第1頁（共1頁）2024-2025學(xué)年福建省廈門市思明區(qū)音樂學(xué)校、禾山中學(xué)八年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題有8小題，每小題4分，共32分.每小題都有四個選項，有且只有一個選項正確）1．（4分）若分式1x?1有意義，則xA．x≠0 B．x≠1 C．x＞1 D．x＜12．（4分）a2?a4的計算結(jié)果是（）A．a(chǎn)2 B．3a2 C．a(chǎn)6 D．a(chǎn)83．（4分）若一個三角形兩邊的長分別為5和10，則這個三角形第三邊的長可能是（）A．6 B．5 C．4 D．34．（4分）將分式方程3x?3A．x﹣3 B．x C．3（x﹣3） D．x（x﹣3）5．（4分）如圖是平面鏡成像的示意圖．若以蠟燭的底部和平面鏡中像的底部連線為x軸，鏡面?zhèn)让鏋閥軸（鏡面厚度忽略不計）建立平面直角坐標(biāo)系．某時刻火焰頂部S的坐標(biāo)為（4，2），則此時對應(yīng)的虛像S′的坐標(biāo)是（）A．（4，﹣2） B．（2，4） C．（2，﹣4） D．（﹣4，2）6．（4分）如圖，在△ABC中，點D，E是AC邊上兩點，BE⊥AB，BD⊥BC，則BD是下列哪個三角形的高（）A．△BCD B．△ABC C．△ABE D．△BDE7．（4分）小梧家離學(xué)校2千米，步行需要x分鐘，同樣路線，騎自行車所用時間比步行少11分鐘，則騎自行車的平均速度v（單位：千米/分鐘）為（）A．2（x﹣11） B．2（x+11） C．2x?11 D．8．（4分）已知長方形的長為a，寬為b，用四個這樣的長方形圍成一個大正方形，如圖1所示，中空的部分是一個面積為9的小正方形．用五個這樣的長方形按如圖2的方式擺放，延長部分邊框，構(gòu)成一個新的大長方形，中間空白部分的面積為58，則a+b的值為（）A．11 B．9 C．7 D．5二、填空題（本大題有6小題，第9題每空2分，10-14每小題8分，共28分）9．（8分）計算：（1）（﹣2025）0＝；（2）3﹣1＝；（3）（2m）3＝；（4）a+1a?2?310．（4分）六邊形的外角和是．11．（4分）分解因式：2a2﹣6ab＝．12．（4分）如圖，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝2α，點E是AC的中點，DE⊥AC交BC邊于點D，連接AD，則∠BAD＝．13．（4分）如圖，點A在第一象限，OA＝6，點B（b，0）為x軸正半軸上一動點，∠AOB＝60°，若△AOB為鈍角三角形，則b的取值范圍為．14．（4分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A（0，2），B（2，0），C（m，0），其中0＜m＜2．點D（n，t）在第一象限，且CD⊥AC．若m，n滿足2m（m+n）﹣n2﹣2mn+2n＝m2﹣2m，則△BCD的面積為.（用含m的式子表示）三、解答題（本大題有9小題，共90分）15．（10分）計算：（1）（x﹣y）（x+2y）；（2）（2a+b）2．16．（8分）如圖，點A，B，D在同一條直線上，BC＝BD，∠A＝∠E，BC∥DE．求證：AB＝ED．17．（8分）先化簡，再求值：(1?2m?1)÷18．（8分）某新能源汽車公司進(jìn)行技術(shù)升級，升級后每小時組裝的汽車數(shù)量比原來多15輛，組裝360輛汽車所用的時間與原來組裝240輛汽車所用時間相等．求升級后每小時組裝多少輛汽車？19．（10分）如圖，AD是△ABC的中線，∠ADC＝60°，點C關(guān)于直線AD的對稱點為E．（1）請在圖中作出點E；（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）（2）連接BE，DE，求證：BE=120．（10分）在直角三角形中，過一個銳角頂點的一條直線將直角三角形分成一個直角三角形和一個等腰三角形，則稱這條直線是該直角三角形的“直角等腰線”．（1）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝22.5°，若∠CAD＝2∠BAD，判斷AD是否為Rt△ABC的“直角等腰線”，并說明理由；（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝60°，BC＝6．若AD為Rt△ABC的“直角等腰線”，求點D到AB的距離．21．（10分）觀察下面兩位數(shù)相乘的算式：37×11，19×66，28×44，64×33，（1）請再寫出一個符合上述特征的算式；（2）算出題中四個算式的結(jié)果，你發(fā)現(xiàn)結(jié)果有什么規(guī)律？請用恰當(dāng)?shù)姆绞矫枋鲞@個規(guī)律；（3）請你用整式的乘法法則說明這個規(guī)律．22．（12分）已知△ABC是等邊三角形，點D是AB所在直線左側(cè)的一動點，且在BC邊的上方．（1）如圖1，CD平分∠ACB，連接AD，BD，∠DAC＝90°．求證：DB⊥BC；（2）如圖2，若∠BAD＝∠BCD，點G是BC延長線上一點，連接DG交AC于點E．①求∠BDC的度數(shù)；②若點E為AC的中點，∠ABD＝∠G，探究線段EG，DE，AD之間的數(shù)量關(guān)系．23．（14分）小梧善于從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問題．在一次數(shù)學(xué)建?；顒又?，小梧提出：在意外事件發(fā)生時，建筑物內(nèi)的人員如何才能盡快地疏散撤離？他的思考引起了大家對安全疏散問題的研究興趣．?dāng)?shù)學(xué)建模小組對某教學(xué)樓第一層樓兩間相同的教室（如圖，左邊是化學(xué)實驗室，右邊是器材室）展開研究．為簡化問題，他們提出如下模型假設(shè)：①疏散時有秩序地從前、后門撤離出教學(xué)樓；②出于安全考慮，按單列行進(jìn)撤離，當(dāng)從后門撤離的第一個學(xué)生到達(dá)前門時，若從前門撤離的學(xué)生還未疏散完畢，此時，從后門撤離的學(xué)生需在前門左側(cè)等，待從前門撤離的學(xué)生全部撤出教室后，他們的隊伍再繼續(xù)前進(jìn)；③隊列中學(xué)生間隔d（單位：m）是均勻的，隊列中人員身體的平均厚度為a（單位：m）；④隊列勻速地撤出教學(xué)樓；⑤疏散隊伍行進(jìn)速度v（單位：m/s）受隊列密集程度的影響，隊列越密集，行進(jìn)的最大速度越慢；⑥教室內(nèi)人群到教室門口的時間和學(xué)生出門時與門框的距離忽略不計．設(shè)化學(xué)實驗室內(nèi)的學(xué)生數(shù)為n+1，其中n為正整數(shù)，每間教室的長度為l（單位：m），前后門的寬度均為w（單位：m）．（1）求從化學(xué)實驗室前門撤離的第一個學(xué)生到達(dá)安全出口所用的時間；（2）查閱資料，得知初中生身體的平均厚度a為0.2m．經(jīng)測量，每間教室的長度l為8m，前后門的寬度w為1m．①在一次疏散演練中，化學(xué)實驗室內(nèi)有41名學(xué)生，其中21名學(xué)生從前門撤離，其余學(xué)生從后門撤離，撤離過程中保持隊列學(xué)生間隔為0.5m．請你判斷從后門撤離的第一個學(xué)生到達(dá)前門時是否需要等待，并說明理由；②本學(xué)期學(xué)校組織了兩次疏散演練．兩次演練，化學(xué)實驗室內(nèi)均有41名學(xué)生，且均有21名學(xué)生從前門撤離，其余學(xué)生從后門撤離．在第一次演練中學(xué)生間隔為0.5m，第二次學(xué)生間隔為0.8m，第一次的行進(jìn)速度比第二次的一半多1m/s，兩次演練中化學(xué)實驗室最后一名學(xué)生撤離到安全出口所用的時間相同，求第一次疏散演練隊伍的行進(jìn)速度；（3）若化學(xué)實驗室內(nèi)有x名學(xué)生從前門撤離，其余學(xué)生從后門撤離，求化學(xué)實驗室內(nèi)的學(xué)生全部撤離到安全出口所用的時間．（用含字母的式子表示）2024-2025學(xué)年福建省廈門市思明區(qū)音樂學(xué)校、禾山中學(xué)八年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題有8小題，每小題4分，共32分.每小題都有四個選項，有且只有一個選項正確）1．解：若分式1x?1則x﹣1≠0，所以x≠1，故選：B．2．解：a2?a4＝a2+4＝a6，∴A，B，D選項不符合題意，C選項符合題意，故選：C．3．解：設(shè)這個三角形第三邊的長是x，由三角形三邊關(guān)系定理得：10﹣5＜x＜10+5，∴5＜x＜15，∴這個三角形第三邊的長可能是6．故選：A．4．解：將分式方程3x?3=4x化為整式方程時，方程兩邊可以同時乘故選：D．5．解：由題意可知，點S（4，2）與點S′關(guān)于y軸對稱，∴點S′的坐標(biāo)為（﹣4，2），故選：D．6．解：∵BD⊥BC，∴BD是△BCD的高，故選：A．7．解：騎自行車的平均速度：2x?11故選：C．8．解：圖1中，中間小正方形的邊長為a﹣b，面積為（a﹣b）2＝9，由圖2可得，大長方形的長為2a+b，寬為a+2b，因此面積為（2a+b）（a+2b），所以S中間空白部分＝S長方形﹣S陰影部分＝（2a+b）（a+2b）﹣5ab＝58，即a2+b2＝29，∵（a﹣b）2＝9，即a2﹣2ab+b2＝9，而a2+b2＝29，∴ab＝10，∵（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝9+40＝49，而a＞b＞0，所以a+b＝7，故選：C．二、填空題（本大題有6小題，第9題每空2分，10-14每小題8分，共28分）9．解：（1）原式＝1；故答案為：1；（2）原式=1故答案為：13（3）原式＝23m3＝8m3，故答案為：8m3；（4）原式==a?2＝1，故答案為：1．10．解：六邊形的外角和是360°．故答案為：360°．11．解：2a2﹣6ab＝2a（a﹣3b），故答案為：2a（a﹣3b）．12．解：∵AC＝BC，∠C＝2α，∴∠BAC=12×（180°﹣C∵點E是AC的中點，DE⊥AC，∴DE垂直平分AC，∴AD＝CD，∴∠DAC＝∠C＝2α，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝90°﹣α﹣2α＝90°﹣3α，故答案為：90°﹣3α．13．解：由題知，過點A作x軸的垂線，垂足為M，作OA的垂線，交x軸于點N，在Rt△AOM中，cos∠AOM=OM∵∠AOB＝60°，OA＝6，∴OM6∴OM＝3．在Rt△AON中，cos∠AON=AO∴ON＝12．∵△AOB為鈍角三角形，且點B在x軸的正半軸上，∴0＜b＜3或b＞12．故答案為：0＜b＜3或b＞12．14．解：根據(jù)題意，作圖如下：連接AC、AD，過點E作DE垂直于x軸于點E．∵2m（m+n）﹣n2﹣2mn+2n＝m2﹣2m，∴（m+n）（m﹣n+2）＝0，∴n＝﹣m或n＝m+2，∵0＜m＜2，∴﹣2＜﹣m＜0，∵點D（n，t）在第一象限，∴n＞0，∴n＝m+2，AC2＝m2+4，CD2＝（m﹣n）2+t2，AD2＝n2+（t﹣2）2，在Rt△ACD中利用勾股定理，得AC2+CD2＝AD2，∴m2+4+（m﹣n）2+t2＝n2+（t﹣2）2，∴t=mn?m∴D（m+2，m），∴S△BCD=12BC?DE=12（2﹣m）m=?1故答案為：?12m2+三、解答題（本大題有9小題，共90分）15．解：（1）原式＝x2+2xy﹣xy﹣2y2＝x2+xy﹣2y2；（2）原式＝4a2+4ab+b2．16．證明：∵BC∥DE，∴∠ABC＝∠EDB，在△ABC和△EDB中，∠ABC=∠EDB∠A=∠E∴△ABC≌△EDB（AAS），∴AB＝ED．17．解：原式＝（m?1m?1?=m?3m?1?=m+1當(dāng)m＝5時，原式=5+118．解：設(shè)升級后每小時組裝x輛汽車，則升級前每小時組裝（x﹣15）輛汽車，根據(jù)題意得：360x解得：x＝45，經(jīng)檢驗，x＝45是所列方程的解，且符合題意．答：升級后每小時組裝45輛汽車．19．（1）解：如圖，點E即為所求；（2）證明：∵AD是△ABC的中線，∴DB＝DC，∵C，E關(guān)于AD對稱，∴DE＝DC，∠ADE＝∠ADC＝60°，∴∠EDB＝60°，DB＝DE，∴△BDE是等邊三角形，∴BE＝BD＝DC，∴BE=1220．解：（1）AD是Rt△ABC的“直角等腰線”，理由如下：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝22.5°，∴∠CAB＝67.5，∵∠CAD＝2∠BAD，∴∠DAB=1∴∠DAB＝∠B，∴△ADB是等腰三角形，△ACD是直角三角形，∴AD是為Rt△ABC的“直角等腰線”；（2）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝60°，BC＝6．∴∠B＝30°，∵AD為Rt△ABC的“直角等腰線”，∴∠DAB＝30°，∠CAD＝60°﹣30°＝30°過點D作DE⊥AB，垂足為E，∵AD是∠CAB的平分線，∴CD＝DE，∵BC＝CD+BD＝DE+BD＝6，∠B＝30°，∴DE=12BD=1∴點D到AB的距離為2．21．解：（1）由題知，符合上述特征的算式可以是：46×22（答案不唯一）．（2）由題知，37×11＝407，19×66＝1254，28×44＝1232，64×33＝2112，我發(fā)現(xiàn)：兩個兩位數(shù)相乘，其中一個數(shù)個位和十位數(shù)字和為10，另一個數(shù)的個數(shù)數(shù)字與十位數(shù)字相同時，它們積的前兩位數(shù)字是十位數(shù)字與十位數(shù)字加1的積，后兩位數(shù)字是個位數(shù)字的積．（3）設(shè)一個數(shù)的十位數(shù)字為a，則個位數(shù)字為（10﹣a），另一個數(shù)的十位和個位數(shù)字都是b，則這兩個兩位數(shù)可表示為：10a+10﹣a，10b+b，所以它們的積為：（10a+10﹣a）（10b+b）＝（9a+10）?11b＝99ab+110b＝100b（a+1）+b（10﹣a）．22．（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，∴AC＝BC，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD，∵CD＝CD，∴△ACD≌△BCD（SAS），∴∠CAD＝∠CBD＝90°，∴DB⊥BC；（2）解：①在CD上截取CF＝DA，連接BF，∵△ABC是等邊三角形，∴BC＝AB，∠ABC＝60°，∵∠BAD＝∠BCD，CF＝DA，∴△BCF≌△BAD（SAS），∴BF＝BD，∠CBF＝∠ABD，∴∠DBF＝∠ABC＝60°，∴△BFD為等邊三角形，∴∠BDC＝60°；②在EG上取點H，使EH＝DE，連接CH，∵E為AC的中點，∴AE＝CE，∵∠AED＝∠CEH，∴△AED≌△CEH（SAS），∴AD＝CH，∠DAE＝∠ECH，∴DA∥CH，∵∠BDA＝∠BFC＝120°，∠BDC＝60°，∴∠ADC＝60°，∴∠ADC＝∠BFD，∴DA∥BF，∴FB∥CH，∴∠CBF＝∠GCH，∵∠ABD＝∠CBF＝∠G，∴∠G＝∠GCH，∴CH＝GH，∴AD＝GH，∴EG＝EH+GH＝ED+AD．23．解：（1）∵從化學(xué)實驗室前門撤離的第一個學(xué)生到達(dá)安全出口所走的路程為教室的長度l，行進(jìn)速度為v，∴時間t=l（2）①化學(xué)實驗室內(nèi)有41名學(xué)生，21名學(xué)生從前門撤離，從前門撤離的學(xué)生隊列長度為（21﹣1）×0.5＝10m，從前門撤離的學(xué)生全部撤出教室的路程是隊列長度加上學(xué)生身體的總厚度，學(xué)生身體的總厚度為21×0.2＝4.2m，∴總路程為10+4.2＝14.2m，從后門撤離的第一個學(xué)生到達(dá)前門的路程是教室的長度l＝8m，∵速度v相同，路程8＜14.2，∴從后門撤離的第一個學(xué)生到達(dá)前門的時間小于從前門撤離的學(xué)生全部撤出教室的時間，∴從后門撤離的第一個學(xué)生到達(dá)前門時需要等待；②設(shè)第一次疏散演練隊伍的行進(jìn)速度為xm/s，則第二次的行進(jìn)速度為2（x﹣1）m/s，第一次演練中，從前門撤離的學(xué)生隊列長度為（21﹣1）×0.5＝10m，學(xué)生身體總厚度為21×0.2＝4.2m，從前門撤離的學(xué)生全部撤出教室的路程為10+4.2＝14.2m，時間為14.2x從后門撤離的學(xué)生有41﹣