解可以用一個參數(shù)表示。矩陣初等行變換示意圖矩陣的初等行變換是求解線性方程組的基礎(chǔ)工具，它們保持方程組解集不變，同時能將復雜的矩陣轉(zhuǎn)化為更簡單的形式。行交換將矩陣的第i行與第j行互換位置。這相當于交換方程組中的兩個方程的位置，不改變方程組的解。行倍乘用非零常數(shù)k乘矩陣的第i行。這相當于將方程組中的某個方程兩邊同乘以一個非零常數(shù)，不改變方程的解。行加法將矩陣第j行的k倍加到第i行上。這相當于將方程組中某個方程加上另一個方程的倍數(shù)，不改變方程組的解。數(shù)域的定義與例子數(shù)域是高等代數(shù)中最基本的代數(shù)結(jié)構(gòu)之一，它為我們研究線性空間、多項式等提供了基礎(chǔ)。數(shù)域K的定義數(shù)域K是一個集合，滿足：對于任意a,b∈K，有a+b∈K和a×b∈K（加法和乘法的封閉性）加法和乘法滿足交換律、結(jié)合律、分配律存在加法單位元0和乘法單位元1，且0≠1對每個a∈K，存在-a∈K使得a+(-a)=0對每個非零元素a∈K，存在a?1∈K使得a×a?1=1常見數(shù)域示例有理數(shù)域Q：所有可以表示為p/q（其中p,q是整數(shù)且q≠0）的數(shù)構(gòu)成的集合。實數(shù)域R：包含所有有理數(shù)和無理數(shù)的集合。復數(shù)域C：形如a+bi的數(shù)的集合，其中a,b∈R，i2=-1。復數(shù)域的運算封閉性證明簡述對于復數(shù)z?=a+bi和z?=c+di：加法：z?+z?=(a+c)+(b+d)i∈C乘法：z?×z?=(ac-bd)+(ad+bc)i∈C復數(shù)域中的其他公理也可類似驗證。行列式的定義與性質(zhì)n階行列式的排列定義對于n階方陣A=(a??)，其行列式定義為：其中，S?是{1,2,...,n}的所有排列的集合，σ表示一個排列，sgn(σ)表示排列σ的符號。逆序數(shù)與符號排列σ=(σ?,σ?,...,σ?)中，若σ?>σ?且i<j，則稱(σ?,σ?)構(gòu)成一個逆序。逆序的總數(shù)稱為排列的逆序數(shù)，記為τ(σ)。排列的符號定義為：sgn(σ)=(-1)^(τ(σ))，即當逆序數(shù)為偶數(shù)時取+1，為奇數(shù)時取-1。行列式計算示例行列式的重要性質(zhì)轉(zhuǎn)置性質(zhì)矩陣的轉(zhuǎn)置不改變行列式值：|A^T|=|A|線性性質(zhì)行列式對矩陣的行（或列）具有線性性質(zhì)。若將A的第i行的k倍加到第j行，得到矩陣B，則|B|=|A|行列式展開定理行列式可以按任意行或列展開：|A|=∑?a??·A??，其中A??是代數(shù)余子式乘法性質(zhì)矩陣乘積的行列式等于行列式的乘積：|AB|=|A|·|B|二階行列式示例二階行列式是最簡單的非平凡行列式，其計算公式為：這個公式可以通過排列定義直接導出：考慮所有2階排列：(1,2)和(2,1)排列(1,2)的逆序數(shù)為0，符號為+1排列(2,1)的逆序數(shù)為1，符號為-1代入定義得到：a??a??-a??a??二階行列式的幾何意義二階行列式|A|的絕對值表示由矩陣A的兩個列向量為鄰邊構(gòu)成的平行四邊形的面積。行列式非零與線性方程組唯一解的關(guān)系對于二階線性方程組：當且僅當行列式|A|≠0時，方程組有唯一解。二階行列式的幾何解釋：兩個列向量構(gòu)成的平行四邊形面積我們可以用克拉默法則來求解二階線性方程組：其中|A?|是將A的第一列替換為b后的行列式，|A?|是將A的第二列替換為b后的行列式。在計算機圖形學中，二階行列式常用于計算三角形面積、判斷點是否在三角形內(nèi)部等問題。行列式的計算技巧按行（列）展開法行列式可以按任意行或列展開計算：其中M??是余子式，A??=(-1)???M??是代數(shù)余子式。技巧：選擇含零元素最多的行或列進行展開，可以減少計算量。利用初等變換簡化計算通過行（列）變換將行列式化簡后再計算：交換兩行（列）：行列式變號用數(shù)k乘某一行（列）：行列式變?yōu)樵瓉淼膋倍某行（列）的k倍加到另一行（列）：行列式值不變技巧：利用初等變換將行列式化為上（下）三角形，然后計算主對角線元素的乘積。特殊行列式的計算某些特殊形式的行列式有簡便計算公式：三角形行列式：主對角線元素的乘積范德蒙德行列式：Π(x?-x?)，其中1≤j分塊行列式：當分塊矩陣中有零塊時可簡化計算克萊姆法則應用對于n個方程n個未知數(shù)的線性方程組AX=b，若|A|≠0，則：其中A?是用b替換A的第j列得到的矩陣?？巳R姆法則在理論推導中很有用，但對于高階方程組，高斯消元法通常更高效。第二章線性空間與線性映射本章將介紹線性空間的基本概念、線性相關(guān)性、基與維數(shù)等核心內(nèi)容，以及線性映射的理論與應用。線性空間的定義線性空間（又稱向量空間）是高等代數(shù)中最基本的代數(shù)結(jié)構(gòu)之一，它抽象出了向量加法和數(shù)乘的基本性質(zhì)。線性空間的形式定義設(shè)V是一個非空集合，K是一個數(shù)域。若在V上定義了加法運算"+"和數(shù)乘運算"·"，滿足以下條件：對加法運算：封閉性：?α,β∈V，有α+β∈V交換律：?α,β∈V，有α+β=β+α結(jié)合律：?α,β,γ∈V，有(α+β)+γ=α+(β+γ)零元素：?0∈V，使得?α∈V，有α+0=α負元素：?α∈V，?-α∈V，使得α+(-α)=0對數(shù)乘運算：封閉性：?k∈K，α∈V，有k·α∈V單位元：?α∈V，有1·α=α結(jié)合律：?k,l∈K，α∈V，有k·(l·α)=(k·l)·α分配律1：?k∈K，α,β∈V，有k·(α+β)=k·α+k·β分配律2：?k,l∈K，α∈V，有(k+l)·α=k·α+l·α則稱V是數(shù)域K上的線性空間，記為(V,K)，簡稱V是K-線性空間。V中的元素稱為向量。線性空間的典型例子1.歐氏空間R^n所有n維實數(shù)向量構(gòu)成的集合，其中加法和數(shù)乘定義為：2.矩陣空間M_{m,n}(K)所有m×n矩陣構(gòu)成的集合，加法和數(shù)乘按矩陣運算規(guī)則進行。3.多項式空間P_n(K)次數(shù)不超過n的多項式集合，加法和數(shù)乘按多項式運算規(guī)則進行。4.函數(shù)空間C[a,b]區(qū)間[a,b]上所有連續(xù)函數(shù)構(gòu)成的集合，加法和數(shù)乘按函數(shù)運算規(guī)則進行。線性相關(guān)與線性無關(guān)向量組的線性組合設(shè)α?,α?,...,α?是線性空間V中的n個向量，k?,k?,...,k?是數(shù)域K中的n個數(shù)，則：稱為向量組α?,α?,...,α?的一個線性組合。系數(shù)k?,k?,...,k?稱為這個線性組合的系數(shù)。線性相關(guān)的定義如果存在不全為零的系數(shù)k?,k?,...,k?∈K，使得：則稱向量組α?,α?,...,α?線性相關(guān)。通俗理解：某些向量可以用其他向量的線性組合表示。線性無關(guān)的定義如果僅有當系數(shù)k?=k?=...=k?=0時，等式：才成立，則稱向量組α?,α?,...,α?線性無關(guān)。通俗理解：任何一個向量都不能用其余向量的線性組合表示。線性相關(guān)性的判別方法方法一：定義法構(gòu)造方程組k?α?+k?α?+...+k?α?=0，求解系數(shù)k?,k?,...,k?。若有非零解，則線性相關(guān)；若只有零解，則線性無關(guān)。方法二：矩陣秩法將向量組α?,α?,...,α?排列成矩陣A的列向量，判斷矩陣的秩r(A)。若r(A)=n，則線性無關(guān)；若r(A)<n，則線性相關(guān)。極大線性無關(guān)組與秩的概念從向量組中選出的線性無關(guān)的向量的最大個數(shù)稱為該向量組的秩。這樣的線性無關(guān)向量組稱為原向量組的一個極大線性無關(guān)組。極大線性無關(guān)組具有以下性質(zhì)：它是線性無關(guān)的向量組中的任何向量都可以用它的線性組合表示它的向量個數(shù)等于向量組的秩線性無關(guān)向量（左）和線性相關(guān)向量（右）的直觀表示。當向量線性相關(guān)時，某些向量可以表示為其他向量的線性組合。線性映射基礎(chǔ)線性映射的定義設(shè)V和W是數(shù)域K上的兩個線性空間，如果映射f:V→W滿足：對于任意α,β∈V，有f(α+β)=f(α)+f(β)（加法保持性）對于任意α∈V，k∈K，有f(kα)=kf(α)（數(shù)乘保持性）則稱f為從V到W的線性映射（又稱線性變換）。線性映射的性質(zhì)保持零向量：f(0)=0保持線性組合：f(k?α?+k?α?+...+k?α?)=k?f(α?)+k?f(α?)+...+k?f(α?)保持線性相關(guān)性：若向量組{α?,α?,...,α?}線性相關(guān)，則{f(α?),f(α?),...,f(α?)}也線性相關(guān)核與像的概念核（Kernel）：線性映射f:V→W的核是V中映射到W的零向量的所有向量的集合：像（Image）：線性映射f:V→W的像是V中所有向量通過f映射后得到的向量的集合：線性映射可以將一個空間中的向量映射到另一個空間中，保持向量的線性組合關(guān)系。線性映射的矩陣表示設(shè)V是n維線性空間，W是m維線性空間，f:V→W是線性映射，E={e?,e?,...,e?}是V的一組基，F(xiàn)={f?,f?,...,f?}是W的一組基。若f(e?)在基F下的坐標為(a??,a??,...,a??)，則矩陣：稱為線性映射f在基E和F下的矩陣表示。線性映射的核和像都是線性子空間，且滿足維數(shù)定理：dimV=dimKer(f)+dimIm(f)。這一關(guān)系揭示了線性映射的核與像之間的深刻聯(lián)系。線性映射的可逆性可逆映射的定義線性映射f:V→W稱為可逆（或同構(gòu)），如果存在線性映射g:W→V，使得：其中，I_V和I_W分別是V和W上的恒等映射。映射g稱為f的逆映射，記為f^{-1}。可逆映射的判別條件線性映射f:V→W可逆的充要條件是：f是單射（Ker(f)={0}）f是滿射（Im(f)=W）當V和W的維數(shù)相同時，上述兩個條件等價，即：矩陣表示下的可逆性設(shè)A是線性映射f在基下的矩陣表示，則：f可逆?A可逆若f可逆，則f^{-1}的矩陣表示為A^{-1}矩陣A可逆的充要條件是|A|≠0或r(A)=n（n為A的階數(shù)）。線性空間同構(gòu)的意義兩個線性空間同構(gòu)意味著它們在代數(shù)結(jié)構(gòu)上是"相同的"。具體來說：它們的維數(shù)相同可以建立一一對應關(guān)系，保持線性運算一個空間中的線性問題可以轉(zhuǎn)化為另一個空間中的對應問題例如，所有n維線性空間都與R^n同構(gòu)，這使得我們可以將抽象的線性空間問題轉(zhuǎn)化為具體的R^n中的問題。理解線性映射的可逆性對于解決實際問題至關(guān)重要。例如，在解線性方程組Ax=b時，只有當矩陣A可逆時，方程組才有唯一解x=A^{-1}b。線性映射示意圖向量空間之間的映射關(guān)系線性映射f:V→W將一個線性空間V中的向量映射到另一個線性空間W中，保持向量的線性組合關(guān)系。從幾何角度看，線性映射可以理解為空間的伸縮、旋轉(zhuǎn)、投影等變換的組合。例如：投影映射：將高維空間的向量投影到低維子空間上旋轉(zhuǎn)映射：在同一空間內(nèi)旋轉(zhuǎn)向量方向，保持長度不變伸縮映射：改變向量的長度，保持方向不變或相反線性映射是高等代數(shù)中最基本的工具之一，它使我們能夠研究不同線性空間之間的關(guān)系，為更高級的數(shù)學概念如張量和流形奠定基礎(chǔ)。核與像的幾何解釋核（Kernel）的幾何意義：核是原空間V中映射到零向量的所有向量構(gòu)成的子空間。從幾何上看，核是線性映射的"坍縮方向"，核中的向量在映射后都變成零向量，丟失了信息。像（Image）的幾何意義：像是目標空間W中能夠通過線性映射f得到的所有向量構(gòu)成的子空間。從幾何上看，像是原空間V經(jīng)過線性映射后"覆蓋"的區(qū)域。維數(shù)定理dimV=dimKer(f)+dimIm(f)表明，原空間的維數(shù)等于核的維數(shù)與像的維數(shù)之和。這意味著，線性映射在核的方向上"坍縮"了空間，同時保持了與核互補的子空間的維數(shù)。在量子力學中，線性算子的核與像對應于物理系統(tǒng)的某些重要性質(zhì)。例如，哈密頓算子的核對應于系統(tǒng)的基態(tài)，而其像則與系統(tǒng)可能的能量狀態(tài)有關(guān)。第三章多項式與環(huán)論基礎(chǔ)本章將介紹多項式環(huán)的基本概念、多項式的不可約性以及環(huán)論的基礎(chǔ)理論，包括理想、素理想和歐幾里得整環(huán)等內(nèi)容。多項式環(huán)的定義多項式的形式定義設(shè)K是一個數(shù)域，一個K上的多項式是形如：的表達式，其中a?,a?,...,a?∈K稱為多項式的系數(shù)，n稱為多項式的次數(shù)（當a?≠0時）。所有K上的多項式構(gòu)成的集合記為K[x]，它在多項式的加法和乘法運算下構(gòu)成一個多項式環(huán)。多項式的加法與乘法加法：對于多項式f(x)=Σa?x?和g(x)=Σb?x?，它們的和定義為：乘法：對于多項式f(x)=Σa?x?和g(x)=Σb?x?，它們的積定義為：這相當于按照普通代數(shù)的乘法法則，將各項相乘后合并同類項。多項式環(huán)的基本性質(zhì)單位元：常數(shù)多項式1是乘法單位元零因子：K[x]中沒有零因子，即若f(x)·g(x)=0，則f(x)=0或g(x)=0交換性：對任意f(x),g(x)∈K[x]，有f(x)·g(x)=g(x)·f(x)次數(shù)性質(zhì)：deg(f·g)=deg(f)+deg(g)，其中deg表示多項式的次數(shù)多項式環(huán)的代數(shù)結(jié)構(gòu)多項式環(huán)K[x]是一個：整環(huán)：有單位元且無零因子的交換環(huán)歐幾里得整環(huán)：存在多項式的帶余除法主理想整環(huán)：每個理想都是由一個元素生成的唯一分解整環(huán)：每個非零非單位元素都可以唯一地分解為不可約元素的乘積多項式環(huán)是代數(shù)學中最基本的研究對象之一，它不僅本身具有豐富的結(jié)構(gòu)，還為研究其他代數(shù)結(jié)構(gòu)提供了重要工具。例如，環(huán)的同構(gòu)定理、域的擴張等概念都與多項式環(huán)密切相關(guān)。多項式的不可約性不可約多項式的定義設(shè)f(x)∈K[x]是次數(shù)大于0的多項式，如果f(x)不能在K[x]中被分解為兩個次數(shù)較低的多項式的乘積，則稱f(x)在K上不可約。形式上，若f(x)=g(x)·h(x)意味著g(x)或h(x)必有一個是K中的常數(shù)（單位元），則f(x)不可約。判別不可約的常用方法艾森斯坦（Eisenstein）判別法：設(shè)f(x)=a?+a?x+...+a?x?∈Z[x]，若存在素數(shù)p滿足：則f(x)在有理數(shù)域Q上不可約。p|a?(i=0,1,...,n-1)p?a?p2?a?輾轉(zhuǎn)相除法：對于低次多項式，可以嘗試用輾轉(zhuǎn)相除法找到可能的因式。代數(shù)整數(shù)性質(zhì)：若多項式f(x)∈Z[x]在模p意義下有不可約因式，且次數(shù)與f(x)相同，則f(x)在Q上不可約。各數(shù)域上的不可約多項式復數(shù)域C上：每個次數(shù)大于0的多項式都可以分解為一次因式的乘積，因此在C上只有一次多項式不可約。實數(shù)域R上：不可約多項式只有一次式和無實根的二次式。有理數(shù)域Q上：不可約多項式種類繁多，例如：x2-2（無有理根）x2-3（無有理根）x3-2（利用Eisenstein判別法可證不可約）不可約多項式的重要性不可約多項式在代數(shù)學中扮演著類似素數(shù)在整數(shù)理論中的角色：是構(gòu)造域擴張的基礎(chǔ)是理解多項式環(huán)結(jié)構(gòu)的關(guān)鍵在代數(shù)方程的求解理論中有重要應用典型例題解析例題1：證明多項式f(x)=x3-3x+1在Q上不可約。解析：若f(x)可約，則f(x)必有一個一次因式，即f(x)有有理根。根據(jù)有理根定理，若有理數(shù)p/q（最簡形式）是f(x)的根，則p|1且q|1，即可能的有理根只有±1。代入檢驗：f(1)=1-3+1=-1≠0，f(-1)=-1-3-1=-5≠0故f(x)無有理根，在Q上不可約。例題2：利用Eisenstein判別法證明x?+10x+5在Q上不可約。解析：取素數(shù)p=5，則：5|10（系數(shù)10）5|5（常數(shù)項5）5?1（最高次項系數(shù)1）52=25?5（常數(shù)項5）滿足Eisenstein判別法的條件，故x?+10x+5在Q上不可約。不可約多項式在數(shù)域上的幾何表示。不同數(shù)域上，同一多項式的可約性可能不同。環(huán)的基本概念環(huán)的定義與例子一個環(huán)(R,+,·)是一個集合R，在R上定義了兩個二元運算"+"和"·"，滿足以下條件：(R,+)是一個交換群，即加法滿足交換律、結(jié)合律，存在加法單位元0和每個元素的加法逆元乘法滿足結(jié)合律：?a,b,c∈R，(a·b)·c=a·(b·c)乘法對加法滿足分配律：?a,b,c∈R，a·(b+c)=a·b+a·c和(a+b)·c=a·c+b·c若乘法滿足交換律，則稱R為交換環(huán)。若存在乘法單位元1，則稱R為有單位元的環(huán)。環(huán)的例子：整數(shù)環(huán)Zn×n矩陣環(huán)M_n(K)多項式環(huán)K[x]函數(shù)環(huán)C(X)（X上的連續(xù)函數(shù)集合）理想、素理想與極大理想理想：環(huán)R的子集I稱為理想，如果：(I,+)是(R,+)的子群?a∈I,r∈R，有r·a∈I和a·r∈I（對乘法封閉）素理想：交換環(huán)R的理想P稱為素理想，如果：P≠R若a·b∈P，則a∈P或b∈P極大理想：環(huán)R的理想M稱為極大理想，如果：M≠R不存在真包含M的真理想，即若M?I?R，則I=M環(huán)論是研究代數(shù)結(jié)構(gòu)的重要分支，它將整數(shù)、多項式等結(jié)構(gòu)的共同特性抽象出來，形成統(tǒng)一的理論框架。商環(huán)的構(gòu)造與性質(zhì)設(shè)R是環(huán)，I是R的理想，定義關(guān)系"～"：這是一個等價關(guān)系，將R劃分為不相交的等價類。所有等價類構(gòu)成的集合記為R/I，稱為R模I的商環(huán)。商環(huán)的重要性質(zhì)：若I是素理想，則R/I是整環(huán)若I是極大理想，則R/I是域自然映射π:R→R/I是環(huán)同態(tài)，且Ker(π)=I商環(huán)在代數(shù)結(jié)構(gòu)的研究中有重要應用，例如構(gòu)造有限域、研究多項式的因式分解等。環(huán)論是現(xiàn)代代數(shù)學的重要分支，它不僅在純數(shù)學中有深刻應用，也在密碼學、編碼理論等領(lǐng)域發(fā)揮重要作用。例如，RSA加密算法的基礎(chǔ)就是基于整數(shù)環(huán)中的素數(shù)理論。歐幾里得整環(huán)與唯一分解環(huán)整環(huán)的定義一個整環(huán)是指沒有零因子的交換環(huán)，即若ab=0，則a=0或b=0。整環(huán)中的元素之間的乘法運算類似于整數(shù)的乘法，沒有信息的丟失。整環(huán)的例子包括整數(shù)環(huán)Z、多項式環(huán)K[x]、高斯整數(shù)環(huán)Z[i]等。歐幾里得整環(huán)的定義一個整環(huán)R稱為歐幾里得整環(huán)，如果存在一個函數(shù)δ:R\{0}→N（稱為次數(shù)函數(shù)），滿足：對于任意非零元素a,b∈R，有δ(ab)≥δ(a)對于任意非零元素a,b∈R，存在q,r∈R，使得a=bq+r，且r=0或δ(r)<δ(b)第二個條件稱為帶余除法，它是歐幾里得算法的基礎(chǔ)。唯一因子分解定理一個唯一分解整環(huán)（也稱為唯一因子分解整環(huán)）是指滿足以下條件的整環(huán)：每個非零非單位元素都可以寫成有限個不可約元素的乘積這種分解在忽略單位元和因子順序的意義下是唯一的歐幾里得整環(huán)都是唯一分解整環(huán)，但反之不一定成立。歐幾里得算法在歐幾里得整環(huán)中，可以通過輾轉(zhuǎn)相除法計算兩個元素的最大公因子（gcd）：設(shè)要計算gcd(a,b)，不妨設(shè)δ(a)≥δ(b)若b=0，則gcd(a,b)=a否則，使用帶余除法：a=bq+r則gcd(a,b)=gcd(b,r)重復步驟2-4，直到余數(shù)為0這種算法在計算整數(shù)或多項式的最大公因子時非常有用。典型例子1.整數(shù)環(huán)Z整數(shù)環(huán)是最基本的歐幾里得整環(huán)，其次數(shù)函數(shù)可以定義為δ(n)=|n|。帶余除法就是普通的整數(shù)除法取余。在Z中，不可約元素就是素數(shù)。根據(jù)算術(shù)基本定理，每個大于1的整數(shù)都可以唯一地分解為素數(shù)的乘積。2.多項式環(huán)F[x]域F上的多項式環(huán)F[x]是歐幾里得整環(huán)，其次數(shù)函數(shù)就是多項式的次數(shù)。帶余除法就是多項式的長除法。在F[x]中，不可約多項式扮演著類似素數(shù)的角色。每個非零多項式都可以唯一地分解為不可約多項式的乘積。3.高斯整數(shù)環(huán)Z[i]高斯整數(shù)是形如a+bi的復數(shù)，其中a,b∈Z。高斯整數(shù)環(huán)是歐幾里得整環(huán)，其次數(shù)函數(shù)可以定義為δ(a+bi)=a2+b2（即模的平方）。歐幾里得算法是計算兩個元素最大公因子的經(jīng)典方法，在整數(shù)和多項式計算中都有廣泛應用。非唯一分解環(huán)的例子整環(huán)Z[√-5]={a+b√-5|a,b∈Z}不是唯一分解環(huán)。例如：可以證明2,3,(1+√-5)和(1-√-5)都是不可約元素，但它們的乘積得到了相同的元素6，違反了唯一分解性。這個例子說明，整環(huán)的結(jié)構(gòu)比我們通常接觸的整數(shù)環(huán)復雜得多，唯一分解性并不是所有整環(huán)都具有的性質(zhì)。第四章群論與域論概述本章將介紹群的基本概念與性質(zhì)、群同態(tài)與同構(gòu)理論，以及域的定義、擴張和Galois理論簡介等內(nèi)容。群的定義與基本性質(zhì)群的形式定義一個群(G,·)是一個非空集合G與一個二元運算"·"，滿足以下公理：封閉性：?a,b∈G，有a·b∈G結(jié)合律：?a,b,c∈G，有(a·b)·c=a·(b·c)單位元：?e∈G，使得?a∈G，有e·a=a·e=a逆元：?a∈G，?a?1∈G，使得a·a?1=a?1·a=e若對群G中的任意元素a,b還滿足a·b=b·a，則稱G為交換群（或阿貝爾群）。交換群與非交換群交換群的例子：整數(shù)加群(Z,+)有理數(shù)乘群(Q\{0},×)n階循環(huán)群(Z_n,+)非交換群的例子：一般線性群GL(n,R)（n×n可逆矩陣構(gòu)成的群）對稱群S_n（n個元素的所有排列構(gòu)成的群，n>2）二面體群D_n（正n邊形的對稱變換群）群論研究的是對稱性的數(shù)學，不同的對稱型對應不同的群結(jié)構(gòu)。子群與生成元子群：群G的非空子集H稱為G的子群，如果：H對群運算封閉單位元e∈H?h∈H，有h?1∈H子群可以用符號H≤G表示。生成元：如果群G中的元素a?,a?,...,a?的所有可能的乘積（包括取逆元和重復使用）可以生成G中的所有元素，則稱a?,a?,...,a?是G的一組生成元，記為G=?a?,a?,...,a??。特別地，如果一個群可以由單個元素生成，即G=?a?，則稱G為循環(huán)群。循環(huán)群一定是交換群。1拉格朗日定理若H是有限群G的子群，則H的階（元素個數(shù)）整除G的階，即：子群H的指數(shù)[G:H]=|G|/|H|等于G中不同左陪集（或右陪集）的個數(shù)。2陪集分解給定群G和其子群H，可以將G分解為H的左陪集（或右陪集）的不相交并：其中a?,a?,...,a?是G中不同左陪集的代表元。3正規(guī)子群若子群H滿足對任意g∈G，有g(shù)Hg?1=H，則稱H為G的正規(guī)子群，記為H?G。正規(guī)子群是定義商群的基礎(chǔ)。所有交換群的子群都是正規(guī)子群。群的同態(tài)與同構(gòu)群同態(tài)定義設(shè)G和H是兩個群，映射φ:G→H稱為從G到H的群同態(tài)，如果：也就是說，φ保持群的運算結(jié)構(gòu)。如果φ同時是單射和滿射，則稱φ為群同構(gòu)，記為G?H。同構(gòu)的群在代數(shù)結(jié)構(gòu)上是"相同的"。群同態(tài)的其他特殊情況：單同態(tài)：φ是單射的群同態(tài)滿同態(tài)：φ是滿射的群同態(tài)自同態(tài)：從群到自身的同態(tài)，即φ:G→G自同構(gòu)：從群到自身的同構(gòu)，即φ:G→G是雙射核與像的關(guān)系群同態(tài)φ:G→H的核（kernel）定義為：其中e_H是H的單位元。群同態(tài)φ:G→H的像（image）定義為：核與像具有以下重要性質(zhì)：Ker(φ)是G的正規(guī)子群Im(φ)是H的子群若φ是滿同態(tài)，則G/Ker(φ)?H群同態(tài)將一個群的結(jié)構(gòu)映射到另一個群中，保持群運算的特性。同構(gòu)的群在代數(shù)結(jié)構(gòu)上是等價的。第一同構(gòu)定理簡述設(shè)φ:G→H是群同態(tài)，則：這意味著原群G除以同態(tài)的核得到的商群，與同態(tài)的像是同構(gòu)的。這個定理揭示了群同態(tài)、核、像和商群之間的深刻聯(lián)系，是群論中最重要的基本定理之一。同構(gòu)的意義兩個群同構(gòu)意味著它們具有相同的代數(shù)結(jié)構(gòu)，只是元素的"名稱"不同。同構(gòu)群具有完全相同的性質(zhì)：階相同子群結(jié)構(gòu)相同元素的階相同交換性質(zhì)相同例如，循環(huán)群Z_n與n次單位根構(gòu)成的乘法群同構(gòu)。群同態(tài)在許多數(shù)學分支中都有重要應用。例如，在拓撲學中，同調(diào)群之間的同態(tài)可以用來研究空間的拓撲性質(zhì)；在表示論中，群到線性變換群的同態(tài)可以用來研究群的結(jié)構(gòu)。域的定義與擴張域的基本性質(zhì)一個域(F,+,·)是一個集合F與兩個二元運算"+"和"·"，滿足：(F,+)是一個交換群，單位元記為0(F\{0},·)是一個交換群，單位元記為1乘法對加法滿足分配律：?a,b,c∈F，a·(b+c)=a·b+a·c域是最完備的數(shù)系結(jié)構(gòu)，在其中可以進行四則運算（除以0外）。常見的域包括有理數(shù)域Q、實數(shù)域R、復數(shù)域C和有限域GF(q)。域擴張的概念如果域K是域F的子集，且K中的加法和乘法與F中的運算一致，則稱K是F的子域，F(xiàn)是K的擴域，記為K?F。常見的域擴張例子有Q?R?C。給定域K和元素α?K，可以構(gòu)造包含K和α的最小的域，記為K(α)，稱為由α對K的簡單擴張。代數(shù)擴張與超越擴張設(shè)F是域K的擴域，α∈F。如果存在K上的非零多項式f(x)，使得f(α)=0，則稱α是K上的代數(shù)元；否則稱α是K上的超越元。如果F中的每個元素都是K上的代數(shù)元，則稱F是K的代數(shù)擴張；否則稱為超越擴張。例如，√2是Q上的代數(shù)元，而π是Q上的超越元。擴張的次數(shù)設(shè)F是域K的擴域，則F可以視為K上的線性空間。如果這個線性空間的維數(shù)是有限的，則稱F是K的有限擴張，其維數(shù)稱為擴張的次數(shù)，記為[F:K]。擴張次數(shù)滿足乘法公式：若K?L?F，則[F:K]=[F:L]·[L:K]。例如，[Q(√2):Q]=2，[Q(√2,√3):Q]=4。域擴張的構(gòu)造方法1.多項式擴張設(shè)f(x)是K上的不可約多項式，則商環(huán)K[x]/(f(x))是一個域，它包含了K和f(x)的一個根。例如，Q[x]/(x2-2)構(gòu)造了域Q(√2)。2.代數(shù)閉包任何域K都有一個代數(shù)閉包K?，即包含K的最小的代數(shù)閉域（所有多項式都有根的域）。例如，復數(shù)域C是實數(shù)域R的代數(shù)閉包。3.分裂域給定域K上的多項式f(x)，存在K的一個擴域F，使得f(x)在F上完全分裂為一次因式。這樣的最小擴域稱為f(x)在K上的分裂域。域擴張可以視為在原始數(shù)系上添加新元素，使得某些方程有解。例如，Q(√2)是在有理數(shù)域上添加√2后得到的擴域。代數(shù)元的極小多項式設(shè)α是域K的擴域F中的代數(shù)元，則存在唯一的首一不可約多項式p(x)∈K[x]，使得p(α)=0。這個多項式稱為α在K上的極小多項式。極小多項式的次數(shù)等于擴張K(α)/K的次數(shù)。例如，√2在Q上的極小多項式是x2-2，次數(shù)為2，所以[Q(√2):Q]=2。Galois理論簡介自同構(gòu)群與固定域設(shè)F是域K的擴域，定義F的自同構(gòu)群Aut(F)為所有F到自身的域同構(gòu)的集合。F關(guān)于K的自同構(gòu)群Aut(F/K)定義為：即保持K中元素不變的F的所有自同構(gòu)。給定F的自同構(gòu)群的子群G，定義G的固定域F^G為：即被G中所有自同構(gòu)固定的元素構(gòu)成的子域。Galois群的定義設(shè)F是域K上多項式f(x)的分裂域，則F關(guān)于K的自同構(gòu)群Aut(F/K)稱為f(x)在K上的Galois群，記為Gal(F/K)或Gal(f)。Galois群的元素會置換f(x)的根，因此可以將Gal(f)視為f(x)的根集合的某個置換群的子群。Galois理論建立了域擴張與群之間的深刻聯(lián)系，是現(xiàn)代代數(shù)學的重要成就之一。Galois對應Galois理論的核心是Galois對應定理：設(shè)F是域K的有限Galois擴張，G=Gal(F/K)是其Galois群，則：存在K與F之間的中間域E與G的子群H之間的一一對應：E?H=Gal(F/E)在這個對應下，E=F^H（H的固定域）[F:E]=|H|（擴張次數(shù)等于子群的階）[E:K]=[G:H]（擴張次數(shù)等于子群的指數(shù)）E/K是Galois擴張當且僅當H是G的正規(guī)子群，這時Gal(E/K)?G/H代數(shù)方程可解性的群論條件根式可解的定義一個代數(shù)方程稱為根式可解，如果它的根可以用系數(shù)通過有限次四則運算和開方運算表示?？山馊旱亩x一個群G稱為可解群，如果存在一個正規(guī)子群序列：使得每個商群G_{i+1}/G_i都是交換群。Abel-Galois定理一個不可約多項式f(x)∈K[x]的根可以用根式表示當且僅當它的Galois群Gal(f)是可解群。這就是著名的Abel-Galois定理，它解釋了為什么五次及以上的一般代數(shù)方程沒有根式解：因為對稱群S_n(n≥5)不是可解群。Galois理論是19世紀法國數(shù)學家évaristeGalois創(chuàng)立的，他在21歲參加決斗前夜寫下了這一理論的核心內(nèi)容。Galois理論不僅解決了幾千年來困擾數(shù)學家的高次方程求解問題，還為現(xiàn)代代數(shù)學開辟了新的研究方向。Galois群與域擴張示意圖域擴張層次結(jié)構(gòu)在Galoi