第11講向量的數(shù)量積（練習(xí)）夯實基礎(chǔ)1．（2021·福州第十五中學(xué)高一月考）已知菱形中，，，，，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平面向量基本定理，由題中條件，用和表示出與，再由向量數(shù)量積的運算法則，根據(jù)題中數(shù)據(jù)，可直接得出結(jié)果.【詳解】由題，，所以，，所以，在菱形中，，，則，，，所以.故選：B.【點睛】思路點睛：求解平面圖形中的向量數(shù)量積問題時，一般需要利用已知模與夾角的向量表示出所求向量，再由向量數(shù)量積的運算法則，即可求解.2．（2021·天津靜海區(qū)·靜海一中高一月考）在中，，，則為（）A．直角三角形 B．三邊均不相等的三角形C．等邊三角形 D．等腰非等邊三角形【答案】D【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的代數(shù)表示和運算，判斷的形狀.【詳解】，，（點是的中點），是等腰三角形，又，即，，，是等腰非等邊三角形.故選：D3．（2021·天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學(xué)高一月考）向量的模為10，它與向量的夾角為，則它在方向上的投影為（）A．5 B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)投影的定義求解．【詳解】由題意所求投影的模為．故選：B．二、填空題4．（2015·湖北武漢市·）在△中，三邊長分別為AB=7，BC=5，AC=6，則______．【答案】－19試題分析：由余弦定理可知考點：1．三角形余弦定理；2．?dāng)?shù)量積運算5．（2017·瓦房店市高級中學(xué)（文））與向量垂直的單位向量為______________________．【答案】或【詳解】設(shè)這個向量為，根據(jù)題意,有，解得：，故.6．（2019·全國福州三中高一期末）已知向量，，則向量在方向上的投影為___________.【答案】【分析】直接利用投影的定義求在方向上的投影.【詳解】因為，，設(shè)與夾角為，，則向量在方向上的投影為：.所以在方向上的投影為故答案為：.7．（2021·福州第十五中學(xué)高一月考）如圖，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，點E為BC的中點，點F在邊CD上，若＝，則的值是________．【答案】【分析】根據(jù)矩形的垂直關(guān)系和長度關(guān)系，先利用平面向量加法的運算律求解，，再利用運算律轉(zhuǎn)化求即可.【詳解】∵，，∴，∴，，∴，∵,,，故答案為：.三、解答題8．（2019·福建省福州第八中學(xué)高一期末）在直角坐標(biāo)系中，已知點和點，其中，若與垂直，求的值.【答案】或【分析】由向量垂直的條件，可得，代入坐標(biāo)，求解的值，檢驗向量是否為零向量.【詳解】解：，，，，即，，，或，，所以的值為或，當(dāng)時，，，滿足當(dāng)時，，，滿足所以的值為或.9．（2019·福建省福州格致中學(xué)高一期末）請回答下列問題．（1）已知平面向量，，若，求實數(shù)的值．（2）已知平面向量，，若，，且，求與的夾角．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）先利用平面坐標(biāo)運算寫，再根據(jù)共線設(shè)，結(jié)合坐標(biāo)運算解出參數(shù)即得結(jié)果；（2）根據(jù)模長化簡計算，解得，再結(jié)合角的范圍求得夾角即可.【詳解】解：（1）∵，，．由，則，∴，則，解得，，所以；（2）∵平面向量，，，，，∴，故，解得，而，故為．10．（2020·南昌縣蓮塘第三中學(xué)高一期末）已知，.（1）若，求；（2）若，的夾角為，求.【答案】（1）詳見解析；（2）1.【分析】（1）根據(jù)向量平行可知兩向量的夾角為或，再根據(jù)向量數(shù)量積的定義求解；（2）根據(jù)模的公式可知，代入數(shù)量積的公式求解.【詳解】（1），與的夾角是或，當(dāng)夾角為時，，當(dāng)夾角為時，；（2）.能力提升1．（2020年全國3卷）已知向量a，b滿足，，，則（）A.B.C.D.【警示】計算出、的值，利用平面向量數(shù)量積可計算出的值.【解析】，，，.，因此，.故選：D.【叮囑】(1)求夾角的大?。喝鬭，b為非零向量，則由平面向量的數(shù)量積公式得(夾角公式)，所以平面向量的數(shù)量積可以用來解決有關(guān)角度的問題．（2）確定夾角的范圍：數(shù)量積大于0說明不共線的兩向量的夾角為銳角，數(shù)量積等于0說明不共線的兩向量的夾角為直角，數(shù)量積小于0且兩向量不共線時兩向量的夾角為鈍角.2.已知向量,則ABC=____.【解析】由題意3.若兩個非零向量滿足，則向量與的夾角為__.【解析】4.已知與平行，則值的個數(shù)是________．【錯解】由得，即，解之得（舍），∴的值只有一個．【錯因】零向量與任一向量平行，當(dāng)時，為零向量，也與平行．【正解】由得，解得，∴的值應(yīng)有兩個．5.在中,,則的值為()A20B20CD【錯解】因為,則=20,故選A.【錯因】弄錯向量與的夾角．【正解】由題意,故20，選B.6.設(shè)平面向量，，若與的夾角為鈍角，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【錯解】由與的夾角為鈍角，所以，即，解得，故選C．【錯因】忽視使用時，其中包含了兩向量反向的情況．【正解】由與的夾角為鈍角，所以，即，解得，又當(dāng)與共線且反向時，，得．所以的取值范圍是且，故選A．7.已知中，，則是（）A、銳角三角形B、直角三角形C、鈍角三角形D、不能確定【答案】C【解析】，所以，故選C．8.若向量，，與夾角為鈍角，則的取值范圍是_______.【答案】【解析】因與的夾角為鈍角,解得或(1)