2024-2025學(xué)年河北省雄安新區(qū)高一(下)期末考試

數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.復(fù)數(shù)Z=-2+3i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限c.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.樣本數(shù)據(jù)3,6,9,8,4,5的中位數(shù)為()

A.5.5B.6C.6.5D.7

若等

3.sin(57r-a)=,則s譏a=()

n<2

A尊D.cVD.-----

3333

4.已知事件4B互斥,P(AUB)=|,且P(4)=3P(B),則P(4)=()

A11119D3

A，20B?元cr元D?元

5.已知正四棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別為2,4,體積為28,則該正四棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)為(

A.77B.710C.yJlAD.713

6.已知無(wú)，y,z的平均數(shù)與方差均為3,則好,,y2,z2的平均數(shù)為()

A.9B.12C.15D.20

7.已知圓。為△ABC的外接圓，且說(shuō)+前=2A0,乙40B=條A0=2,則瓦??就=(

A.1B.2C.273D.4

8.已知△力BC的內(nèi)角力,B,C,的對(duì)邊分別為a,b,c,內(nèi)角力的平分線AD交BC邊于點(diǎn)。.若6=2,c=l,(b+c+

a)(Z?+c—a)=be,則BD=()

A.苧B.苧C.2D.1

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

9.某2/機(jī)器人投送包裹，成功投放一次包裹的概率為今若它連續(xù)嘗試投送兩次，貝1()

A.事件“兩次都成功投放”與“恰好成功一次”是互斥事件

B.事件“兩次都未成功投放”與“至少成功一次”是對(duì)立事件

第1頁(yè)，共16頁(yè)

C.事件“第一次成功投放”與“兩次都成功投放”相互獨(dú)立

D.該機(jī)器人至少成功投放一次的概率為男

10.函數(shù)/(%)=Asin(oox+0)(2>0,3>0,0<@<兀)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，且函數(shù)/(%)過點(diǎn)

(0,73),則()

A.3=1

n7r

B-^=3

C.f(x)在區(qū)間［-瑞，盍］上單調(diào)遞增

D"(x*)為奇函數(shù)

11.如圖，正方體ABCD-A/iCiDi的棱長(zhǎng)為2,點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)，貝！］(

A.三棱錐P-的體積為定值

B.A/與平面P&D所成角的正弦值隨著點(diǎn)P從/移動(dòng)到C越來(lái)越大

C.MP+4P的最小值為，+<2

D.當(dāng)點(diǎn)P為BiC的中點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)P作正方體外接球的截面，所得截面面積的最小值為2兀

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知向量N=(?n,3),h=(-1,2),若工1b,則m.

13.已知復(fù)數(shù)2=言，貝U|z|=.

14.已知正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為3門，側(cè)棱長(zhǎng)20，則該三棱錐的外接球的表面積為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

已知函數(shù)/'(X)=y［~3sin2x—^cos2x—cos2x+

(1)求函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)求函數(shù)八%)在區(qū)間［0,當(dāng)上的值域.

q

16.(本小題15分)

某學(xué)校為保障校園科創(chuàng)社團(tuán)成員以良好身體素質(zhì)開展創(chuàng)新實(shí)踐，對(duì)“航模社”和“建模社”進(jìn)行專項(xiàng)體能

訓(xùn)練.學(xué)期末，從兩個(gè)社團(tuán)各隨機(jī)抽取100人進(jìn)行“障礙跑”成績(jī)測(cè)試(成績(jī)單位：秒)，依據(jù)測(cè)試結(jié)果得到

第2頁(yè)，共16頁(yè)

如下頻率分布直方圖.

航模社建模社

(1)分別計(jì)算航模社測(cè)試的平均成績(jī)、建模社測(cè)試成績(jī)的72%分位數(shù)(同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值近似

代替)

(2)若測(cè)試成績(jī)?cè)?0秒以內(nèi)(含70秒)為“體能合格”，從兩社團(tuán)“體能合格”成員中按分層隨機(jī)抽樣選5

人分享“科創(chuàng)+體能”訓(xùn)練經(jīng)驗(yàn)，再?gòu)倪@5人中選2人擔(dān)任經(jīng)驗(yàn)分享會(huì)主持人，求2人都來(lái)自“建模社”

的概率.

17.(本小題15分)

如圖，在圓錐P。中，48為底面圓。的直徑，C,。為圓0上不與4B重合的點(diǎn)，且PO=A8=2,BD=g

AB1CD.

(1)求證：BD_L平面POC；

(2)求異面直線力。與BP所成角的余弦值.

P

18.(本小題17分)

已知△ABC的內(nèi)角力，B,C的對(duì)邊分別為a,b,心若卬當(dāng)蛆=小備工!

cosB2b乙

(1)判斷△力BC的形狀，并說(shuō)明理由；

(2)若△力BC是斜三角形，。是力C的中點(diǎn)，且BD=6,BC=4,求sinC.

第3頁(yè)，共16頁(yè)

19.(本小題17分)

如圖，在四棱錐P—4BCD中，底面四邊形4BCD為菱形，NB4D=60。，AC與8。交于點(diǎn)。，P。1平面2BCD,

PO=6,點(diǎn)M為PB的中點(diǎn)，點(diǎn)E是線段力D上的動(dòng)點(diǎn).當(dāng)EM〃平面PCD時(shí)，DE=1.

(1)求他

(2)求點(diǎn)D到平面PBC的距離；

(3)設(shè)黑=九探究當(dāng)4為何值時(shí)，直線PE與平面PBC所成的角最大.

第4頁(yè)，共16頁(yè)

答案解析

1.【答案】B

【解析】解：復(fù)數(shù)z=-2+3i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)(-2,3),位于第二象限,

故選：B.

根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義即可得到結(jié)論.

本題主要考查復(fù)數(shù)的幾何意義，比較基礎(chǔ).

2.【答案】A

【解析】解：已知據(jù)樣本數(shù)據(jù)3,6,9,8,4,5,

則小到大排列為3,4,5,6,8,9,共5個(gè)數(shù)，

所以所求中位數(shù)是亨=5.5.

故選：A.

將給定數(shù)據(jù)由小到大排列，利用中位數(shù)的定義求解.

本題考查排列組合相關(guān)知識(shí)，屬于中檔題.

3.【答案】B

【解析】解：sin(5兀-a)=sina=苧.

故選：B.

利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)即可.

本題主要考查了誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】B

【解析】解：根據(jù)題意，事件4B互斥,P(AUB)=|,則有PQ4)+P(B)=去

而PQ4)=3P(B),

解可得PQ4)=粉故P⑷=1-P(A)=系

故選：B.

利用互斥事件的加法公式，結(jié)合已知及對(duì)立事件的概率公式求解.

本題考查互斥事件概率的加法公式，涉及對(duì)立事件的概率性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】C

第5頁(yè)，共16頁(yè)

【解析】解：如圖,

作為E1AC于E,貝!J&E即為正四棱臺(tái)力BCD-&B1C1D1的高，

由棱臺(tái)的體積為28,得了巖⑵+42+V22.42)?&E=28,解得力止=3,

在等腰梯形ACQ4中，44i=J(4.：2^)2^Z=舊,

所以該正四棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)為，五.

故選：C.

由棱臺(tái)體積公式求出棱臺(tái)的高，再利用正四棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征求出側(cè)棱長(zhǎng).

本題主要考查棱臺(tái)的體積，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】B

【解析】解：已知x,y,z的平均數(shù)與方差均為3,

s2—x?—nx2)=1(x2+y2+z2—3x32)=1(x2+y2+z2)—9—3,

所以g(/+產(chǎn)+z2)=12,即/,y2,z2的平均數(shù)為12.

故選：B.

由方差公式S2=；(?M蠟一忌2),代入即可求解.

本題考查平均數(shù)相關(guān)知識(shí)，屬于中檔題.

7.【答案】D

【解析】解：已知圓。為△力BC的外接圓，且說(shuō)+而=2而，A0=2,

則。為BC中點(diǎn),

貝ijAB_L力C,BC=2A0=4,

77

又乙40B=p

所以N力CB=3，N4BC=W，AB=BCcosZ.ABC=4cos^=2,

633

所以0?南=\BA\\BC\cos/.ABC=2x4xg=4,

即前?配的值為4.

第6頁(yè)，共16頁(yè)

故選：D.

由題可知44BC為直角三角形，然后結(jié)合直角三角形和數(shù)量積的定義即可得到瓦？?BC.

本題考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，屬中檔題.

8.【答案】A

22

【解析】解：因?yàn)?b+c+a)(b+c-a)=bcf所以(b+c)-a=be,

所以+2bc+c2—a2=be,即b?4-c2—a2=—be,

由余弦定理得：cosA="孝出—be_1

~2bc=-5'

又因?yàn)??！戳Α簇?，所以?若

在△ABC中，因?yàn)?D為角4的平分線，b=2,c=1,

由角平分線定理得：需=黑=三=2，

DCACb2

設(shè)BD=x,貝l]CD=2x,BC=BD+DC=3x=a,

由余弦定理得：cosA=即—之=與之言，解得a=「,

，蕓2b一c紇22x2x1

所以，7=3X,所以X=￥，即3。=苧.

故選：A.

先利用余弦定理求出角4再結(jié)合角平分線定理求解即可.

本題考查正、余弦定理和角平分線定理在解三角形中的應(yīng)用，屬于中檔題.

9.【答案】ABD

【解析】解：某力/機(jī)器人投送包裹，成功投放一次包裹的概率為,它連續(xù)嘗試投送兩次，

對(duì)于4“兩次都成功投放”與“恰好成功一次”不可能同時(shí)發(fā)生，是互斥事件，故/正確;

對(duì)于8,“兩次都未成功投放”與“至少成功一次”不可能同時(shí)發(fā)生，

但必有一個(gè)發(fā)生，是對(duì)立事件，故2正確；

對(duì)于C,設(shè)“第一次成功投放”為事件4”兩次都成功投放”為事件8,

則PQ4)="2⑻2q套q

P(4B)P⑷P(8),.??兩個(gè)事件相互不獨(dú)立，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于。，“至少成功一次”的對(duì)立事件是“兩次都未成功投放”，

“兩次都未成功”的概率為(14)2=胎，

第7頁(yè)，共16頁(yè)

.「至少成功一次”的概率為1—■=言故。正確.

故選：ABD.

利用互斥事件、對(duì)立事件、相互獨(dú)立事件的定義判斷力BC；利用對(duì)立事件的概率公式求出概率判斷D.

本題考查互斥事件、對(duì)立事件、相互獨(dú)立事件的定義、對(duì)立事件的概率公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能

力，是基礎(chǔ)題.

10.【答案】BC

【解析】解：由題意得/⑶的周期T滿足＞萼一羽=5，

可得7=二=兀，解得3=2,可知力選項(xiàng)錯(cuò)誤；

0）

因?yàn)楫?dāng)x=古時(shí)，/（久）取得最大值，

所以2X專+0=/+2/CTT（/CCZ）,結(jié)合。＜0V7T,解得0=條故5選項(xiàng)正確；

可得/（%）=4s譏（2%+為），其中4＞0,

r由-L.一5記7rWjxW,7運(yùn)1，可TTT得4曰一2"7c171）71

結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性，可知/（X）在區(qū)間［-:，芻上單調(diào)遞增，故C選項(xiàng)正確；

根據(jù)/（久一號(hào)）=4s譏［2（x*）+?=As譏（2x可知f。-京）不是奇函數(shù),故。選項(xiàng)不正確.

故選：BC.

根據(jù)圖象和已知條件求出力、3、9的值，可得函數(shù)的解析式，然后運(yùn)用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)逐項(xiàng)分析，

即可得到本題的答案.

本題主要考查正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)、由、=45譏（3%+0）的部分圖象確定其解析式等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.

11.【答案】ACD

【解析】解：選項(xiàng)4在正方體力BCD—A/iCiDi中，△A/D的面積為定值，而/C//ArD,

&Du平面&BD,BiCC平面力出￡?,則/C//平面&BD,

即點(diǎn)P到平面A/D的距離為定值，

因此三棱錐P-A/D的體積為定值，故選項(xiàng)/正確；

第8頁(yè)，共16頁(yè)

選項(xiàng)3,由CD1平面力4i，ADiu平面ADD140

所以CDJ.4D1，因?yàn)?D14D,AXDfyCD=D,AXD,CDu平面P&D,

所以4必，平面P&D,

所以4%與平面PaD所成角為3故選項(xiàng)2錯(cuò)誤；

選項(xiàng)C,將正△4B1C與等腰RtaBiGC置于同一平面，連接4CiCl=E,

顯然力Ci垂直平分B]C,4P+C\P24cl=ECI+AE=，I+2，I?^=，^+YI，故選項(xiàng)C正確;

選項(xiàng)。，正方體的外接球的半徑/?=宿，

當(dāng)點(diǎn)P為/C中點(diǎn)時(shí)，以點(diǎn)P為截面圓心的截面面積最小,

又正方體的中心（即外接球球心）到點(diǎn)P的距離為1,

因此截面圓半徑最小為，3-1=

所以截面面積的最小值為2兀，故選項(xiàng)。正確.

故選：ACD.

證得/C//平面4/D并結(jié)合錐體體積判斷力；

證得4%1平面P&D判斷B；

利用兩點(diǎn)間線段最短判斷C；

求出最小截面圓半徑判斷0.

本題考查立體幾何綜合問題，屬于中檔題.

12.【答案】6

【解析】解：向量往=（機(jī),3）,石=（—1,2）,

若31b,

第9頁(yè)，共16頁(yè)

則方，b=—m+6=0,解得zn=6.

故答案為：6.

根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示即可求解.

本題主要考查了向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.

13.【答案】75

則|z|=VI2+22=y/~5.

故答案為：75.

根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)模公式，即可求解.

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】487T

一p

【解析】解：在正三棱錐P-4BC中，正△4BC的邊長(zhǎng)為3門，小

取線段4B的中點(diǎn)D,連接PD,CD,/

貝UPDJ.4B,CD1AB,CD=ACsin60°=A//?'

設(shè)點(diǎn)P在底面ABC的射影為點(diǎn)。，D\'

則。為正△ABC的中心，0C=,CD=3,B

則P。=VPC2-OC2=J(30)2-32=<3>

設(shè)正三棱錐P-ABC的外接球球心為H,

則H在直線PO上，設(shè)球H的半徑為R,

則。H=|73-R|,

由勾股定理得。//2+OC2=CH2,

即(V3—R)2+9=R2,

解得R=273,

所以該正三棱錐的外接球的表面積為4兀R2=487r.

故答案為：487r.

根據(jù)給定條件，確定外接球球心位置，利用球的截面小圓性質(zhì)求出球半徑即可.

本題考查幾何體表面積的計(jì)算，屬于中檔題.

第10頁(yè)，共16頁(yè)

GZ）；

[-y/~^,2].

【解析】（1）因?yàn)閒（%）=y/~3sin2x—^cos2x—cos2%+g

11+cos2x1

=y/~3sin2x—2cos2%—

2+2

=y/~3sin2x—cos2x

=2sin(2x—、),

由2/CTT——<2x——2/CTT+—,(/CGZ),

L6z

即k.7i—：<%<ku+kEZ,

63

所以函數(shù)f(%)的單調(diào)遞增區(qū)間為即一，"+甘，fcez；

(2)因?yàn)?W久w1,所以一.W2x—手，

4OOD

所以一苧4sin(2x—<1,

所以2siTi(2x—9)E[—y/~^>2],

所以函數(shù)f(久)在區(qū)間[0,當(dāng)]上的值域?yàn)椋篬-，百,2].

⑴由三角恒等變換得/(x)=2s譏(2x->再整體代換求解即可；

(2)整體代換求解函數(shù)的值域即可.

本題主要考查了正弦函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，還考查了值域的求解，屬于中檔題.

16.【答案】73；75；

3

10'

【解析】(1)(0.016+0.024+0.032+a+0.008)x10=1,解得a=0.020,

(0.002+0.058+0.024+b+0.006)X10=1,解得b=0.010,

則航模社測(cè)試的平均成績(jī)m=0.16x55+0.24x65+0.32x75+0.20x85+0.08x95=73,

設(shè)建模社測(cè)試成績(jī)的72%分位數(shù)為刈又[50,60)的頻率為0.02,

[60,70)的頻率為0.58,[70,80)的頻率為0.24,

其中0.02+0.58=0.6<0.7,0.02+0.58+0.24=0.84>0.7,

x在[70,80)之間,

第11頁(yè)，共16頁(yè)

則Q—70)X0.024=0.72-0.02-0.58=0.12,解得x=75,

???建模社測(cè)試成績(jī)的72%分位數(shù)為75；

(2)根據(jù)題意，航模社“體能合格”的人數(shù)為(0.16+0.24)X100=40人，

建模社“體能合格”的人數(shù)為(0.02+0.58)x100=60人，

故航模社“體能合格”與建模社“體能合格”的人數(shù)之比為40：60=2：3,

則按分層隨機(jī)抽樣從航模社抽取2人，分別為(4,42)，建模社抽取3人，分別為(%,劣,%)，

再?gòu)倪@5人中選2人擔(dān)任經(jīng)驗(yàn)分享會(huì)主持人共有：

(4，4)，⑶,％),(4,BQ,

(心殳)，(42,%)，(%,%),(九%),("3)，共10種選擇，

其中2人都來(lái)自“建模社”有(外,82)，(Bl,%)，(坊，氏"種選擇，

2人都來(lái)自“建模社”的概率為高

(1)根據(jù)頻率分布直方圖面積為1,可求得a,b,然后利用頻率分布直方圖平均值及百分位數(shù)的求法求解即

可；

(2)根據(jù)分層隨機(jī)抽樣可知從航模社抽取2人，建模社抽取3人，再利用列舉法求解古典概型的概率即可.

本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用，屬于中檔題.

17.【答案】證明見解析；

75

而.

【解析】(1)證明：連接BC,延長(zhǎng)C。交BD于點(diǎn)F,

因?yàn)榱為底面圓。的直徑，所以4。1BD,

又AB=2,BD=所以4。=1，乙ABD=30°,乙BAD=60°,

又ABJ.CD,所以4B平分CD,Z.CBD=2/.ABD=60°,

又BD=BC,則△BCD為正三角形，。是其中心，

所以尸是BD中點(diǎn)，CF1BD,

又P。！平面BCD,所以PO1BD,又CFCPO=0,

所以BD1平面POC；

第12頁(yè)，共16頁(yè)

p

(2)由(1)知,尸是BD中點(diǎn)，取PD的中點(diǎn)E,

則EF//PB,OFHAD,

所以異面直線與8P所成的角為NEF?；蚱溲a(bǔ)角,

又PD=PB=VP02+0B2=<5，0E=』PD=苧,EF==手,OF=^AD=

乙乙乙乙乙乙

1<5

所以cos^EFO=^-=-^=—f

cr7b1U

~T

所以異面直線力D與BP所成角的余弦值為唱.

(1)根據(jù)給定條件，證得△BCD為正三角形，再結(jié)合圓錐的結(jié)構(gòu)特征，利用線面垂直的性質(zhì)判定推理得證.

(2)取PD的中點(diǎn)E,利用幾何法求出異面直線夾角的余弦.

本題考查立體幾何的綜合應(yīng)用，屬中檔題.

18.【答案】等腰三角形或直角三角形，理由見解答；

3721

14,

【解析】(1)因?yàn)橐驳?巴『，

'7cosB2b2

所以由余弦定理c2+/>2—=2%cos4得"等=當(dāng)?shù)?『，

cosB2爐b

即bcos/cosC=ccosAcosB,由正弦定理得sinBcos4cosc=sinCcosAcosB,

W^cosA(sinBcosC-sinCcosB)=0,即cosZs譏(8—0=0,

所以cos/=0或sin(B-C)=0：,所以Z=/或B=C,

所以△4BC為等腰三角形或直角三角形；

(2)因?yàn)椤?BC是斜三角形，由(1)知3=0即

設(shè)CD=x,由題意可得48=AC=2久，

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A

CD2+BC2—BD2_16+/-36_，20

在△BCD中，由余弦定理可得：cosC

2BC-CC2x4xx8x

cCB2+CA2-AB216+4X2-4X21

在△ABC中,由余弦定理可得:C°SC=2CB-CA=2X4X2X一,

X

所以工=與生，解得％=2，7,負(fù)值舍去，所以cosC=g

xSx14

又因?yàn)?<C<兀，可得sinC=V1—cos2C=

(1)由余弦定理，正弦定理和三角恒等變換得到cos4sM(B-C)=0,所以A=］或B=C,故△ABC為等腰三

角形或直角三角形；

(2)在(1)基礎(chǔ)上，得到B=C,^AB=AC,設(shè)CD=x,由題意可得力B=AC=2x,在△4BC和△BCD中，

分別使用余弦定理，從而得到方程，求出x=2，7,所以cosC=烏利用同角三角函數(shù)關(guān)系求出sinC=察.