1.2定義與命題

第1章

三角形的初步認(rèn)識(shí)浙教版2024·八年級(jí)上冊(cè)學(xué)

習(xí)

目

標(biāo)精準(zhǔn)掌握數(shù)學(xué)定義學(xué)會(huì)識(shí)別并規(guī)范表述定義，能用清晰語(yǔ)言描述數(shù)學(xué)對(duì)象的核心特征區(qū)分命題與非命題，分析結(jié)構(gòu)能判斷語(yǔ)句是否為命題（必須有可判斷真假的陳述句）。改寫(xiě)技巧：將命題規(guī)范表述為“如果…那么…”形式掌握判斷真假命題的方法真命題：用定義、定理、公式進(jìn)行邏輯證明（如“三角形內(nèi)角和為180°”）假命題：通過(guò)構(gòu)造反例推翻課堂引入活動(dòng)名稱(chēng)：“猜猜我是誰(shuí)”情境游戲：猜猜我是誰(shuí)“它是一種長(zhǎng)方形物體，能發(fā)光、發(fā)聲，人們用它來(lái)通訊、娛樂(lè)..”平板！遙控器！電視機(jī)！電腦！思考：為什么大家的答案不一致?如何描述才能準(zhǔn)確唯一確定對(duì)象?新知探究活動(dòng)探究：小組合作，為“平行四邊形“下定義。1.觀察下面圖形，分組討論哪些是平行四邊形?平行四邊形有什么特征？2.哪些特征能唯一確定平行四邊形？定義：“兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫平行四邊形”知識(shí)點(diǎn)：人們?cè)谶M(jìn)行交流、溝通時(shí)常需要應(yīng)用許多名稱(chēng)和術(shù)語(yǔ)。為了不產(chǎn)生歧義,對(duì)這些名稱(chēng)和術(shù)語(yǔ)的含義必須有明確的規(guī)定。一般地,能明確說(shuō)明某一名稱(chēng)或術(shù)語(yǔ)的意義的句子,叫作該名稱(chēng)或術(shù)語(yǔ)的定義。做一做（教材母題）說(shuō)出下列數(shù)學(xué)名詞的定義（1）無(wú)理數(shù)（2）直角三角形（3）角平分線（4）平方根解：（1）無(wú)理數(shù)：無(wú)限不循環(huán)小數(shù)叫做無(wú)理數(shù)；（2）直角三角形是指其中一個(gè)內(nèi)角是直角（即90度角）的三角形；（3）從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，將這個(gè)角分成兩個(gè)大小相等的角的一條射線；（4）如果一個(gè)數(shù)的平方等于a，那么這個(gè)數(shù)就叫做a的平方根。新知探究活動(dòng)探究：老師說(shuō)出以下6個(gè)語(yǔ)句，認(rèn)為是命題的同學(xué)舉起左手，認(rèn)為不是命題的同學(xué)舉起右手。①畫(huà)∠AOB的平分線②對(duì)頂角相等嗎？③直角都相等④如果a2=b2,那么a=b⑤延長(zhǎng)線段AB⑥長(zhǎng)方形的四個(gè)角都是直角那我們應(yīng)該怎么判斷語(yǔ)句是否為命題呢？新知概況思考：如何判斷一個(gè)語(yǔ)句是否為命題？命題的定義是什么？一般地,判斷某一件事情的句子叫作命題；我們?cè)跀?shù)學(xué)上學(xué)習(xí)的命題一般由條件和結(jié)論兩部分組成。條件是已知事項(xiàng),結(jié)論是由已知事項(xiàng)得到的事項(xiàng)。這樣的命題可以寫(xiě)成“如果……那么……”的形式,其中以“如果”開(kāi)始的部分是條件“那么”后面的部分是結(jié)論么同位角相等”小組活動(dòng)：判斷是否為命題1.三角形的內(nèi)角和180°2.你的頭發(fā)真長(zhǎng)啊3.2+3=54.請(qǐng)把窗戶(hù)關(guān)上典例分析例1下面語(yǔ)句哪些是命題，哪些不是命題，說(shuō)出理由。（1）直角三角形的兩個(gè)銳角互余；（2）正數(shù)都大于0；（3）如果∠1+∠2=180°，那么∠1與∠2互補(bǔ)；（4）太陽(yáng)不是行星；（5）對(duì)頂角相等嗎？（6）作一個(gè)角等于已知角；注意：判斷一個(gè)語(yǔ)句是否為命題需要注意以下兩點(diǎn)①必須為陳述句②必須有明確的真值（即能判斷真假）思路點(diǎn)撥：判斷一件事情的語(yǔ)句，叫做命題；命題是有個(gè)能進(jìn)行判斷的語(yǔ)句，必須是陳述句。解析：（1）（2）（3）是命題，它們都能對(duì)事情作出肯定的判斷；（4）是命題，它對(duì)事情作出否定的判斷；（5）不是命題，它表示疑問(wèn)；（6）不是命題，它只是描述一個(gè)作圖過(guò)程，不含判斷意思。典例分析例2（教材母題）指出下列命題的條件和結(jié)論,并改寫(xiě)成“如果…那么……”的形式（1）等底等高的兩個(gè)三角形面積相等:（2）對(duì)頂角相等；（3）同位角相等,兩直線平行。注意：需要正確寫(xiě)成命題的條件和結(jié)論解析：（1）這個(gè)命題的條件是“兩個(gè)三角形有一條邊和這條邊上的高線對(duì)應(yīng)相等”,結(jié)論是“這兩個(gè)三角形的面積相等”。可以改寫(xiě)成:“如果兩個(gè)三角形有一條邊和這條邊上的高線對(duì)應(yīng)相等,那么這兩個(gè)三角形的面積相等。”（2）這個(gè)命題的條件是“兩個(gè)角是對(duì)頂角”,結(jié)論是“這兩個(gè)角相等”可以改寫(xiě)成:“如果兩個(gè)角是對(duì)頂角,那么這兩個(gè)角相等。”（3）這個(gè)命題的條件是“兩條直線被第三條直線所截得的同位角相等”結(jié)論是“這兩條直線平行”。可以改寫(xiě)成:“如果兩條直線被第三條直線所截得的同位角相等,那么這兩條直線平行。”變式訓(xùn)練下面語(yǔ)句是命題的有

（填序號(hào)）①你的判斷正確嗎？②長(zhǎng)方形的四個(gè)角都是直角。③古樸厚重的建筑。④2與3的的等于4⑤如果a=b，b=c，則a=c①三角形的三條中線都在三角形內(nèi)。②三角形的三條中線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)叫做三角形的重心②④⑤解：①是疑問(wèn)句，所以不是命題；②是命題；③不能進(jìn)行判斷，所以不是命題；④是命題；⑤是命題注意：看是否為命題只需要看是否為陳述句，是否能進(jìn)行判斷，至于結(jié)果是真還是假則不需要看變式訓(xùn)練三角形的中線將三角形分成面積相等的兩個(gè)三角形將下面的命題改寫(xiě)成“如果......,那么......”的形式，并指出題設(shè)和結(jié)論．（1）兩直線平行，同位角相等；（2）兩點(diǎn)確定一條直線；解：（1）如果兩平行線被第三條直線所截，那么同位角相等；題設(shè)：兩平行線被第三條直線所截，結(jié)論：那么同位角相等；（2）如果過(guò)已知兩點(diǎn)畫(huà)直線，那么有且只能畫(huà)一條直線；題設(shè)：如果過(guò)已知兩點(diǎn)畫(huà)直線，結(jié)論：有且只能畫(huà)一條直線；新知探究判斷下面命題是正確的還是錯(cuò)誤的，如果錯(cuò)誤，請(qǐng)舉出反例。①同位角相等，兩直線平行；②相等的角是內(nèi)錯(cuò)角；③如果|a|=|b|,那么a=b；④兩個(gè)銳角互余。解：①正確；②錯(cuò)誤，反例：對(duì)頂角相等，但不是內(nèi)錯(cuò)角；③錯(cuò)誤，反例：|2|=|-2|，但2≠-2④錯(cuò)誤，反例：30°+20°=50°，不互余。正確的命題稱(chēng)為真命題;不正確的命題稱(chēng)為假命題。要判定一個(gè)命題是真命題,常常通過(guò)推理的方式,即根據(jù)已知事實(shí)來(lái)推斷未知事實(shí);也有一些命題是人們經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期實(shí)踐,公認(rèn)為正確的。典例分析例3

請(qǐng)指出下列命題的條件和結(jié)論，并判斷它們的真假（1）如果兩個(gè)角是直角，那么這兩個(gè)角相等；（2）絕對(duì)值相等的兩個(gè)數(shù)相等；（3）兩個(gè)鈍角的和一定大于180°。解：（1）條件為兩個(gè)角是直角；結(jié)論為這兩個(gè)角相等直角為90°，故原命題是真命題；（2）條件為兩個(gè)數(shù)絕對(duì)值相等；結(jié)論為這兩個(gè)數(shù)相等絕對(duì)值相等的兩個(gè)數(shù)，還可以互為相反數(shù)，不一定相等，故原命題是假命題;（3）條件為兩個(gè)角是鈍角；結(jié)論為這兩個(gè)角的和一定大于180°；鈍角大于90，故兩個(gè)鈍角的和一定大于180°，故原命題是真命題。要說(shuō)明一個(gè)命題是假命題,通常可以用舉反例的方法。命題的反例是指具備命題的條件,但不具備命題的結(jié)論的實(shí)例。新知探究用推理的方法判斷為正確的命題叫作定理。定理也可以作為判斷其他命題真假的依據(jù)。例如,前面我們已經(jīng)學(xué)過(guò)的“對(duì)頂角相等”“三角形的任意兩邊之和大于第三邊”“兩條直線被第三條直線所截,如果內(nèi)錯(cuò)角相等,那么這兩條直線平行”等都是定理。提分筆記定義和定理的區(qū)別定義：對(duì)事物或概念的內(nèi)涵和外延進(jìn)行確切而簡(jiǎn)要的說(shuō)明，它揭示了事物的本質(zhì)特征；定理：在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上，通過(guò)邏輯推理證明為正確的命題，它可以作為進(jìn)一步推理的依據(jù)。課堂練習(xí)1．下列命題是真命題的是（

）A．兩條直線被第三條直線所截，同位角相等B．同一平面內(nèi)，如果兩條直線不相交，那么它們就一定平行C．如果兩個(gè)角的兩條邊分別垂直，那么這兩個(gè)角一定相等D．經(jīng)過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線垂直于已知直線解：A.兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等，原命題是假命題，不符合題意；B.同一平面內(nèi)，如果兩條直線不相交，那么它們就一定平行，原命題是真命題，符合題意；C.如果兩個(gè)角的兩條邊分別垂直，那么這兩個(gè)角一定相等或互補(bǔ)，原命題是假命題，不符合題意；D.在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直，原命題是假命題，不符合題意；判斷命題是真命題還是假命題，最有利的方法是列舉反例進(jìn)行說(shuō)明即可課堂練習(xí)2．下列語(yǔ)句哪個(gè)是真命題（

）A．a(chǎn)，b，c是直線，若a∥b，b∥c，則a∥cB．a(chǎn)，b，c是直線，若a⊥b，b⊥c，則a⊥cC．過(guò)一點(diǎn)作直線l的垂線D．兩個(gè)銳角的和是鈍角解：a，b，c是直線，若a∥b，b∥c，則a∥c，則，故A是真命題；在同一平面內(nèi)，a，b，c是三條直線，若a⊥b，b⊥c，則a⊥c,故B是假命題；過(guò)一點(diǎn)作直線l的垂線，不是命題，故C是假命題；兩個(gè)銳角的和不一定是鈍角，故D是假命題，解題思路：分別根據(jù)平行公理，平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系，垂直的含義，銳角，鈍角的定義，根據(jù)基礎(chǔ)概念再逐一分析判斷即可．課堂練習(xí)3．如圖，已知直線AB、CD，連接AD、BC，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，連接EF，現(xiàn)在有以下選項(xiàng)：①∠1+∠2=180°；②∠3=∠A；③AB∥CD。（1）請(qǐng)你以①②為題設(shè)，③為結(jié)論，用“如果......那么......”的形式寫(xiě)出這個(gè)命題（2）判斷（1）中所寫(xiě)命題的真假，若為真命題，則說(shuō)明理由；若為假命題，則舉反例。解：（1）如果∠1+∠2=180°，∠3=∠A，那么AB∥CD（2）證明：該命題為真命題，理由如下：∵∠1+∠2=180°，∴AD∥EF，∴∠3=∠D，∵∠3=∠A，∴∠A=∠D∴AB∥CD課堂練習(xí)4．請(qǐng)將下列命題改寫(xiě)成“如果……，那么……”的形式，再指出命題的條件和結(jié)論．(1)同號(hào)兩數(shù)的和一定不是負(fù)數(shù)；(2)若x=2，則1-5x=0；(3)互為倒數(shù)的兩個(gè)數(shù)的積為1．（1）解：如果兩個(gè)數(shù)是同號(hào)，那么這兩個(gè)數(shù)的和一定不是負(fù)數(shù)．條件是兩個(gè)數(shù)是同號(hào)，結(jié)論是這兩個(gè)數(shù)的和一定不是負(fù)數(shù)；（2）解：如果x=2，那么1-5x=0．條件是x=2，結(jié)論是1-5x=0；（3）解：如果兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)，那么這兩個(gè)數(shù)的積為1．條件是兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)，結(jié)論是這兩個(gè)數(shù)的積為1．課堂練習(xí)5．指出下列命題的題設(shè)和結(jié)論，并判斷它們是正確的還是錯(cuò)誤的．如果是錯(cuò)誤的，舉出一個(gè)反例．(1)兩個(gè)負(fù)數(shù)之和仍為負(fù)數(shù)；(2)一個(gè)鈍角與一個(gè)銳角的差是銳角．（1）解：題設(shè)：兩個(gè)數(shù)都是負(fù)數(shù)；結(jié)論：和為負(fù)數(shù)．正確；（2）解：題設(shè)：兩個(gè)角是一個(gè)鈍角和一個(gè)銳角；結(jié)論：這兩個(gè)角的差是銳角．錯(cuò)誤；反例：100°和5°（不唯一）．課堂練習(xí)6．如圖所示，若DE∥BC，∠1=∠3，∠CDF=90°（1）求證：FG⊥AB（2）若把原題設(shè)中“DE∥BC”與結(jié)論“FG⊥AB”對(duì)調(diào)，所得命題是真命題嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由。解：（1）證明：∵DE∥BC，∴∠1=∠2∵∠1=∠3，∠CDF=90°，∴∠2=∠3,∴DC∥FG，∴∠BFG=∠CDF=90°，∴FG⊥AB（2）是真命題，理由：∵FG⊥AB，∠CDF=90°∴∠BFG=90°=∠CDF，∴DC∥FG，∴∠2=∠3，∵∠1=∠3，∴∠1=∠2，∴DE∥BC課堂練習(xí)7．如圖，如果∠1=∠2，那么AB∥CD，判斷這個(gè)命題的真假．若是真命題，則寫(xiě)出推理的根據(jù)；若是假命題，則添加一個(gè)條件，使該命題成為真命題，并給予證明．解：假命題，添加BE∥DF，理由如下∵BE∥DF，∴∠EBD=∠FDN，∵∠1=∠2，∴∠EBD-∠1=∠FDN-∠2∴∠ABD=∠CDN，∴AB∥CD課堂小結(jié)命題一般由條件和結(jié)論兩部分組成。條件是已知事