2024?2025學(xué)年浙江省麗水市高二(下)期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共12小題，每小題3分，共36分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.已知集合M={x|-3<x<l],N={x\-1<x<4},則MUN=()

A.{x|-1<x<1}B.{x\x>—3}C.{x|-3<x<4}D.(x\x<4}

2.下列函數(shù)中，定義域?yàn)?0,十8)的函數(shù)是()

A./(x)=yfxB.f(x)=InxC./(x)=2XD./(x)=tanx

3.已知復(fù)數(shù)Zi=-2+i,z2=1+2i,則復(fù)數(shù)Z1+Z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在的象限是()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

4.設(shè)I,m,幾均為直線，其中〃在平面a內(nèi)，則“Z_La”是“I_Lm且，_L九”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

cosU+sinb

5.已知=2,則tan。=（

cos0-sin0）

A.-3B.C.|D.3

6.已知某圓臺(tái)的兩底面半徑分別為1和4,側(cè)面積為15V27T,則該圓臺(tái)的體積等于()

A.77rB.217rC.637rD.21>[7n

7.甲、乙兩人獨(dú)立破譯一份密碼，已知兩人能破譯的概率分別是提卷則恰有一人成功破譯的概率為()

1R242

AA.B.—C.-D.u

1515155

8.已知不等式%2+bx+c<0的解集為{x[3<x<4},則c%2+bx+1>0的解集為()

A?W)B.(-8,-g)u(一，8)D,(-col)u(l+oo)

9.已知Q>1,且loga8Xloga2=1—loga*則Q=()

A.2或8B，或8C.8D.64

10.如圖4B兩點(diǎn)在河的同側(cè)，且小8兩點(diǎn)均不可到達(dá).現(xiàn)需測(cè)4B兩點(diǎn)間的距離，測(cè)量者在河對(duì)岸選定兩

點(diǎn)C、D,測(cè)得CD=200m,同時(shí)在C、Z）兩點(diǎn)分別測(cè)得/4CD=乙/lDC=60。，^BDC=45°,Z.ACB=45°,

則4、8兩點(diǎn)間的距離為（）

A.lOOTZmB.200m

C.lOO/lOmD.400比

D

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II.已知6G｛籍有,在現(xiàn)將函數(shù)/(x)=cos4-sin、的圖象向右平移6個(gè)單位后得到函數(shù)gQ)的圖象，若

存在3>o,使得函數(shù)、=與g(x)圖象的對(duì)稱中心完全相同，則滿足題意的8的個(gè)數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

12.已知函數(shù)/?(%)=2-㈤，若關(guān)于x的不等式/'(X)>x2-2x—m的解集中有且僅有2個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)m

的取值范圍為()

A.[-2,-1)B.(-2,-1)C.[-2,0)D.(-2,0)

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

13.下列命題為真命題的是()

A.若a>b,c>d,則Q+c>b+dB.若Q>b,c>d,則ac>bd

C.若a>b,則ac?>be?D.若aVb<0,c<0,則￡V：

ab

14.已知平面向量沆，而均為單位向量，且|2記一司=|，至而則()

A.m-n=—1

B.|m+2n|=/7

C.cos師-n,m+2n)=-中

D.m+2元在上的投影向量為一g(沆一/

15.如圖，棱長為2的正方體/8。。一44。1%中，E為棱。小的中點(diǎn)，尸為正

方形gCDDi內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(包括邊界)，且〃平面則下列說法正確的

有()

A.動(dòng)點(diǎn)用機(jī)跡的長度為

B.B[/與力]B不可能垂直

C.直線與平面4BE所成角正弦值的最小值為《

D.當(dāng)三棱錐B]-的體積最大時(shí)，其外接球的表面積為與7T

三、填空題：本題共4小題，每小題3分，共12分。

16.事件4、8互斥,若P(A)=0.2,P(AUB)=O.6,則P(B)=____.

17.已知定義在R上的函數(shù)/'(%)的值域是[1,2],則函數(shù)y=/(x+3)+1的值域是____.

18.已知函數(shù)/(%)=sin(7rx+9)(|伊|V九)的圖象過點(diǎn)弓,1)，若/(%)在[-2,可內(nèi)有4個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范

困為

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19.若實(shí)數(shù)，y滿足2/+-y?=1,則sD的最大值為.

四、解答題：本題共6小題，共84分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

20.(本小題14分)

電力公司從某小區(qū)抽取100戶居民用戶進(jìn)行12月用電量調(diào)查，發(fā)現(xiàn)他們的月用電量都在50?

之間，進(jìn)行適當(dāng)分組后(每組為左閉右開的區(qū)間)，畫出頻率分布直方圖如圖所示.

(1)求。的值及這100戶的用電量的平均數(shù);

(2)電力公司擬對(duì)用電量超過M(kWd)的家庭的電器進(jìn)行檢測(cè)，若M恰好為第71百分位數(shù)，求M.

21.(本小題14分)

如圖，在四棱錐中，底版4BCD為正方形，△R4D是正三角形，側(cè)面/MD1底面/BCD,M是PD

的中點(diǎn).

(1)求證：P8〃平面AMC：

(2)求二面角M-AC-。的余弦值.

22.(本小題14分)

已知數(shù)列｛aj是公比為3的等比數(shù)列，%,敢，。3-12成等差數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式；

⑵若％=幽設(shè)數(shù)列｛九｝的前n項(xiàng)和為7\,求證：|<T<p

an3”n

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答案解析

1.【答案】C

【解析】解：集合M={x|-3<x<l},N=(x\-l<x<4],

則MuN={x|-3〈無<4}.

故選:C.

利用并集定義、不等式性質(zhì)求解.

本題考查并集定義、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

2.【答案】B

【解析】解:要使得根號(hào)下有意義，貝卜之0,即定義域?yàn)閇0,+8),故力錯(cuò)誤；

f(x)=Inx,則真數(shù)為>0,即定義域?yàn)?0,+8),故8正確;

由指數(shù)函數(shù)的定義可知其定義域?yàn)镽,故。錯(cuò)誤；

要使得正切函數(shù)有意義，則+即定義域?yàn)閧小W/nr+1，k6Z},故。錯(cuò)誤.

故選:B.

利用各個(gè)選項(xiàng)中函數(shù)的定義及要使得函數(shù)有意義即可求得定義域，由此得出答案.

本題主要考查函數(shù)定義域的求解，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】B

【解析】解：由已知條件可得Zi+z2=(-2+i)+(l+2i)=-l+3i,

所以復(fù)數(shù)Zi+Z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(一1,3),在第二象限.

故選:B.

先根據(jù)復(fù)數(shù)的加法法則求出Z]+Z2,進(jìn)而得到Z1+Z2在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得解.

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題.

4.【答案】A

【解析】【分析】

本題主要考查線面垂直和充分必要條件的有關(guān)知識(shí).屬于基礎(chǔ)題.主要注意兩點(diǎn)：

(1)線面垂直判定及性質(zhì)定理.

(2)充分必要條件的判定，要注意方向性，即誰是誰的.

【解答】

解：I,m,八均為直線，m,n在平面a內(nèi)，1a=11m且/1八(由線面垂直性質(zhì)定理).

反之,如果11m目11n推不出，1a,也即機(jī)//n時(shí)，，也可能平行于a.

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由充分必要條件概念可知，命題中前者是后者成立的充分不必要條件.

故選：A.

5.【答案】C

到3、LCOS8+SE8Rl+tCUlS

【解析】解：因?yàn)閙^二2"二面才

所以tanG=1.

故選：C.

將題干條件化簡，根據(jù)￡曲。=翳計(jì)算即可.

本題主要考查了同角基本關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】B

【解析】解：設(shè)圓臺(tái)的母線長為，，高為山上底面半徑為小，下底面半徑為「2，

則=1,？2=4，

又因?yàn)?rsi+丁2)1=15V27T,

即7FX(1+4)X1=15/27T,

解得！=3/1,

則九=J[2一(也一丁])2—418—9=3,

所以該圓臺(tái)的體積等于:(7TXI2+7TX42+V71XI2X7TX42)X3=217r.

故選:B.

由圓臺(tái)的側(cè)面積公式求出母線長，再利用勾股定理求出圓臺(tái)的高，再結(jié)合圓臺(tái)的體積公式求解即可.

本題主要考查了圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征，考查了圓臺(tái)的體枳公式，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】D

【解析】解：甲、乙兩人獨(dú)立破譯一份密碼，兩人能破譯的概率分別是《，

???恰有一人成功破譯的概率為P=ixl4-|xl=^4-^=A=1.

故選:D.

根據(jù)獨(dú)立事件的概率乘法公式即可求解.

本題考查相互獨(dú)立事件概率乘法公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

8.【答案】D

【解析】解：由題意可知，3,4是方程x2+b%+c=0的兩個(gè)艱，

即b=-7,C=12,

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代人可得12%2-7x+1>0,(3A--1)(4%-1)>0,解得％或%>g,

所以cf+bx+1>0的解集為(一8,J)u(1,4-co).

故選:D.

由題意得3,4是方程%2+b%+c=()的兩個(gè)根，求得b=-7,c=12,代入計(jì)算即可求解.

本題主要考查一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.

9.【答案】C

【解析】解:因?yàn)閘oga8xIoga2=1-loga4,

32

又xlog?2=loga2xloga2=3(Zo^a2),

2

1-loga4=1-loga2=1-2loga2,

令￡=loga2>0,

所以3t2=1-2t,解得t=:或t=-1(不符合題意舍去)，

所以1?；?=解得a=8.

故選：C.

根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡計(jì)算即可求解.

本題主要考查了對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】B

【解析】解：/-ACD=AADC=60°,^BDC=45°,^ACB=45°,

由題意有乙DBC=180°-(乙BDC+乙BCD)=30°,

在4加。中由正弦定理有金=儡=.=密=苧=20072.,

2

又ZACD=4ADC=60。，所以△工DC為等邊三角形，所以4C=DC=200m,

又因?yàn)橐?c8=45。,

22

在4力8C中，由余弦定理有AB?=8c2+AC2_2AC-BCCOS450=(200V7)+200-2x200x200^2x

*2002,

所以AB=200m.

故選：B.

先求心DBC,在△80C利用正弦定理得BC,在△48C中，利用余弦定理即可求解.

本題主要考查了正弦定理，余弦定理在求解三角形中的應(yīng)用，屬于中檔題.

1I.【答案】B

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【解析】解：由題意得f(x)=cos4%-sin4x=(cos，+sin2x)(cosx2—sin2x)

=cosx2-sin2x=cos2x,

將/(x)的圖象向右平移。個(gè)單位后，

可得f(x—8)=cos[2(x-0)]=cos(2x-28)=g(x)的圖象，

根據(jù)y=tana)x(a)>0)為奇函數(shù)，可知：當(dāng)g(%)=cos(2x-2。)為奇函數(shù)時(shí)，

存在3>0,使y=無與g(x)圖象的對(duì)稱中心完全相同，

所以26=5+—keZ,即解得6=*+k￡Z,

結(jié)合ew{H岑川,可得：當(dāng)k=o時(shí)，&=*當(dāng)k=i時(shí)，9=尊

綜上所述，滿足題意的。的個(gè)數(shù)為2個(gè).

故選：B.

根據(jù)三角恒等變換公式化簡得/(%)=cos2x,進(jìn)而可得g。)=cos(2x-20),然后運(yùn)用三角函數(shù)的奇偶性進(jìn)

行求解，即可得到本題的答案.

本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與二倍角公式、函數(shù)圖象的平移變換、三角函數(shù)的奇偶性等知識(shí)，

屬干中檔題.

12.【答案】C

【脩析】解：根據(jù)題意，函數(shù)f(x)=2-因，不等式/(x)N%2—2%—m,即2-因——變形

可得：m>x2-2%-2+|x|,

令論(%)=/-2%-2+|n,

當(dāng)x之0時(shí)，h(x)=X2-X-2=(X-1)2-￡

九。)在(0,；)上單調(diào)遞減，在6,+8)上單調(diào)遞增，

且九(0)=-2,h(l)=-2,h(2)=0；

當(dāng)%V0時(shí),/i(x)=x2—3x-2=(x-1)2—%

hQ)在(一8,0)上單調(diào)遞減，且九(-1)=2.

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若關(guān)于x的不等式/(x)>x2-2x-m,即m>九。)的解集中有且僅有2個(gè)整數(shù)，

而&(0)=-2,九(1)=-2,九(2)=0,九(-1)=2,

則要使m>九。)的解集中有且僅有2個(gè)整數(shù)，這兩個(gè)整數(shù)解只能是0和1,

所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為一2<m<0,即zn的取值范圍為[-2,0).

故選：C.

將不等式/'(x)>x2—2x—m化為m>x2--2x—2+\x\,令=x2—2x—2+\x\,即m>h(x).然后分

無NO和x<0兩種情況去抻絕對(duì)值符號(hào)，得到相應(yīng)的解析式，計(jì)算又取-1,0,1,2時(shí)的函數(shù)值，畫出函

數(shù)的部分圖象，數(shù)形結(jié)合即可得解.

本題考分段函數(shù)應(yīng)用，涉及不等式的解集分析，屬于中檔題.

13.【答案】AD

【解析】解：對(duì)于A,c>d,?>a+c>b+d,故力正確，

對(duì)于8,令a—1,b1,c—1,d~—1,滿足a>b,c>d,但ac-bd,故A錯(cuò)誤，

對(duì)于C,令c=0,則ac?=兒2,故C錯(cuò)誤，

對(duì)于O,Q<bV0,c<0,：.3—三=<0,即￡<],故。正確.

anabab

故選：AD.

對(duì)于4結(jié)合不等式的可加性，即可求解；對(duì)于8C,結(jié)合特殊值法，即可求解；對(duì)于。，結(jié)合作差法，即可

求解.

本題主要考查不等式的性質(zhì)，掌握作差法，特殊值法是解本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】BCD

【解析】解：對(duì)于4因?yàn)殂?，元均為單位向量，且|2沆一宿=卜乃沆|,

所以兩邊同時(shí)平方得：4一4沅?元+1=3,則布?五=今故4錯(cuò)誤：

對(duì)于8,因?yàn)榛ǎ鶠閱挝幌蛄?，且?五=；,

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所以|南+2叫=J訪2+4五2+4而.吊二心,故8正確；

對(duì)干C,因?yàn)殂?，話均為單位向量，且?元=去

所以西—⑶?（沆+2n）=沅？+記.運(yùn)一2n2=1+1-2=—1,

\m-n\=Vin2+n2-2m-n=1,

則cos（沅一五，沅+2元）=（二-卑二券）=一名，故。正確；

對(duì)于D,fcl7v（rn-n）?（m+2n）=-1,|m-n|=l,

所以沆+2五在訪一諾上的投影向量為：回率等2?普普二一：（沅一證），故。正確.

|m-n||m—n|2

故選：BCD.

對(duì)|2沅一宿二C沅兩邊平方可判斷4對(duì)|沆+2宿兩邊平方可判斷&求出同一同，（rn-n）-（m+2n）,由

向量的夾角公式計(jì)算"J判斷出C；由投影向量定義川判斷D.

本題考查平面向量的數(shù)量積與夾角，屬于中檔題.

15.【答案】ACD

【脩析】解：對(duì)A選項(xiàng)，如圖，取CCi中點(diǎn)為M,的。1中點(diǎn)為N,連接MN

又正方體4BCD-&B1C1D1中,E為棱DDi的中點(diǎn),可得〃從E,

又因?yàn)锽]MG平面B4E,力道匚平面鳥斗止，

因此8]M//平面B&E；

又因?yàn)镃G中點(diǎn)為M,GJ中點(diǎn)為N,

因此MN〃CD"/B4i，又因?yàn)?/u平面84出，MNU平面

因此MN//平面8力1￡

又因?yàn)?MnMN=M,

且為M,MNu平面&MN,

因此平面B】MN〃平面B&E,

又B///平面&BE,且當(dāng)€平面/MN,因此8/u平面B/",

又F為正方形GCDDi內(nèi)?個(gè)動(dòng)點(diǎn)（包括邊界），

因此F6平面當(dāng)MNn平面gCOOi，而MN=平面為MNn平面gCO。],

因此FGMN,即產(chǎn)的軌跡為線段MN.

由棱長為2的正方體得線段MN的長度為心，故選項(xiàng)/正確；

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對(duì)B選項(xiàng)，由BiM=/N可知三角形/MN為等腰三角形,

當(dāng)F為線段MN中點(diǎn)時(shí)，

乂CCi中點(diǎn)為M,CDi中點(diǎn)為N,因此MN//D[C，而4B//DC因此8/14避，故選項(xiàng)8不正確;

對(duì)C選項(xiàng)，由選項(xiàng)8知，MN/AB，又MNC面48E,u面48E,

因此MN//面4BE,則MN上的點(diǎn)到平面4BE的距離為定值，設(shè)/到平面治帥的距離為d,

直線B尸與平面1所成角為仇則熱力8=瑞，而d為定值,

當(dāng)|BF|最大時(shí),sin。最小;此時(shí)點(diǎn)尸位于點(diǎn)N時(shí)，|B尸|最大,sin。最小.

則由題意得為(0,0,2),8(2,0,0),E(0,2,l),N(l,2,2),

可得西=（一2,0,2），尻=（一2,2,1）,設(shè)平面ARE的法向量＞=（x,y,z）,

x=2

元=0=—2x+2z=0

則有,不妨令％=2可得y=1,

—2x+2y+z=0

.n-BE=0z=2

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平面41BE的一個(gè)法向量元=(2,1,2),又麗=(一1,2,2)，

..小.BNn..2x(-l)+lx2+2x2,4

則⑸砌而“=I兩而I=I石可方言鎮(zhèn)=故選項(xiàng)c正確：

對(duì)D選項(xiàng)，由側(cè)棱81C]1底面GCDD1，因此三棱錐々-。1。尸體積為V

因此S^D[DF最大時(shí),體積最大,因?yàn)槭?MM

可得當(dāng)尸在M處時(shí)，三棱錐81-。出產(chǎn)的體積最大，

由已知得此時(shí)FD=FD1=FB[=<5?

因此F在底面小。外的射影為底面外心，06=2,8位1=2V7，DBi=24，

由勾股定理易知底面當(dāng)川A為直角三角形，因此F在底面當(dāng)川)1的射影為陽。中點(diǎn)，設(shè)為。[,

如圖，

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可得外接球半徑/?=挈，

外接球的表面積為軌/?2=為，放選項(xiàng)。正確.

故選:ACD.

對(duì)人由/平面4道國聯(lián)想到存在一個(gè)過8/的平面與平面從8月平行，利用正方體特征找到平面/MN/

/平面B&E,進(jìn)而得到F的軌跡為線段MN；對(duì)B,舉反例即可；對(duì)C,由MN//4B可得到使線面角取到最

小時(shí)的點(diǎn)尸的位置，此時(shí)再建系，利用線面角的坐標(biāo)公式計(jì)算即可；對(duì)。，利用，=鼻也1?S△5OF=。皿8，

可得到使三棱錐%-5DF的體積取到最大值的點(diǎn)尸的位置，接下來用定心法求出外接球半徑即可.

本題考查棱錐的體積及空間向量法求解直線與平面所成的角，屬于難題.

16.【答案】0.4

【解析】解：事件力、8互斥，若P(4)=0.2,P(AUB)=0.6,

:.P(AUB)=P(/l)+P(B)=0.2+P(8)=0.6,

解得P(B)=0.4.

故答案為：0.4.

根據(jù)互斥事件概率加法公式求解.

本題考查互斥事件概率加法公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

17.【答案】[2,3]

【解析】解：定義在R上的函數(shù)f(%)的值域是[1,2],

函數(shù)y=/(%)的圖象向左平移3個(gè)單位得到y(tǒng)=/(X+3)的圖象,再向上平移1個(gè)單位可得y=/(x+3)+l,

則函數(shù)y=/(x+3)+1的值域是[2,3].

故答案為：[2,3].

根據(jù)函數(shù)圖象的關(guān)系，結(jié)合值域的定義分析即可

本題主要考查了函數(shù)值域的求解，屬于基礎(chǔ)題.

18.【答案】點(diǎn)()

【解析】解：由題意知，函數(shù)/(幻的圖象過點(diǎn)弓,1),所以sin《+9)=l,解得>8=1+2k7r,k￡Z,

因?yàn)閨@|<"，所以◎=*所以/'(x)=sing+守)，

當(dāng)x￡[-2,a]時(shí)，可得?e[-2TT+^,a7r+^],

因?yàn)?'(%)在[一2,a]內(nèi)有4個(gè)零點(diǎn),結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可得271<a7r+j<3凡

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所以<4,即實(shí)數(shù)a的取值范圍是［工).

故答案為：［黑).

將弓,1)代入/(X)中結(jié)合|伊|V加，得尹=會(huì)則可求出/(%)，再由％W［—2,a］求出7TX+右的范圍，然后由f(x)

在［-2,a］內(nèi)有4個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可求出a的取值范圍.

本題考查的知識(shí)點(diǎn)：三角函數(shù)的性質(zhì)，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題.

19.【答案】苧

【解析】解：由2/+xy-y2=1,因式分解得(2X一')(%+y)=1.

22_

設(shè)2無一y=t,x+y=：(tHO),聯(lián)立解得％=學(xué)，y=f

t+|y-t2T

X-^=-

t+l2_t

5x2_y2=5(L)2_(L)2

5(岸+2++)一結(jié)一4+t2)

=9

4t2+^+14

=-9-'

令K=2"g,則〃2=412-4+/，gp4f2+1._u2+4

代人5%2-y2得5X2-y2_苫蛆.

目標(biāo)式化為皆

由基本不等式，u2+18>2Vu2-18=6AA2|U|,當(dāng)且僅當(dāng)〃？=18即〃=3度(取正)時(shí)等號(hào)成立.

,,3u33V7_72

收件+18-18+18=T*

故答案為：苧.

通過因式分解將條件轉(zhuǎn)化為乘枳形式，設(shè)變量代換簡化”，%再將目標(biāo)式轉(zhuǎn)化為單變量函數(shù)，利用基本不

等式求最大值.

本題主要考查了基本不等式求解最值，屬于中檔題.

20.【答案】解：(1)根據(jù)題意可得(0.0012+0.0018+0.003+a+0.0012+0.0006)x100=1,解得a=

0.0D22；

這100戶的用電量的平均數(shù)為100x0.12+200x0.18+300x0.3+400x0.22+500x0.12+600x

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0.06=322；

(2)?前幾組的頻率依次為0.12,0.18,0.3,0.22,

根據(jù)題意可得第百分位數(shù)為

71M350+°”一U°?UU二W篇了,=400,

故M=400.

【解析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)，平均數(shù)的概念，即可求解;

(2)根據(jù)百分位數(shù)的概念，即可求解.

本題考查頻率分布直方圖的綜合應(yīng)用，屬中檔題.

21.【答案】證明見解析；誓

???底面是正方形，ACQBD=F,

F是4c的中點(diǎn),

?:M是尸。的中點(diǎn),

MF//P8，

又?；MFu平面AMC,PB仁平面AMC,

:.PB//平面力MC；

(2)取的中點(diǎn)為0,8C的中點(diǎn)為E,連接。P,OE,

???△PAO是等邊三角形，

:.CP1AD,

???側(cè)面PAD1底面ABCD,側(cè)面PADn底面力BCD=AD,

GP1底面LBC。,

???GA,?！?lt;=底面48。。，

GP1OA,OP1OE,

AGA,OE,OP兩兩垂直，則分別以。/1,OE,OP所在直線分別為%軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系。-xyz,

不妨設(shè)4。=2,

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Z/

則由已知得4(1,0,0),q),。(一1,2,0),

4L

在平面4MC中，麗=(一?,o，W),祝=(_：,2,—￥),

設(shè)記=(Xi，yi，zD為平面/1MC的一個(gè)法向量，

則網(wǎng)箱=0=卜拉+:為=0依='

"%?配=。[_飆+2yL梟=。/力=巧，

令Xi=1,則$=(1,1,為平面4MC的一個(gè)法向后.

又?.平面/CO的一個(gè)法向量運(yùn)=(0,0,1)

設(shè)二面角M-AC-D平面角為仇

則鼎=2=巫

5

，二面角M—AC—。的余弦值為￡5.

(1)根據(jù)線面平行判定定理證明即可;

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，由面面角向量法計(jì)算即可求解.

本題考查線面平行的判定，以及向量法的應(yīng)用，屬于中檔題.

n

22.【答案】an=3i

證明見解析.

【解析】(1)數(shù)歹U{%}是公比為3的等比數(shù)列，%,。2,%-12成等差數(shù)歹U，

可得2a2=%+。3—12,

所以2alx3=%+%X32-12,即6。1=10%—12,

解得力=3,

所以%=3x3nT=3n；

⑵證明：%=皿包=3=親

anan3

可得G=]+[+/+…+熱

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則亂=++求+奈+…+指，

兩式相減,可得/n=.+(1+g+宗+?

所以『A普，

中山TT_32n+3,32n+l_n

因?yàn)?n+l-1”=4-^F-（4-^rTA）=式＞n°，

所以數(shù)列｛0｝是遞增數(shù)列，則G"l=g，

乂因?yàn)槠?gt;0,可得G=|—魯

綜上可得：1<Tn<1.

(1)利用基本量法可求首項(xiàng)，從而可求通項(xiàng)；

(2)利用錯(cuò)位相減法可求7\,利用不等式的性質(zhì)可證;<Tn<l

本題考查等差數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，以及數(shù)列的錯(cuò)位相減法求和，考杳方程

思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

23.【答案】/2；

【解析】(1)因?yàn)闄E圓r的離心率為學(xué),

因此/=冬=某=(苧>，

解得a=>[2-

22

（2）a=2時(shí)，c=a-l=3,故c=，！，因此力（一71,0）,F2（/3,0）,

P、Q均不在X軸上，故直線/的斜率不為0,

設(shè)直線，的方程為無=my+V_3?。（%卜乃），Q（%2，y2），

2

聯(lián)立x=my+與菅+y2=1得（巾2+4）y2+2\/~3my—1=0.

因4=12/n2+4（m2+4）=16m2+16>0,

由韋達(dá)定理，yi+y2=^2^41,%丫2=薪

因此1%-721=J81+力）2—4力丫2,

代入月+y2=W^，力力=會(huì)，原式得/（空與2+二_=存亙，

71"必+4'j*+471m2+4/7足+4加+4

又|74『2l=2十，3，故△/4PQ的面積5=±|4尸21-In-yi\=2（2+何,'：?：；'

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rxxVm2+l4+2x

而(4+2o&亞~=用亦

39

當(dāng)且僅當(dāng)百E=高，即病=2時(shí)等號(hào)成立,

因此△4PQ的面積的最大值為1+等.

(1)根據(jù)離心率可求出a的值.

(2)設(shè)直線l的方程為％=my+C，聯(lián)立直線和橢圓方程，得到兩根之和，兩根之積:

利用表達(dá)5=發(fā)4桂11月-丫21出三角形面積，然后再代換成關(guān)于他的函數(shù)，由基本不等式求出S的最大值.

本題考查直線與橢圓的綜合，屬于中檔題.

24.【答案】I；

【解析】(1)因?yàn)?(右,丫1),8(%2，丫2)之間的余弦距離為1-cos(48),cos(i4,B)=,%1x1%2+

X

若4(2,-1),5(1,-2),

則1-cos(4B)=1-喘x表+房x書.

??.48之間余弦距離為京

(2)①由題意得cos(M,N)=sinasinp+cosacos^=cos(a—/?)=：，

v0<a</?<pj<a—^<0,???sin(a-

cos(M,Q)=sinasinp—cosacosp=—cos(a+/?)=；,

12>[2

cos(a+/?)=-v0<a+