2025年高中奇葩函數(shù)題目及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.已知函數(shù)\(f(x)\)滿足\(f(x+1)=f(x-1)\)，且當\(x\in[0,2]\)時，\(f(x)=x^2\)，則\(f(2025)\)的值為（）A.0B.1C.4D.92.函數(shù)\(y=\frac{1}{\sqrt{1-\log_2(x+1)}}\)的定義域是（）A.\((-1,1]\)B.\((-1,1)\)C.\((-1,+\infty)\)D.\((0,1)\)3.若函數(shù)\(f(x)=a^x+\log_a(x+1)\)（\(a\gt0\)且\(a\neq1\)）在\([0,1]\)上的最大值與最小值之和為\(a\)，則\(a\)的值為（）A.\(\frac{1}{4}\)B.\(\frac{1}{2}\)C.2D.44.已知函數(shù)\(f(x)\)是定義在\(R\)上的奇函數(shù)，當\(x\gt0\)時，\(f(x)=x^3-2x\)，則\(f(-1)\)的值為（）A.-1B.1C.-3D.35.函數(shù)\(y=\log_2(3-2x-x^2)\)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A.\((-\infty,-1)\)B.\((-3,-1)\)C.\((-1,1)\)D.\((-1,+\infty)\)6.若函數(shù)\(f(x)=\begin{cases}2^x,x\leq0\\\log_2x,x\gt0\end{cases}\)，則\(f(f(\frac{1}{4}))\)的值為（）A.\(\frac{1}{4}\)B.\(\frac{1}{2}\)C.-2D.27.已知函數(shù)\(y=f(x)\)的圖象與函數(shù)\(y=2^x\)的圖象關(guān)于直線\(y=x\)對稱，則\(f(4)\)的值為（）A.4B.2C.1D.08.函數(shù)\(f(x)=x^3+\sinx+1\)，若\(f(a)=2\)，則\(f(-a)\)的值為（）A.0B.-1C.-2D.19.若函數(shù)\(f(x)\)滿足\(f(x+2)=-f(x)\)，且\(f(1)=1\)，則\(f(5)\)的值為（）A.1B.-1C.2D.-210.函數(shù)\(y=\frac{1}{x-1}\)的圖象關(guān)于（）對稱A.\(x\)軸B.\(y\)軸C.直線\(y=x\)D.點\((1,0)\)二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)的有（）A.\(y=x^2+1\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=\log_2|x|\)D.\(y=\frac{1}{x}\)2.關(guān)于函數(shù)\(y=\log_3x\)，下列說法正確的是（）A.在\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞增B.圖象過點\((1,0)\)C.與\(y=3^x\)互為反函數(shù)D.值域為\(R\)3.已知函數(shù)\(f(x)=x^2-2x+3\)，則（）A.\(f(x)\)的對稱軸為\(x=1\)B.\(f(x)\)在\((-\infty,1)\)上單調(diào)遞減C.\(f(x)\)的最小值為2D.\(f(x)\)的圖象開口向下4.下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)是增函數(shù)的有（）A.\(y=2^x\)B.\(y=\lgx\)C.\(y=x^3\)D.\(y=-\frac{1}{x}\)5.函數(shù)\(f(x)\)的定義域為\(R\)，且\(f(x+2)\)為偶函數(shù)，\(f(x)\)在\([2,+\infty)\)上單調(diào)遞減，則（）A.\(f(0)\ltf(3)\)B.\(f(-1)\gtf(3)\)C.\(f(-2)\gtf(4)\)D.\(f(1)\gtf(5)\)6.若函數(shù)\(y=a^x\)（\(a\gt0\)且\(a\neq1\)）與\(y=\log_ax\)的圖象有公共點，則\(a\)的值可能為（）A.\(\frac{1}{2}\)B.\(\frac{1}{4}\)C.\(\sqrt{2}\)D.27.已知函數(shù)\(f(x)\)滿足\(f(x+1)\)是偶函數(shù)，且\(f(x)\)在\((1,+\infty)\)上單調(diào)遞增，則（）A.\(f(0)\ltf(2)\)B.\(f(-1)\ltf(3)\)C.\(f(-2)\ltf(4)\)D.\(f(1)\ltf(3)\)8.下列函數(shù)中，值域為\((0,+\infty)\)的有（）A.\(y=2^{-x}\)B.\(y=\frac{1}{x^2+1}\)C.\(y=\sqrt{x^2+1}\)D.\(y=\log_2(x+1)\)9.函數(shù)\(y=f(x)\)的圖象向右平移1個單位長度后得到\(y=g(x)\)的圖象，若\(y=f(x)\)是偶函數(shù)，則（）A.\(y=g(x)\)的圖象關(guān)于直線\(x=1\)對稱B.\(g(x)=f(x-1)\)C.\(g(x)=f(1-x)\)D.\(y=g(x)\)在\((1,+\infty)\)上的單調(diào)性與\(y=f(x)\)在\((0,+\infty)\)上的單調(diào)性相同10.已知函數(shù)\(f(x)\)是定義在\(R\)上的周期函數(shù)，周期\(T=2\)，且\(f(x)\)是奇函數(shù)，當\(x\in[0,1]\)時，\(f(x)=x\)，則（）A.\(f(-1)=-1\)B.\(f(2)=0\)C.\(f(\frac{3}{2})=\frac{1}{2}\)D.\(f(-\frac{5}{2})=-\frac{1}{2}\)三、判斷題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=\sqrt{x-1}+\sqrt{1-x}\)是偶函數(shù)。（）2.若函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上的圖象是連續(xù)不斷的，且\(f(a)f(b)\lt0\)，則函數(shù)\(f(x)\)在\((a,b)\)內(nèi)至少有一個零點。（）3.函數(shù)\(y=\log_2(x^2+1)\)的定義域為\(R\)，值域為\([0,+\infty)\)。（）4.函數(shù)\(y=3x+1\)與\(y=\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}\)互為反函數(shù)。（）5.若函數(shù)\(f(x)\)是奇函數(shù)，且\(f(0)\)有意義，則\(f(0)=0\)。（）6.函數(shù)\(y=\sinx\)與\(y=\cosx\)的圖象在區(qū)間\([0,2\pi]\)上有2個交點。（）7.函數(shù)\(y=2^{|x|}\)在\((-\infty,0)\)上單調(diào)遞增。（）8.若函數(shù)\(f(x)\)滿足\(f(x+a)=f(x-a)\)（\(a\neq0\)），則函數(shù)\(f(x)\)的周期為\(2a\)。（）9.函數(shù)\(y=\frac{1}{x^2}\)的單調(diào)遞增區(qū)間是\((0,+\infty)\)。（）10.函數(shù)\(f(x)=x^3+2x\)是奇函數(shù)。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)\(y=\log_4(7+6x-x^2)\)的定義域和值域。答案：定義域：由\(7+6x-x^2\gt0\)，即\(x^2-6x-7\lt0\)，解得\(-1\ltx\lt7\)。令\(t=7+6x-x^2=-(x-3)^2+16\)，\(t\in(0,16]\)，則\(y=\log_4t\)，值域為\((-\infty,2]\)。2.已知函數(shù)\(f(x)\)是定義在\(R\)上的奇函數(shù)，當\(x\gt0\)時，\(f(x)=x^2-2x\)，求\(f(x)\)的解析式。答案：因為\(f(x)\)是奇函數(shù)，\(f(0)=0\)。當\(x\lt0\)，則\(-x\gt0\)，\(f(-x)=x^2+2x\)，又\(f(x)=-f(-x)\)，所以\(x\lt0\)時，\(f(x)=-x^2-2x\)。綜上，\(f(x)=\begin{cases}x^2-2x,x\gt0\\0,x=0\\-x^2-2x,x\lt0\end{cases}\)。3.討論函數(shù)\(y=a^x\)（\(a\gt0\)且\(a\neq1\)）與\(y=\log_ax\)的關(guān)系。答案：\(y=a^x\)與\(y=\log_ax\)互為反函數(shù)。圖象關(guān)于直線\(y=x\)對稱。\(y=a^x\)定義域為\(R\)，值域\((0,+\infty)\)；\(y=\log_ax\)定義域\((0,+\infty)\)，值域\(R\)，單調(diào)性相同，\(a\gt1\)時都遞增，\(0\lta\lt1\)時都遞減。4.已知函數(shù)\(f(x)=x^2-2ax+1\)在區(qū)間\([2,+\infty)\)上單調(diào)遞增，求\(a\)的取值范圍。答案：函數(shù)\(f(x)=x^2-2ax+1\)對稱軸為\(x=a\)，其圖象開口向上，在\([a,+\infty)\)單調(diào)遞增。因為\(f(x)\)在\([2,+\infty)\)上單調(diào)遞增，所以\(a\leq2\)，即\(a\)的取值范圍是\((-\infty,2]\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.函數(shù)的單調(diào)性在實際生活中有哪些應(yīng)用？請舉例說明。答案：在經(jīng)濟領(lǐng)域，如成本與產(chǎn)量關(guān)系，通過分析成本函數(shù)單調(diào)性確定最低成本產(chǎn)量；在物理中，速度與時間函數(shù)單調(diào)性可判斷物體運動狀態(tài)變化，如加速減速；在生物種群增長模型里，利用函數(shù)單調(diào)性分析種群數(shù)量變化趨勢等。2.如何判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù)？結(jié)合具體例子討論。答案：判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù)需看定義域、對應(yīng)關(guān)系是否都相同。比如\(f(x)=x\)，\(g(x)=\frac{x^2}{x}\)，\(f(x)\)定義域為\(R\)，\(g(x)\)定義域為\(x\neq0\)，二者定義域不同，不是同一函數(shù)；\(f(x)=x^2\)，\(g(x)=(x)^2\)，定義域和對應(yīng)關(guān)系都相同，是同一函數(shù)。3.對于分段函數(shù)，在研究其性質(zhì)時需要注意哪些方面？答案：研究分段函數(shù)性質(zhì)，要注意各段定義域端點處函數(shù)值及連續(xù)性；分析單調(diào)性需分別看各段單調(diào)性及端點銜接情況；奇偶性要依據(jù)定義，分別驗證不同定義域區(qū)間關(guān)系；值域要綜合各段值域情況確定整體范圍。4.函數(shù)圖象的變換有哪些常見類型？它們對函數(shù)的性質(zhì)有何影響？答案：常見變換有平移（左右、上下）、對稱（關(guān)于\(x\)軸、\(y\)軸、原點等）、伸縮。平移改變函數(shù)位置，不影響形狀；對稱改變函數(shù)圖象位置和方向；伸縮改變函數(shù)圖象的“胖瘦”“高矮”。這些變換都會影