專題19圓與圓的位置關(guān)系

塞內(nèi)容導(dǎo)航——預(yù)習(xí)三步曲

第一步：學(xué)

;正教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)

6大核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練

第二步：記

思維導(dǎo)圖助力掌握知識框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握

第三步：測

過關(guān)測穩(wěn)提升二小試牛刀檢測預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升

。析教材學(xué)知識

知識點(diǎn)01：圓與圓的位置關(guān)系

1、圓與圓相交，有兩個公共點(diǎn);

2、圓與圓相切（內(nèi)切或外切），有一個公共點(diǎn);

知識點(diǎn)02：圓與圓的位置關(guān)系的判定

1、幾何法

若兩圓的半徑分別為4，。兩圓連心線的長為兒

位置關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含

*

圖示華）

交點(diǎn)個數(shù)01210

d＞可+弓

d與4，4的關(guān)系d=rx+r2\r[一引<d<T[-\-r2Q<d<\rx

2、代數(shù)法

設(shè)G：（%—q）2+（y—

G：（x-%）2+（y—優(yōu)）2=片

（尤—q）2+（y—4）2=j

聯(lián)立,,，消去“y”得到關(guān)于“工”的一元二次方程如2+/+廠=0,求出其

〔（X-4）2+（丁-2）=馬

A=/_4”廠

①A=q2—4”＞00G與設(shè)設(shè)＜C相交

②A=d—4pr=0oQ與設(shè)設(shè)＜C相切（內(nèi)切或外切）

③A=q2—4pr＜00C與設(shè)設(shè)（C相離（內(nèi)含或外離）

知識點(diǎn)03:圓與圓的公切線

1、公切線的條數(shù)

與兩個圓都相切的直線叫做兩圓的公切線，圓的公切線包括外公切線和內(nèi)公切線兩種.

（1）兩圓外離時，有2條外公切線和2條內(nèi)公切線，共4條；

（2）兩圓外切時，有2條外公切線和1條內(nèi)公切線，共3條;

（3）兩圓相交時，只有2條外公切線;

（4）兩圓內(nèi)切時，只有1條外公切線;

2、公切線的方程

核心技巧：利用圓心到切線的距離8=r求解

知識點(diǎn)04：圓與圓的公共弦

1、圓與圓的公共弦

圓與圓相交得到的兩個交點(diǎn)，這兩點(diǎn)之間的線段就是兩圓的公共弦.

2、公共弦所在直線的方程

設(shè).G：（x—q）2+（y—4）2=廣

0。2：（%—+（>-伍）~=r：

聯(lián)立作差得到：不+為+。=。即為兩圓共線方程

3、公共弦長的求法

代數(shù)法：將兩圓的方程聯(lián)立，解出兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求其長.

幾何法：求出公共弦所在直線的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦長.

知識點(diǎn)05：圓系方程

1、以（。,力為圓心的同心圓圓系方程：（x—a）2+（y—b）2=2（X>0）；

2、與圓x?+y?+￡）x+Ey+R=0同心圓的圓系方程為￡+y2+Dx+￡y+2=0；

3、過直線4,r_「與圓必+丫2+。1+￡了+尸=0交點(diǎn)的圓系方程為

+oy十。一u

%2+_|_Dx+Ey+尸++By+C）—0（2G7?）

4、過兩圓G廠+y?+D]X+4〉+￡=0,圓C2：馬丁+工=o交點(diǎn)的圓系方程為

x~+y-+Z)[X++耳+4(廠+y?++E?y+工)=0(Xw—1,此時圓系不含圓C?：

/+/+。2X+馬丁+工=0)特別地，當(dāng)；l=—1時，上述方程為一次方程.

兩圓相交時，表示公共弦方程；兩圓相切時，表示公切線方程.

【題型01：判斷圓與圓的位置關(guān)系】

一、單選題

1.(24-25高二上.新疆巴音郭楞.期末)圓G：/+y2=4與圓Cz：(x+l)2+(y+2)2=9的位置關(guān)系是()

A.內(nèi)含B.內(nèi)切C.外離D.相交

2.(24-25高二上?陜西西安?期末)圓0：/+：/+2夕丫+6=0與圓6：/+/-6尤=0的位置關(guān)系是()

A.外離B.相交C.外切D.內(nèi)切

3.(24-25高二上?浙江?月考)已知圓G:(x-4)2+(y-匯=32,則以下選項(xiàng)中與圓G內(nèi)切的圓的方程為()

A.(x-2)2+(y-2)2=4B.(x-3)2+(y-3)2-18

C.(x-l)2+(y-3)2=2D.(x+l)2+(y+l)2=2

4.(24-25高二下?廣西南寧?月考)已知圓a：Y+y2=i.動點(diǎn)p在直線y=_x+4上運(yùn)動，現(xiàn)以點(diǎn)P為圓心

0

半徑為&作圓記為2，則圓。|與圓。2的位置為()

A.相離B.相交C.內(nèi)含D.相交或相切

5.(24-25高二下?上海?期中)圓q:*2+/_4y—5=0與圓色■.x2+y2+2ax+^=1的位置關(guān)系

不可能為()

A.相切B.相交C.內(nèi)含D.外離

6.(24-25高二上?吉林長春?期中)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(3,0),動點(diǎn)P(%y)滿足祐=2,

則動點(diǎn)尸的軌跡與圓(x-iy+(y-l)2=l的位置關(guān)系是()

A.相交B.外切C.相交或相切D.內(nèi)切

7.(23-24高二上?浙江?期中)已知圓G:(x-2m)2+(y-=9(租一2)與圓C?:尤?+/一8尤一8y+34=0,

則"=4”是“圓C與圓C?外切”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【題型02：由圓與圓的位置關(guān)系求參數(shù)】

一、單選題

1.(24-25高二上?北京豐臺?期末)已知圓G：f+/=1與圓C2：x2+y2-8y+〃z=0外切，貝I]相=()

A.-9B.-5C.7D.13

2.(24-25高二上?江西宜春?月考)兩圓(x-a)?+(y-Q2=02和(x-?2+(y-a)2=c2相切，則()

A.(a-b)2=c2B.(a-&)2=2c2C.(a+^)2=c2D.(a+b)2=2c2

3.(24-25高二上?貴州黔南?月考)已知圓￡:(x+M+(y-3)2=9與圓C?:，+y2一?+ioy+“z=o外離，

則機(jī)的取值范圍是()

A.(-00,29)B.(—20,+oo)

C.(-20,29)D.(-28,29)

4.(24-25高二上?貴州畢節(jié)?期末)已知圓。]：x2+y2=1,圓。?：(x+3)2+(y-a)2=16,如果這兩個圓有

公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.H，0]B.[0,4]C.[T,4]D.[2,4]

5.(24-25高二上?江蘇常州?期中)若圓尤,+丁=1上總存在兩點(diǎn)到點(diǎn)(°,2一°)的距離等于3,則實(shí)數(shù)a的取

值范圍是()

A.(l-V7,0)l(2,1+S)B.(1-^,0](2,1+77]

C.(1-+D.|^1—A/7,1+5/7J

【題型03：圓與圓相交下的公共弦問題】

一、單選題

1.（24-25高二上?安徽合肥?期末）圓（x+l>+y2=4與圓/+（y-2）2=9的公共弦所在直線的方程為（）

A.2x+y+l=OB.x+2y+l=0C.2x-y+1=0D.x-2y+l=0

2.（24-25高二上?廣東東莞?期中）已知圓G：爐+/一2工一4y一4=0與圓。2：尤2+9+4；1-10>；+4=0相交

于43兩點(diǎn)，則兩圓公共弦所在直線的方程為（）

A.3%-3丁一4=0B.3x-3y+4=0

C.x+y-3=0D.%+y+3=0

3.（24-25高二上?陜西咸陽?期末）已知圓G：尤2+丁-4=0與圓C2：x2+y2-4x+4y-12=0交于M、N兩

點(diǎn)，則|肱V|=（）

A.2>/2B.72C.2A/3D.g

4.（24-25高二上?黑龍江?期中）已知圓C:（x+iy+（y+2y=5,點(diǎn)A（2,2）,若直線A",AN分別切圓C

于N兩點(diǎn)，則直線的方程為（）

A.3x+4y+6=0B.3x+4y+7=0

C.4x+3y+6=0D.4x+3y+7=0

5.（24-25高二上?甘肅蘭州?期末）已知圓。:爐+>2=4與圓C:f+y2-4x+3=0相交于A3兩點(diǎn)，則AOAB

的面積為（）

A7萬口7萬「厲口岳

1615816

6.（24-25高二上?吉林長春?期中）已知圓C:尤2+y2_6x_8y+21=0,0為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)C為直徑的圓C'

與圓C交于A、3兩點(diǎn)，則下列結(jié)論錯誤的是（）

A.直線的方程為3x+4y-21=0B.|AB卜警

C.OA,03均與圓C相切D.四邊形C4OB的面積為4逝

【題型04：公切線的條數(shù)問題】

一、單選題

1.（24-25高二上.山東.期中）圓C：/+（>+2）2=4與圓/+,2+8%—2,+8=。的公切線的條數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

2.（24-25高二上?江蘇無錫?期中）圓丁+/一2x+4y—20=0與圓f+/+?—4y—1=0的公切線條數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

3.（23-24高二上?廣東深圳?期末）已知圓C|：f+）2-2儂+4-36=0與圓。2：/+;/_4y=0,若圓

與圓G有且僅有一條公切線，則實(shí)數(shù)機(jī)的值為（）

A.+272B.±6C.±273D.±2

4.（24-25高二下?福建福州?月考）已知圓G：4+y2=4與圓G：+（y+4了=9有兩條公切線，則實(shí)

數(shù)。的取值范圍為（）

A.（1,5）B.y』）J（5,E）

C.（-3,3）D.（-co,-3）u（3,+oo）

5.（24-25高二上?安徽?月考）與點(diǎn)尸（-1,0）的距離為2,且與點(diǎn)。（2,0）的距離為1的直線共有（）

A.1條B.2條C.3條D.4條

6.（24-25高二上?重慶?期中）若圓G：Y+y2=4與圓C2：（x-af+（y+a）2=l有公切線，則實(shí)數(shù)。的范圍

是（）

C.D.[-1,1]

【題型05：求公切線方程及長度】

一、單選題

1.（24-25高二上.湖南?月考）圓G：（x+l）2+（y+2『=l與圓Q：（x-2）?+（^-2）?=4的內(nèi)公切線長為（）

A.3B.5C.y/26D.4

二、填空題

2.（24-25高二上?廣西南寧?期中）已知圓G：（x-iy+y2=l,圓6：陋-療+^=此則兩圓公切線的方

程為.

2

3.（2024?河南?模擬預(yù)測）已知圓。：/+/+4彳-今-1=0,HC2:x+/-2x-6y+9=0,直線/分別與

圓Ci和圓G切于M,N兩點(diǎn)，則線段跖V的長度為.

4.（24-25高二上?湖南?期中）寫出與圓（x-1）,+（y-2）2=：和圓（尤-2）2+（y-1-=：都相切的一條直線方

程.

三、解答題

5.（24-25高二上?陜西西安?月考）已知動點(diǎn)P到兩定點(diǎn)4。，。）和旗3,0）的距離之比為，

⑴求動點(diǎn)尸的軌跡C1的方程；

⑵已知圓g：（x-1）2+V=i,判斷C1和C2的位置關(guān)系，并求它們的公切線方程.

【題型06：圓系方程】

一、單選題

1.(2024高二?全國?專題練習(xí))過圓C|：/+丁+6》_4=0和圓。2：/+y2+6y-28=0的交點(diǎn)，且圓心在

直線2x+y+4=。上的圓的方程為()

A.(x+l)2+(.y+2)2=25B.(X+1)2+(J；+2)2=20

C.(X-1)2+(J+6)2=25D.(X-1)2+(J+6)2=20

二、填空題

2.(23-24高二下?全國?課堂例題)圓C經(jīng)過點(diǎn)(0,1),且經(jīng)過兩圓6：/+>2-4尤_3=0和圓

C?:Y+/_4y-3=0的交點(diǎn)，則圓C的方程為.

三、解答題

3.(23-24高二上?云南玉溪?期中)已知圓C：J+(y+l)2=4.

⑴求過點(diǎn)A(3,-3)且與圓C相切的直線方程；

(2)求圓心在直線2x-y=0上，并且經(jīng)過圓C與圓。：(x-2『+(y-l)2=4的交點(diǎn)的圓的方程.

串知識識框架

外離d>(+5

外切(+弓

五種位

相交,一41vd<q+為

置關(guān)系

內(nèi)切d=kfl

內(nèi)含0Sd<|%-引

一、單選題

1.（23-24高二上?湖北武漢?月考）已知圓G：（尤-I）?+丁=1,圓C2：（x+2y+（y-l）2=4,則C1與G的位

置關(guān)系是（）

A.外切B.內(nèi)切C.外離D.相交

2.（24-25高二上?四川成者B?月考）若圓f+V-2x-5=0與圓元2+V+2x-4y-4=0相交于A、B,貝UA3

所在直線方程是（）

A.4x—4y+l=0B.4%—4y—1=0C.x+y-1=0D.x—y+l=0

3.（24-25高二下?河北石家莊?開學(xué)考試）已知圓“：（x-2）2+（y+l『=4,圓N:f+;/+2x-4y-20=0,

則這兩個圓的公切線的條數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

4.（24-25高二上?重慶榮昌?期中）已知圓4：（彳-1）2+（丫-。）2=18與圓。2：（%-4+3-1）2=2有且僅有一

條公共切線，則實(shí)數(shù)。的值為（）

A.3B.2C.2或-1D.3或—1

5.（23-24高二上?安徽宿州期中）若圓（7:（彳-1）2+（丁_,療=4與圓O:/+y=9有公共點(diǎn)，則優(yōu)的取值范

圍是（）

A.[-276,276]B.[TC,4括]

C.卜2跖2"）D.[276,2742]1[-2屈,2伺

6.（24-25高二上?江西新余?月考）已知圓反:Y+V=1與圓&：爐+y-2無+2y+尸=0（尸＜2）相交所得的

公共弦長為則圓。2的半徑，=（）

A.1B.石C.火或1D.垂

7.（23-24高二下?黑龍江鶴崗?開學(xué)考試）圓心在直線x-y-4=0上，且經(jīng)過兩圓f+丁+6苫-4=0和

f+y2+6y-28=0的交點(diǎn)的圓的方程為（）

A.x~+y~—x+7y—32=0B.爐+、~-x+7y-16=0

C.x2+y2-4x+4y-9=0D.x2+y2-4x+4y-8=0

8.（24-25高二上?山東,期中）已知圓G:+y?—2x+僅y+1=0（機(jī)eR）關(guān)于直線尤+2y+1=。對稱，圓C?的

標(biāo)準(zhǔn)方程是（尤+2）2+（y-3）2=16,則圓G與圓G的位置關(guān)系是（）

A.外離B.外切C.相交D.內(nèi)含

9.（23-24高二上?河北石家莊?期中）若直線'=x+a與圓G:/+V=4及圓C?:/+V-4尤=。共有3個公

共點(diǎn)，則所有符合條件的。的和為（）

A.0B.2月C.-6D.-4

二、多選題

10.（24-25高二上?江蘇揚(yáng)州?期末）已知圓a：（x-3y+（y-4）2=16與圓Q：x2+y2=/（r>。），下列選項(xiàng)

正確的有（）

A.若廠=1,則兩圓外切

B.若「=1,則直線x=-l為兩圓的一條公切線

C.若r=3,則兩圓公共弦