2025年高三數(shù)學(xué)秋季開(kāi)學(xué)摸底考03（全國(guó)通用）

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫(xiě)在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用

橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

4.考試范圍：高考全部?jī)?nèi)容

第一部分（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的.

1.已知復(fù)數(shù)z滿足z（l+i）=2-3i,貝”在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】C

2-3i(2-3i)(l-i)-l-5i_15.

【詳解】由z(l+i)=2-3i得2=用

(l+i)(l-i)-2

則z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為卜;,-卷］，位于第三象限.

故選：C.

2.若tan，=-2,則cos26=()

33

A.B.

55

2

D.

5

【答案】A

cos26,-sin20_1-tan20l-4_3

【詳解】cos2^=cos20-sin20=

cos20+sin201+tan201+4—5

故選：A

—2%2+4,—l4x<0

3.已知/（x）是定義在R上且周期為2的函數(shù)，當(dāng)時(shí)，/（x）=SISOXI'則

10

"3"()

A.W

22

C.-V3D.V3

【答案】D

【詳解】由題意：/（3）=/（3-4）=/（T）=-2+4=2,

所以/⑶?/U=2x1=A

故選：D

4.已知集合/=卜€(wěn)叫產(chǎn)|401

5={x|y=lg(l-x)},則/門(mén)8=()

A.{-2,-1,0}B.{0}

C.[-2,1]D.[-2,1）

【答案】B

x+21（％+2）（x-2）<0

【詳解】由一J：=>-2Wx<2,貝）={0,1},

x-2[x-2w0

根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知B={x\x<}],則/n3={0}.

故選：B

5.設(shè)是兩個(gè)平面，如”是兩條直線，則下列命題為真命題的是（）

A.若m_L氏5〃_L夕，則〃_L/7

B.若mua,nu0,m1n,則

C.若加則"〃e

D.若mua,nua,in///3,n〃/3,則。〃夕或a與4相交

【答案】D

【詳解】對(duì)于A,若機(jī)_Ltz,?7〃〃，則"la,又a工。,則"〃夕或"u〃，故A錯(cuò)誤;

對(duì)于B,由加ua,〃u反加"L",可知冬方可能平行或相交，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,若加，則有可能是"〃c,也可能"ua,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,由mua,nua,m〃B,〃〃B,可知以￡可能平行或相交，故D正確.

故選：D.

6.已知A/BC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若b=H,2siit4=3sinC,5=|,。是/C中

點(diǎn)，則（）

B.叵

A.2

2

C.V5D.—

2

【答案】D

3

【分析】先角化邊得出在結(jié)合余弦定理求分別求出。，。，cos。的值，最后在△BCD中用余弦定

2

理即可求出AD的值.

3

【詳解】利用正弦定理結(jié)合條件2sig=3sinC可知：2〃=3。，即。=,c,

由余弦定理〃=/+°2_2〃ccOS5即

r922c3711332_LLCC

7=—c+c—2x—c-c-cos—=—c2—c2=-c,故c=2,4=3,

423424

在例c中由余弦定理可知iC=三L*與

在△BCD中由余弦定理可知

9+；fD225,

BC?+CD?-BD?

cosC=

2BC-CD3萬(wàn)7

整理得：BD2=—^BD=—.

42

故選：D

7.若圓/+/—2G一2y一1=0關(guān)于直線x+如一2=0對(duì)稱，其中。>0,6>0,貝1],+^■的最小值為（）

ab

5

A.2B.-

2

C.4D.2+275

【答案】C

[詳解]由+y2—2辦_2y_]=0得(%_Q)2+(,—1)2=〃2+2,

所以圓心為(〃/)，又圓關(guān)于直線X+力-2=0對(duì)稱，

貝!I直線x+6y-2=。過(guò)圓心，即。+6=2,

4a+l14(2-6)+119,

ababab

￡10+"J10+2.[b9a

—x——8

又冷w+門(mén)2abab,

1

b_9aa=-

當(dāng)且僅當(dāng)廠一"T2

:時(shí),等號(hào)成立,

a+b=2b=-

(2

LI、?14a+119...

所1r以一H-----=—H----4>8o-4=4,

abab

故選：C.

8.已知若0是的極小值點(diǎn)，則。的取值范圍為()

A.[0,+co)B.(1,+℃)

C.(-8,1)D.(-8,0)

【答案】B

【分析】通過(guò)對(duì)函數(shù)/(x)求導(dǎo)，滿足/'(0)=0,然后分類討論利用導(dǎo)數(shù)法研究/'(x)的符號(hào)，根據(jù)極小值

點(diǎn)的概念判斷即可.

【詳解】對(duì)函數(shù)/(x)求導(dǎo)得：/,(x)=aet+(ax-fl-l)ev+l=(ax-l)et+l,

又由x=0是函數(shù)/(x)的極小值點(diǎn)，所以八0)=-e°+l=0,

還需分析/'(x)在x=0附近的符號(hào)變化，令g(x)=/〈x)=(辦-l)e，+l,

貝欣(力=(01+”1)6”,gf(0)=(a-l)e°=a-1,

當(dāng)a>l時(shí)，g'(0)>0,g(x)即/'(x)在x=0附近單調(diào)遞增，又g(0)=0,

所以當(dāng)x<0時(shí)，g(x)=/'(x)<0,當(dāng)x>0時(shí)，g(x)=r(x)>0,滿足0是/(x)的極小值點(diǎn)；

當(dāng)a=l時(shí)，g(x)=/,(x)=(x-l)ev+l,g〈x)=xe*,

當(dāng)x<0時(shí)，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減，當(dāng)》>0時(shí)，g,(x)>0,g(x)單調(diào)遞增，所以

g(x)=/,(x)>g(O)=O,

所以/(X)單調(diào)遞增，此時(shí)〃x)無(wú)極小值點(diǎn)；

當(dāng)。<1時(shí),g'(0)<0,g(x)即/'(X)在x=o附近單調(diào)遞減，

又g(0)=0,所以當(dāng)x<0時(shí)，g(x)=/,(x)>o,當(dāng)x>0時(shí)，g(x)=f'(x)<0,

此時(shí)0是的極大值點(diǎn)，不符合題意；

綜上所述：a的取值范圍為(1,+/).

故選：B

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部

選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得。分.

9.已知向量3=(2,3)5=(-4,加)，則()

A.若5_L$，則加=§

B.若冽=1,IjJlJ|a—=2-\/15

C.若（G+B）〃B,則加=6

D.若機(jī)=2,則a在B方向上的投影向量的坐標(biāo)為m

【答案】AD

_O

【詳解】對(duì)于A,由2_LB，可得54=一8+3根=0,解得加=§,故A正確；

對(duì)于B,當(dāng)冽=1時(shí)，a-b=（6,2）,故加+2?=2VIU，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,a+b=（-2,3+m）,由伍+B）〃B,可得加=6+2加，解得加=-6,故C錯(cuò)誤;

對(duì)于D,當(dāng)機(jī)=2時(shí)，3=（-4,2）,此時(shí)才在B方向上的投影向量的坐標(biāo)為

a-bb2

同5，-5,故D正確.

故選：AD.

10.下列選項(xiàng)正確的是（）

A.若隨機(jī)變量J?N（3,〃），且尸傳＜6）=684,則尸（3＜J＜6）=0.34

B.一組數(shù)據(jù)88,90,90,91,92,93,95,96,98,99的第50百分位數(shù)為92

C.若樣本數(shù)據(jù)不，/，…，毛的方差為2,則數(shù)據(jù)2再-1,2x,-l,2%-1的方差為8

D.已知回歸直線方程為）=公+7,若樣本中心為（-5,22）,則樣本點(diǎn)（3,-2.5）處殘差為-0.5

【答案】ACD

【詳解】

對(duì)于A,若隨機(jī)變量，N（3,〃），且尸（J＜6）=0.84,又尸管＜3）=0.5,

所以尸（3＜"6）=尸傳＜6）—尸管＜3）=0.84-0.5=0.34,故A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B：第50百分位數(shù)（中位數(shù)）為：二產(chǎn)=92.5.故選項(xiàng)B錯(cuò)誤.

對(duì)于C,若樣本數(shù)據(jù)芯/2「y6的方差52=2,則數(shù)據(jù)2%-1,2馬-1,…,2%-1的方差S；=22$2=8,故C正確；

對(duì)于D,樣本中心為（-5,22）代入回歸方程，得22=25）+7,解得d=—3,則＞-3x+7,

當(dāng)x=3時(shí)，y=-3x3+7=-2,故樣本點(diǎn)（3,-2.5）處的殘差為尸/=-2.5-（-2）=-0.5,故D正確；

22

11.已知尸（。,0）是雙曲線C：~~^=1（。＞0,b＞0）的右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F向C的一條漸近線引垂線，垂

足為A,交另一條漸近線于點(diǎn)B,若2萬(wàn)=麗，則下列結(jié)論正確的是（

A.|。加2網(wǎng)B.ZAFO=NAOB

D.若S.OB=26,則°=半

c.禺心率《=A

【答案】ABD

【詳解】

如圖，：2AF=旃，；.2%目=同，2SMAF=S,OBF，

.點(diǎn)F到兩條漸近線的距離相等，二|。四=2\0A\,故A正確;

AB±0A,\0B\=2\0Jf\,：.ZABO=30°,ZAOB=60°,

NAOF=NBOF=3Q°,ZAFO=60°,故B正確;

由B知，一條漸近線的斜率卜皿3。。若

由C知，黑=330。=^,所以網(wǎng)=*=字叫*故=36,

，義同x3b=26,：.b=巫,。=2,c=處,故D正確,

S^AOB

233

故選：ABD.

第二部分（非選擇題共92分）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知廠為拋物線C:r=28（0>0）的焦點(diǎn)，。伉,2）為。上一點(diǎn)，若怛。|=2,貝”=

【答案】2

2

【詳解】由題意知22=2〃%,所以%=一，

P

n2

由怛。|=2及拋物線定義，得受+—=2,解得p=2.

2P

故答案為：2.

13.將一個(gè)圓心角為學(xué)、面積為3兀的扇形卷成一個(gè)圓錐，則此圓錐內(nèi)半徑最大的球的表面積為

【答案】27r

nRL=3TI

【詳解】設(shè)圓錐底面半徑為母線長(zhǎng)為￡,則過(guò)二生，解得氏=1,

~T~~

L=3,

易知半徑最大的球?yàn)閳A錐的內(nèi)切球，球與圓錐內(nèi)切時(shí)的軸截面如圖所示，

其中4B=/C=3,BC=2,且點(diǎn)M為8c邊上的中點(diǎn),

設(shè)內(nèi)切圓的圓心為。，由于9/=2亞，

故SA欣=；x2x2^2=141,

設(shè)內(nèi)切圓半徑為「，則邑+++

6（/?Y

解得「二注，其表面積為s=4〃2=4兀注=2兀.

2I2）

故答案為：2Tl.

14.已知函數(shù)/（x）=sin"-T（0>O）,若/（0）+/尼］=0,且“X）在上有且僅有三個(gè)極值點(diǎn),

【答案】-；/-0-5

【分析】求出嗎），根據(jù)〃x）在10身上有且僅有3個(gè)極值點(diǎn)證明?<。嚀，求出。，即可求解.

TtCD7T71c7p,TtCD715兀_./?\

------=一+2kn或=——+2E（左z￡Z）,

26626----6

2

0=§+4左或0=2+4左（左6Z）.

,「八兀、八?兀（兀兀〃？兀、

當(dāng)0,彳，0>0時(shí)0工一二￡一二,^--—,

12/6^6267

???/（X）在L上有且僅有3個(gè)極值點(diǎn)，

5兀7169兀,7兀

--<------W---,

2262

口36,22,

即—<0?—,g=6,

33

故答案為：」.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.(13分)2025年春節(jié)期間，電影《哪吒之魔童降世2》票房破百億，整個(gè)電影界都為之歡騰，這是中

國(guó)動(dòng)畫(huà)電影的一大步，也是世界電影史上的一次壯麗篇章.某調(diào)查小組隨機(jī)抽取100位市民，將市民的年齡

和是否看過(guò)電影《哪吒之魔童降世2》的樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)整理如下：

看過(guò)沒(méi)看過(guò)合計(jì)

不超過(guò)35周歲302050

超過(guò)35周歲153550

合計(jì)4555100

(1)依據(jù)小概率值a=0.010的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為市民的年齡和是否看過(guò)電影《哪吒之魔童降世2》有關(guān)

聯(lián)？

⑵根據(jù)2x2列聯(lián)表的信息，A表示“選到的市民沒(méi)看過(guò)《哪吒之魔童降世2》”，3表示“選到的市民超過(guò)35

周歲”，求尸(回⑷和尸(4勾的值;

(3)現(xiàn)從參與調(diào)查的不超過(guò)35周歲的市民中，按是否看過(guò)用分層抽樣的方法選出5人組成一個(gè)小組，從抽取

的5人中再抽取3人贈(zèng)送《哪吒之魔童降世2》的電影票，求這3人中，看過(guò)《哪吒之魔童降世2》的人數(shù)

X的概率分布和數(shù)學(xué)期望.

n^ad-bc^

附：Z2其中幾=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.0500.0100.001

*3.8416.63510.828

【答案】(1)答案見(jiàn)解析

⑵川用尸(利町=1

9

(3)分布列見(jiàn)解析，y

【分析】(1)計(jì)算/的值，根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)判斷即可；

(2)根據(jù)條件概率及古典概型求解即可；

(3)根據(jù)分層抽樣求出看過(guò)和沒(méi)看過(guò)《哪吒之魔童降世2》的人數(shù)，進(jìn)而可知X的所有可能取值，求出相

應(yīng)的概率即可得到分布列，進(jìn)而可求數(shù)學(xué)期望.

【詳解】(1)零假設(shè)〃。：假設(shè)市民的年齡和是否看過(guò)電影《哪吒之魔童降世2》無(wú)關(guān)聯(lián)，

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計(jì)算得*=100x(30x35-20x15)2b9.091>6.635=/oio，

50x50x45x550010

根據(jù)小概率值a=0.010的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒(méi)有充分證據(jù)推斷區(qū)不成立，因此可以認(rèn)為市民的年齡和是否看過(guò)

電影《哪吒之魔童降世2》有關(guān)聯(lián).

p(疝)M碉

(2)P(B\20_4

P(A)~n(A)5511

L\P(AB}n(AB\3

PU2)=-^=-^=1—5=一.

\>P(B)“(B)5010

(3)按照分層抽樣，抽取的5人中看過(guò)《哪吒之魔童降世2》的有3人，沒(méi)看過(guò)《哪吒之魔童降世2》的

有2人，

可得X的所有可能取值為1,2,3,

da02rlo1i

此時(shí)尸(X=l)=皆=4,P(X=2)=*\,P(X=3)=*$,

則X的分布列為:

X123

331

P

105W

33io

所以￡(X)=lx—+2x—+3x—=—

V7105105

16.(15分)如圖，在四棱錐夕--BC。中，平面尸45,平面且

AB=2CD=2AD=2BC=2AP=2.

(1)證明：平面尸4C_L平面尸5C；

(2)求平面PAD與平面PBC夾角的正弦值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

⑵巫

4

【分析】(1)先由線段關(guān)系證/CL2C,結(jié)合面面垂直的性質(zhì)判定線線垂直，利用線線垂直證線面垂直;

(2)建立合適的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量計(jì)算面面角即可.

【詳解】(1)由題意48=28=240=28。=2,則N4BC=60。,

因?yàn)?C=l,/2=2,所以//C2=90°,/C_L8C,

因?yàn)槠矫媸?8_L平面/BCD,平面平面=,

且P4J./B,P/u平面尸48,

所以尸N_L平面/BCD,

因?yàn)?Cu平面4BCD,所以E4_L3C,

且/?？谑?=4么。,尸工匚平面尸/。，所以8C,平面R4C,

又BCu平面尸3C,所以平面尸NC_L平面網(wǎng)C；

(2)如圖，以A為原點(diǎn)，9分別為x軸，V軸正方向，在平面N8CD內(nèi)過(guò)點(diǎn)A作平面ABC的垂線為z

軸，

建立空間直角坐標(biāo)系,

則P(l,0,0),8(0,2,0),。0,；,?,C,

I22J(22)

所以/尸=(1,0,0),/。=0,-,^-,PB=(-1,2,0),BC=

設(shè)平面P4O的一個(gè)法向量々=(x,y,z),

*~?>.

々?AP=x=0

則_____拒z,令z=T,得1=(0,百,-1),

n,,ADv=—I------=0

I122

設(shè)平面尸5C的法向量%=(加,小夕)，

n2?PB=-m+2n=0

則______nJJn，令P=l，得第=(26,6,1),

n2-BC=--+^-=0

222

\n\-n\21

設(shè)平面PAD與平面PBC的夾角為6,則cose=與下42=--=-,

hh2X44

所以平面PAD與平面PBC夾角的正弦值為Vl-cos20=叵.

4

17.(15分)已知數(shù)列｛6｝的前n項(xiàng)和為且5=2。"一”，nE^,

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)bn=n(an+1),求數(shù)列低｝的前n項(xiàng)和北；

⑶設(shè)「際T訴百F記數(shù)列E｝的前n項(xiàng)和為此，證明：

【答案】(1)4=2"-1

(2瀉=(1>2向+2

(3)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)由S“,。”的關(guān)系求解即可；

(2)由題意”=〃僅“+1)=小2",利用錯(cuò)位相減法和等比數(shù)列求和公式即可求解；

1111

(4\=-------

(3)由題意得6,=1—(―二=-,由裂項(xiàng)相消法即可證明.

log2(a?+l)-log2(a?+1+l)n[n+l)nn+1

【詳解】(1)因?yàn)镾,=2%-〃,

所以％=2%-1,解得％=1,

又加=2%-"-1，

所以an+l=2an+l-2an-l,即°=2%+1,

所以<+1=2-1+1=2(%+1)，即號(hào)吟=2,

an十1

因?yàn)椋?1=2,所以數(shù)列｛%+1｝是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，

所以?！?1=2x2"T=2",即g=2"—1.

(2)因?yàn)?.+1)=小2",

所以7；=1=+2-22+3?23+…+”-2",①

23,,+1

27；;=l.2+2-2+---+(n-l)-2+n-2",②

+|+|,,+1+|

①一②得=2+2?+2,+…+2"一小2"=2(；:)-n-2"=2-2-n-2"，

所以7；=(〃一1>2向+2.

(3)因?yàn)間log2(an+l)-log2(a?+1+l)n(n+l)nn+\,

所以河=1--+---+■??+-一一—=1一一—(weN*),

223nw+1n+r)

易知〃")=1-&(〃eN*)是增函數(shù)，所以

所以

2233

18.(17分)已知橢圓C：q+2=l(a>b>0),四點(diǎn)6(-1,力，7^(1,-),乙(0,6)，心(1,6)中恰有三點(diǎn)

在橢圓C上.

(1)求橢圓C的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)。(4,0)且斜率不為0的直線/與橢圓C相交于兩點(diǎn).

(i)若。為原點(diǎn)，求△A7CW面積的最大值；

(ii)點(diǎn)-2,0),設(shè)點(diǎn)。是線段上異于的一點(diǎn)，直線。40M的斜率分別為匕,僅，且與+e=0,

DM\-\NQ

求n”J的值?

DN卜\MQ

22

【答案】⑴二+匕=1

43

(2)(i)5(ii)1.

【分析】（1）根據(jù)橢圓對(duì)稱性，用待定系數(shù)法求解橢圓方程；（2）（i）設(shè)直線方程，根據(jù)韋達(dá)定理表示

三角形面積，進(jìn)而進(jìn)行判斷；（ii）由占+左2=0可知直線040M的傾斜角互補(bǔ)，用距離公式表示并作比值

求解.

6=6

【詳解】（1）由對(duì)稱性知6（-4），鳥(niǎo)（1,5）和6（0,百）在橢圓c上，所以《

19

IL"=1

22

所以。=2,C的方程為土+匕=1.

43

（2）設(shè)直線/的方程為x=）+4,點(diǎn)/（%,必），N（x2,y2）,

由□消去x得：(3入4)廿+24卬+36=0,

3x+4y-12

一42f

)144(產(chǎn)-4)

則?A=144(r-4)>0,貝1]/<一2或1>2.瓦一%|=

363〃+4)

J片「

127(?-4)24Vr-4

Z\MON面積s=；x4x|v]—%]=(x4x

3產(chǎn)+43戶+4

____二24〃24.f-

2

令A(yù)/產(chǎn)-4=〃(〃>0),則?=2』+4,3u+16&,16

v4*735u-\--

u

4OR

當(dāng)且〃=去，即*時(shí)，AM加面積的最大值為百.

（ii）因?yàn)樯?與=0,所以直線040M的傾斜角互補(bǔ)，所以3閆0回,

所以點(diǎn)。在線段4D的垂直平分線上，所以

于是|。叫=67T向，|DN|=戶工%I

回|?例」藝+；

|eA/|=#+I3，例=#71%+;3.所以

M+二

刎]MM+3

m”7

(3、3

RDM\-\QN*?+7)

因?yàn)槟?=—(y\+%),

阿3

-3311

五(必+%)+：%5乃一,%

DM\\QNT所以

所以T?所以0M的值1.

DN\-\QM3-11

五(必+>2)-7叫5乃/2

19.（17分）已知函數(shù)，（%）