2025年大學統(tǒng)計學期末考試題庫：統(tǒng)計推斷與t分布檢驗試題考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共15小題，每小題2分，共30分。在每小題列出的四個選項中，只有一項是最符合題目要求的。請將正確選項前的字母填寫在答題卡相應(yīng)位置。）1.在進行t分布檢驗時，以下哪種情況會導致增大犯第一類錯誤的概率？A.增大樣本量B.減小樣本量C.增大顯著性水平αD.減小顯著性水平α2.當樣本量較小（n<30）且總體標準差未知時，應(yīng)選擇的檢驗方法是？A.Z檢驗B.t檢驗C.卡方檢驗D.F檢驗3.在t分布檢驗中，自由度（df）主要取決于？A.樣本均值B.樣本標準差C.樣本量D.總體方差4.如果t統(tǒng)計量的絕對值大于t分布的臨界值，我們應(yīng)該？A.接受原假設(shè)B.拒絕原假設(shè)C.無法確定D.重新計算樣本量5.在雙側(cè)t檢驗中，如果顯著性水平α=0.05，那么臨界值t的絕對值是多少（自由度為15）？A.2.131B.1.753C.2.947D.2.1316.t分布與標準正態(tài)分布的主要區(qū)別是什么？A.t分布的形狀更平坦B.t分布的形狀更尖銳C.t分布有更多尾部D.t分布的均值不為07.在進行t檢驗時，如果樣本均值與總體均值差異很大，但樣本標準差也很大會發(fā)生什么？A.t統(tǒng)計量會增大B.t統(tǒng)計量會減小C.p值會增大D.p值會減小8.如果原假設(shè)是真的，但拒絕了原假設(shè)，這種情況被稱為？A.第一類錯誤B.第二類錯誤C.統(tǒng)計功效D.檢驗效力9.在單側(cè)t檢驗中，如果檢驗的是樣本均值是否顯著大于總體均值，我們應(yīng)該使用？A.t分布的左側(cè)臨界值B.t分布的右側(cè)臨界值C.雙側(cè)臨界值D.無法確定10.當樣本量增大時，t分布逐漸接近什么分布？A.卡方分布B.F分布C.標準正態(tài)分布D.泊松分布11.在t分布檢驗中，如果樣本量較大（n≥30），但總體標準差未知，通常如何處理？A.使用Z檢驗B.使用t檢驗C.增大樣本量D.無法進行檢驗12.如果t統(tǒng)計量的值接近于0，這意味著什么？A.樣本均值與總體均值差異很大B.樣本均值與總體均值差異很小C.樣本標準差很大D.總體標準差很大13.在進行t檢驗時，如果樣本量較小且樣本分布偏斜，應(yīng)該采取什么措施？A.增大樣本量B.使用非參數(shù)檢驗C.使用Z檢驗D.無法進行檢驗14.如果t統(tǒng)計量的值小于-2.000（自由度為20），在顯著性水平α=0.05下，我們應(yīng)該？A.接受原假設(shè)B.拒絕原假設(shè)C.無法確定D.重新計算樣本量15.在雙側(cè)t檢驗中，如果p值小于顯著性水平α，我們應(yīng)該？A.接受原假設(shè)B.拒絕原假設(shè)C.增大樣本量D.無法確定二、簡答題（本大題共5小題，每小題4分，共20分。請將答案寫在答題卡相應(yīng)位置。）1.簡述t分布與標準正態(tài)分布的主要區(qū)別和聯(lián)系。2.在進行t檢驗時，為什么當樣本量較小時需要使用t分布而不是Z檢驗？3.解釋什么是犯第一類錯誤和第二類錯誤，并說明如何控制這兩種錯誤。4.在單側(cè)t檢驗中，如何確定使用左側(cè)臨界值還是右側(cè)臨界值？5.如果在進行t檢驗時發(fā)現(xiàn)樣本量較大（n≥30），但總體標準差未知，應(yīng)該如何處理？（接下來是第二題的內(nèi)容）三、計算題（本大題共4小題，每小題5分，共20分。請將計算步驟和答案寫在答題卡相應(yīng)位置。）1.某研究想檢驗一種新教學方法是否顯著提高了學生的數(shù)學成績。隨機抽取了25名學生，使用新教學方法后，樣本均值為85分，樣本標準差為10分。已知傳統(tǒng)教學方法的總體均值為80分。在顯著性水平α=0.05下，檢驗新教學方法是否顯著提高了學生的數(shù)學成績。（假設(shè)數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布）2.一家制藥廠聲稱其新開發(fā)的降血壓藥物能夠顯著降低高血壓患者的血壓。隨機抽取了30名高血壓患者，服用新藥物一個月后，樣本均值為130mmHg，樣本標準差為15mmHg。已知正常血壓的總體均值為120mmHg。在顯著性水平α=0.01下，檢驗該藥物是否顯著降低了高血壓患者的血壓。（假設(shè)數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布）3.某教師想比較兩種教學方法對學生學習效率的影響。隨機抽取了20名學生，隨機分為兩組，每組10人。第一組使用傳統(tǒng)教學方法，第二組使用計算機輔助教學方法。一段時間后，傳統(tǒng)教學組的樣本均值為75分，樣本標準差為8分；計算機輔助教學組的樣本均值為80分，樣本標準差為9分。在顯著性水平α=0.05下，檢驗兩種教學方法對學生學習效率是否有顯著差異。（假設(shè)兩組數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布且方差相等）4.某公司想了解其新產(chǎn)品在市場上的接受程度。隨機調(diào)查了50名消費者，其中30名對新產(chǎn)品表示滿意，20名表示不滿意。公司想知道消費者對新產(chǎn)品的滿意度是否顯著高于50%。在顯著性水平α=0.05下，檢驗消費者對新產(chǎn)品的滿意度是否顯著高于50%。四、論述題（本大題共2小題，每小題10分，共20分。請將答案寫在答題卡相應(yīng)位置。）1.詳細解釋t分布檢驗的基本原理，并說明在什么情況下適用t分布檢驗而不是Z檢驗。2.某學生在進行t檢驗時，發(fā)現(xiàn)p值非常接近顯著性水平α，例如p=0.049。請解釋該學生應(yīng)該如何處理這種情況，并說明為什么不能簡單地認為接受原假設(shè)或拒絕原假設(shè)。本次試卷答案如下一、選擇題答案及解析1.答案：C解析：顯著性水平α是犯第一類錯誤的概率，即拒絕原假設(shè)時原假設(shè)為真的概率。增大顯著性水平α，意味著我們更愿意冒險拒絕原假設(shè)，因此犯第一類錯誤的概率會增大。2.答案：B解析：當樣本量較?。╪<30）且總體標準差未知時，我們使用t檢驗是因為t分布更適合小樣本且總體標準差未知的情況。Z檢驗要求樣本量較大（n≥30）且總體標準差已知。3.答案：C解析：t分布的形狀取決于自由度（df），自由度主要取決于樣本量。樣本量越大，自由度越大，t分布越接近標準正態(tài)分布。4.答案：B解析：如果t統(tǒng)計量的絕對值大于t分布的臨界值，說明樣本統(tǒng)計量與原假設(shè)下的理論統(tǒng)計量差異顯著，因此我們有足夠的證據(jù)拒絕原假設(shè)。5.答案：A解析：根據(jù)t分布表，自由度為15時，雙側(cè)檢驗的臨界值t為2.131。6.答案：A解析：t分布的形狀比標準正態(tài)分布更平坦，尾部更厚，這是因為t分布考慮了小樣本抽樣變異的影響。7.答案：B解析：t統(tǒng)計量的計算公式為（樣本均值-總體均值）/（樣本標準差/√樣本量）。如果樣本均值與總體均值差異很大，但樣本標準差也很大，分母會增大，導致t統(tǒng)計量減小。8.答案：A解析：犯第一類錯誤是指拒絕了實際上是正確的原假設(shè)。例如，新教學方法實際上沒有提高學生成績，但我們錯誤地認為它提高了成績。9.答案：B解析：在單側(cè)t檢驗中，如果檢驗的是樣本均值是否顯著大于總體均值，我們應(yīng)該使用t分布的右側(cè)臨界值，因為我們只關(guān)心樣本均值是否大于總體均值。10.答案：C解析：當樣本量增大時，根據(jù)中心極限定理，樣本均值的分布接近正態(tài)分布，且樣本標準差的無偏估計接近總體標準差，因此t分布逐漸接近標準正態(tài)分布。11.答案：B解析：雖然樣本量較大，但總體標準差未知時，仍然使用t檢驗。因為t檢驗不需要總體標準差已知，且大樣本時t分布與標準正態(tài)分布差異很小。12.答案：B解析：如果t統(tǒng)計量的值接近于0，說明樣本均值與總體均值差異很小，沒有足夠的證據(jù)表明兩者存在顯著差異。13.答案：B解析：如果樣本量較小且樣本分布偏斜，應(yīng)該使用非參數(shù)檢驗，因為非參數(shù)檢驗對數(shù)據(jù)分布沒有嚴格要求。14.答案：B解析：如果t統(tǒng)計量的值小于-2.000（自由度為20），在顯著性水平α=0.05下，說明樣本均值顯著小于總體均值，因此拒絕原假設(shè)。15.答案：B解析：在雙側(cè)t檢驗中，如果p值小于顯著性水平α，說明樣本統(tǒng)計量與原假設(shè)下的理論統(tǒng)計量差異顯著，因此拒絕原假設(shè)。二、簡答題答案及解析1.答案及解析：t分布與標準正態(tài)分布的主要區(qū)別在于：-t分布的形狀更平坦，尾部更厚，這是因為t分布考慮了小樣本抽樣變異的影響。-t分布的形狀取決于自由度，自由度越大，t分布越接近標準正態(tài)分布。-標準正態(tài)分布的均值和標準差分別為0和1，而t分布的均值也為0，但標準差大于1。聯(lián)系在于：-當樣本量足夠大時（n≥30），t分布與標準正態(tài)分布差異很小。-t分布是標準正態(tài)分布的推廣，當總體標準差未知時，使用t分布進行推斷。2.答案及解析：當樣本量較小時，使用t檢驗而不是Z檢驗的原因在于：-t檢驗考慮了小樣本抽樣變異的影響，而Z檢驗假設(shè)總體標準差已知。-小樣本時，樣本標準差是總體標準差的無偏估計，但誤差較大，t分布通過更平坦的形狀來補償這種誤差。-根據(jù)中心極限定理，大樣本時樣本均值的分布接近正態(tài)分布，但小樣本時樣本均值的分布受抽樣變異影響較大，t分布更適合這種情況。3.答案及解析：犯第一類錯誤是指拒絕了實際上是正確的原假設(shè)。例如，新教學方法實際上沒有提高學生成績，但我們錯誤地認為它提高了成績。犯第二類錯誤是指接受了實際上是錯誤的原假設(shè)。例如，新教學方法實際上提高了學生成績，但我們錯誤地認為它沒有提高成績?？刂七@兩種錯誤的方法：-控制犯第一類錯誤的概率，即選擇合適的顯著性水平α。-增大樣本量，可以提高統(tǒng)計檢驗的效力，即減少犯第二類錯誤的概率。-增加實驗的重復次數(shù)，可以提高結(jié)果的可靠性。4.答案及解析：在單側(cè)t檢驗中，確定使用左側(cè)臨界值還是右側(cè)臨界值的方法是：-如果檢驗的是樣本均值是否顯著大于總體均值，我們應(yīng)該使用t分布的右側(cè)臨界值，因為我們只關(guān)心樣本均值是否大于總體均值。-如果檢驗的是樣本均值是否顯著小于總體均值，我們應(yīng)該使用t分布的左側(cè)臨界值，因為我們只關(guān)心樣本均值是否小于總體均值。5.答案及解析：如果在進行t檢驗時發(fā)現(xiàn)樣本量較大（n≥30），但總體標準差未知，應(yīng)該采取以下措施：-使用t檢驗，因為大樣本時t分布與標準正態(tài)分布差異很小。-如果樣本分布接近正態(tài)分布，可以使用Z檢驗，但通常t檢驗更安全。-可以嘗試估計總體標準差，如果估計值合理，可以使用Z檢驗。-如果樣本分布偏斜，可以考慮使用非參數(shù)檢驗。三、計算題答案及解析1.答案及解析：t統(tǒng)計量計算公式為：t=(樣本均值-總體均值)/(樣本標準差/√樣本量)=(85-80)/(10/√25)=5/2=2.5自由度df=樣本量-1=25-1=24根據(jù)t分布表，自由度為24時，顯著性水平α=0.05的雙側(cè)檢驗臨界值為2.064。因為|2.5|>2.064，所以拒絕原假設(shè)。結(jié)論：新教學方法顯著提高了學生的數(shù)學成績。2.答案及解析：t統(tǒng)計量計算公式為：t=(樣本均值-總體均值)/(樣本標準差/√樣本量)=(130-120)/(15/√30)=10/(15/√30)=10/(15/5.477)=10/2.738=3.65自由度df=樣本量-1=30-1=29根據(jù)t分布表，自由度為29時，顯著性水平α=0.01的雙側(cè)檢驗臨界值為2.756。因為|3.65|>2.756，所以拒絕原假設(shè)。結(jié)論：該藥物顯著降低了高血壓患者的血壓。3.答案及解析：首先檢驗兩組方差是否相等：F統(tǒng)計量=較大樣本方差/較小樣本方差=9^2/8^2=81/64=1.266自由度df1=較大樣本量-1=9自由度df2=較小樣本量-1=8根據(jù)F分布表，顯著性水平α=0.05，df1=9，df2=8的臨界值為4.03。因為1.266<4.03，所以兩組方差相等。t統(tǒng)計量計算公式為：t=(樣本均值1-樣本均值2)/√[(s1^2/n1)+(s2^2/n2)]=(75-80)/√[(8^2/10)+(9^2/10)]=-5/√[(64/10)+(81/10)]=-5/√(145/10)=-5/√14.5=-5/3.8=-1.32自由度df=n1+n2-2=10+10-2=18根據(jù)t分布表，自由度為18時，顯著性水平α=0.05的雙側(cè)檢驗臨界值為2.101。因為|-1.32|<2.101，所以接受原假設(shè)。結(jié)論：兩種教學方法對學生學習效率沒有顯著差異。4.答案及解析：首先計算樣本比例p和樣本比例的標準誤SE：p=30/50=0.6SE=√[p(1-p)/n]=√[0.6(1-0.6)/50]=√[0.24/50]=√0.0048=0.0693z統(tǒng)計量計算公式為：z=(p-π)/SE=(0.6-0.5)/0.0693=0.1/0.0693=1.44根據(jù)標準正態(tài)分布表，z=1.44的p值約為0.0749。因為0.0749>0.05，所以接受原假設(shè)。結(jié)論：消費者對新產(chǎn)品的滿意度不顯著高于50%。四、論述題答案及解析1.答案及解析：t分布檢驗的基本原理是：-假設(shè)樣本來自正態(tài)分布總體，且總體標準差未知。-計算t統(tǒng)計量，即樣本均值與總體均值之差除以樣本標準差與樣本量平方根之比。-根據(jù)自由度（樣本量-1）和顯著性水平，查找t分布表得到臨界值。-如果t統(tǒng)計量的絕對值大于臨界值，拒絕原假設(shè)；否則接受原假設(shè)。t分布檢驗與Z檢驗的主要區(qū)別在于：-t檢驗不需要總體標準差已知，而是使用樣本標準差作為估計。-t檢驗考慮了小樣本抽樣變異的影響，而Z檢驗假設(shè)總體標準差已知。-t分布的形狀比標準正態(tài)分布更平坦，尾部更厚，這是因為小樣本抽樣變異更大。t分布檢驗適用的條件是：-樣本來自正態(tài)分布總體。-總體標準差未