第1頁（共1頁）北師大數(shù)學7年級上第二章有理數(shù)及其運算一．選擇題（共10小題）1“珍愛地球，人與自然和諧共生”是今年世界地球日的主題，旨在倡導公眾保護自然資源．全市現(xiàn)有自然濕地28700公頃，人工濕地13100公頃，這兩類濕地共有（）A．4.18×105公頃B．4.18×104公頃 C．4.18×103公頃D．41.8×102公頃2．下列各組數(shù)中，相等的一組是（）A．﹣（﹣1）與﹣|﹣1|B．﹣32與（﹣3）2 C．（﹣4）3與﹣43D．2233．某商店出售的三種品牌的面粉袋上，分別標有質(zhì)量為（25±0.1）kg、（25±0.2）kg、（25±0.3）kg的字樣，從中任意拿出不同品牌的兩袋，它們的質(zhì)量最多相差（）A．0.6kg B．0.5kg C．0.4kg D．0.2kg4．下列說法中正確的是（）A．一個數(shù)的相反數(shù)的相反數(shù)是它本身 B．絕對值等于它本身的數(shù)是0 C．﹣a的倒數(shù)是-1a D．25．若x是有理數(shù)，則x2+1的值一定是（）A．非負數(shù) B．非正數(shù) C．負數(shù) D．正數(shù)6．下列說法中正確的是（）A．﹣a表示負數(shù) B．1是絕對值最小的數(shù) C．倒數(shù)等于其本身的有理數(shù)只有1 D．若|x|＝﹣x，則x為非正數(shù)．7．已知ab≠0，則a|a|A．﹣2 B．0 C．1 D．28．規(guī)定一種新運算：a*b＝a﹣ab，如4*2＝4﹣42＝﹣12，則（﹣2）*3的值是（）A．﹣10 B．﹣6 C．6 D．89．已知表示有理數(shù)a，b的點在數(shù)軸上的位置如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A．|a|＜1＜|b| B．1＜a＜b C．1＜|a|＜b D．﹣b＜﹣a＜﹣110．一個自然數(shù)的立方，可以分裂成若干個連續(xù)奇數(shù)的和．例如：23，33和43分別可以按如圖所示的方式“分裂”成2個、3個和4個連續(xù)奇數(shù)的和，即23＝3+5；33＝7+9+11；43＝13+15+17+19；…；若63也按照此規(guī)律來進行“分裂”，則63“分裂”出的奇數(shù)中，最大的奇數(shù)是（）A．37 B．39 C．41 D．43二．填空題（共6小題）11．x是絕對值最小的有理數(shù)，y是最小的正整數(shù)，z是最大的負整數(shù)，則x+y+z＝．12．已知b≠0，且a與b互為相反數(shù)，下列各式一定成立的是．（填序號）①ab=-1；②|a|＝﹣b；③ab＝﹣a2；④a+b＝13．請觀察：-12、1、-98、1、-2532、…則第100個數(shù)是14．若xm＝y(tǒng)，則記為（x，y）＝m，例如32＝9，則（3，9）＝2．（1）根據(jù)上述規(guī)定，直接寫出（2，32）＝；（2）若（4，a）＝2，（b，8）＝3，則（b，a）＝．15．已知有理數(shù)a（a≠1），我們定義11-a為a的差倒數(shù)，如2的差倒數(shù)為11-2=-1，-1的差倒數(shù)為11-(-1)=12．已知a1＝5，a2是a1的差倒數(shù)，a3是a2的差倒數(shù)，a4是a3的差倒數(shù)，…16．你玩過24點游戲吧，請你運用加減乘除運算和括號，寫出數(shù)5，5，5，1得到24的算式（每個數(shù)只能用一次）．三．解答題（共7小題）17．在數(shù)軸上表示下列各數(shù)，并把它們用“＜”連接起來．﹣（+4）、1、﹣（﹣3.5）、0、|﹣2|、-118．已知a，b互為相反數(shù)，c，d互為倒數(shù)，m2＝1，則a+bm+1+m﹣19．某檢修小組從A地出發(fā)，在東西方向的馬路上檢修線路，最后收工時到達B地．如果規(guī)定向東行駛為正，向西行駛為負，一天中七次行駛記錄如下（單位：千米）：﹣4，+7，﹣9，+8，+6，﹣5，﹣2．（1）求收工時B地在A地的什么方向？B地與A地相距多少千米？（2）若每千米耗油0.2升，求共耗油多少升？20．（1）已知|a|＝9，|b|＝6，a＞b，求a﹣b的值；（2）已知|a|＝9，|b|＝6，|a﹣b|＝b﹣a，求a﹣b的值；（3）已知|a﹣1|＝2，|b+1|＝3，a＜0，b＞0，求a﹣b的值．21．李強靠勤工儉學的收入維持上大學的費用．下面是他某一周的收支情況表（收入為正，支出為負，單位為元）周一周二三四五六日+15+100+20+15+10+14﹣8﹣12﹣19﹣10﹣9﹣11﹣8（1）到這個周末，李強有多少節(jié)余？（2）照這樣，李強一個月（按30天計算）能有多少節(jié)余？（3）按以上的支出水平，李強一個月（按30天計算）至少有多少收入才能維持正常開支？22．觀察下列兩組等式：①11×2=1-12，1可得：11×2②11×4=（1）根據(jù)你的觀察，先寫出猜想：①199×100=﹣②1n(n+1)=﹣（2）然后，用簡單方法計算下列各題：①11×2+12×323．已知如圖，在數(shù)軸上有A，B兩點，所表示的數(shù)分別為﹣10，﹣4，點A以每秒5個單位長度的速度向右運動，同時點B以每秒3個單位長度的速度也向右運動，如果設運動時間為t秒，解答下列問題：（1）運動前線段AB的長為；運動1秒后線段AB的長為；（2）運動t秒后，點A運動的路程為（用含t的代數(shù)式表示），此時，點A表示為；（用含t的代數(shù)式表示）（3）求t＝時，點A與點B恰好重合；（4）在上述運動的過程中，是否存在某一時刻t，使得線段AB的長為5，若存在，求t的值；若不存在，請說明理由．

北師大數(shù)學7年級上第二章有理數(shù)及其運算參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）題號12345678910答案BCBADDCCCC一．選擇題（共10小題）1“珍愛地球，人與自然和諧共生”是今年世界地球日的主題，旨在倡導公眾保護自然資源．全市現(xiàn)有自然濕地28700公頃，人工濕地13100公頃，這兩類濕地共有（）A．4.18×105公頃B．4.18×104公頃 C．4.18×103公頃D．41.8×102公頃故選：B此題主要考查了科學記數(shù)法的表示方法．科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時關鍵要確定a的值以及n的值．2．下列各組數(shù)中，相等的一組是（）A．﹣（﹣1）與﹣|﹣1| B．﹣32與（﹣3）2 C．（﹣4）3與﹣43 D．223【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘方、絕對值、相反數(shù)的運算法則分別計算，再判斷即可．【解答】解：A、﹣（﹣1）＝1，﹣|﹣1|＝﹣1，即﹣（﹣1）與﹣|﹣1|不相等，故此選項不符合題意；B、﹣32＝﹣9，（﹣3）2＝9，即﹣32與（﹣3）2不相等，故此選項不符合題意；C、（﹣4）3＝﹣64，﹣43＝﹣64，即（﹣4）3與﹣43相等，故此選項符合題意；D、223=43，(故選：C．【點評】本題考查了有理數(shù)的乘方，絕對值，相反數(shù)，熟練掌握有理數(shù)的乘方法則是解題的關鍵．3．某商店出售的三種品牌的面粉袋上，分別標有質(zhì)量為（25±0.1）kg、（25±0.2）kg、（25±0.3）kg的字樣，從中任意拿出不同品牌的兩袋，它們的質(zhì)量最多相差（）A．0.6kg B．0.5kg C．0.4kg D．0.2kg【分析】根據(jù)題意給出三種品牌的面粉的質(zhì)量波動范圍，并求出任意兩袋質(zhì)量相差的最大數(shù)．【解答】解：從中任意拿出不同品牌的兩袋，它們的質(zhì)量最多相差：0.3﹣（﹣0.2）＝0.5（kg），故選：B．【點評】本題考查了正數(shù)和負數(shù)，解題關鍵是理解“正”和“負”的相對性，確定一對具有相反意義的量．4．下列說法中正確的是（）A．一個數(shù)的相反數(shù)的相反數(shù)是它本身 B．絕對值等于它本身的數(shù)是0 C．﹣a的倒數(shù)是-1D．2a是一個正數(shù)【分析】根據(jù)相反數(shù)，倒數(shù)的定義，絕對值的性質(zhì)，正數(shù)的定義逐項判斷即可．【解答】解：一個數(shù)的相反數(shù)的相反數(shù)是它本身，則A符合題意；絕對值等于它本身的數(shù)是0和正數(shù)，則B不符合題意；若a＝0時，﹣a沒有倒數(shù)，則C不符合題意；若a＝0時，2a＝0不是正數(shù)，則D不符合題意；故選：A．【點評】本題考查實數(shù)，熟練掌握相關定義及性質(zhì)是解題的關鍵．5．若x是有理數(shù)，則x2+1的值一定是（）A．非負數(shù) B．非正數(shù) C．負數(shù) D．正數(shù)【分析】由x2≥0，得x2+1一定是正數(shù)．【解答】解：∵x2≥0，∴x2+1一定是正數(shù)，故選：D．【點評】此題考查了非負數(shù)的性質(zhì)，關鍵是明確任何有理數(shù)的偶次方一定是非負數(shù)．6．下列說法中正確的是（）A．﹣a表示負數(shù) B．1是絕對值最小的數(shù) C．倒數(shù)等于其本身的有理數(shù)只有1 D．若|x|＝﹣x，則x為非正數(shù)．【分析】分別根據(jù)正數(shù)和負數(shù)的定義，絕對值的定義，倒數(shù)的定義逐一判斷即可．【解答】解：A．當a≤0時，﹣a不是負數(shù)，故本選項不合題意；B．0是絕對值最小的數(shù)，原說法錯誤，故本選項不合題意；C．倒數(shù)等于其本身的有理數(shù)有±1，原說法錯誤，故本選項不合題意；D．若|x|＝﹣x，則x為非正數(shù)，說法正確，故本選項符合題意．故選：D．【點評】本題考查了正數(shù)和負數(shù)，絕對值以及倒數(shù)，掌握相關定義是解答本題的關鍵．7．已知ab≠0，則a|a|A．﹣2 B．0 C．1 D．2【分析】按照a，b的正負性分類討論即可．【解答】解：當a＞0，b＞0時，a|a|當a＞0，b＜0時，a|a|當a＜0，b＞0時，a|a|當a＜0，b＜0時，a|a|∴a|a|+|b|故選：C．【點評】本題考查了化簡絕對值，有理數(shù)的加法和除法，分類討論是解題的關鍵．8．規(guī)定一種新運算：a*b＝a﹣ab，如4*2＝4﹣42＝﹣12，則（﹣2）*3的值是（）A．﹣10 B．﹣6 C．6 D．8【分析】原式利用題中的新定義計算即可得到結(jié)果．【解答】解：根據(jù)題中的新定義得：原式＝（﹣2）﹣（﹣2）3＝﹣2+8＝6．故選：C．【點評】此題考查了有理數(shù)的混合運算，弄清題中的新定義是解本題的關鍵．9．已知表示有理數(shù)a，b的點在數(shù)軸上的位置如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A．|a|＜1＜|b| B．1＜a＜b C．1＜|a|＜b D．﹣b＜﹣a＜﹣1【分析】由題可知，a＜﹣1＜0＜b，然后依據(jù)條件逐一判斷選項即可．【解答】解：由題可知，a＜﹣1＜0＜b，A、∵a＜﹣1，b＞3，∴|b|＞|a|＞1，故選項A不符合題意；B、∵a＜1＜b，故選項B不符合題意；C、∵﹣2＜a＜﹣1，b＞3，∴b＞|a|＞1，故選項C符合題意；D、∵﹣2＜a＜﹣1，4＞b＞3，∴1＜﹣a＜2，﹣4＜﹣b＜﹣3，∴﹣b＜﹣1＜﹣a，故選項D不符合題意；故選：C．【點評】本題考查的是數(shù)軸，根據(jù)題意提取已知條件a＜﹣1＜0＜b，再逐一判斷選項是解題的關鍵．10．一個自然數(shù)的立方，可以分裂成若干個連續(xù)奇數(shù)的和．例如：23，33和43分別可以按如圖所示的方式“分裂”成2個、3個和4個連續(xù)奇數(shù)的和，即23＝3+5；33＝7+9+11；43＝13+15+17+19；…；若63也按照此規(guī)律來進行“分裂”，則63“分裂”出的奇數(shù)中，最大的奇數(shù)是（）A．37 B．39 C．41 D．43【分析】通過觀察不難發(fā)現(xiàn)，奇數(shù)的個數(shù)與底數(shù)相同，先求出到以6為底數(shù)的立方的最后一個奇數(shù)為止，所有的奇數(shù)的個數(shù)為20，再求出從3開始的第20個奇數(shù)即可得解．【解答】解：∵23有3、5共2個奇數(shù)，33有7、9、11共3個奇數(shù)，43有13、15、17、19共4個奇數(shù)，…，63共有6個奇數(shù)，∴到63“分裂”出的奇數(shù)為止，一共有奇數(shù)：2+3+4+5+6＝20，又∵3是第一個奇數(shù)，∴第20個奇數(shù)為20×2+1＝41，即63“分裂”出的奇數(shù)中，最大的奇數(shù)是41．故選：C．【點評】本題考查了數(shù)字變換規(guī)律，有理數(shù)的乘方，觀察數(shù)據(jù)特點，判斷出底數(shù)是相應的奇數(shù)的個數(shù)是解題的關鍵．二．填空題（共6小題）11．x是絕對值最小的有理數(shù)，y是最小的正整數(shù)，z是最大的負整數(shù)，則x+y+z＝0．【分析】直接利用絕對值的性質(zhì)以及正整數(shù)、負整數(shù)的定義得出x，y，z的值進而得出答案．【解答】解：∵x是絕對值最小的有理數(shù)，y是最小的正整數(shù)，z是最大的負整數(shù)，∴x＝0，y＝1，z＝﹣1，則x+y+z＝0+1﹣1＝0．故答案為：0．【點評】此題主要考查了有理數(shù)的加法，正確把握相關定義得出x，y，z的值是解題關鍵．12．已知b≠0，且a與b互為相反數(shù)，下列各式一定成立的是①③④．（填序號）①ab=-1；②|a|＝﹣b；③ab＝﹣a2；④a+b＝【分析】根據(jù)題意可以分別判斷各個小題中的結(jié)論是否成立，從而可以解答本題．【解答】解：∵b≠0，且a與b互為相反數(shù)，∴a＝﹣b≠0，a+b＝0，故④正確，∴ab=-1，故當a＞0時，則b＜0，故|a|＝﹣b，ab＝﹣a2，當a＜0時，則b＞0，故|a|＝b，ab＝﹣a2，當a＝0時，ab＝﹣a2，由上可得，②錯誤，③正確，故答案為：①③④．【點評】本題考查有理數(shù)的乘方、相反數(shù)、絕對值，解答本題的關鍵是明確它們各自的計算方法．13．請觀察：-12、1、-98、1、-2532、…則第100個數(shù)是【分析】由所給的數(shù)分析其規(guī)律，再寫出第100個數(shù)即可．【解答】解：∵-12=（﹣1）1＝（﹣1）2×2-98=（﹣1）1＝（﹣1）4×4-2536=（﹣1）…∴第n個數(shù)為：（﹣1）n×n∴第100個數(shù)為：（﹣1）100×10故答案為：100002【點評】本題主要考查規(guī)律型：數(shù)字的變化類，解答的關鍵是分析清楚所給數(shù)字之間的關系，得出規(guī)律．14．若xm＝y(tǒng)，則記為（x，y）＝m，例如32＝9，則（3，9）＝2．（1）根據(jù)上述規(guī)定，直接寫出（2，32）＝5；（2）若（4，a）＝2，（b，8）＝3，則（b，a）＝4．【分析】（1）直接根據(jù)規(guī)定的定義解答即可；（2）根據(jù)規(guī)定的定義先求得a、b的值，再按定義解答即可．【解答】解：（1）∵25＝32，∴（2，32）＝5．故答案為：5；（2）∵（4，a）＝2，（b，8）＝3，∴a＝42＝16，b3＝8，∴b＝2，∴（2，16）＝4．故答案為：4．【點評】此題考查了同底數(shù)冪的乘法，掌握同底數(shù)冪的乘法的運算法則是關鍵．15．已知有理數(shù)a（a≠1），我們定義11-a為a的差倒數(shù)，如2的差倒數(shù)為11-2=-1，-1的差倒數(shù)為11-(-1)=12．已知a1＝5，a2是a1的差倒數(shù)，a3是a2的差倒數(shù)，a4是a3的差倒數(shù)，…【分析】根據(jù)題意，可以這列數(shù)的前幾項，從而可以發(fā)現(xiàn)數(shù)字的變化特點，進而寫出2020的值．【解答】解：由題意可得，a1＝5，a2=1a3=1a4=11-…，則這組數(shù)據(jù)依次以5，-14，∵2020÷3＝673…1，∴a2020的值是5，故答案為：5．【點評】本題考查數(shù)字的變化類、差倒數(shù)，解答本題的關鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)數(shù)字的變化特點，求出所求項的值．16．你玩過24點游戲吧，請你運用加減乘除運算和括號，寫出數(shù)5，5，5，1得到24的算式5×（5﹣1÷5）＝24（每個數(shù)只能用一次）．【分析】根據(jù)5-1【解答】解：5×（5﹣1÷5）＝24，故答案為：5×（5﹣1÷5）＝24．【點評】本題考查了有理數(shù)的混合運用，解題關鍵是恰當?shù)倪\用運算符號和括號列出準確算式．三．解答題（共7小題）17．在數(shù)軸上表示下列各數(shù)，并把它們用“＜”連接起來．﹣（+4）、1、﹣（﹣3.5）、0、|﹣2|、-1【分析】首先根據(jù)在數(shù)軸上表示數(shù)的方法，在數(shù)軸上表示出所給的各數(shù)；然后根據(jù)當數(shù)軸方向朝右時，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大，把這些數(shù)由小到大用“＜”號連接起來即可．【解答】解：﹣（+4）＝﹣4，0，﹣（﹣3.5）＝3.5，|﹣2|＝2，用數(shù)軸表示如圖所示：﹣（+4）＜-12＜0＜1＜|﹣【點評】此題主要考查了有理數(shù)大小比較的方法，以及在數(shù)軸上表示數(shù)的方法，以及數(shù)軸的特征：一般來說，當數(shù)軸方向朝右時，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大，要熟練掌握．18．已知a，b互為相反數(shù)，c，d互為倒數(shù)，m2＝1，則a+bm+1+m﹣【分析】根據(jù)a、b互為相反數(shù)，c、d互為倒數(shù)，m2＝1，可以求得a+b、cd、m的值，從而可以解答本題．【解答】解：∵a、b互為相反數(shù)，c、d互為倒數(shù)，m2＝1，∴a+b＝0，cd＝1，m＝±1，①當m＝1時，原式＝0+1+1﹣1＝1，②當m＝﹣1時，原式＝0+1+（﹣1）﹣1＝﹣1，綜上，a+bm+1+m﹣cd的值為1或﹣【點評】本題考查有理數(shù)的混合運算，解答本題的關鍵是明確有理數(shù)混合運算的計算方法．19．某檢修小組從A地出發(fā)，在東西方向的馬路上檢修線路，最后收工時到達B地．如果規(guī)定向東行駛為正，向西行駛為負，一天中七次行駛記錄如下（單位：千米）：﹣4，+7，﹣9，+8，+6，﹣5，﹣2．（1）求收工時B地在A地的什么方向？B地與A地相距多少千米？（2）若每千米耗油0.2升，求共耗油多少升？【分析】（1）將題中數(shù)據(jù)求和，根據(jù)結(jié)果的正負可判斷方向，根據(jù)數(shù)值的大小可判斷B地與A地相距多少千米．（2）將題中數(shù)據(jù)的絕對值求和，再乘以0.2，計算即可．【解答】解：（1）由題意得：﹣4+7﹣9+8+6﹣5﹣2＝（﹣4﹣9﹣5﹣2）+（7+8+6）＝﹣20+21＝1（千米），∴收工時B地在A地的東邊，B地與A地相距1千米．（2）由題意得：（|﹣4|+|+7|+|﹣9|+|+8|+|+6|+|﹣5|+|﹣2|）×0.2＝（4+7+9+8+6+5+2）×0.2＝41×0.2＝8.2（升）．∴共耗油8.2升．【點評】本題考查了有理數(shù)的混合運算在實際問題中的應用，理清題中的數(shù)量關系并熟練掌握相關運算法則是解題的關鍵．20．（1）已知|a|＝9，|b|＝6，a＞b，求a﹣b的值；（2）已知|a|＝9，|b|＝6，|a﹣b|＝b﹣a，求a﹣b的值；（3）已知|a﹣1|＝2，|b+1|＝3，a＜0，b＞0，求a﹣b的值．【分析】（1）根據(jù)|a|＝9，|b|＝6，a＞b，確定a、b的值，再代入計算即可；（2）根據(jù)|a|＝9，|b|＝6，|a﹣b|＝b﹣a，確定a、b的值，再代入計算即可；（3）根據(jù)|a﹣1|＝2，|b+1|＝3，a＜0，b＞0，確定a、b的值，再代入計算即可．【解答】解：（1）由|a|＝9，|b|＝6，a＞b得：a＝9，b＝6或a＝9，b＝﹣6，當a＝9，b＝6時，a﹣b＝9﹣6＝3，當a＝9，b＝﹣6時，a﹣b＝9﹣（﹣6）＝15，所以a﹣b的值為3或15；（2）由|a|＝9，|b|＝6，|a﹣b|＝b﹣a得：a＝﹣9，b＝6或a＝﹣9，b＝﹣6，當a＝﹣9，b＝6時，a﹣b＝﹣9﹣6＝﹣15，當a＝﹣9，b＝﹣6時，a﹣b＝﹣9﹣（﹣6）＝﹣3，所以a﹣b的值為﹣15或﹣3；（3）由|a﹣1|＝2，|b+1|＝3，a＜0，b＞0得，a＝﹣1，b＝2，當a＝﹣1，b＝2時，a﹣b＝﹣1﹣2＝﹣3，所以a﹣b的值為﹣3．【點評】本題考查絕對值的意義、有理數(shù)加減法的計算方法，確定x、y的值是正確計算的前提，掌握計算法則是關鍵．21．李強靠勤工儉學的收入維持上大學的費用．下面是他某一周的收支情況表（收入為正，支出為負，單位為元）周一周二三四五六日+15+100+20+15+10+14﹣8﹣12﹣19﹣10﹣9﹣11﹣8（1）到這個周末，李強有多少節(jié)余？（2）照這樣，李強一個月（按30天計算）能有多少節(jié)余？（3）按以上的支出水平，李強一個月（按30天計算）至少有多少收入才能維持正常開支？【分析】（1）根據(jù)表格，將所有的數(shù)字相加，利用同號及異號兩數(shù)相加的法則計算，得到結(jié)果，即為節(jié)余；（2）由（1）求出的結(jié)果，除以7求出每天的節(jié)余，乘以30即可得到一個月的節(jié)余；（3）根據(jù)表格將所有的開支相加，求出維持正常開支的費用，除以7求出一天開支的費用，乘以30即可求出所求維持正常開支的收入．【解答】解：（1）根據(jù)題意列得：（+15）+（﹣8）+（+10）+（﹣12）+0+（﹣19）+（+20）+（﹣10）+（+15）+（﹣9）+（+10）+（﹣11）+（+14）+（﹣8）＝7，則李強有7元的節(jié)余；（2）30×（7÷7）＝30，則李強一個月能有30元的節(jié)余；（3）根據(jù)題意列得：（﹣8）+（﹣12）+（﹣19）+（﹣10）+（﹣9）+（﹣11）+（﹣8）＝﹣77，∴至少支出77元，即每天至少支出11元，則一個月至少有330元的收入才能維持正常開支．【點評】此題考查了有理數(shù)混合運算的應用，弄清題意是解本題的關鍵．22．觀察下列兩組等式：①11×2=1-12，1可得：11×2②11×