第02講平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示

目錄

oi?？碱}型過(guò)關(guān)練

題型01對(duì)基向量概念的理解

題型02用基底表示向量重

題型03利用平面向量基本定理求參數(shù)目

題型04平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

題型05向量共線的坐標(biāo)表示

02核心突破提升練

03真題溯源通關(guān)練

1/24

01

?？碱}型過(guò)關(guān)練

敗型

I.若冢，晟是平面內(nèi)一組不共線的向量，則下列各組向量中，不能作為平面內(nèi)所有向展的一組基底的是（）

—?一.

A.。與馬一生B.q+2%與204-e2

C.《一2。2與61+26D.6q-3e2與。2-2。

【答案】D

【分析】分別驗(yàn)證四個(gè)選項(xiàng)中的兩向量是否共線即可選出正確答案.

【詳解】因?yàn)?是平面內(nèi)一組不共線的向量，

設(shè)4-當(dāng)二屬，無(wú)解，，能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

設(shè)0+2可=/1（2召+當(dāng)），則2,無(wú)解，不平行，能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤;

2=2

（/=]

設(shè)0+22=/1（4-2瓦），則,?，無(wú)解，能作為平面內(nèi)所有向量的?組基底，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

[2=-2/t

6泉-3]=-312-24）,回-34//（%-四），不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底，D選項(xiàng)正確；

故選：D.

2.（多選）設(shè)忖2｝是平面內(nèi)一個(gè)基底，則下列四組基底中，能作為基底的有（）

A.q-&與q+sB.2e}+3e2與-4e)-6e2

I—?—*.-.

C.et+2e22e}-e2D.—q+3e2與-q+6e2

【答案】ACD

【分析】根據(jù)向最共線分別判斷各個(gè)選項(xiàng)即可得出基底.

【詳解】選項(xiàng)A,假設(shè)與1+1共線，則存在實(shí)數(shù)A,使得￡-[=%（[+可，即（1-〃居-（l+k）3=0,

——\\—k=0———一

因?yàn)閝，/是基底，所以1+A=O無(wú)解，所以“與q+與不共線，可以作為基底.

選項(xiàng)B,因?yàn)?461=-2僅1+3動(dòng)，所以W+3^與-41-61共線，不能作為基底.

2/24

選項(xiàng)C,假設(shè)1+21與國(guó)至共線，則存在實(shí)數(shù)“，使得鼻+21=乂2M-司，即（1-2〃居+（2+%運(yùn)=0,

因?yàn)椤?，華是基底，所以[+%=（）無(wú)解，所以q+2.與陽(yáng)-6不共線，可以作為基底.

選項(xiàng)D,假設(shè);1+31與-1+61共線，則存在實(shí)數(shù)上使得;1+3[=MV+6動(dòng)，即

（g+，Z+（3-6〃）I=。，

一一一+k=0I——一一

因?yàn)楣?，弓是基底，所?無(wú)解.，所以彳與-q+6e2不共線，可以作為基底.

3-6k=0~

故選：ACD.

3.（多選）已知向量5不共線，則下列能作為平面向量的一個(gè)基底的有（）

A.{“+&2。+加}B.[2a-b,-2a+b^

C.{3a,a+2?D.卜/-5,3"25}

【答案】ACD

【分析】通過(guò)判斷向量是否共線艮J可得解.

【詳解】對(duì)于A,令4+B=刈24+區(qū)）,％cR,即〃+坂=224+",4€R,

[1=22

所以?,口無(wú)解，

1=X

故向量G+5與%+B不共線，能作為平面向量的一個(gè)基底，A正確：

對(duì)于B,因?yàn)?）-3=-（-22+可，即向量垢-5與-2—+石共線，故不能作為平面向量的一個(gè)基底；B錯(cuò)誤;

對(duì)「C,^3a=A（a+26）,2eR,即=花+24,4eR,

3=2

所以八一二無(wú)解，

0=2/1

故向量立與￡+2成不共線，能作為平面向量的一個(gè)基底，C正確；

對(duì)于D,令白一行=一力R,即4-坂=32”一223％￡R,

[1=32

所以??=無(wú)解，

故問(wèn)量々一了與應(yīng)一2否不共線，能作為平面向量的一個(gè)基底，D正確

故選：ACD.

4.下列各組向量中，可以作為基底的是（）

3/24

底表示而正確的是（）

一I-I-一2-1-

A.BE=±a」bB.BE=-a+-b

3255

C.BE=-a^-bD.阮=匕+”

5523

【答案】C

【分析】由已知可得屈=肪=例+次，進(jìn)而可得詼蘭而利用三點(diǎn)共線可求得％=:進(jìn)

而利用向量的線性運(yùn)算可求得BE.

【詳解】因?yàn)槎?/，所以（%=4。?+:。仁，又因?yàn)椤?，瓦力三點(diǎn)共線，

22

所以設(shè)詼=28J麗+《反，又礪二2礪，所以麗說(shuō)，

所以方學(xué)說(shuō)+5］，又”（三點(diǎn)共線，所以與+g=l,解得義=?

所以礪/麗+51，

所以麗=而+礪=協(xié)二而+，而-網(wǎng)=1麗+2而=4+2尻

555555

故選：C.

7.在平行四邊形相。。中，而=3而，麗=5肪，記數(shù)=不，而=B，貝I加=（）.

3-5-5-7-

A.—aHbB.—a---b

412612

5.713-7工

C.—a+—bD.—a---b

612412

【答案】B

【分析】根據(jù)己知及向量加減、數(shù)乘的幾何意義用而=G，而=B表示出麗.

【詳解】由題設(shè)麗=礪+麗方+,而，其中3麗=3（荏一］萬(wàn)）,

4666'7

故加=與+

4

5/24

故選：B

8.如圖，平行四邊形中，點(diǎn)￡是力8的中點(diǎn)，方="而，前=；前,設(shè)赤=八AD=b-

⑵若同=W=2,/BAD=60,求/PEG的余弦值.

【答案】⑴麗=系-；1，的

力5回

11J----------

133

【分析】（1）結(jié)合圖形，利用平面向量的線性運(yùn)算即可求解;

（2）先根據(jù)平面向量模的求法及向量數(shù)量積的運(yùn)算法則求出|而|EG|：再根據(jù)向量夾角的求法即可求

解.

【詳解】（1）由平行四邊形性質(zhì)可得：BC=AD.

因?yàn)辄c(diǎn)石是48的中點(diǎn)，

所以版=三方=21和

2

乂因?yàn)榉?='1萬(wàn)，BG=-BC,

33

———?—I一I-I

所以EF=4尸一/七=一/0——AB=-b一一G,

3232

EG=EB+BG=-AB+-BC=-AB+-~AD=-a+-b.

232323

（2）因?yàn)橥?|可=2,/84。=6。°，

-1

所以/=戶=4，a-b=\a\\b\cos60=2x2x-=2.

6/24

所以

（產(chǎn)司僥+/）京亨Q_5前

EFEG

cos"EG=

\EF\\EG\~V7M一直又曬—133

I而II蕩IX

3---3-------9

電型I利用平面向量基本定理求參數(shù)

9.在V48c中，。是8c邊上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)，E是力。的中點(diǎn)，若赤=之方+〃Z，則22+〃()

I2

A.0B.-C.-D.I

33

【答案】C

【分析】選?組基底。瓦衣｝,利用平面向量基本定理即可求解.

【詳解】

因?yàn)椤Ｊ?C邊上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)，E是的中點(diǎn)，

所以瓦=■!■刀=■!■(覺(jué)+晶)=，比一一萬(wàn)+%)—，元=—!■而一，%,

22、1626tf263

所以萬(wàn)=/1荔+〃/=_瓦=」而+，就，

63

因?yàn)椋菔?力。不共線,所以4=7〃=彳,24+4=彳.

633

故選：C.

10.在d48。中，B云=，好=*麗+,點(diǎn)、P為AE與BF的交點(diǎn),亦=義方+〃就，則兄+〃=()

A.0B.—C.—D.一

424

【答案】D

【分析】利用平面向量基本定理得到方=。-左)荔+；左就，AP=^mAC+^mAB,從而列出方程組，求

7/24

出叫A,得到兒",求出答案.

【詳解】因?yàn)槎?；（初+旅），所以尸為力C中點(diǎn)，

B,P,廠三點(diǎn)共線，故可設(shè)而=攵而，即萬(wàn)-方=%（酢-荔卜

整理得萬(wàn)=左方+(1—2)而=(1一%)刀+；左就，

因?yàn)?所以4笈一,48=2dC—2,4E,GPAE=-AC+-AB,

22233

又4P,E三點(diǎn)共線,

1—1——2—

則AP=mAE=m-AC+-tnAC+-mAB

1333

]_

2

所以解得

—1—1—113

可得力尸=一力8+—/。，則2=—，//=-,2+//=-.

24244

故選：D.

11.如圖，在平行四邊形48CQ中，對(duì)角線4C與3。相交于點(diǎn)0,G為△O/2的重心，若怒=x而+y而,

則I-k()

【答案】A

【分析】根據(jù)已知條件得出向量之間的關(guān)系，再通過(guò)向量的運(yùn)算法則逐步推導(dǎo)出而關(guān)于劉和力的表達(dá)式,

從而確定人和y的值，最后計(jì)算人」兒

【詳解】如圖，延長(zhǎng)力G與4。相交于點(diǎn)￡■,可得E為（用的中點(diǎn)，可得DE=3EB,

由方萬(wàn)=3而，有赤_而=3（益_荏），有方=2而+!五5,

44

又由前=2詼=31^方+；通］=，荔+工通，

33\44/26

*-11-r伯111

有i=7，y==，可得工一了=彳_工=彳.

26263

8/24

故選：A.

12.平行四邊形48co中，E為CZ)中點(diǎn)，/C與8。交于O,記厲=3,礪=幾通=壇+證，則個(gè)=()

A.2B.—C.—D.—2

44

【答案】B

【分析】本題根據(jù)平面向量加減與數(shù)乘運(yùn)算結(jié)合平面向量基本定理即可得解.

【詳解】由題意得力E=2力。+力。=2(。。+。。)+/。+。。=-±d一士方，

2222

..313

所cr以x=-'，y=~2f盯=1.

故選:B.

13.在a/lA。中，點(diǎn)E、尸滿足荏=4荏，/=〃配(2>0,〃>0),點(diǎn)。滿足麗=：成，G為的中

31

點(diǎn)，且E、尸、G三點(diǎn)共線，則彳+—=

【答案】8

【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算和平面向量基本定理，使用基地表示出各向量，根據(jù)向量關(guān)系列出參數(shù)

的方程，求出參數(shù)關(guān)系.

【詳解】因?yàn)辂?,反，所以而=,而，則而-刀二」式一刀)，

344、,

——3—1——

所以，AD=-AB+-AC,

44

因?yàn)镚為力O的中點(diǎn)，故就=；而=](=而+[同=[刀*玄.

又因?yàn)槠?、F、G三點(diǎn)共線，則訪〃而，

所以,存在mwR,使得而=旭麗,AG-AE=m[AF-AE^t

9/24

所以AG=(\-m^AE^mAF=(\-m^ZAB-￥m/riAC,

3

(1-m)A=-

又因?yàn)楣?]而+：%，且布、

衣不共線，所以

881

mfj=-

3I3

所以‘薪+奴=(j〃H〃?二L故丁丁8.

故答案為：8.

散型IL04平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

14.已知點(diǎn)40,2),點(diǎn)8(2,3),則萬(wàn)=()

A.(3,5)B.(U)C.(-U)D.(4,3)

【答案】B

【分析】根據(jù)給定條件，利用向量的坐標(biāo)表示求解.

【詳解】點(diǎn)4。,2),點(diǎn)8(2,3),則存=(2,3)-(1,2)=(1,1).

故選：B

15.如果用F,J分別表示x軸和)，軸正方向上的單位向量，且小：2,3),8(3,〃?)，若方=7-2]，則〃?=()

A.-1B.1C.5D.-5

【答案】B

【分析】利用向量的坐標(biāo)表示求解即得.

【詳解】由4(2,3),8(3,m),得益=(1,切—3),由劉=7—2],得布=(1,一2),

因此機(jī)—3=-2,所以〃?=1.

故選：B

16.已知a=(5,—2),3=(―4,—3),c=(x,y),若q—2B+3c=0,貝Uc等于()

A?b(13T公B.闖。8、C.1<138)D.另<144]

【答案】A

【分析】根據(jù)向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示求解即可.

【詳解】由題意得-2右-(&6),3)-(3X,3F),

10/24

因?yàn)?一2行+3c=6,

13

x=----j

5+8+3尤=0,3

所以

-2+6+3y=0=4

痂-I134]

故選：A.

17.已知￡=(4,2),3=(6,①，旦￡/區(qū)，則32+4月的坐標(biāo)為()

A.(36,18)B.(36,-42)C.(18,36)D.(-42,36)

【答案】A

【分析】根據(jù)題意，利用共線向量的坐標(biāo)表示,求得y=3,結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求解.

【詳解】由向量a=(4,2),5=(6,y),因?yàn)榭傻?y=6x2,解得y=3,

即Z=(4,2),5=(6,3),所以。+4石=3?(4,2)+4.(6,3)=(36,18).

故選：A.

18.如圖，扇形的半徑為1,圓心角N84C=150。，點(diǎn)。在弧8c上運(yùn)動(dòng)，且萬(wàn)=2方+〃衣，則VLl-〃的

【答案】A

【分析】以所在直線為x軸建立坐標(biāo)系，根據(jù)三角函數(shù)定義，寫(xiě)出P的坐標(biāo)(cosa,sina),用三角函數(shù)表

示出參數(shù)，進(jìn)而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)的值域，即可求得結(jié)果.

【詳解】以48所在直線為x軸，A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示直角坐標(biāo)系：

11/24

設(shè)N48=a,則根據(jù)三角函數(shù)定義，P(cosa,sina),且a40。,150。］,

同時(shí)力(0,0),8(1,0),C—,由4P=2力4+〃力?？傻?

(GA

sina=；〃,

(cosa,sina)=4(l,0)+〃------,—也即coscr=2-—〃,

<222

則“二2sina，4=JJsina+cosa，

則M入-N=3sina+\/5cosa-2sina=sincr+75cosa=2sin(a+60°),ae[0°,150°],

則°+60。?60。,210。],sin(a+69°)G-pl,故2疝(0+60。)€卜1,2],

也即JLl-〃的最大值為2.

故選：A.

19.已知平面向量a=(1,T),B=(T,2),貝I」2￡+5=

【答案】(1,0)

【分析】根據(jù)向量加法的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算即可得解.

【詳解】2a+^=2(l,-1)+(-1,2)=(1,0).

故答案為：(1,0)

20.已知4(2,3),8(4,-3)，點(diǎn)尸在線段48的延長(zhǎng)線上,且|"|=3網(wǎng),則點(diǎn)尸的坐標(biāo)為

【答案】(5,-6)

【分析】設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(x,y),依題意可得萬(wàn)=-3而，即可得到方程組,解得即可;

【詳解】點(diǎn)力(2,3),8(4,-3),點(diǎn)尸在線段48的延長(zhǎng)線上，且黑=3,

設(shè)點(diǎn)，的坐標(biāo)為(”)，則彳＞二(%一2)-3),PB=(4-x-3-y),且萬(wàn)二一3萬(wàn)，

12/24

x-2=-3(4-x)x=5

即《解得a

Iy-3=-3(-3-y)y=-6

所以點(diǎn)P為(5,-6).

故答案為：(5,-6).

21.已知A,B,。三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(T,0),(3,-1),(1,2),且點(diǎn)E滿足方=；就.

(1)求點(diǎn)后的坐標(biāo)；

(2)若點(diǎn)產(chǎn)滿足8/=；8C,判斷向量而與向量而是否共線，棄證明你的結(jié)論.

【答案】

\33)

(2)共線，證明見(jiàn)解析

【分析】(1)設(shè)出點(diǎn)E的坐標(biāo)，再利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解；

(2)利用向量共線定理即可證明,

【詳解】(1)設(shè)E(xj),因?yàn)榱?TO),C(U),則荏=(x+lj),JC=(2,2),

,2

_ix+l='

因?yàn)檐蠖f(wàn)，所以(x+l,y)=](2,2),即2，

1

x=~3/12、

解得2'所以石卜

>=3

(2)向量而與向量荏共線，證明如下：

設(shè)尸(%,穌)，因?yàn)?(3,-1),C(l,2),

所以麗二(毛-3,為+1),元=(-2,3),因?yàn)榈Z=；死,

_7(

解得所以尸1,0

乂=0、

所以呼=(*-：),1豆=(4,一1),所以而=|萬(wàn),

故而與市共線.

13/24

敢型L05向量共線的坐標(biāo)表示

22.已知向量qq不共線，AB=Ze1+AC=2ei+pie2?其中4>0,〃>0,若45,C三點(diǎn)共線,則22+〃的

最小值為（）

A.5B.4C.3D.2

【答案】B

【分析】由平面向量的共線定理可得加=2,再結(jié)合基本不等式即可求得答案.

【詳解】因?yàn)?8c三點(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)左，使在=左就，即溫+[=4（海+〃1），

又向量其，后不共線，所以｛:藍(lán)二整理，得力〃二2,

由2>0,〃>0,所以22+〃之2而"=4,

當(dāng)且僅當(dāng)2力=〃=2時(shí).取等號(hào),即24+〃的最小值為4.

故選：B.

23.（多選）延長(zhǎng)正方形力5。。的邊C。至點(diǎn)E,使=動(dòng)點(diǎn)戶從點(diǎn)A出發(fā)沿正方形的邊按逆時(shí)針?lè)?/p>

向運(yùn)動(dòng)一周后回到點(diǎn)A,若萬(wàn)二/荔+加正，則下列正確的是（）

A.若義=〃=1,則點(diǎn)P與點(diǎn)。重合

B.若點(diǎn)尸與點(diǎn)。重合，則2=1,〃=2

C.滿足冗+〃=1的點(diǎn)尸有2個(gè)

D.滿足4+〃=g的點(diǎn)P有且只有1個(gè)

【答案】AC

【分析】對(duì)于選項(xiàng)A和選項(xiàng)B,亙接將選項(xiàng)中的條件代入不=/詬+勿荏，結(jié)合向量的加法法則判斷，對(duì)

于選項(xiàng)C和選項(xiàng)D,建立平面直角坐標(biāo)系，再根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)和選項(xiàng)中的條件表示出點(diǎn)產(chǎn)，依次分析點(diǎn)P在

四條邊上的情況即可判斷.

【詳解】選項(xiàng)A：己知次=赤+方，DE=CD=BA，即方=赤+瓦b

若2=〃=1，貝IJ萬(wàn)二茄+方=而+而+在而，

故點(diǎn)，與點(diǎn)。重合，選項(xiàng)A止確；

選項(xiàng)B：若點(diǎn)產(chǎn)與點(diǎn)C重合，則萬(wàn)=祝=而+而=而+（存一而）=2萬(wàn)+而，

故2=2,〃=1.選項(xiàng)R錯(cuò)誤：

14/24

選項(xiàng)C：以。為原點(diǎn)，為XJ軸建立平面直角坐標(biāo)系,

4(0,1),8(1,1),f(-l,0),若九+〃=1,則〃=1一九，~AP=AAB+uAE=2(1,0)+(1-A)(-l,-l)=(22-1,A-0?

P(2A-1,A),當(dāng)尸在川？上時(shí)，y=l,解得4=1,P(LD為B點(diǎn),

當(dāng)P在4C上時(shí)，x=l,解得4=1,P(l,1),為B點(diǎn)，

當(dāng)P在。0上時(shí)，尸0,解得％=。，P(-LO),不符合題意，

當(dāng)P在4。上時(shí)，x=0,解得尸(0；),

綜上，滿足4+〃=1的點(diǎn)尸有2個(gè)，一個(gè)是8點(diǎn)，一個(gè)是(0,g),選項(xiàng)C正確；

33———333

選項(xiàng)D：若4+〃=不，則"X，^P=A^+z/y4￡=A(l,0)+(--2X-l,-l)=(22--,2--)，

44乙乙乙

3133

P(2A-pA--)，當(dāng)尸在力8上時(shí)，y=l,解得a=不符合題意，

當(dāng)尸在5c上時(shí),x=l,解得％=尸(凸.

44

當(dāng)P在CO上時(shí)，y=0,解得％=；,P(-pO),不符合題意，

當(dāng)戶在4)上時(shí)，x=0,解得義==，P(oj),綜

44

上，滿足4+4=33的點(diǎn)戶有2個(gè)，一個(gè)是尸。弓3)，一個(gè)是(0,1：)，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

244

故選：AC.

24.已知向量1=(7sin6—1,5)石=(cos2。/)，若力/坂，則cos20=

7

【答案】不位28

【分析】由向局共線關(guān)系得出方程，求解sin。，再由余弦二倍角求得結(jié)果.

【詳解】由)/石，可得7sin6—l=5cos2。，即7sin"l=5(l-sin叫，

3

5sin2e+7sin6-6=0，解得：sin。二I或sinJ=-2(舍)，

7

cos2^=1-2sin;0=—

25

15/24

故?孑案為：￡.

02

1.，新考法］已知邑、q分別為等差數(shù)列｛%｝、也｝的前〃項(xiàng)和，A含|，設(shè)點(diǎn)A是直線5c外一點(diǎn),

點(diǎn)P是直線8c上一點(diǎn)，且淳="警1方+義工，則實(shí)數(shù)％的值為.

21

【答案】—-'-0.84

【分析】設(shè)&=（3，+2力（/工0）.則7；=（4〃2+5〃）/,求出4、&的值，可得出矢”的值，設(shè)而二施,

03

利用平面向量的線性運(yùn)算、平面向量的基本定理以及"=今冬麗+4衣，可得出關(guān)于左、％的方程組,

b3

即可解得實(shí)數(shù)尤的值.

【詳解】因?yàn)镾.、7；分別為等差數(shù)列血｝、也｝的前〃項(xiàng)和，7L=TL17=TT±TL

T,4〃+54n+5n

設(shè)S“=(3〃2+2〃)仆0),則T?=(4/?2+5>)f,

所以A=SL，=(3X42+2x4)r-(3x32+2x3)1=23。

“=『心=（4X32+5X3）/-（4X22+5X2）/=25/,

所以么±&=%=也=竺，所以而=生此而+流=竺萬(wàn)+疵，

717

4U2夕25'""b325'

因?yàn)辄c(diǎn)尸是直線8C上一點(diǎn)，點(diǎn)A是直線8c外一點(diǎn)，

設(shè)前二詼,即萬(wàn)-布二〃（衣-刀），所以萬(wàn)=（1-左）而+A衣,

_46

解得太=二

由題意可知方、衣不共線，由平面向量基本定理可得25,4-1|.

k=A25

21

故答案為：

2.'‘新角度I已知O為V48。的外心,滿足而=加石+〃衣，若〃?+〃的最大值為（，則coS=

【答案】|

16/24

3

【分析】設(shè)電儂得』?+〃，得人的最大值為「要使Z取最大值，得V杵是等腰三角形后可求

解問(wèn)題.

UULTULHT..UUU'

【詳解】如圖，延長(zhǎng)40交8c于。，設(shè)疝5=%而，則力+

kk

因?yàn)?。?ck,所以'+2=1,即左=〃?+〃，

kk

所以人的最大值為g,

4

AOR

設(shè)V48c外接圓的半徑為R,所以％=

~AD~R+西

當(dāng)上最大時(shí)，即。。最小時(shí)，即OD_L8C時(shí)，上取最大值,

R3OD1

所以『二『解得了=§

此時(shí)V4BC是等腰三角形，NBOD=g/B（）C=NA,

..cosA=cosZ.BOD-=—

R3

=6,^=（-V2,V2）,且恒+同=0（〃/=0）,則'的值為

癢

X=----

【分析】根據(jù)題意，設(shè)￡=（》））,根據(jù)向量的?？傻?+/=36,且.",從而可解.

y=-----

IA

【詳解】根據(jù)題意，設(shè)Z=（XJ），則/+「=36,

兄4+=（2x-血〃,％了+行〃）,

由］?\la+“I”=0（沏w0）,所以笳+而=6,

17/24

Xx-Jlp=0

則

入y+亞4=0

所以4用"=36,畔=3,所以

「［；二案為：-

4.如圖，菱形/BCQ中，AB=6,ZBAD=60°,赤=2麗，甌=2而，點(diǎn)M在線段E/上，且

【答案】|

6

【分析】由題意得出E,b分別是8C,0c的一個(gè)三等分點(diǎn)，設(shè)前=〃前，然后把商用而，而表示

可得，和己知等式相比，即可求得答案.

【詳解】由題意得胃=2麗，CF=2FD^

所以石，產(chǎn)分別是8C,DC的?個(gè)三等分點(diǎn)，~AD=~BC^~AB='DC^

設(shè)前=后，

貝I」衣=荏+赤+由=荏+；團(tuán)+%育=荏+；而+%面+而)

AB+\BC+k^BC—DC)=(1k)AD,

又萬(wàn)7=工方+,而，

2

所以1:+71解得衣="1，

所以戶1_泵!=：.

346

故答案為：f.

6

在平面直角坐標(biāo)系中,4(1,2),8(2,1),點(diǎn)。滿足|而目荏反=4忘+〃礪(4〃eR),

5.新角度

18/24

則2+〃的取值范圍為.

【答案】pl

【分析】法一：點(diǎn)C在以6(2,1)為圓心，半徑為正的圓8上，利用三角代換可得

2+2〃=2+拒cos。

C(2+x/2cos6>,1+V2sin<9)(<9e[0,2TI]),結(jié)合已知可得(進(jìn)而計(jì)算可求得〃的取值

2%+〃=1+￡sin6

范圍.法二：.?.點(diǎn)C在以8(2,1)為圓心，半徑為及的圓8上.過(guò)B作直線卜=%的平行線，求得M,N的坐標(biāo),

進(jìn)而可求得之+〃的最值可得取值范圍.

【詳解】法一：???|5C|=|48|=夜，.??點(diǎn)。在以8(2,1)為圓心，半徑為血的圓8上.

設(shè)C(2+五cos6U+&sine)(ew[0,27iD，由己知反=4刀+〃礪，得

(2-x/2cos6>,1+x/2sin6)=(A,22)4-(2/7,/?)=(A+2/7,22+〃)，

2+2//=2+V2cos0

2A+//=1+\/2sin<9

.?/+〃=，3+V5(sin0+cos0)]=14~1si?0可(0式0,如])，

當(dāng)6=:時(shí),(％+〃)max=g；當(dāng)夕時(shí),(2+〃)min=；,

十〃的取值范圍為,

法二：?.?|8。|=|48|=及，，點(diǎn)C在以8(2,1)為圓心，半徑為0的圓8上.

過(guò)a作直線y=X的平行線，設(shè)此平行線方程為y=X+6

則1=2+6,解得力=-1,所以直線方程為y=x-l,令y=0,則x=l,

則材(1,0),且|網(wǎng)=0,所以M(L0)在圓8上,

直線N=xT與圓的另一交點(diǎn)為N,與y軸的交點(diǎn)為。，過(guò)N作NK_Lx軸FK,

則VOMQ:VA/NK,所以可得能^二靜不又|四。|=夜,|皿|=2收，

1x-1

所以石=力亍，解得4=3,所以6=3-1=2,所以N(3,2),

19/24

設(shè)C(x,y),由3=2方+〃麗=(2+2〃,2/1+〃)，所以/l+2〃=x,2/l+〃=y,

所以4+〃=，x+y),所以當(dāng)x+N取得最值時(shí)，4+〃取得最值，

設(shè)了+y=E,當(dāng)x+y=,與圓8相切時(shí)，，取得最值，此時(shí)即為y=.?1與圓8的交點(diǎn),

當(dāng)C與M重合時(shí)，由反=2方+〃礪=(2+2〃,2%+〃)，得反=(1,0),,

A+2//=1

21+〃=0

此時(shí)僅+〃焉=]

當(dāng)C與N(3,2)重合時(shí),反=(3,2),又反=(2+2〃,2%+〃)，

A4-2/7=35

??.，此時(shí)僅+〃)z=￡，

24+〃=23

.<+〃的取值范圍為1,1.

20/24

03

真題溯源過(guò)關(guān)練1

1.(新高考全國(guó)I卷?高考真題)在V/出C中，點(diǎn)D在邊力8上，BD=2DA.記0=而，麗=日，則屈=()

A.3冊(cè)一2萬(wàn)B.-2而+3萬(wàn)C.3m+2iiD.2而+3萬(wàn)

【答案】B

【分析】根據(jù)幾何條件以及平面向量的線性運(yùn)算即可解出.

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)。在邊謖上，BD=2DA,所以麗=2次，^CD-CB=2(CA-CD)t

所以而=3比-25=312碗=-2而+3萬(wàn).

故選:B.

2.(2004?安徽?高考真題)已知向量￡=(1,2)石=(2,3)1=(3,4),且工=4)+41則4上的值分別為()

A.-2,1B.1,-2C.2,-1D.-I,2

【答案】D

【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算列出關(guān)于4，^的方程組求解即可.

【詳解】因?yàn)?=癡+4」所以(3,4)=4(1,2)+4(2,3).

3=4+24，

所以Li4一；解得4=-1,友=2.

4=ZAy+3/U,

故選：D.

3.(福建?高考真題)已知|力|=1,|麗|="35?歷=0，點(diǎn)C在/力。8內(nèi)，且400=30。.設(shè)

OC=mOA+nOB(m.weR),則”等于()

n

A.1B.3C日D.白

【答案】B

【分析】由題意可得宓，歷，建立坐標(biāo)系，由