劍橋數(shù)學(xué)競賽試題詳解與備考建議一、選擇題（共5題，每題4分）題目1.若復(fù)數(shù)\(z=1+i\)，則\(z^4\)的實(shí)部為多少？A.0B.1C.2D.42.函數(shù)\(f(x)=x^3-3x+2\)的實(shí)數(shù)根個(gè)數(shù)是？A.0B.1C.2D.33.圓\(x^2+y^2=1\)與直線\(y=x+1\)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為？A.0B.1C.2D.無數(shù)4.設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為3，公差為2，第n項(xiàng)為17，則n的值為？A.7B.8C.9D.105.不等式\(|x-1|<2\)的解集為？A.\((-1,3)\)B.\((0,2)\)C.\((-1,3)\)D.\((1,3)\)答案與解析1.答案：C解析：\(z=1+i\)，則\(z^2=(1+i)^2=1+2i-1=2i\)，\(z^4=(z^2)^2=(2i)^2=-4\)，實(shí)部為-4，選項(xiàng)無-4，需重新檢查題目或選項(xiàng)設(shè)置。2.答案：D解析：\(f(x)=x^3-3x+2\)，求導(dǎo)\(f'(x)=3x^2-3\)，令\(f'(x)=0\)，得\(x^2=1\)，即\(x=\pm1\)，\(f(1)=0\)，\(f(-1)=-1\)，\(f(x)\)在\(x=-1\)處由減到增，在\(x=1\)處由增到減，\(f(-1)\to-\infty\)，\(f(1)=0\)，\(f(x)\)在\(x=1\)處有根，且在\(x=-1\)處由減到增，有另一根，實(shí)數(shù)根個(gè)數(shù)為3。3.答案：C解析：聯(lián)立\(x^2+y^2=1\)和\(y=x+1\)，代入得\(x^2+(x+1)^2=1\)，\(x^2+x^2+2x+1=1\)，\(2x^2+2x=0\)，\(x(x+1)=0\)，\(x=0\)或\(x=-1\)，對應(yīng)\(y=1\)或\(y=0\)，交點(diǎn)為\((0,1)\)和\((-1,0)\)，共2個(gè)。4.答案：A解析：等差數(shù)列第n項(xiàng)公式\(a_n=a_1+(n-1)d\)，\(17=3+(n-1)\cdot2\)，\(14=2(n-1)\)，\(n-1=7\)，\(n=8\)，驗(yàn)算：第8項(xiàng)\(3+7\cdot2=17\)，正確。5.答案：A解析：\(|x-1|<2\)，即\(-2<x-1<2\)，\(-1<x<3\)，解集為\((-1,3)\)。二、填空題（共5題，每題5分）題目1.若\(\sin\theta=\frac{3}{5}\)，且\(\theta\)在第二象限，則\(\cos\theta\)的值為？2.拋擲兩個(gè)六面骰子，點(diǎn)數(shù)之和為7的概率為？3.分解因式：\(x^2-5x+6\)等于？4.設(shè)\(a=\log_28\)，則\(a\)的值為？5.在直角三角形中，兩直角邊長分別為3和4，斜邊上的高為？答案與解析1.答案：-4/5解析：\(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\)，\(\left(\frac{3}{5}\right)^2+\cos^2\theta=1\)，\(\cos^2\theta=\frac{16}{25}\)，\(\cos\theta=\pm\frac{4}{5}\)，\(\theta\)在第二象限，\(\cos\theta<0\)，\(\cos\theta=-\frac{4}{5}\)。2.答案：1/6解析：點(diǎn)數(shù)和為7的組合有：(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)，共6種，總組合數(shù)\(6\times6=36\)，概率\(\frac{6}{36}=\frac{1}{6}\)。3.答案：\((x-2)(x-3)\)解析：\(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\)，展開驗(yàn)證：\(x^2-5x+6=x^2-5x+6\)，正確。4.答案：3解析：\(a=\log_28\)，即\(2^a=8\)，\(2^a=2^3\)，\(a=3\)。5.答案：2.4解析：斜邊\(c=\sqrt{3^2+4^2}=5\)，斜邊上的高\(yùn)(h=\frac{3\cdot4}{5}=\frac{12}{5}=2.4\)。三、解答題（共3題，每題10分）題目1.求函數(shù)\(f(x)=x^2-4x+3\)的頂點(diǎn)坐標(biāo)和單調(diào)區(qū)間。2.解方程組：\(\begin{cases}2x+3y=8\\3x-2y=1\end{cases}\)3.證明：對于任意實(shí)數(shù)\(x\)，不等式\(x^2+1\geq2x\)恒成立。答案與解析1.答案頂點(diǎn)坐標(biāo)：\(f(x)=x^2-4x+3\)，頂點(diǎn)\(x=-\frac{2a}=\frac{4}{2}=2\)，\(f(2)=2^2-4\cdot2+3=-1\)，頂點(diǎn)為\((2,-1)\)。單調(diào)區(qū)間：函數(shù)圖像為拋物線開口向上，在\((-\infty,2]\)單調(diào)遞減，在\([2,+\infty)\)單調(diào)遞增。2.答案解方程組：\(2x+3y=8\)，①\(3x-2y=1\)，②①乘3，②乘2：\(6x+9y=24\)，③\(6x-4y=2\)，④③減④：\(13y=22\)，\(y=\frac{22}{13}\)，代入①：\(2x+3\cdot\frac{22}{13}=8\)，\(2x=\frac{104}{13}-\frac{66}{13}=\frac{38}{13}\)，\(x=\frac{19}{13}\)，解為\(\left(\frac{19}{13},\frac{22}{13}\right)\)。3.答案證明不等式\(x^2+1\geq2x\)：左右移項(xiàng)：\(x^2-2x+1\geq0\)，\((x-1)^2\geq0\)，平方數(shù)恒非負(fù)，等號成立當(dāng)\(x=1\)，故不等式恒成立。備考建議1