第2章對稱圖形圓（易錯(cuò)必刷30題7種題型專項(xiàng)訓(xùn)練）

一.垂徑定理（共1小題）

1.（2022秋?濰城區(qū)期中）如圖，。。的直徑AB與弦CD交于點(diǎn)E,若B為后的中點(diǎn)，則下列說法錯(cuò)誤的

A.CB=BEB.OE=BEC.CE=DED.ABVCD

【分析】根據(jù)垂徑定理及其推論判斷即可.

【解答】解：???點(diǎn)8為百的中點(diǎn)，

ACB=BD?故A選項(xiàng)說法正確，不符合題意；

是。。的直徑，CB=BD?

：,CE=DE,ABIC。，故C、D選項(xiàng)說法正確，不符合題意；

不能證明故8選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，符合題意；

故選:B.

【點(diǎn)評】本題考查的是垂徑定理及其推論，垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧，平

分弦所對一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧.

二.圓心角、弧、弦的關(guān)系（共1小題）

2.（2022秋?邳州市期中）如圖，AB.。。是的兩條弦，ZAOC=ZBOD.求證：AB=CD.

【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)可得/AO8=NCOQ,然后根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系，即可解答.

【解答】證明：???NAOC=N8OO,

???ZAOC+ZCOB=ZBOEH-ZCOB.

：.ZAOB=ZCOD,

：.AB=CD,

【點(diǎn)評】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系，熟練掌握圓心角、弧、弦的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

三.圓周角定理（共19小題）

3.（2022秋?邳州市期中）如圖，在。。中，乙4=30°,則令的度數(shù)為（）

【分析】利用圓周角定理可得/CO3=2NA=60°,即可解答.

【解答】解：???NA=30°,

???NCO8=2N4=60",

???拜的度數(shù)為60°,

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查了圓周角定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系，熟練掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵.

4.12022秋?海淀區(qū)校級期中）如圖，點(diǎn)A,從。均在OO上，若NAO4=5（）°,則NACB的度數(shù)是（）

【分析】利用圓周角定理，進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】解：???NAOB=50°,

???NAC8=2NAO8=2X50°=25°,

22

故選:A.

【點(diǎn)評】本題考查了圓周角定理，熟練掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵.

5.（2022秋?拱堂區(qū)校級期中）如圖，點(diǎn)A在。。上，NOBC=25°,則N8AC的度數(shù)為（）

【分析】利用等腰三角形的性質(zhì)可得NO3C=NOCB=25°,從而利用三角形內(nèi)角和定理可得/BOC=

13?！?然后利用圓周角定理進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】解：??，OB=OC,

：?NOBC=NOCB=25°,

???/40c=1800-ZOBC-ZOCB=\W,

AZ?AC=—ZBOC=65°,

2

故選:B.

【點(diǎn)評】本題考查了圓周角定理，熟練掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵.

6.（2022秋?哪城區(qū)期中）如圖，。。中，。4，弦3。，點(diǎn)E為垂足，點(diǎn)D在優(yōu)弧上，則下列語句中，錯(cuò)誤

的是（）

A.BE=CEB.AC=AEC.ZAOB=2ZADCD.NBCD=NCBO

【分析】連接OC，利用垂徑定理可得8E=CE,標(biāo)=丘，從而可得NAO8=NAOC,再利用圓周角定

理可得NAOC=2NAOC,然后利用等量代換可得NAO8=2NAOC,即可判斷A,B,C；根據(jù)等腰三角

形的性質(zhì)可得/C8O=/OC8,再結(jié)合圖形可得NBCD>/OCB,即可判斷。.

【解答】解：連接OC,

???QA_L弓玄BC,

c

A

D

【分析】根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得NAC8=90°,然后利用直角三角形的兩個(gè)銳角互余可得/A

=66°,從而利用同弧所對的圓周角相等即可解答.

【解答】解：???AB是的直徑,

???/ACB=90°,

VZ/\BC=24°，

/.ZA=90°-NA8C=66°,

???N8QC=NA=66°，

故答案為：66.

【點(diǎn)評】本題考查了圓周角定理，熟練掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵.

9.(2022秋?祁江區(qū)期中)如圖，已知點(diǎn)A,B,C依次在00上，N8-NA=40°,則NA0B的度數(shù)為

800

【分析】利用三角形內(nèi)角和定理得到N0+NA=NC+N8,所以NO?NC=40°,再根據(jù)圓周角定理得

到NC=2N。，所以NO-2/O=4()°,從而得到NO的度數(shù).

22

【解答】解：???NO+NA=NC+NB,

.??NO-NC=NA-NA=40°,

VZC=—ZO,

2

AZO--ZO=40°,

2

???NO=80°.

故答案為：80°.

【點(diǎn)評】本題考查了圓周角定理.解題的關(guān)鍵是掌握圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的

詞周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半.

10.（2022秋?儀征市期中）如圖，已知點(diǎn)A,B,C依次在。0上，ZB-ZA=30°,則NA08的度數(shù)為

60°.

【分析】設(shè)AC與04相交于點(diǎn)。，利用三角形內(nèi)角和定理以及對頂角相等可得NO+NA=/C+N3,從

而可得NO-NC=NB-NA=30°,然后根據(jù)圓周角定理可得NC=2NO,從而可得

22

30°,進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】解：如圖：設(shè)AC與。8相交于點(diǎn)。，

???NO+NA+NOQA=180°,ZB+ZC+ZBDC=\SOa,ZADO=ZBDC,

：.ZO+ZA=ZC+ZB,

???NO?ZC=ZB-NA=30°,

VZC=—ZO,

2

AZO--ZO=30°,

2

???NO=60°,

故答案為:60.

【點(diǎn)評】本題考查了圓周角定理，熟練掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵.

11.（2022秋?梁溪區(qū)校級期中）如圖，04、03是的半徑，C是。0上一點(diǎn)，NAO3=4（T,則NAC4

20

【分析】利用圓周角定理.，進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】解：???NA0B=4（r,

/.ZACB=—ZAOB=20C>,

2

故答案為:20.

【點(diǎn)評】本題考查了圓周角定理，熟練掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵.

12.（2022秋?崇川區(qū)期中）如圖，圓的兩條弦A&C。相交于點(diǎn)E,且俞=方，NA=36°,則且NCEB的

度數(shù)為72°

【分析】根據(jù)等弧所對的圓周角相等可得N4=NC=36°,然后利用三角形的外角性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可解

答.

【解答】解：???令=方，乙4=36°,

/.ZA=ZC=36°,

???NCEB是△ACE的一個(gè)外角，

.\ZCEB=Z4+ZC=72O,

牧答案為：72°.

【點(diǎn)評】本題考查了圓周角定理，熟練掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵.

13.（2022秋?鎮(zhèn)江期中）如圖，”為。。直徑，CD為弦,A/H.CQ于E,連接CO,AD,ZBAD=26°,

則N80C=52°.

A

【分析】連接AC根據(jù)垂徑定理可得標(biāo)=在，再根據(jù)等弧所對的圓周角相等可得N/MC=NZMO=26°,

然后利用圓周角定理進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】解：連接AC,

為OO直徑，CD為弦,ABA.CD,

???菽=面，

：.ZBAC=ZBAD=2^,

.??N3OC=2NB4C=52°,

故答案為：52°.

【點(diǎn)評】本題考查了圓周角定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)?/p>

輔助線是解題的關(guān)鍵.

14.（2022秋?東臺(tái)市期中）如圖，A5是半圓。的直徑，Z/WD=35°,點(diǎn)C是面上的一點(diǎn)，則/C=125

發(fā).

【分析】先根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得NAQ3=90°,從而利用直角三角形的兩個(gè)悅角互余求出

NA=55°,然后利用圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】解：Y4B是半圓。的直徑，

，乙4。8=9()°,

VZABD=35°,

/.ZA=90°-ZABD=55°,

???四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，

AZA+ZC=180°,

AZC=1800-NA=125°,

故答案為：125.

【點(diǎn)評】本題考查了圓周角定理，熟練掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵.

15.(2022秋?武昌區(qū)期中)已知00的兩條弦為A8、AC,連接半徑OA、OB、OC,若AC=&A4=6

0A,則N8OC的度數(shù)為1500或30°.

【分析】分兩種情況：當(dāng)弦AB,AC位于OA的異側(cè)時(shí)：當(dāng)弦A8,AC位于OA的同側(cè)時(shí)：然后分別進(jìn)行

計(jì)算即可解答.

【解答】解：分兩種情況：

當(dāng)弦48,AC位于OA的異側(cè)時(shí)，如圖：

延長A。交。。于點(diǎn)。，連接CD,

:4。是。。的直徑，

AZACD=90°,

\'AD=2AO,AC=^2OA,

.??而。=螞=還=?

AD2A02

???NO=45°,

/.ZAOC=2ZD=90°,

*：AC=^2AB=^2OA,

：.AB=AO,

?：OA=OB,

,\OA=OB=AB,

???△A08是等邊三角形，

???NAO8=60°,

/.ZBOC=ZAOB+ZAOC=150°；

當(dāng)弦48,AC位于OA的同側(cè)時(shí)，如圖:

D

延長AO交。。于點(diǎn)。，連接CO,

???A。是OO的直徑，

???NAC￡>=90°,

'：AD=2AO,4C=&OA,

.??而。=螞=遜=亞，

AD2A02

AZD=45°,

AZAOC=2ZD=90°,

?:AC=?AB=?OA,

：.AB=AO,

'：OA=OB,

.\OA=OB=AB,

???△AO8是等邊三角形，

???NAO8=60°,

；?NBOC=ZAOC-ZAOB=30°；

綜上所述：NBOC的度數(shù)為150°或30°,

故答案為：150°或30°.

【點(diǎn)評】本題考查了圓周角定理，分兩種情況討論是解題的關(guān)鍵.

16.（2022秋?東臺(tái)市期中）如圖，以人8為直徑的。。經(jīng)過△ABC的頂點(diǎn)C,AE,BE分別平分NBAC和N

ABC,的延長線交。0于點(diǎn)。，連接3Q.

（1）判斷ABOE的形狀，并證明你的結(jié)論;

求8c的長.

D

【分析】（1）由角平分線的定義可知，NBAE=/CAD=/CBD,NABE=NEBC,所以NBED=NDBE,

所以因?yàn)锳3為直徑，所以NAOZ?=90°,所以足等腰直角二角形.

（2）連接OC、CD、OD,OD交BC于息F.因?yàn)镹O8C=NC4D=N84O=NBCO.所以BO=OC.因

為OB=OC.所以0。垂直平分BC.由△BOE是等腰直角三角形，BE=2W可得80=2遍.因?yàn)?/p>

OB=OD=5.設(shè)。尸=f,WODF=5-t.在RtZ\3。/和RtZXBD尸中，52-r=（2遙）2-（5-t）2,解

出/的值即可.

【解答】（1）解：為等腰直角三角形.

證明：???AE平分NBAC,BE平分N48C,

/.ZBAE=ZCAD=ACBD,ZABE=ZEBC.

???ZBED=NBAE+NABE,ZDBE=ZDBC+ZCBE,

:./BED=/DBE.

:?BD=ED.

???AB為直徑，

???408=90°,

???△4OE是等腰直角三角形.

另解：計(jì)算NAEB=1350也可以得證.

（2）解：連接OC、CD、OD,0D交BC于點(diǎn)、F.

*/ZDBC=ZCAD=ZBAD=/BCD.

：.BD=DC.

?：OB=OC.

???。。垂直平分8C.

是等腰直角三角形，8七=2。15，

:.BD=2疾.

???AB=10,

：.0B=0D=5.

設(shè)OF=f,MDF=5-t.

在RlZXBO/和RlZXBO產(chǎn)中，52-r2=（2遙）2-（5-/）2,

解得，=3,

：.BF=4.

：.BC=S.

另解：分別延KAC,6。相交丁點(diǎn)G.則為等腰三角形，先沖算AG=10,66=4倔，A。=4遙,

再根據(jù)面積相等求得8C

【點(diǎn)評】此題是圓的綜合題，主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，證明△BOE是等腰

在角三角形是解題關(guān)鍵.

17.（2022秋?大豐區(qū)期中）如圖，AB是0。的直徑，弦C。交AB于點(diǎn)連接AC、AZ）.若N84C=35°,

（1）求N。的度數(shù)；

（2）若N4CQ=65°,求NCE8的度數(shù).

【分析】（1）連接CB,根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得NACB=90°,從而利用直角三角形的兩個(gè)銳

角互余可得NABC=55°,然后利用同弧所對的圓周角相等即可解答；

（2）利用三角形的外角性質(zhì)，進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】解：（1）連接C8,

〈AB是。0的直徑，

AZACB=90°,

VZ5AC=35°,

AZABC=90°-NB4C=55°,

，N48C=NO=55°,

???N。的度數(shù)為55°；

（2）???NCE8是△ACE的一人外角，

AZCEB=ZBAC+ZACD=100°,

???NC￡3的度數(shù)為100°.

【點(diǎn)評】本題考查了圓周角定理，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵.

18.（2022秋?工業(yè)園區(qū)校級期中〕如圖，8c是。。的直徑，點(diǎn)A在O。上，ADLBC.垂足為點(diǎn)。.AE=

4B,BE分別交AD、AC于點(diǎn)F、G.

（1）判斷△"G的形狀.并說明理由；

（2）延長4。交。0于點(diǎn)M,連接ME,求證：MEJLAC.

B

DO

【分析】（1）根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得N84C=90°,從而利用直角三角形的兩個(gè)銳角互余可

得乙鉆G+NAG3=90",然后再利用垂直定義可得N4OC=90,,再利用直角三角形的兩個(gè)銳角互余可

得/項(xiàng)G+NACQ=90”,最后根據(jù)已知易得N48G=NACD從而利用等角的余角相等可得NAG8=N

FAG,進(jìn)而利用等角對等邊即可解答；

（2）設(shè)與4c交于點(diǎn)P,利用垂徑定理可得標(biāo)=而，從而可得NC=NBEM,再根據(jù)已知和對頂角

相等可得N+AG=N￡GP,從而可得NEGP+N他M=9U°,然后利用二角形內(nèi)角和定理可得N￡7P=

90°,即可解答.

【解答】（1）解：△"G是等腰三角形，

理由：???3C是的直徑，

AZBAC=90°,

???NABG+NAG8=90°,

'/ADLBC,

???N4OC=90°,

.\ZMG+ZACD=90°,

*：AB=AE,

AAB=AE>

:.ZAHG=ZACD,

/.ZAGB=ZFAG,

：,FA=FG,

???△RG是等腰三角形；

（2）證明：設(shè)EM與AC交于點(diǎn)P,

???ODLAM,

/.AB=BM，

，/C=NBEM,

???/EGP=NAGF,ZFAG=ZAGF,

工/E\G=/EGP,

VZMG+ZC=90°,

???/上G〃+N8EM=9U°,

；.NEPG=180°-(NEGP+/BEM)=90°,

：.ME±AC.

【點(diǎn)評】本題考查了圓周角定理，熟練掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵.

19.(2022秋?梁溪區(qū)校級期中)如圖，。。的直徑A￡=8,ZB=ZEAC,求AC的長.

E---------

【分析】連接CE,根據(jù)同弧所對的圓周角相等可得/B=NE,從而可得NE=NE4C,進(jìn)而可得CE=

AC,然后再根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得/ACE=90°,從而利用等腰直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算

即可解答.

【解答】解：連接CE,

???N8=/E,NB=NEAC,

???/￡：=/EAC,

???A￡是。。的直徑,

???NAC￡=90°,

?；A￡=8,

V2V2

???AC的K為4，5.

【點(diǎn)評】本題考查了圓周角定理，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)今圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵.

20.（2022秋?確山縣期中）如圖所示，。。的直徑/W為6a〃，NAC3的平分線交于點(diǎn)D

（1）判斷△AQ8的形狀，并證明；

（2）求8。的長.

【分析】（1）利用角平分線的定義可得NACO=NBC。，從而可得近=黃，進(jìn)而可得4。=8。，然后利

用直徑所對的圓周角是直角可得NAO8=90°,即可解答；

（2）利用（1）的結(jié)論：AQ8是等腰直角三角形，然后利用等提直角三角形的性質(zhì)，進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】解：（1）aAOB是等腰直角三角形，

證明：???CO平分NAC8,

；?/ACD=/BCD,

?,?在=而，

:?AD=BD,

?.FA是OO的直徑,

AZADB=90°,

???△4QB是等腰直角三角形;

（2）由（1）得：

ZADB=90°,AD=BD,

???AB=6c〃?,

：.BD=~^=阜=3a(cm),

V2V2

???8。的長為3近.

【點(diǎn)評】本題考查了圓周角定理，熟練掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵.

21.（2022秋?南河區(qū)期中）如圖，已知AC是的直徑，AB,CO是中的兩條弦，且AZ?〃CO,連結(jié)

AD,BC.

（1）求證：四邊形A8C。是矩形:

（2）若N8AC=30°,OO的直徑為10,求矩形43co的面積.

【分析】（1）根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得/4&=乙短。=90°,再利用平行線的性質(zhì)可得/BC。

=90。，然后利用矩形的判定即可解答；

（2）在跳△44C中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)可得4c=5,AB=5M，然后利用矩形的面積

公式進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】（1）證明：???AC是0。的直徑，

?.ZABC=ZADC=90°,

,:AB〃CD,

???NBCO=1800-ZB=90°.

???四邊形ABC。是矩形；

（2）解：VZ^=90°,/B4C=30°,AC=IO,

：.BC=-AC=5,AB=43BC=5^3,

2

；?矩形ABCD的面積=A8?8C

=5^3X5

=25a，

???矩形ABCD的面積為2573.

【點(diǎn)評】本題考查了圓周角定理，矩形的判定與性質(zhì)，含30度角的直角三角形，熟練掌握圓周角定理，

以及矩形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

四.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系（共1小題）

22.（2022秋?新星區(qū)期中）如圖，點(diǎn)A,8的坐標(biāo)分別為A（2.0）,B（0,2）,點(diǎn)C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，

BC=1,點(diǎn)M為線段AC的中點(diǎn)，連接。M,則的最大值為（)

OAX

A.V2+1B.V2+—C.2^2+1D.2^/2--

22

【分析】根據(jù)同圓的半徑相等可知：點(diǎn)。在半徑為1的OB上，通過畫圖可知，。在與圓K的交點(diǎn)

時(shí)，0M最小，在。3的延長線上時(shí)0M最大，根據(jù)三角形的中位線定理可得結(jié)論.

【解答】解：如圖，

???點(diǎn)C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，BC=1,

???C在08上，且半徑為1,

取。。=。4=2,連接CZ),

),

/一.一、

??-----------乙------------\AX

D0A

?：AM=CM,0D=0A,

???0M是△ACO的中位線，

/.OM=-CD,

2

當(dāng)OM最大時(shí)，即CQ最大，而。，B,C三點(diǎn)共線時(shí),當(dāng)C在QB的延長線上時(shí)，0M最大,

?：0B=0D=2,N3OD=90”,

:,BD=2版,

:.CD=2近+1,

故選:B.

【點(diǎn)評】本題考查了坐標(biāo)和圖形的性質(zhì)，三角形的中位線定理等知識(shí)，確定0M為最大值時(shí)點(diǎn)C的位置

是關(guān)鍵，也是難點(diǎn).

五.三角形的外接圓與外心（共2小題）

23.（2022秋?深陽市期中）如圖，△ABC是的內(nèi)接三角形，直徑AB=4,C。平分NAC8交。。于點(diǎn)

D,交AB于點(diǎn)E,連接AD、BD.

（1）若/。8=25°,求NAEO的度數(shù)；

（2）求4Q的長.

D

【分析】（1）根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得NACB=90°,再利用角平分線的定義可得NACO=N

BCD=45。，然后再利用三角形的外角性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可解答；

（2）根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得/AC8=90°,再利用（1）的結(jié)論可得益=說，從而可得4。

=DB，然后利用等腰直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】解：（1）;A8是。。的直徑，

???NAC8=90°,

???CQ平分N4CB,

AZACD=ZBCD=—ZACB=45，）,

2

VZCAB=25°,

AZAED=ZACE+ZCAE=70°,

.,.N4E￡＞的度數(shù)為70°；

（2）〈AB是。。的直徑,

-8=90°,

■:ZACD=ZBCD,

***AE=BD，

：?AD=DB,

*：AB=4f

?,.4力=8。=巖=2&,

???A。的長為2A/5.

【點(diǎn)評】本題考查了三角形的外接圓與外心，圓周角定理，熟練掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵.

24.(2022秋?江都區(qū)期中)如圖，四邊形A8C。是平行四邊形，N8=60°,經(jīng)過點(diǎn)A,C,。的圓與AC'相

交于點(diǎn)E,連接AE.

(1)求證：△A8E是等邊三角形.

(2)尸是俞上一點(diǎn)，且胡=/C,連接EF.求證：EF=BC.

【分析】(I)利用平行四邊形的性質(zhì)可得NB=NO=6()。，從而利用圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)，可求出N

4EC的度數(shù)，進(jìn)而求出的度數(shù)，最后利用三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算即可解答；

(2)利用(1)的結(jié)論可得AE=AE,再根據(jù)同弧所對的圓周角相等可得ND=NAFC=60°,從而可得

△AFC是等邊三角形，進(jìn)而可得/尸0=60°,然后利用同弧所對的圓周角相等可得NA￡/=NPCA=

60°,等弧所對圓周角相等可得NAFE=NAC8,從而證明△A8CgaA￡R利用全等三角形的性質(zhì)即可

解答.

【解答】證明：(1)???四邊形ABCO是平行四邊形，NB=60：

，NB=/￡>=60°,

???四邊形AECD是圓內(nèi)接四邊形，

???NO+NAEC=180°,

：.ZAEC=1800-ZD=120°,

???N4￡4=180°-ZAEC=60°,

：.ZBAE=\S0°-ZB-ZAEB=60°,

：,ZB=ZBAE=ZAEB,

???AABE是等邊三角形;

(2)?:△/WE是等邊三角形，

：,AB=AE,

???/￡)=NAFC=60°,AF=FC,

???△A尸。是等邊三角形，

AZFCA=60°,

???NAEF=N/CA=60°,

AZ^EF=ZB=60°,

ZAFE=NACB,

:.△ABC@4AEF(AAS),

:?BC=EF.

【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，三角形的外接圓與外心，平

行四邊形的性質(zhì)，圓周角定理，熟練掌握全等二角形的判定與性質(zhì)，以及等邊二角形的判定與性質(zhì)足解

題的關(guān)鍵.

六.切線的性質(zhì)(共5小題)

25.(2022秋?丹陽市校級期中)如圖，在邊長為2的菱形ABCO中，/84。=120°,以點(diǎn)C為圓心畫弧，

且與人8,人。邊相切，則圖中陰影部分的面積是()

A.2V3-4KB.473-2KC.冗D.2V3-n

【分析】由菱形的性質(zhì)得出AD=4B=6,ZADC=\2Q°,由三角函數(shù)求出菱形的高。F,圖中陰影部分

的面積=菱形ABCD的面積-扇形DEFG的面積，根據(jù)面積公式計(jì)算即可.

【解答】解：以點(diǎn)C為圓心畫弧，弧與人8相切的切點(diǎn)為點(diǎn)E,連接CE,如圖：

???四邊形ABCD是菱形且邊長為2,Z5AD=120°,

：.AB=BC=2,ZBCD=ZBAD=\2()°，Z/WC=180°-120°=60°，

???以點(diǎn)C為圓心畫弧，弧與48相切,

：.CE±AB,

???CE=8C?sin60。=2X返=?,

2

???圖中陰影部分的面積

=菱形ABCD的面積?扇形DE卜G的面積

卬63a4

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查了菱形的性質(zhì)、三角函數(shù)、菱形和扇形面枳的計(jì)算.由三角函數(shù)求出菱形的高是解決

問題的關(guān)鍵.

26.（2022秋?五華區(qū)校級期中）下列說法正確的是（）

A.平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧

B.圓的切線垂直于圓的半徑

C.三角形的外心到三角形三邊的距離相等

D.同弧或等弧所對的圓周角相等

【分析】根據(jù)垂徑定理、切線的性質(zhì)、三角形的外心的性質(zhì)、圓周角定理判斷即可.

【解答】解：4、平分弦（不是直徑的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧，故本選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，不

符合題意；

B、圓的切線垂直于圓的過切點(diǎn)的半徑，故本選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，不符合題意；

C、三角形的外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，故本選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，不符合題意；

D、同弧或等弧所對的圓周角相等，本選項(xiàng)說法正確，符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考壹的是切線的性質(zhì)、垂徑定理、三角形的外心的性質(zhì)、圓周角定理，掌握相關(guān)的性質(zhì)、

定理是解題的關(guān)鍵.

27.（2022秋?興隆臺(tái)區(qū)校級期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以M（2,3）為圓心，A/3為直徑的圓與x

軸相切，與），軸交于A,C兩點(diǎn)，則AC的長為（)

B.2^5C.2VI3D.6

【分析】設(shè)G）M與x軸相切于點(diǎn)。，連接MD,過點(diǎn)M作M￡_LAC,垂足為E,根據(jù)垂徑定理可得AC=

2AE,再利用切線的性質(zhì)可得/加。。=90°,然后根據(jù)點(diǎn)M的坐標(biāo)可得ME=2,MA=MD=3,最后在

RtZXAEM中，利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】解：設(shè)0M與工軸相切于點(diǎn)。，連接過點(diǎn)M作M￡_L4C,垂足為￡,

：.AC=2AE,

???O”與x軸相切于點(diǎn)D,

???NMOO=90°,

?；M(2,3),

:?ME=2,M/)=3,

：,MA=MD=3,

在RtAAEM中，^^=VAM2-EM2=V32-22=V5?

AC=2AE=2yfs,

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了切線的性質(zhì)，垂徑定理，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加

適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵.

28.（2022秋?五華區(qū)校級期中）PA,P4是。。的切線，A,4是切點(diǎn)，點(diǎn)C是。0上不與A,3重合的一

點(diǎn)，若NAPB=70。，則/ACB的度數(shù)為55°或125°.

【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)得到/OAP=90°,ZOBP=90°,再根據(jù)四邊形內(nèi)角和得到NAO8=110°,

然后根據(jù)圓周角定理和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求/AC3的度數(shù).

【解答】解：???弘,P8是。0的兩條切線,

：.OAVPA,OBYPB,

AZOAP=90°,NO8P=90°,

VZAPB=7OC',

2

當(dāng)點(diǎn)C'在優(yōu)弧AB上，則NAU8=180°-55°=125°.

則乙4cB的度數(shù)為55°或125’.

故答案為：55°或125°.

【點(diǎn)評】本題切線的性質(zhì)，圓周角定理和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握切線的性質(zhì).

29.(2022秋?礦區(qū)期中)如圖，△/WC內(nèi)接于直線E尸