第01講數(shù)列的基本知識(shí)與概念

錄

01考情解碼?命題預(yù)警.............................................................1

02體系構(gòu)建?思維可視...............................................................3

03核心突破靶向攻堅(jiān)...............................................................4

知能解碼.......................................................................4

知識(shí)點(diǎn)1數(shù)列的有關(guān)概念...................................................4

知識(shí)點(diǎn)2數(shù)列的表示方法...................................................4

知識(shí)點(diǎn)3數(shù)列的分類.......................................................5

知識(shí)點(diǎn)4。”與S”的關(guān)系...................................................6

題型破譯......................................................................6

題型1數(shù)列的周期性........................................................6

【方法技巧】列舉項(xiàng)判斷周期

題型2數(shù)列單調(diào)閨重

【方法技巧】判斷數(shù)列單調(diào)性方法

題型3數(shù)列最大最小項(xiàng)|重

【方法技巧】判斷數(shù)列最大（?。╉?xiàng)方法

題型4數(shù)列中的規(guī)律問題..................................................12

難

04真題溯源?考向感知.............................................................15

05課本典例?高考素材.............................................................18

1/21

01

ri

考情解碼?命題預(yù)警

1

考點(diǎn)要求考察形式2025年2024年2023年

13北京卷T10（4分）

（1）數(shù)列的概念單選題

□多選題

（2）數(shù)列的分類//

□填空題

（3）數(shù)列的性質(zhì)□解答題

考情分析：

高考對(duì)數(shù)列概念的考查相對(duì)較少，考查內(nèi)容、頻率、題型、難度均變化不大.重點(diǎn)是數(shù)列與函數(shù)結(jié)合考查單調(diào)

性、周期性、最值性.

復(fù)習(xí)目標(biāo)：

（1）了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法（列表、圖象、通項(xiàng)公式）.

（2）了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類特殊函數(shù).

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02

體系構(gòu)建?思維可視

■j

皿，一二r按照一定順序排列的一列數(shù)

數(shù)列的概念J‘=r

數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做項(xiàng)

數(shù)列的基本數(shù)列的分類

知識(shí)和概念

|通項(xiàng)公式|

數(shù)列的表示

」遞推關(guān)系式

3/21

（3）公式法

①通項(xiàng)公式法：把數(shù)列的通項(xiàng)用公式表示的方法，如

②遞推公式法：使用初始值6和%+1=/'（4）或4,叼和％討二/（凡,?！盻1）（〃之2）來表示數(shù)列的方法.

|自主檢測(cè)|1.數(shù)列1,-1,1,一1,…（九6N"）的一個(gè)通項(xiàng)公式為（）

A.（—l）n+2B.cos（n—1）TT

C.D.sin［（2九+1）,

【答案】B

【詳解】由題意可知題干數(shù)列是1,-1交替出現(xiàn)，故其通項(xiàng)公式可以寫成（-I）"】或利用三角函數(shù)來寫，

對(duì)于A,（-1）-2的第一項(xiàng)為一1,不符合題意，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,（九一l）n即為0,ir,2n,…，對(duì)應(yīng)的余弦值為1,一1,1,一1,…，符合題意，故B正確；

對(duì)于C,上3的前兩項(xiàng)依次為1,0,不符合題意，故C錯(cuò)誤；

2

對(duì)于D,4式（2n+1）m的第一項(xiàng)為一1,不符合題意，故D錯(cuò)誤：

故選：B.

知識(shí)點(diǎn)3數(shù)列的分類

分類標(biāo)準(zhǔn)類型滿足條件

有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限

項(xiàng)數(shù)

無窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無限

項(xiàng)與項(xiàng)間遞增數(shù)列J2%

的大小關(guān)遞減數(shù)列其中〃wN+

系常數(shù)列aa

n+l=n

自主檢測(cè)（多選）下面四個(gè)數(shù)列中，既是無窮數(shù)列又是遞增數(shù)列的是（）.

廠、n.2tr.3n.nn

C.sin-,siny,siny,...?siny,...

D.1,^2，,^3?...,,...

【答案】BD

【詳解】對(duì)于A,1,gp...?匕…為遞減數(shù)列，故A錯(cuò)誤;

234n

5/21

1

對(duì)于B,-1,備，…為遞增數(shù)列，且是無窮數(shù)列，故B正確:

248

對(duì)于C,sin：,sin^,si吟，…，sin拳，…中si吟〉si吟，故不是遞增數(shù)列，故C錯(cuò)誤;

對(duì)于D,1,42,V3....叮，…既是無窮數(shù)列又是遞增數(shù)列的，故D正確.

故選：BD.

知識(shí)點(diǎn)4?！迸cS”的關(guān)系

,、S],H—\

若數(shù)列凡的前〃項(xiàng)和為S”，則%=「c

自主檢測(cè)已知數(shù)列｛冊(cè)｝的前〃項(xiàng)和為S.,且3s“=2即+1,則。2=（）

A.1B.2C.-1D.-2

【答案】D

【詳解】當(dāng)n=1時(shí)，3sl=2al+1,又=的,則為=1.

當(dāng)7j=2時(shí)，3s2=2。2+1，又治=。1+。2，所以3（。2+01）=2做+1，

解得：a2=-2.

故選：D

題型1數(shù)列的周期性

例1」|已知數(shù)列｛冊(cè)｝滿足%+1=鬻-1，且由=—1,則做。25=（）

A.2B.1C,-1D.i

【答案】A

【詳解】由題可得。2==2,4=一1，…，

猜測(cè)｛%｝是周期為3的數(shù)列，下證周期為3.

因?yàn)?+1=獴_1=士，故%+3=日匚=三詈=三三二Qn,

1-aji+l1-a”

故｛冊(cè)｝是周期數(shù)列且周期為3.

故&2025=a675x3=^3=2.

故選:A.

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?-------->2a,?0<a<-3

|例1-2|若數(shù)列&｝滿足“+1=1n=p貝Mio二（）

（2%-1《V%V15

A-IB-IC|D.±

【答案】A

2%,0<<|

【詳解】數(shù)列｛aJ滿足%+i=

2/-1,1<Q〃<1

==

則以=2al—1=I，a32a2p%=2a3=pa5=2a4-1=^=aP

因此繼續(xù)下去會(huì)循環(huán)，數(shù)列｛aj是周期為4的周期數(shù)列,

所以由0=a2+2x4=。2=:?

故選:A.

方法技巧列舉項(xiàng)判斷周期

先根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，確定數(shù)列的周期，再根據(jù)周期性求值.

【變式訓(xùn)練1-1】已知S“為數(shù)列｛%｝的前八項(xiàng)和，且%=2,即+1=；，則S2024的值為（

an

A.1009B.1010C.1011D.1012

【答案】D

【詳解】由題意可得，。2=十二2=-1，a3=rr=777=P。4=士=白

則數(shù)列&｝是以3為一個(gè)周期的周期數(shù)列，且+。2+的=2-1+；泉

因2024=674x3+2,

所以S2024=674（%+a2+。3）+方+。2=674X-4-2-1=1012.

故選：D

【變式訓(xùn)練1-2]數(shù)列｛%｝滿足%=m（m工0,m豐1）,即+i=三二則由6=（）

A.1B.-1--mC.zuD.1—m-

【答案】C

【詳解】由數(shù)列｛%｝滿足ai=7n（7H工且即+i=匕，

r3111m-11

可得1--Q]=；1-—771，?3=1；—-。2=-----，―；-。二3血，

所以數(shù)歹!）｛%｝是以3項(xiàng)為周期的周期數(shù)列,則.=a3x5+i=ax=m.

故選：C.

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【變式訓(xùn)練1-3】數(shù)列｛斯｝滿足%=2,即+1=—冊(cè)，則$2025=()

A.4046B.-4046C.2D.-2

【答案】C

【詳解】因?yàn)?=2,an+1=-an,

所以02=一al=-2,%=-a2=2,=-a3=-2,…，

所以%+2=anf

所以｛%｝是周期為2的周期數(shù)列，

所以$2025=。1+。2+…+a2025=2+(—2)+2+(—2)+…+2=2.

故選：C.

題型2數(shù)列單調(diào)性

(3

版西1已知函數(shù)/?(%)=[-2；一4'產(chǎn)8若數(shù)列｛%｝滿足%=價(jià))5GV)且｛%｝是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)a

\dfx>o

的取值范圍是()

A.常,3)B.1^,3)C.(2,3)D.[2,3)

【答案】C

【詳解】函數(shù)/(%)=產(chǎn)一2；一￡”8,由數(shù)列依明是遞增數(shù)列，

ICl,X>O

(3—a>0

得Q>1解得2<a<3,

1/(9)>f(8)，則??；2；3

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是(2,3).

故選：C

始回(2025?河北張家口?二模)己知數(shù)列｛即｝不是遞增數(shù)列，且“=3廣：=1則4的取值范

-----------V-Z/vM-/v~rL,fl三L

圍為.

【答案】(一8,|]

?J

【詳解】因?yàn)椋矗皇沁f增數(shù)列，

所以A4?；蚪獾?/p>

所以k的取值范圍為(一8,||.

故答案為：(-8用.

方法技巧判斷數(shù)列單調(diào)性方法

解決數(shù)列的單調(diào)性問題的3種方法

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作差比較法根據(jù)勺+1一%的符號(hào)判斷數(shù)列｛%｝是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列或是常數(shù)列

作商比較法根據(jù)?。?>0或（<0）與1的大小關(guān)系進(jìn)廳判斷

冊(cè)

數(shù)形結(jié)合法結(jié)合相應(yīng)函數(shù)的圖象直觀判斷

【變式訓(xùn)練2-1】（2025?天津?二模）已知｛時(shí)｝是一個(gè)無窮數(shù)列，“做>是“1%｝為遞增數(shù)列”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【詳解】遞增數(shù)列是指一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)都大于它的前一項(xiàng)，即時(shí)+】>即（九EN）

若｛斯｝是擺動(dòng)數(shù)列，可能有做>。1，但是｛%｝不是遞增數(shù)列，則僅做>。1不能推出｛冊(cè)｝為遞增數(shù)列，但｛冊(cè)｝

為遞增數(shù)列可以推出

所以“。2>Q]”是“｛即｝為遞增數(shù)歹『'的必要不充分條件.

故選：B.

【變式訓(xùn)練2-2】在數(shù)列｛%｝中，m知冊(cè)=小+加1（幾€2）,則“QiVQ2”是“｛%｝是單調(diào)遞增數(shù)歹『’的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【詳解】因?yàn)榧?n2+/ln（nwN，），<a2,所以尸+入v2?+2九解得2>—3,

若｛即｝是單調(diào)遞增數(shù)列，則對(duì)任意"eN，都有：

%+1—%=（〃+I）2+l（n4-1）-n2—An=1+2n+A>0,

所以％>-1-2"對(duì)任意九eN*都成立，乂（一1一2n）max=-3,

所以的<4是數(shù)列｛斯｝是單調(diào)遞增數(shù)列的充要條件.

故選：C.

【變式訓(xùn)練2-3?變載體】（2025貴州黔南?三模）數(shù)列｛.｝滿足%=｛（3X）n+2n<2（"G’若數(shù)列

｛7｝單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范闈為（）

A.[2,3）B.（1,3）C.（1,2）D.（2,3）

【答案】D

a>1

（3￡：；‘曹工2（屐”）單調(diào)遞增，所以

【詳解】因?yàn)槠?3-a>0,解得2VaV3,

a2>(3—a)x2+2

即實(shí)數(shù)a的取值范圍為（2,3）.

故選：D

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題型3數(shù)列最大最小項(xiàng)

畫亙|若數(shù)列｛即｝的通項(xiàng)公式為4=合票，則該數(shù)列中的最大項(xiàng)是（）

A.Q】B.CZ44C.。45D.。46

【答案】D

［詳解］因?yàn)镼-2^^_-1+

n-n-y/2026~n-V2026-n-V2026

所以當(dāng)71〈回函，即九工45時(shí)，包嗎分＜0,所以“VL

當(dāng)於＞同方，即71246時(shí)，包耍需亙＞0，所以冊(cè)＞1.

n-＞/2026

且nN46時(shí)，易知數(shù)列｛1+丹嘉四｝為遞減數(shù)列，

所以該數(shù)列的最大項(xiàng)是。46.

故選:D

|例3-2|數(shù)列｛（〃十3噌）“｝的最大項(xiàng)為第k項(xiàng)，則k=.

【答案】5或6.

【詳解】???數(shù)列｛（九+3）鼾｝的最大項(xiàng)為第k項(xiàng)，

|（k+3）G）7（k+2）C）i狂28k+3

,、〃/、“即情小得即HE,

依+3噌）*+4）⑨

由于k是正整數(shù)，所以k=5或6.

故答案為：5或6.

方法技巧判斷數(shù)列最大（?。╉?xiàng)方法

求數(shù)列的最大項(xiàng)與最小項(xiàng)的常用方法

（1）將數(shù)列視為函數(shù)/（X）當(dāng)在”時(shí)所對(duì)應(yīng)的?列函數(shù)值，根據(jù)/G）的類型作出相應(yīng)的函數(shù)圖象，

或利用求函數(shù)最值的方法，求出〃x）的最值，進(jìn)而求出數(shù)列的最大（?。╉?xiàng).

a2a?.a4a?.

（2）通過通項(xiàng)公式/研究數(shù)列的單調(diào)性，利用n、，1〃22）確定最大項(xiàng)，利用n［”“，（/?＞2）

確定最小項(xiàng).

（3）比較法：若有句+小q=/5+1）-/（〃）＞0或4＞（）時(shí)嘰＞1,則勺+/%，則數(shù)列血｝是遞增

數(shù)列，所以數(shù)列｛%｝的最小項(xiàng)為4=/（I）;若有氏+「*=f（n+1）—/（/?）＜0或a”＞0時(shí)與也＜1,則a.＜見

10/21

則數(shù)列｛4｝是遞減數(shù)列，所以數(shù)列｛%｝的最大項(xiàng)為％=/⑴.

【變式訓(xùn)練3-1】已知數(shù)列｛即｝的通項(xiàng)公式為“嗓，則“取到最小值時(shí)n的值是()

zn—!□

A.6B.7C.8D.9

【答案】B

■、￥?Y2zi-2271—15+1313

【詳解】即=赤=卞天=14+訴

當(dāng)71>7,71€1^時(shí)，2?1—15>0,%=1+#77單調(diào)遞減，

2r1—15

此時(shí)，%=1+3>1;

當(dāng)九三7,71WN?時(shí)，2n-15<0,0=l+lr單調(diào)遞減，

n2n-15

a

此時(shí)，an=1+2；：5-7=1+27=—12，

所以％取到最小值時(shí)日的值是7.

故選：B.

【變式訓(xùn)練3-2】已知數(shù)列｛b｝的通項(xiàng)公式為"=輯，則當(dāng)兒取得最小值時(shí)，n=(

)

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【詳解】由勾n=-?[2>0,則乎=；，/z：：:，

(n+l)b”2(n+4n+4)

令誓>1,則九2一271—5>0,由71WN+，解得九N4,

所以當(dāng)nW3時(shí)，/V1,當(dāng)九24時(shí)，牛1>1,

即當(dāng)nW3時(shí)，數(shù)列｛0｝單調(diào)遞減，當(dāng)幾工4時(shí)，數(shù)列｛"｝單調(diào)遞增，

又力3=急為=急所以瓦V%，即瓦為數(shù)列｛%｝的最小值,

故當(dāng)瓦取得最小值時(shí)，n=4.

故選：B

【變式訓(xùn)練3-3】數(shù)列｛"｝滿足兒=聲，則當(dāng)n=時(shí)，砥取最大值為

【答案】4鄉(xiāng)0.625

8

【詳解】解法一：當(dāng)九22且?guī)譋N*時(shí)，以一"-1—季孕=3當(dāng)，

當(dāng)nW4時(shí)，bn>bn_P此時(shí)，｛狐｝單調(diào)遞增,

當(dāng)n工5時(shí)，bn<bn_lf此時(shí)，｛4｝單調(diào)遞減，

故當(dāng)九=4時(shí)，勾取最大值(b)max==*

11/21

3n-7、3n-4

T^T-n

解法二當(dāng)心2且共N?時(shí)，由即2解得曰<n<-^,

3n-7、3n-10JJ

2^-1-2A2

又71€N，故n=4,故當(dāng)九=4時(shí)，b”取最大值（b“）max=^4=1-

故答案為：4；

o

題型4數(shù)列中的規(guī)律問題

題豆］數(shù)學(xué)家楊輝在其專著中提出了一些新的高階等差數(shù)列，其中二階等差數(shù)列是一個(gè)常見的高階等差數(shù)

列，如數(shù)列2,4,7,11,16,從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差組成新數(shù)列2,3,4,5,新數(shù)列2,3,4,

5為等差數(shù)列，則稱數(shù)列2,4,7,11,16為二階等差數(shù)列.現(xiàn)有二階等差數(shù)列｛斯｝,其中前幾項(xiàng)分別為2,

5,9,14,20,27,記該數(shù)列的后一項(xiàng)與前一項(xiàng)之差組成新數(shù)列｛b｝,則垢=（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】D

【詳解】方法一：根據(jù)題意知，數(shù)列2,5,9,14,20,27,…，滿足以_1=?！耙患確1="+1（〃工2）,

所以壇=。7—=8.

方法二：新數(shù)列｛0｝為3,4,5,6,7,8,…，故壇=8.

故選:D.

曲豆］傳說古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家用沙粒和小石子來旺究數(shù)?他們根據(jù)沙?；蛐∈铀帕械男螤?/p>

把數(shù)分成許多類，如圖中第一行的1,3,6,10稱為三角形數(shù)，第二行的L4916稱為正方形數(shù).貝!根據(jù)以上規(guī)

律，可推導(dǎo)出五邊形數(shù)所構(gòu)成的數(shù)列的第5項(xiàng)為（）

D.51

【答案】C

【詳解】解:如圖,

1,5,12,22稱為五邊形數(shù),

I51222

12/21

從第二項(xiàng)起，后項(xiàng)與前項(xiàng)的差依次為4,7,10,13,

所以五邊形數(shù)的第5項(xiàng)為22+13=35,

故選：C.

【變式訓(xùn)練4-1】如圖是用?擺放而成的圖案，其中笫①個(gè)圖中有2個(gè)?，笫②個(gè)圖中有5個(gè)?,第③個(gè)圖

中有10個(gè)*,第④個(gè)圖中有17個(gè)......按此規(guī)律排列下去，則第⑦個(gè)圖案中?的個(gè)數(shù)為()

A.35B.48C.50D.64

【答案】C

【詳解】設(shè)第九個(gè)圖中有冊(cè)個(gè)?，

由題有句=2,。2=5=%+3,。3=1°=。2+5，。4=17=。3+7，

按此規(guī)律有%=an_i+2n-l(n>2,nEN"),所以=a4+9=26,a6=a5+11=37,a7=a64-13=

50,

故選：C.

【變式訓(xùn)練4-2】傳說古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家用沙粒和小石子來研究數(shù)，他們根據(jù)沙?；蛐∈铀?/p>

排列的形狀把數(shù)分成許多類.如圖，第一行的136,10稱為三角形數(shù)，第二行的1,5,12,22稱為五邊形數(shù)，則

三角形數(shù)的第20項(xiàng)為__________,五邊形數(shù)的第24項(xiàng)為.

.A△叢

13610

q④

151222

【答案】210852

【詳解】三角形數(shù)的第1項(xiàng)為1,第2項(xiàng)為3=1+2,第3項(xiàng)為6=1+2+3,

第4項(xiàng)為10=1+2+3+4,……

因此第20項(xiàng)為1+2+3+…+20=四等2=210.

五邊形數(shù)的第1項(xiàng)為1,第2項(xiàng)為5=l+4=l+l+3=lx2+3x(0+l),

第3項(xiàng)為12=l+4+7=l+l+3+l+3+3=lx3+3x(0+l+2),

13/21

第4項(xiàng)為22=1+4+7+10=1+1+3+1+3+3+1+3+3+3=1x4+3x(0+1+2+3),

因此第24項(xiàng)為1x24+3x(0+1+2+…+23)=1x24+x3=852.

故答案為：210：852.

【變式訓(xùn)練4-3】已知Qn=2n-1(1￡N*),把數(shù)列｛QJ的各項(xiàng)排成如右圖所示的三角數(shù)陣,記S(m,n)表示

該數(shù)陣中第m行中從左到右的第n個(gè)數(shù)，則S(10,6)對(duì)應(yīng)數(shù)陣中的數(shù)是.

1

35

7911

13151719

【答案】101

【詳解】由題意可得：每個(gè)數(shù)均為正奇數(shù)，且第m行有m個(gè)數(shù)，

則到第血行最后一個(gè)數(shù)共有1+2+…+m=呼2個(gè)，

則S(10,6)是第絲產(chǎn)+6=51個(gè)奇數(shù),所以S(10,6)=2x51-1=101.

故答案為:101.

題型5遞推數(shù)列問題

|例5-1|已知數(shù)列｛即｝滿足四=2,即+i=3an—n,則g=()

A.14B.13C.12D.11

【答案】B

【詳解】由%=2,%+1=3即一幾，可得。2=3al-1=5,%=3a2-2=13,

故選：B.

|例5-21已知數(shù)列&｝滿足勺=。2=3若冊(cè)+2=；~白----2,則。4二()

A.-4B.-2C.0D.4

【答案】A

1

【詳解】由數(shù)列｛Q,J滿足%=a2=且即+2=———2,

令71=1,可得。3==---2=-1；令n=2,可得。4==----2=-4.

。2+。3

故選：A.

(M當(dāng)a為偶數(shù)時(shí)

2n

【變式訓(xùn)練5-1】已知數(shù)列｛an｝滿足：%=3,an+1=｛*,貝ij%+?+Q：++。5=

(3%+1,當(dāng)時(shí)為奇數(shù)時(shí)

14/21

（）

A.34B.42C.46D.64

【答案】B

(黑當(dāng)時(shí)為偶數(shù)時(shí)

【詳解】%=3,%+1=｛

(3%+1,當(dāng)時(shí)為奇數(shù)時(shí)

則62=3。14-1=10,%=號(hào)=5,Q4=3a3+1=16,。5=會(huì)=8：

貝l]a〔+a?+。3+。4+。5=3+10+5+16+8=42.

故選：B.

【變式訓(xùn)練5?2】數(shù)列｛%｝滿足:an=an+1+an_A（neN,n>2],若a[=2,a5=3,則即。25=（）

A.1B.-IC.5D.-5

【答案】D

【詳解】由題意可得%+i

用於+1代替九可得：%+2=an+1-an,

兩式相加，得即+2=-％-1，

???%3=-%'。5=-。2=3="2=-3,

???斯+6=Q”,A｛冊(cè)｝是以6為周期的數(shù)列，

：?。2025=0337x6+3=。3=。2一=—5，

故選：D.

【變式訓(xùn)練5-3］已知Sn為數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和，%=1,%+i+2Sn=2九+1,則S2024=

【答案】2024

【詳解】當(dāng)"N2時(shí)，由即+1+2szi=2九+1得即+2sLi=2(n-l)+l=2n-l,

兩式相減得0n+1-4+2an=2,即即+i+%=2,

因?yàn)?=1,所以由。2+%=。2+1=2，得。2=1，

由。3+。2=。3+1=2,得03—1，

所以數(shù)列｛斯｝中所有項(xiàng)都為1,

則$2024=2024.

故答案為：2024.

04

真題溯源?考向感知

1.（2025?重慶,三模）數(shù)歹|｛冊(cè)｝滿足0n+3=即+瑪+1—%+2（/21，nGN）?又由=1,a2=a2=2,

貝”（）

15/21

A.。2024=-1011B.6?2024=-1012

C?。2025=1013D.。2025=1014

【答案】C

a

【詳解】因?yàn)閿?shù)列｛%｝滿足%+3=%+n+i~%+2（幾2l,nWN）,且%=1,a2=1,a3=2,

所以。4=。1+。2—。3=1+1-2=0；

。5=。2+。3一。4=1+2—0=3;

-

a6=as4-a4as=2+0—3=-1；

。7=。4+。5—。6=0+3—(-1)=4；

08==3+(-1)—4=-2;

+電-08=(_1)+4_(_2)=5：

Qi。=Q7+即—Q9=4+(_2)_5=—3；

=。8+。9-。10=(-2)+5-(-3)=6；

?12=?9+?io-?n=5+(-3)—6=-4：

觀察奇偶項(xiàng)規(guī)律；

奇數(shù)項(xiàng)：=1,。3=2,。5=3,。7=4,的=5,a”=6,構(gòu)成首項(xiàng)為1公差為1的等差數(shù)列，

令?!=2k-1,則k=等，通項(xiàng)公式為％=。2"1=l+(k-l)xl=k=等；

偶數(shù)項(xiàng)：=1，。4=。，。6=-1，。8=-2,。10=-3,Q12=-4,溝成首項(xiàng)為I公差為一1的等差數(shù)列，

令九=2k,則k=p通項(xiàng)公式為旬==1+(kT)X(-1)=2-^=2-J,通項(xiàng)公式為%=2-今

a2024=2-=-1010,選項(xiàng)AB錯(cuò)誤；

?2025=型2；」=1013,選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選：C.

2.(2025?河北?二模)某廠家對(duì)其軟件進(jìn)行加密升級(jí)，現(xiàn)對(duì)軟件程序中的某序列4=｛%,。2，。3,…｝重新編輯，

編輯新序列為4=招W，京??｝，它的第八項(xiàng)為詈.若序列⑷*的所有項(xiàng)都是3,月以2=1，的=27,則%=

()

A.1B.|C.3D.9

【答案】C

【詳解】因?yàn)?=件,里盧,???｝,

lai。2。3)

她=慧,則⑷?嚙，狀，…｝，

因?yàn)?，)?的所有項(xiàng)都是3,所以誓=3,設(shè)兒=血，

所以｛"J是以m為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，所以4

由j=m,02=1=7HQ[=1；

16/21

由￡=3m,a2=1=a3=3m：

由晟=32.m=%=9?n-3m=27m2；

263

由"=33?m=as=27m-27m=3?m.

又曲=27,所以36。/=27=m

所以的=3.

故選：C

3.（2025?吉林?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)數(shù)列｛斯｝為常數(shù)列，定義垢=（即產(chǎn)則，，｛冊(cè)｝是常數(shù)列”是“｛勾｝是常數(shù)列”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【詳解】若｛Q”｝是常數(shù)列，不妨設(shè)Q“二Q（Q為常數(shù)），則以=（%）2=/為常數(shù)，

即“｛Qj是常數(shù)列”可推出“｛勾｝是常數(shù)列”，

取其=1,即=（—1>,顯然有九=（即/，且｛%｝是常數(shù)列,但即=（—1）”不是常數(shù)列，

所以“｛%｝是常數(shù)列“推不出氣時(shí)｝是常數(shù)列"，即“｛%｝是常數(shù)歹『'是"｛%｝是常數(shù)列”的充分不必要條件,

故選:A.

k

4.（2025?山東濟(jì)南?二模）對(duì)于neN',將n表示為n=akx2+Q1X2^+…+%x21+Q0x2°（/cGN*）,

其中Qk=l,當(dāng)0Wi4k-l（kWN*）時(shí)，4為0或1,定義0（"）為正整數(shù)n的表達(dá)式中為=l（i=

0,1.2,…,的個(gè)數(shù)，則>（63）=（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】C

【詳解】由63=1x25+1x24+1x23+1x22+1x21+1x2°,則*（解）=6.

故選：C

n+1

5.（2025?山東?一模）若數(shù)列｛%｝滿足%=1，%+i=（-l）an+1，則｛冊(cè)｝的前2025項(xiàng)的和為________.

【答案】1013

【詳解】易知當(dāng)九為偶數(shù)時(shí)，可得%+1=—即+1,即即+。計(jì)1=1；

所以可知｛%｝的前2025項(xiàng)的和+。2+。3。2024+。2025=%+（。2+。3）----1"（。2024+。2025）=1+

華XI=1013.

故答案為：1013

17/21

05

課本典例?高考素材

1.(人教A版選擇性必修第二冊(cè)P5練習(xí)第3題)除數(shù)函數(shù)(divisorfunction)y=d(n)(nGN*)的函數(shù)值等于〃

的正因數(shù)的個(gè)數(shù)，例如d(l)=l,d(4)=3.寫出數(shù)列d(l),d(2),…，d(n),…的前10項(xiàng).

【答案】I,2,2.2,4,2.4.?.4.

【詳解】由題意可得或1)=1,

因?yàn)?=1x2,所以d(2)=2,

因?yàn)?=1x3,所以d(3)=2,

因?yàn)?=lx4=2x2,所以d(4)=3,

因?yàn)?=1x5,所以d(5)=2,

因?yàn)?=1x6=2x3,所以d(6)=4,

囚為7=1x7,所以d(7)=2,

因?yàn)?=lx8=2x4,所以d(8)=4,

因?yàn)?=lx9=3x3,所以d(9)=3,

因?yàn)?0=1x10=2x5,所以d(10)=4,

所以前1()項(xiàng)分別為1,2,2,3,2,4,2,4,3,4.

故答案為：1,2,2,3,2,4,2,4,3,4.

2.(人教A版選擇性必修第二冊(cè)P5練習(xí)笫1題)寫出下列數(shù)列的前10項(xiàng)，并繪出它們的圖像：

(1)素?cái)?shù)按從小到大的順序排列成的數(shù)列；

(2)歐拉函數(shù)@5)(〃eN)的函數(shù)值按自變量從小到大的順序排列成的數(shù)列.

【答案】(1)2、3、5、7、11、13、1