練案55雙曲線第2課時(shí)

A組基礎(chǔ)鞏固9

一、單選題

x2y2

1.（2025?廣東惠州調(diào)研）已知雙曲線C：。2—62=1的一條漸近線方程是了=

區(qū)，F(xiàn)i，巴分別為雙曲線C的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)巳且垂直于x軸的垂線在x軸

上方交雙曲線C于點(diǎn)〃，則tanZMFpF2=（）

A.2B.3

小小

C.萬D.T

D

b

［解析］因?yàn)樵撾p曲線的一條漸近線方程是了=區(qū)，貝%=",結(jié)合

b

c2=a2+b2,可得。=.又M，所以

b21bb14

tanZA/F匹=2ac=2ac=2x應(yīng)x=3.

2.（2025?江蘇南通如皋調(diào)研）在平面直角坐標(biāo)系X。了中，已知雙曲線

x2y2

E-.。2—A2=I（AO,6>0）的右焦點(diǎn)為R過E作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂

足為M,直線旅與另一漸近線交于點(diǎn)N,若河是PN的中點(diǎn)，則雙曲線的離

心率為（）

A.正B.2

C.4D.3

B

［解析］如圖所示，由題意可知，UOF=^COFi，又因?yàn)?是方‘N的中點(diǎn)，

兀

OM1FN,所以乙4。尸=乙4。。，所以3乙4。9=兀，UOF=3,根據(jù)雙曲線的性質(zhì),

bbb

雙曲線的漸近線方程為：y=±ax,OF=c,tanZ-AOF=a,所以。=由，所以

1/15

e=a==2.故選B.

3.（2024?遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)適應(yīng)性測(cè)試）過雙曲線V—2=1的左焦點(diǎn)作直線/交

雙曲線于45兩點(diǎn)，若實(shí)數(shù)2使得|48|=7的直線/恰有3條，則2=（）

A.2B.3

C.4D.6

C

2b2

［解析］左支內(nèi)最短的焦點(diǎn)弦=a=4,又2a=2,所以與左、右兩支相交

焦點(diǎn)弦長(zhǎng)N2a=2,因?yàn)閷?shí)數(shù)7使得0同=7的直線恰有3條，根據(jù)雙曲線對(duì)稱性

可知：其中一條與實(shí)軸垂直，另兩條關(guān)于x軸對(duì)稱.如圖所示：所以當(dāng)7=4時(shí),

有3條直線滿足題意.故選C.

x2y2

4.（2024?貴州高三開學(xué)考試）已知尸為雙曲線C：。2—，2=1（口>0,b>0）的右

焦點(diǎn)，過點(diǎn)尸作x軸的垂線與雙曲線及它的漸近線在第一象限內(nèi)依次交于點(diǎn)Z

和點(diǎn)A若|48|=|4F|,則雙曲線C的漸近線方程為（）

A.^x±y=0B.x±^y=0

C.Mx土y=0D.x土隹y=0

B

b

［解析］由題意得尸（c,0）,雙曲線C的漸近線方程為^=士心.設(shè)點(diǎn)Z,8的縱

2/15

clylb2b2be

坐標(biāo)依次為yi，j2>因?yàn)椤?—A2=i,所以切=。，所以⑷a.因?yàn)槿?a,

bebe2b2

所以15P=。.因?yàn)閨48|=0F|,所以。=?,得c=2b,所以a=@^=4b,

b

故。=,雙曲線。的漸近線方程為y=±x,即x±J*=O,故選B.

x2y2

5.（2025?河北邯鄲調(diào)研）設(shè)雙曲線C：。2—A2=i（a>o,b>0）的左、右焦點(diǎn)分

別為為，尸2,點(diǎn)尸在雙曲線C上，過點(diǎn)尸作兩條漸近線的垂線，垂足分別為

D,E,若?=0,且3poi0月=4尸/尸2，則雙曲線。的離心率為（）

A.3B.A/2

C.4D.2

C

xQyQ

［解析］設(shè)尸（如如）,則。2—62=1,即加”—出聲=”風(fēng)雙曲線。的漸近

162x0—a2yoia2b2

線方程為樂土町=0,所以|尸。||尸￡尸=。2=c2,又

||PFi|-|PF2||=2tz,平方后得PFi|2—2|尸尸山尸四十〔尸尸2|2=4°2,又在△7針人中，

由?=0可得尸為1尸尸2,所以『6|2+|0巳|2=402,兩式相減，整理得

1

\PF^PF^=2b\所以SAPF'F?21PBi『尸2尸岳，因?yàn)?|尸。|尸￡尸SA啊尸2,所以3x

dlb2

c2=b2,解得e=4.

x2

6.（2025?江蘇蘇南十校聯(lián)考、安徽亳州聯(lián)考）已知雙曲線C：。2—產(chǎn)=1g>o）,

點(diǎn)/在C上，過點(diǎn)/作C兩條漸近線的垂線，垂足分別為4B,若

3

\MA\-\MB\=^,則雙曲線C的離心率為（）

3/15

5A/3

A.4B.3

4

C.2D.3

B

xQ

［解析］設(shè)點(diǎn)Mxo,好），貝睜一聲=1,即述一°2聲『2,又兩條漸近線方

1\xQ-a2yQ\al3

程為歹=±以，即x±ay=O,故有附尸=c2=c2=4,所

cA/3

以e=a=3.故選B.

7.（2025?河北邢臺(tái)一中月考）已知平行四邊形Z5C黨內(nèi)接于橢圓

x2y2

Q-。2+62=1伍乂＞0）,且幺-斜率之積的范圍為，則橢圓。離心率的

取值范圍是（）

A.B.

C.D.

A

［解析］由題意，A,C和8,。均關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，令B（m,n）,則

D(—m,—n),若Z(x,y),貝U

y—ny+ny2—n2b2

kABkAD=x-m.x+m=x2-m2==-a26,所以橢圓Q禺心率e=G

.故選A.

8.（2024?貴州六校聯(lián)盟聯(lián)考）設(shè)直線y=云與雙曲線

4/15

x2y2

C：?2-Z）2=i（a>0,b>0）相交于48兩點(diǎn)，尸為C上不同于N,8的一點(diǎn)，直

線尸Z,05的斜率分別為小k2,若C的離心率為康，則向女2=（）

A.3B.1

C.2D.小

B

［解析］解法一：點(diǎn)4,5關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，設(shè)/（Xo，泗），5（—Xo，—Xo），

x2y2xQyQx2—xQy2—yQ

P（x,y）,由點(diǎn)差法。2—b2=i①，a2-b2=x@,①減②得a2=b29則

bl

=。2,即左［.左2=*一］,又由則左］.左2=］,故選B.

解法二：由題意可取C：X2-V2=l,不妨取左=0,尸（2,?。?則z（—1,0）,

5（1,0）,左1左2=2+1X2—1=1.故選B.

二、多選題

x2y2

9.（2024?江蘇省泰州市模擬）已知雙曲線C：9-16=1,過其右焦點(diǎn)廠的直

線/與雙曲線交于Z,8兩個(gè)不同的點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的為（）

32

A.|48|的最小值為3

B.以尸為焦點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為產(chǎn)=20x

C.滿足|48|=2的直線有3條

D.若/,8同在雙曲線的右支上，則直線/的斜率在U

BD

［解析］當(dāng)直線/的斜率為0時(shí)，于45兩點(diǎn)分別為雙曲線的頂點(diǎn)，則

32

\AB\=2a=6,又6<3,故選項(xiàng)A不正確；尸（5,0）,則以尸為焦點(diǎn)的拋物線的標(biāo)

準(zhǔn)方程為產(chǎn)=20x,故選項(xiàng)B正確；當(dāng)48兩點(diǎn)同在雙曲線的右支時(shí)（通徑為最

2b232

短弦），則0川之。=3>2,此時(shí)無滿足條件的直線.當(dāng)48兩點(diǎn)分別在雙曲線

一支上時(shí)（實(shí)軸為最短弦），則2a=6>2,此時(shí)無滿足條件的直線.故選項(xiàng)C

5/15

不正確；過右焦點(diǎn)廠分別作兩漸近線的平行線312,如圖，將A繞焦點(diǎn)廠沿逆

時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到與重合的過程中，直線與雙曲線的右支有兩個(gè)交點(diǎn).此時(shí)直

44

線/的斜率左＞3或左＜—3,故選項(xiàng)D正確.故選BD.

10.（2024?遼寧名校聯(lián)盟模擬）雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出

的光線經(jīng)過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過雙曲線的另一個(gè)焦

x2y2

點(diǎn).如圖，雙曲線E：4—6=1的左、右焦點(diǎn)分別為尸1，F(xiàn)2,從尸2發(fā)出的兩條

光線經(jīng)過E的右支上的48兩點(diǎn)反射后，分別經(jīng)過點(diǎn)C和。，其中，

共線，貝1）（）

A.若直線48的斜率左存在，則上的取值范圍為U

B.當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2師，師）時(shí)，光線由用經(jīng)過點(diǎn)Z到達(dá)點(diǎn)C所經(jīng)過的

路程為6

C.當(dāng)=2時(shí)，△8F/2的面積為12

710

D.當(dāng),=2時(shí)，coszLFiT^Z=-10

ABD

［解析］如圖，過點(diǎn)入分別作E的兩條漸近線的平行線A，h，則。，的

6/15

斜率分別為2,—2.由圖可知，當(dāng)點(diǎn)Z,8均在E的右支時(shí)，左<—2或

k>2,A正確；光線由凡經(jīng)過點(diǎn)Z到達(dá)點(diǎn)。所經(jīng)過的路程為

D21010D2D10-0D2

\F2A\+\AC\=\FXA\-2a+\AC\=\FxC\-2a=7V+V+^-4=6

,B正確；由^=2,得.（一）=o,即=0,所

71

以4BLBD,設(shè)|友"=〃，則|跖2尸〃-2a=〃一4,因?yàn)橐?50=2,所以〃2+（〃一4）

2=（2c）2=40,整理得〃2—4〃-12=0,解得〃=6或〃=一2（舍去），所以

1

|^|=6,\BF2\=2,所以△5為凡的面積5=2|5為卜|皮圖=6,C錯(cuò)誤；在R3

\BF2\回

尸歸三中，COSZ-F\F2B=W^F2\-==10,所以COSZLFIRZ/M-COSZLFIT^B：一

Vio

10,D正確.故選ABD項(xiàng).

三、填空題

x2

11.（2024?高考北京卷）若直線了=的一3）與雙曲線4—產(chǎn)=1只有一個(gè)公共

點(diǎn)，則上的一個(gè)取值為.

1

2

［解析］聯(lián)立化簡(jiǎn)并整理得：（1—4左2）N+24Nx—36k2—4=0,由題意得

1

1—4左2=0或/=（24?。?+4（36N+4）（l—4左2）=0,解得左=±2或無解，即

1

左=±2,經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意.

7/15

x2y2

12.（2025?貴州貴陽摸底）已知雙曲線C：。2—62=1（>0,b>0）的右焦點(diǎn)為

F,過尸的直線/與C交于點(diǎn)4B,且滿足|48|=2°的直線/恰有三條，則雙曲

線C的離心率的取值范圍為.

（1，8

［解析］由題意知道直線與雙曲線兩支分別相交，且有兩條直線與雙曲線同

一支相交.顯然滿足|45|=2a的直線/有1條為x軸，A,8為左右頂點(diǎn)，長(zhǎng)度

2b2

為實(shí)軸長(zhǎng)，|48|=2a.當(dāng)直線/過R剛好垂直x軸時(shí)，令x=c,可求得尸?.

此時(shí)直線/只有1條.加上前面的1條，總共2條，不滿足題意.如圖，運(yùn)用雙

2b2

曲線對(duì)稱性知道2a>。時(shí)，剛好有2條，總共3條，滿足題意.即52<。2.則e=

c

a===.又由于e>l,則雙曲線C離心率的取值范圍為

x2y2

13.（2025?廣西北海模擬）如圖，已知雙曲線,。2—62=1（心0,6>0）的左,

右焦點(diǎn)分別為乃，F(xiàn)2,正六邊形ABF2CDFX的一邊AFX的中點(diǎn)恰好在雙曲線"

上，則雙曲線〃的離心率是.

舊+1

3

［解析］設(shè)幺乃的中點(diǎn)為P,連接。尸，PF2,易得尸OL4FI，乙W。=60。,

1

所以為尸c,|P&=2°,在△尸為生中，由余弦定理得

8/15

113

22222242

\PF2\=|PFi|+|FIF2|-2|PF!I?|FIF2|'cos^PF^=4C+4c-c=c,

VB?I

所以『尸2尸2c,所以2ae2c—2c,

所以雙曲線"的離心率

2c

2c班1舊+1

一---c--C------

C=2Q=22=3

四、解答題

x2y2

14.(2025?遼寧沈陽部分學(xué)校質(zhì)檢)已知雙曲線C：。2—62=1伍＞o,房。)的

5a216

離心率為3,尸(c,0)為雙曲線的右焦點(diǎn)，且點(diǎn)尸到直線x=。的距離為5.

(1)求雙曲線C的方程；

(2)若點(diǎn)412,0),點(diǎn)尸為雙曲線C左支上一點(diǎn)，求的最小值.

［解析］(1)由題意知解得

則b=Rc2—a2=4,

x2y2

所以雙曲線C的方程為9—16=1.

(2)記雙曲線C的左焦點(diǎn)為劉，則尺(一5,0),

可得尸H+|尸回=|刃|+\PF^+2a=\PA\+|PFo|+6,

當(dāng)P,Fo,Z三點(diǎn)共線時(shí)，|尸2|十|尸瓦|最小，

且最小值為|4Fo|=17.故+n的最小值為17+6=23.

6B組能力提升9

x2y2

1.(2025?浙江浙南名校聯(lián)盟聯(lián)考)已知雙曲線C：。2—62=1伍＞0,6＞0)的左

焦點(diǎn)為為，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若在C的右支上存在關(guān)于x軸對(duì)稱的兩點(diǎn)尸，Q,使

9/15

得△尸為。為正三角形，且。01吊尸，則C的離心率為（）

A.也B.1+也

C.小D.1+小

D

［解析］設(shè)雙曲線的焦距為2c（c>0）,右焦點(diǎn)為尸2，直線。。交為產(chǎn)于點(diǎn)

M,連接尸尸2，因?yàn)椤魇瑸?。為正三角形，?！?為尸，所以河為人尸的中點(diǎn)，所以

兀兀

C

OM\\F2P,故乙后?尸2=2,易知"2為尸=6,所以|尸尸2尸的I尸為|=4，由雙曲線

c2

的定義知『乃|—|尸尸2尸2口，即由C—c=2a,得e=a="—l=l+4.故選D.

x2y2

2.（2024?九省聯(lián)考試題）設(shè)雙曲線C：。2—62=1（口>0,b>0）的左、右焦點(diǎn)分

別為乃，F(xiàn)2,過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與C交于48兩點(diǎn),

\FXB\=2\FXA\,=4/,則C的離心率為（）

A.MB.2

C.祖D."

D

［解析］由雙曲線的對(duì)稱性可知尸0=|尸2四，/向=尸2出，有四邊形

4FYB巳為平行四邊形.

令巧小=|尸2臺(tái)尸根，則尸向=甲24|=2相，由雙曲線定義可知

匹卻一尸同=2%故有2機(jī)一機(jī)=2%即機(jī)=2a,即

\FiA\=\F2B\=m=2a,\FxB\=\F2A\=Aa,=||-||COSZAF2B=2QX

10/15

1712n

AacosZ-AFoB=4a2,則cos乙4F2B=2,即乙4/28=3,故乙3,則有

\F1B\2+\F2B\2-\F1F2\2口4?？?+口2?？?一口2?？?1

COSZF2JBFI=2\F1B\-\F2B\=2x4ax2a=—2,即

20a2-4c21204e21

16a2=—2,即16—16=—2,則e?=7,由e>l,故e=".故選D.

3.（2025?浙江名校新高考研究聯(lián)盟聯(lián)考）如圖，設(shè)雙曲線

x2v2

C：a2-b2=^a>Q,b>0）的左焦點(diǎn)為R過尸作傾斜角為60。的直線/與雙曲線

C的左支交于48兩點(diǎn)，若=4,則雙曲線。的漸近線方程為

TH

J=±5X

［解析］令雙曲線右焦點(diǎn)為廣，半焦距為c,設(shè)|8尸|=/,則|4F|=4/,

由雙曲線定義得尸尸f+2a,|4F［=4/+2a,由直線48傾斜角為60。,

得由余弦定理得

11/15

即

整理得

6Vn

于c=5a,b=5a,

yn

所以雙曲線。的漸近線方程為y=±5X.

4.（2024?遼寧沈陽東北育才學(xué)校適應(yīng)性測(cè)試）已知雙曲線

x2y2x2y2

C：42—62=1伍>0,6>o）與橢圓16+12=1的焦點(diǎn)重合，離心率互為倒數(shù)，設(shè)

\PF2\

為、巳分別為雙曲線c的左、右焦點(diǎn)，尸為右支上任意一點(diǎn)，則I母2的最小值

為.

8

［解析］設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為m，短半軸長(zhǎng)為仇，半焦距為c,則

c==^16—12=2,

c1

故橢圓的禺心率ei=。1=2,

c2

從而雙曲線的離心率e=a=a=2,可得a=l,

根據(jù)雙曲線的定義有『為|一|尸巳|=2。，即\PFX\=\PF^+2,

\PF1\2n\PF2\+2D2\PF2\2+4\PF2\+4

故叱2］=一\PF2\—=\PF2\

4

=|PF2|+l^l+4,由雙曲線的范圍可得尸巳自一。=1,

根據(jù)基本不等式可得

4

\PF2\+\PF2\+4>2+4=8,

4

當(dāng)且僅當(dāng)|尸外|=1尸尸2|,

12/15

\PF1\2

BP|PF2|=2時(shí)取"="，所以\PF^\的最小值為8.

5.(2025?浙江強(qiáng)基聯(lián)盟聯(lián)考)已知雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)為(一也，0),(於，0),

點(diǎn)4(3,2隹)在雙曲線C上，過點(diǎn)Z作圓E：(x—2)2+產(chǎn)=1的兩條切線與雙曲線

C交于點(diǎn)河和點(diǎn)N.

(1)求雙曲線C的方程；

(2)求的面積.

x2y2

［解析］⑴設(shè)C：42—52=1,

由題意可得解得

???雙曲線C的方程為V—f=i.

(2)當(dāng)過點(diǎn)Z所作圓E：(x-2)2+j2=l的切線斜率不存在時(shí)，

不妨設(shè)切線ZN的斜率不存在，則直線ZN的方程為x=3,

.■.XN=3,VN=123,故02=4的.

當(dāng)過點(diǎn)Z所作圓￡：(x—2)2+產(chǎn)=1的切線斜率存在時(shí)，

設(shè)切線AM的方程為J—2A/2=^(X—3),

則圓心￡到直線2/的距離d==1,

7啦

解得左=8.

A/25地

故直線4W的方程為了=8%—8.

聯(lián)立

19

整理得17N—70x+57=0,解得9=17.

113264機(jī)

故品/加=20川|初一3|=2x4Mxl7=17.

&C組拓展應(yīng)用(選作)9

(2025?廣東惠州調(diào)研)已知雙曲線C：N-y2=l及直線/：y=kx-l.

(1)若/與C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)上的取值范圍；

13/15