完成時(shí)間：月日天氣：

作業(yè)乘法公式

作業(yè)導(dǎo)航------------------------------------------------------

題型一：用平方差公式進(jìn)行計(jì)算

題型二：利用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算能力培優(yōu)練

鞏固提升練作業(yè)03乘法公式

題型三：乘法公式與圖形面積創(chuàng)新題型練

題型四：整式的乘法的應(yīng)用

培優(yōu)訓(xùn)練-------------------------------------------------------

三層必刷：鞏固提升+能力培優(yōu)+創(chuàng)新題型

1鞏固提升練

【題型一：用平方差公式進(jìn)行計(jì)算】

1.下列各式不能使用平方差公式的是()

A.(2。+方)(2。一/7)B.(2a2a)

C.(-2〃+/?)(-2〃-Z?)D.(2〃-〃)(-2〃-Z?)

2.計(jì)算(1—y+3)(x+y-3)時(shí)，下列變形正確的是()

A.[(x-y)—3][(x+y)-3]B.[(x+3)-j][(x-3)-j]

C.[x-(y+3)][x+(y-3)]D.[x-(y-3)][x+(y-3)]

3.若蘇-“2=3,則+的值是()

A.3B.6C.9D.18

4.已知。為實(shí)數(shù)，若有整數(shù)6,加，滿足(a+b)(a-b)=機(jī)之，則稱。是。，加的弦數(shù).若。＜15

且。為整數(shù)，請(qǐng)寫出一組。，仇相，使得〃是匕，加的弦數(shù)：

5.計(jì)算：x(x+l)+(2+x)(2—x)

6.先化簡(jiǎn)，再求值.4(a—36)(a—Z?)—(2a—6乂2。+/?),其中4=5,b=2

7.觀察以下等式:

第1個(gè)等式：32+2xlx3=2x22+7；

第2個(gè)等式：52-2x0x4=2x32+7;

第3個(gè)等式：72-2x1x5=2x42+7;

第4個(gè)等式：92-2x2x6=2x52+7;

按照以上規(guī)律，解決下列問(wèn)題：

⑴寫出第5個(gè)等式：；

(2)寫出你猜想的第〃個(gè)等式(用含〃的式子表示)，并證明.

【題型二：利用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算】

8.下列運(yùn)算正確的是()

22532s

A.3a—a=2B.(a+3)=a+9C.aa=aD.(/)=a

9.若a+b=6,ab=8,則(。-萬(wàn))？的值為()

A.4B.2C.8D.6

10.如果a+6=8,ab-12,"+62等于()

A.42B.40C.39D.38

11.已知x+y=8,孫=12,

⑴求V+V的值

⑵求x-y的值

12.利用整式乘法公式計(jì)算

(1)20012；

(2)2024X2026-20252.

13.已知無(wú)+>=-4,求代數(shù)式;x2+xy+；y2的值

14.先化簡(jiǎn)，再求值：(6!+2)--2(a+3)(a-3)+(a-l)2,其中a=-g.

15.已知下列等式：①22-F=3;②3?-2?=5;@42-32=7；……

(1)請(qǐng)仔細(xì)觀察這三個(gè)式子，寫出第④個(gè)式子：：

(2)請(qǐng)你找出規(guī)律，寫出第〃個(gè)式子,并證明該式成立；

⑶利用(2)中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律求1+3+5+7++99的值.

16.閱讀理解：若x滿足(7-x)(x—4)=2,求(7-x)，(x-4)2的值,

試卷第2頁(yè)，共16頁(yè)

解:設(shè)(7—x)=a,(x-4)=fe,則有:

(7—x)(x—4)=?/>=2,a+Z?=(7-x)+(x-4)=3,

所以(7—X)2+(X—4)2=〃+匕2=(。+6)2-2。人=32—2X2=5

請(qǐng)仿照上例解決下面的問(wèn)題：

問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：（1）若x滿足（10-x）（x+2）=-13,求（10_療+口+2）2的值；

類比探究：（2）若x滿足（元+iy+（x_3）2=26,求（尤+1）（了-3）的值；

拓展延伸：（3）若（x-2024y+（x-2026）2=26,求（尤-2025『的值

【題型三：乘法公式與圖形面積】

17.從邊長(zhǎng)為a的正方形內(nèi)去掉一個(gè)邊長(zhǎng)為匕的小正方形（圖①），然后將剩余部分剪拼成

一個(gè)平行四邊形（圖②）.這樣操作能驗(yàn)證的等式是（）

②

B.(a—Z?)2—Q?—2ab+Z?2

C.(a+b)2=a?+2ab+b?D.a2-h2=(〃+/?)(〃―/?)

18.如圖，我們可以用一些硬紙片拼成的圖形面積來(lái)解釋一些代數(shù)恒等式.觀察圖形，通過(guò)

面積的計(jì)算，可以驗(yàn)證的恒等式是（）

A..(a—b)=a?—2ab+b?B.=

C.(a+b)(a-b)=〃2D.(6?+Z?)2=a2+2ab+b1

19.已知兩塊邊長(zhǎng)都為。（cm）的大正方形，兩塊邊長(zhǎng)都為優(yōu)cm）的小正方形和五塊長(zhǎng)、寬分

別是a（cm）,6（cm）的小長(zhǎng)方形（a>b）,按如圖所示的方式正好不重疊地拼成一個(gè)大長(zhǎng)方

形.已知拼成的大長(zhǎng)方形周長(zhǎng)為72cm,圖中陰影部分四個(gè)正方形的面積之和為240cm②，則

圖中每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積為（）

A.11cm2B.12cm2C.24cm2D.36cm2

20.綜合探究某數(shù)學(xué)興趣小組用“等面積法”分別構(gòu)造了以下四種圖形驗(yàn)證“平方差公式”:

以上四種方法中能夠驗(yàn)證“平方差公式”的有（填序號(hào)）

21.【理解】數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師準(zhǔn)備了若干個(gè)如圖1的三種紙片，A種紙片是邊長(zhǎng)為。的

正方形，B種紙片是邊長(zhǎng)為，的正方形，C種紙片是長(zhǎng)為6,寬為。的長(zhǎng)方形.并用A種紙

片一張，8種紙片一張，C種紙片兩張拼成如圖2的大正方形.

（1）如圖2,請(qǐng)你寫出代數(shù)式：（a+6）2,/+〃，而之間的等量關(guān)系

【運(yùn)用】（2）根據(jù)（1）題中的等量關(guān)系，解決如下問(wèn)題:

已知：a2+Z>2=24,a+b-6,求ab和的值；

試卷第4頁(yè)，共16頁(yè)

【感悟】（3）已知（%-2。23）（2025-耳=一7,^（x-2023）2+（2025-%）2

22.把完全平方公式（°±6）2=/±2仍+62適當(dāng)?shù)淖冃?，可解決很多數(shù)學(xué)問(wèn)題.

例如：若a-b=3,ab=l,求/+02的值.

解：因?yàn)閍—b=3,而=1；所以（a—b）2=9,2ab=2；所以〃?-2〃/?=9,2。/?=2；^a2+b2=11.

根據(jù)上面的解題思路與方法，解決下列問(wèn)題：

【初步應(yīng)用】

（1）若2m+〃=5,4m2+〃2=]3,貝I」相〃=_；

【類題探究】

（2）若用滿足-2023）2+（m—2024）2=2025.（m-2023）（2024-zn）的值.

【拓展延伸】

（3）如圖，點(diǎn)C在線段上，以AC,8C為邊向兩邊作正方形，若45=8,兩正方形的面

積之和岳+邑=耳，求陰影部分的面積.

23.探索規(guī)律.

樂樂在計(jì)算：22-a、32_2\……這樣的算式時(shí)，他想到用“數(shù)形結(jié)合”的方法來(lái)探索：以

算式中的兩個(gè)數(shù)分別構(gòu)造兩個(gè)正方形，用大正方形的面積減小正方形的面積，求剩余圖形的

面積.他發(fā)現(xiàn)“剩余圖形可以轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形，求它的面積可用下面的算式表示”:

①22-12=（2+1）X（2-1）

@32-22=（3+2）X（3-2）

@42-32=（4+3）X（4-3）

（1）圖④的涂色部分表示52-42,這個(gè)涂色部分可以轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)是,寬是的

長(zhǎng)方形.

(2)根據(jù)以上規(guī)律計(jì)算：1002-992==

(3)根據(jù)以上規(guī)律計(jì)算并寫出過(guò)程：102x98

24.如圖1是一個(gè)長(zhǎng)為2m、寬為2〃的長(zhǎng)方形(加＞〃).附圖中虛線用剪刀均勻分成四塊全

等小長(zhǎng)方形，然后按圖2形狀拼成一個(gè)正方形.

圖1圖2圖3

⑴觀察圖2,直接寫出代數(shù)式(〃7+”)~,(,"—〃)~,,〃附之間的關(guān)系：

⑵若m-n=4,nm=2,則病+"=

(3)若(9-x)(x-6)=l,求(9-X)2+(X-6)2的值.

(4)如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB=10,3c=5,點(diǎn)M和點(diǎn)N分別在48和8C邊上，并且

AM-C7V=1,分別以8M和3N為邊向上、向右作正方形,兩個(gè)正方形的面積分別為H和S2,

且品+邑=50,求圖中陰影部分的面積.

25.從邊長(zhǎng)為。的正方形中剪掉一個(gè)邊長(zhǎng)為6的正方形(如圖1),然后將剩余部分拼成一個(gè)

長(zhǎng)方形(如圖2).

圖I圖2

(1)上述操作能驗(yàn)證的等式是(填字母).

A.a"—2ab+b~=(a—

B.a?-6-=(a+6)(a—b)

C.a2+ab=a(^a+b)

試卷第6頁(yè)，共16頁(yè)

(2)應(yīng)用你從(1)選出的等式，完成下列各題:

①已知Y-4y=12,x+2y=4,求x-2y的值；

②計(jì)算：[1《加一￡111一口『急加一看]；

③計(jì)算:U+g[i+g]i+f+j.

26.閱讀材料并解決問(wèn)題：

利用完全平方公式，將多項(xiàng)式V+fec+c變形為(x+mf+a的形式，然后由(x+m)2>0就可

以求出多項(xiàng)式Y(jié)+bx+c的最小值.例如，求-+8X+21的最小值.

解：%2+8x4-21

=X2+2X-4+42-42+21

=(X+4)2+5.

無(wú)論x取何值，(x+4)2總是非負(fù)數(shù)，

BP(x+4)2>0,所以(X+4)2+5N5.

所以當(dāng)x=T■時(shí)，無(wú)2+8x+21有最小值，最小值為5.

根據(jù)上述材料，解答下列問(wèn)題：

⑴填空：X2-12jr+_=(x-)-;

(2)將多項(xiàng)式尤2+16尤-1變形為(x+m)2+〃的形式，并求出尤2+16尤-1的最小值;

(3)如圖，比較兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積加，S2的大小，并說(shuō)明理由.

【題型四：整式的乘法的應(yīng)用】

27.若x+y=4且孫=1,則代數(shù)式(x-2)(y-2)的值為()

A.-3B.-2C.3D.2

28.公園里有一個(gè)長(zhǎng)方形花壇，原來(lái)長(zhǎng)為2x,寬為x,現(xiàn)在要把花壇四周均向外擴(kuò)展刀,

擴(kuò)展后的長(zhǎng)方形花壇的長(zhǎng)2尤+2y,寬為x+2y,則擴(kuò)展后的長(zhǎng)方形花壇的面積比擴(kuò)展前的

長(zhǎng)方形花壇的面積增加.

29.已知21+機(jī)-7=0,則（4冽—l）（m+5）+2"?（m-8）=.

,11

30.先化簡(jiǎn)，再求值（。一36）~-（a+6）（a-Z?）+6（4a-26）,其中"萬(wàn)，b=--.

31.已知多項(xiàng)式A=wu-3,B=2x+n,A與2的乘積中不含有x項(xiàng)，常數(shù)項(xiàng)是-3.

（1）求加，”的值.

（2）化簡(jiǎn)求值：當(dāng)x=l時(shí)，求AB-長(zhǎng)的值.

32.如圖，某城市廣場(chǎng)是一個(gè)長(zhǎng)方形，長(zhǎng)為（4。+39米，寬為（3。+4））米.為了豐富市民文

化生活，政府計(jì)劃在中間區(qū)域建一個(gè)長(zhǎng)方形的音樂噴泉池（圖中陰影部分），音樂噴泉池的

四周為市民活動(dòng)區(qū)域，寬度分別為。米、6米（如圖所示）.

⑴求音樂噴泉池的占地面積（用含。，6的式子表示）.

⑵若。，6滿足（a-3y+B-2|=0,求該廣場(chǎng)音樂噴泉的面積S.

（3）在（2）的條件下，音樂噴泉池建成后，需給市民活動(dòng)區(qū)域鋪上地磚.若市民活動(dòng)區(qū)域每

平米鋪設(shè)地磚的費(fèi)用為80元，求市民活動(dòng)區(qū)域鋪設(shè)地磚的費(fèi)用

2能力培優(yōu)練

33.若定義：a*b^a2+ab+b2,則代數(shù)式x*l的最小值為.

34.若M=2025Z-2024x2026,N=20252-4050x2026+20262,則河N（填“

或

35.數(shù)學(xué)興趣小組開展探究活動(dòng)，研究了“任意兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差是否是8的倍數(shù)”的問(wèn)

題.

（1）指導(dǎo)教師將學(xué)生的發(fā)現(xiàn)進(jìn)行整理，得出如下部分信息（〃為正整數(shù)）.

任意兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差8的倍數(shù)

表示結(jié)果32-128=8x1

試卷第8頁(yè)，共16頁(yè)

52-3216=8x2

72-5224=8x3

92-7232=8x4

II2-9240=8x5

一般結(jié)論（2〃+1）2-（2〃-行8〃

按上表規(guī)律，完成下列問(wèn)題：

（i）192-172==*.

（ii）（2〃+7）2-（2〃+5）2=.

（2）請(qǐng)根據(jù)你學(xué)過(guò)的相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)，證明（ii）中的結(jié)論成立.

36.如圖1和圖2,約定：上方相鄰兩代數(shù)式之和等于這兩代數(shù)式下方箭頭共同指向的代數(shù)

式.

圖1圖2

⑴先求出代數(shù)式再計(jì)算當(dāng)x=-l時(shí)，代數(shù)式M的值；

⑵嘉淇說(shuō)：“只要x的值不取-1,M的值就一定大于N的值.”你同意她的說(shuō)法嗎？說(shuō)明理

由.

37.數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師準(zhǔn)備了若干個(gè)如圖1的三種紙片（其中A種紙片是邊長(zhǎng)為。的正方

形，B種紙片是邊長(zhǎng)為6的正方形，C種紙片是邊長(zhǎng)分別為。、6的長(zhǎng)方形），并用A種紙片

一張，8種紙片一張，C種紙片兩張拼成如圖2的大正方形.

AEB

圖1圖2圖3

⑴觀察圖2,請(qǐng)你寫出下列三個(gè)代數(shù)式：(。+4，/+凡必之間的等量關(guān)系:,

⑵若要拼出一個(gè)面積為3+3))(20+/的長(zhǎng)方形，則需要A號(hào)卡片張，8號(hào)卡片

張，C號(hào)卡片張；

(3)解答問(wèn)題：若2祖+3〃=10,〃m=4,貝!]2加一3〃的值為；

(4)根據(jù)(1)中得出的等量關(guān)系，解決如下問(wèn)題，已知(2025-㈤(相-2023)=-1010,求

(2025-㈤2+(%-2023)2的值;

(5)兩個(gè)正方形ABC。，AEBG如圖3擺放，邊長(zhǎng)分別為x,兀若--丁=25,BE=1,則

圖中陰影部分面積的和為.

38.【知識(shí)生成】

通常情況下，通過(guò)用兩種不同的方法計(jì)算同一個(gè)圖形的面積，可以得到一個(gè)恒等式.如圖1,

在邊長(zhǎng)為。的正方形中剪掉一個(gè)邊長(zhǎng)為6的小正方形(“>8)，把余下的部分剪開并拼成一

個(gè)長(zhǎng)方形(如圖2),圖1中陰影部分的面積可表示為：a2-b2,圖2中陰影部分的面積可

表示為：(a+b)(a-b),因?yàn)閮蓚€(gè)圖中的陰影部分的面積是相同的，所以可得到等式:

a2-b2=(a+6)(q-°).

【結(jié)論探究】

圖3是一個(gè)長(zhǎng)為2a,寬為4的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四個(gè)小長(zhǎng)方形，然后按

圖4的形狀拼成一個(gè)大正方形.

(1)如圖4,用兩種不同方法表示圖中陰影部分面積，可得到一個(gè)關(guān)于(a+b)2,5一92M6

的等式是__________

試卷第10頁(yè)，共16頁(yè)

(2)若a+b=6,ab=5,求("〃丫的值.

【類比遷移】

(3)如圖5,點(diǎn)C是線段BG上的一點(diǎn)，以8C,CG為邊向上下兩側(cè)作正方形A3CD,正方

形CEFG,兩正方形的面積分別記為跖和$2,若BG=10,兩正方形的面積和1+昆=56,

求圖中陰影部分的面積.

39.《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的一部數(shù)學(xué)巨著，他在第二卷“幾何與代數(shù)”中，

闡述了數(shù)與形是一家，即通過(guò)“以數(shù)解形”和“以形助數(shù)”，可以把代數(shù)公式與幾何圖形相互轉(zhuǎn)

化.如圖1,可以表示為公式①：(x+y)2=/+2孫+:/.

⑴觀察下列圖形，將它們與下列公式對(duì)應(yīng)起來(lái).(填寫對(duì)應(yīng)公式的序號(hào))

圖1

公式②：(%+y)-=(^-y)~+4xy

公式③：x2-y2=(x+y)(x-y)

公式④：(x-p)(x-q)=x2-(p+q)x+pq

圖2對(duì)應(yīng)公式,圖3對(duì)應(yīng)公式,圖4對(duì)應(yīng)公式_____,(填序號(hào))；

(2)如圖3,若P=2,夕=4,且空白部分的面積為48,求大正方形的邊長(zhǎng)x的值.

為了解決這個(gè)問(wèn)題，小敏將陰影部分平移至如圖5所示位置，則空白部分的面積可表示為

(x-2)(x-4),小敏運(yùn)用“整體思想”，設(shè)x-2=。，x-4=b,結(jié)合公式①，則可計(jì)算出

的值，從而求出邊長(zhǎng)x.請(qǐng)根據(jù)材料，幫助小敏完成后續(xù)的解答過(guò)程:

圖5

（3）如圖6,若。=〃，空白部分的面積為121,且正方形ABC。與正方形EFGH的面積之和

為173,求正方形ABCD與正方形EFGH的面積之差.

3創(chuàng)新題型練

40.利用（a±b）2可求某些整式的最值.例如，f一2元+2=（/一2彳+1）+1=（彳-1）2+1,由

（尤-1）220知，當(dāng)x=l時(shí)，多項(xiàng)式Y(jié)-2X+2有最小值1.對(duì)于多項(xiàng)式V+8尤+11,當(dāng)x=—

時(shí)，有最小值是.

41.【概念學(xué)習(xí)】一個(gè)含有多個(gè)字母的代數(shù)式中，任意交換其中兩個(gè)字母的位置，當(dāng)字母的

取值均不相等，且都不為。時(shí)，代數(shù)式的值不變，這樣的式子叫作對(duì)稱式.

例如：代數(shù)式％+"+P中任意兩個(gè)字母交換位置，可得到代數(shù)式“+加+。，。+〃+7",

m+p+n,^^jn+m+p=p+n+jn=m+p+n,所以是對(duì)稱式.

又如：交換代數(shù)式機(jī)-"中字母〃4〃的位置，得到代數(shù)式"-施，因?yàn)榧?“K〃-加，所以加一"

不是對(duì)稱式.

【問(wèn)題解決】閱讀以上材料，解答下面的問(wèn)題：

若關(guān)于“泊的代數(shù)式（3+3）。-3）為對(duì)稱式（左為常數(shù)）.

試卷第12頁(yè)，共16頁(yè)

(1)求左的值;

⑵已知(x-a)(x-8)=，+px+g,若p=4,q=-3,求對(duì)稱式(3+3)0-3)的值.

42.如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)連續(xù)正偶數(shù)的平方差，那么稱這個(gè)正整數(shù)為“幸福數(shù)”.例

如：12=42-22，20=62-42,28=82-62,因此12,20,28都是“幸福數(shù)”.

(1)請(qǐng)?jiān)賹懗鲆粋€(gè)“幸福數(shù)”」

(2)猜想：“幸福數(shù)”是4的一(奇數(shù)倍或偶數(shù)倍)，判斷你的猜想是否正確，并說(shuō)明理由；

(3)已知服。為正整數(shù)，且”＞入若(a—8)(a+8)+加一2"是“幸福數(shù)”.

①求a的值；

②ab的最小值為_；

③若a+%+18是“幸福數(shù)”，試說(shuō)明10a-助也是“幸福數(shù)”.

43.材料一：定義：一個(gè)正整數(shù)能表示成/+〃(°、b是正整數(shù))的形式，則稱這個(gè)數(shù)為“完

美數(shù)”.例如，5是“完美數(shù)”，理由：因?yàn)?=22+1"所以5是“完美數(shù)”.

材料二：配方法是數(shù)學(xué)中重要的一種思想方法.它是指將一個(gè)式子的某一部分通過(guò)恒等變形

化為完全平方式或幾個(gè)完全平方式的和的方法.這種方法常被用到代數(shù)式的變形中，并結(jié)合

非負(fù)數(shù)的意義來(lái)解決一些問(wèn)題.比V+4X+5=X2+4X+4+1=(X+2)2+1因?yàn)?x+2『＞0,

所以當(dāng)彳=一2時(shí)，(元+2)2的值最小，最小值是0.所以(X+2)2+1N1.所以當(dāng)(X+2)2=0時(shí)，

即工=-2時(shí)(*+2『+1的值最小，最小值是1.即f+4尤+5的最小值是1.

⑴已知13是“完美數(shù)”，請(qǐng)將它寫成/+從(°、6是正整數(shù))的形式______；

(2)①已知f+y2-2x+4y+5=0,貝！jx+y=；

②已知S=f+4V+4x-16y+k(x、y是整數(shù)，上是常數(shù))，要使S為“完美數(shù)”，試寫出符

合條件的一個(gè)左值，并說(shuō)明理由.

(3)已知實(shí)數(shù)x、y滿足一x2+5x+y-10=。，求y-x的最小值.

44.【知識(shí)生成】通常情況下，通過(guò)用兩種不同的方法計(jì)算同一個(gè)圖形的面積，可以得到一

個(gè)恒等式.如圖1,在邊長(zhǎng)為a的正方形中剪掉一個(gè)邊長(zhǎng)為。的小正方形＞6).把余下的

部分沿虛線剪開拼成一個(gè)長(zhǎng)方形(如圖2).圖1中陰影部分面積可表示為：a2-b2,圖2

中陰影部分面積可表示為(a+b)(。-3，因?yàn)閮蓚€(gè)圖中的陰影部分面積是相同的，所以可得

到等式：c^-b^（a+b^a-b）.

【拓展探究】圖3是一個(gè)長(zhǎng)為2a,寬為助的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四個(gè)小長(zhǎng)

方形，然后按圖4的形狀拼成一個(gè)正方形.

（1）根據(jù)圖形可得到一個(gè)關(guān)于（。+6）2、g一匕"的等量關(guān)系式是.

（2）結(jié)合以上信息，靈活運(yùn)用公式，解決如下問(wèn)題：

①已知4+6=5,ab=5,貝。（a—6）2+（a+2）（6+2）=_.

②已知（2024—a）?+（a—2023『=7,求（2024—a）（a—2023）的值.

【知識(shí)遷移】

（3）如圖5,紅嶺中學(xué)前不久舉辦了第一屆“智啟未來(lái)，科技筑夢(mèng)”校園科技節(jié)活動(dòng)，其中

創(chuàng)意競(jìng)賽要求設(shè)計(jì)一款由兩個(gè)正方形構(gòu)成的光學(xué)元件模型.其中大正方形ABCD與小正方形

石代汨的邊長(zhǎng)分別為4和“?！?。）.已知兩正方形邊長(zhǎng)之和a+b=6,邊長(zhǎng)之積ab=5,且

E為中點(diǎn).模型中陰影部分為特殊光線吸收區(qū)域，其面積大小直接影響光學(xué)元件對(duì)光線

的吸收效果，進(jìn)而決定模型的光學(xué)性能.為優(yōu)化設(shè)計(jì)，需精確計(jì)算圖中陰影部分的面積總和,

求該陰影部分面積總和.

45.【項(xiàng)目學(xué)習(xí)】“我們把多項(xiàng)式"+2"+62及合一2"+"叫做完全平方式’,如果一個(gè)多

項(xiàng)式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個(gè)適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，使式中出現(xiàn)完全平方式,

再減去這個(gè)項(xiàng)，使整個(gè)式的值不變，這種方法叫做配方法，配方法是一種重要的解決問(wèn)題的

數(shù)學(xué)方法.例如：求當(dāng)。取何值，代數(shù)式/+6a+8有最小值？最小值是多少？

角星：+6。+8=+6。+3--3-+8=（。+3）—1,

因?yàn)椋╝+3）&0,所以/+6〃+82-1,

因此，當(dāng)。=-3時(shí)，代數(shù)式/+6〃+8有最小值，最小值是-1.

【問(wèn)題解決】利用配方法解決下列問(wèn)題：

（1）代數(shù)式爐-2》-1的最小值為,-2/+8X+12的最大值為.

試卷第14頁(yè)，共16頁(yè)

【拓展提高】

(2)當(dāng)x,y何值時(shí)，代數(shù)式5--4孫+y?+6x+25取得最小值，最小值為多少？

(3)如圖所示的第一個(gè)長(zhǎng)方形邊長(zhǎng)分別是2a+5、3a+2,面積為跖；如圖所示的第二個(gè)長(zhǎng)

方形邊長(zhǎng)分別是5a、a+5,面積為S?.試比較跖與冬的大小，并說(shuō)明理由.

3。+25a

a+5

2a+5ss2

46.把代數(shù)式通過(guò)配方等手段得到完全平方式，再運(yùn)用完全平方式的非負(fù)性這一性質(zhì)解決問(wèn)

題,這種解題方法叫做配方法.配方法在代數(shù)式求值、解方程、最值問(wèn)題等都有廣泛的應(yīng)用.如

利用配方法，求/+6.+8的最小值.

解：a2+6a+8=a2+6a+32-32+8=(?+3)2-l,因?yàn)椴徽揳取何值，(。+3)2總是非負(fù)數(shù)，

即(a+3)&0,所以當(dāng)a=-3時(shí)，(a+3),取最小值0,(。+3丫-1有最小值-1.

當(dāng)。=一3時(shí)，/+6a+8有最小值—1.

根據(jù)上述材料，解答下列問(wèn)題：

⑴將V_10x+27變形為(彳-m)2+〃的形式________,則d-iOx+27的最小值為;

(2)如果A—8<0,則A<8；如果A—3=0,則A=B；如果A—3>0,則A>3.

已知A=2%2-3元+2,B=^-x-\,請(qǐng)比較A與8的大小，并說(shuō)明理由；

(3)已知〃+62-6°-146+58=0,求2a—6的值.

47.【教材呈現(xiàn)】七年級(jí)教材下冊(cè)“第8章整式乘法”中，通過(guò)拼圖、推演，得到了整式乘法

法則和公式，在學(xué)習(xí)過(guò)程中讓同學(xué)們了解到了公式的幾何背景，感受了數(shù)形結(jié)合的思想方

法.如課本39頁(yè)，在邊長(zhǎng)為a的正方形紙片上剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為6(6<a)的小正方形(如圖1),

圖1A型圖2

通過(guò)計(jì)算圖中的陰影面積，小明發(fā)現(xiàn)了一個(gè)重要的乘法公式：

其實(shí)，通過(guò)拼圖算面積這種方法不僅能得到許多公式，還可以證明很多重要的定理.

【活動(dòng)材料工如圖2,4張A型直角三角形紙片.

【活動(dòng)要求】：利用這些紙片（每種紙片需全部使用）拼成一個(gè)新的正方形，通過(guò)不同的方

法計(jì)算圖形的面積，從而探究出相應(yīng)的等式.

【活動(dòng)內(nèi)容工

（1）圖2是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的“勾股圓方圖”，它是由4張A型直角三角形紙片與中間

的一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，設(shè)直角三角形的較短直角邊為。，較長(zhǎng)直角邊為6,

最長(zhǎng)的斜邊為c.試探究〃、b\,2之間的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由.

（2）利用上述結(jié)論計(jì)算：若6-。=2,02=100,求）-標(biāo)的值.

試卷第16頁(yè)，共16頁(yè)

參考答案

1.B

【分析】根據(jù)平方差公式(。+切(。-切=。2-廿對(duì)各選項(xiàng)分別進(jìn)行判斷.本題考查了平方差

公式.運(yùn)用平方差公式計(jì)算時(shí)，關(guān)鍵要找相同項(xiàng)和相反項(xiàng)，其結(jié)果是相同項(xiàng)的平方減去相反

項(xiàng)的平方.

【詳解】解：A、(2a+b)(2a-3存在相同的項(xiàng)與互為相反數(shù)的項(xiàng)，能用平方差公式計(jì)算，

故本選項(xiàng)不符合題意；

B、(24-6)。-2司=-(24-3(24-9存在相同的項(xiàng)，沒有相反項(xiàng)，不能用平方差公式計(jì)

算.故本選項(xiàng)符合題意；

C、(-2a+b)(-2"切中存在相同的項(xiàng)與互為相反數(shù)的項(xiàng)，能用平方差公式計(jì)算，故本選項(xiàng)

不符合題意；

D、(2a-b)(-2a-b)=-(2a-b)(2a+b)中存在相同的項(xiàng)與互為相反數(shù)的項(xiàng)，能用平方差公

式計(jì)算，故本選項(xiàng)不符合題意；

故選：B.

2.D

【分析】本題考查了平方差公式，解題的關(guān)鍵是找出相同項(xiàng)和相反項(xiàng).將。-3)看做一個(gè)整

體，則X是相同項(xiàng)，互為相反項(xiàng)的是(y-3),對(duì)照平方差公式變形即可求解.

【詳解】解：(x-y+3)(x+y-3)=[x-(y-3)][x+(y-3)],

故選：D.

3.C

【分析】本題考查了平方差公式，積的乘方，先整理得(m+九)(m-")=3,結(jié)合積的乘方進(jìn)

行運(yùn)算，即可作答.

【詳解】解：：瘍-1=3,

("2+”)(m-=3,

[(7"+")("[一〃)丁=9,

(m+zj)"(m—n)--9.

答案第1頁(yè)，共34頁(yè)

故選：c.

4.a=5,b=^,m=3(答案不唯一)

【分析】本題考查了平方差公式和新定義，正確理解題中的新定義是解本題的關(guān)鍵.

根據(jù)題中提供的弦數(shù)的定義求解即可.

【詳解】解:(5+4)x(5-4)=9xl=32,

，5是4,3的弦數(shù)，

故答案為：5,4,3(答案不唯一，如。=10,6=8,機(jī)=6或者。=13,6=12,m=5亦可).

5.x+4

【分析】本題考查了整數(shù)的運(yùn)算.利用單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式、平方差公式展開，再合并同類項(xiàng)即

可求解.

【詳解】解：x(x+l)+(2+x)(2-x)

-x2+尤+4—尤2

=x+4.

6.-16ab+13b2:36

【分析】首先根據(jù)多項(xiàng)式的乘法計(jì)算法則和平方差公式將括號(hào)去掉，然后再進(jìn)行合并同類項(xiàng)

得出化簡(jiǎn)結(jié)果，最后將。和6的值代入化簡(jiǎn)結(jié)果得出答案.

本題主要考查的是多項(xiàng)式的乘法和平方差公式計(jì)算法則以及合并同類項(xiàng)法則，屬于基礎(chǔ)題

型.明確乘法計(jì)算法則是解決這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵.

【詳解】解：M^=4(a2-ab-3ab+3b2)-(4a2-b2)

=4a-I6ab+12b2-4a2+b2

=-16ab+13b2.

當(dāng)〃b=2時(shí)，

2

原式=-16x；x2+13x2?

=36.

故答案為：-164。+13/72；36

7.(1)112-2x3x7=2x62+7

(2)(2n+1)2-2(”2)5+2)=2(〃+1)?+7,證明見解析

【分析】本題考查了數(shù)字的變化類問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察各個(gè)等式并從中找到規(guī)律.

答案第2頁(yè)，共34頁(yè)

(1)根據(jù)題意寫出第5個(gè)算式即可.

(2)根據(jù)規(guī)律寫出第〃個(gè)等式，然后利用完全平方公式，平方差公式證明左邊=右邊即可.

【詳解】(1)解：第1個(gè)等式：(2x1+1)2+2x1x3=2x22+7；

第2個(gè)等式：(2X2+1)2-2X0X4=2X32+7；

第3個(gè)等式：(2x3+1)2—2x1x5=2x42+7；

第4個(gè)等式：(2X4+1)2-2X2X6=2X52+7；

則第5個(gè)等式為：112-2x3x7=2x62+7;

故答案為:112-2x3x7=2x62+7;

(2)第”個(gè)等式為：(2?+1)2-2(?-2)(n+2)=2(M+1)2+7.

證明：?左邊=4:/+4〃+1-2(〃2-4)=21+4"+9,

右.=2(〃~+2n+1)+7=2/7-+4/7+2+7=2九~+4/7+9,

，左邊=右邊，

二原等式成立.

8.C

【分析】本題考查同底數(shù)累的乘除法，完全平方公式，同底數(shù)幕除法和幕的乘方，熟練掌握

運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵，根據(jù)同底數(shù)幕的乘除法，完全平方公式，同底數(shù)幕除法和塞的乘方

逐一判斷即可.

【詳解】解：A、3a-a=2a,原計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；

B、(4+3)2=4+64+9,原式計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；

C、a5^a3^a2,原式計(jì)算正確，符合題意；

D、(/)2=a6,原式計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意.

故選：C.

9.A

【分析】本題考查完全平方公式，根據(jù)完全平方公式變形進(jìn)行計(jì)算即可.熟練掌握完全平方

公式是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：''a+b=6,ab=8,

答案第3頁(yè)，共34頁(yè)

(a—6y=(a+6)——4ab=62—4x8=4；

故選A.

10.B

【分析】本題考查了完全平方公式的應(yīng)用，利用完全平方公式，先求出/+〃即可;

【詳解】解：：a+b=8

(q+6)2=64

a2+?.ab+b2=64

?"=12

/./+〃=64-2"=64-24=40

故選：B.

11.(1)40

⑵士4

【分析】本題考查完全平方公式，熟練掌握完全平方公式，是解題的關(guān)鍵：

(D利用完全平平方公式變形計(jì)算即可；

(2)利用完全平平方公式變形計(jì)算即可.

【詳解】⑴解：x2+y2=(x+y)2-2xy,

把x+y=8,沖=12代入上式得：

x2+y2=(x+y)2-2xy=82-2xl2=40；

(2)(%-y)2=(x+^)2-4xy

把x+y=8,孫=12代入上式得：

(尤-?=64-48=16,

x-y=±4.

12.(1)4004001

⑵-1

【分析】本題考查平方差公式，完全平方公式，正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵；

(1)將20012變形為(2000+1)2,再根據(jù)完全平方公式計(jì)算即可；

(2)將式子變形為(2025-1)x(2025+1)-20252,再根據(jù)平方差公式計(jì)算即可.

答案第4頁(yè)，共34頁(yè)

【詳解】⑴解:20012

=(2000+1)2

=20002+2x2000xl+l2

=4000000+4000+1

=4004001；

(2)解：2024x2026-20252

=(2025-1)x(2025+1)-20252

=2025?-1-20252

=—1.

13.8

【分析】本題考查了因式分解，代數(shù)式求值，先將代數(shù)式進(jìn)行因式分解，再整體代入，熟練

計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：gi+D+gV=g(『+2xy+y2)=；(x+y)2,

把尤+、=-4代入原式，

原式=g(x+丁)？=1x(-4)2=8.

14.2a+23；22

【分析】本題主要考查了整式化簡(jiǎn)求值，熟練掌握平方差公式和完全平方公式，是解題的關(guān)

鍵.根據(jù)平方差公式和完全平方公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后再代入求值即可.

【詳角軍】解：(〃+2)—2(Q+3)(Q—3)+(a—1)

=(々2+44+4)-2(〃2_9)+(a2—2a+l)

—a?+4〃+4—2a~+18+cr—2a+1

=2a+23,

當(dāng)〃=—；時(shí)，原式=2x[—；)+23=22.

15.(1)9

(2)(〃+1)2-〃2=2〃+1；證明見解析

(3)2500

【分析】本題考查了數(shù)字的變化規(guī)律，找出數(shù)字之間的聯(lián)系，得出運(yùn)算規(guī)律，利用規(guī)律解決

答案第5頁(yè)，共34頁(yè)

問(wèn)題.

(1)由等式左邊兩數(shù)的底數(shù)可知，兩底數(shù)是相鄰的兩個(gè)自然數(shù)，右邊為兩底數(shù)的和，由此

求解；

(2)等式左邊減數(shù)的底數(shù)與序號(hào)相同，由此得出第〃個(gè)式子；

2

(3)由3=22-12,5=3=22,7=42_3,將算式逐一變形，再尋找抵消規(guī)律求解.

【詳解】⑴解：觀察下列等式：①22_/=3；②32-22=5;③42-32=7;……

可得第④個(gè)式子：52-42=9.

故答案為：9.

(2)解：由①22-儼=3；②32-22=5;③42-32=7；……

可得第④個(gè)式子：52-42=9得

第〃個(gè)式子為:(n+1)2-n2=2n+l.

證明：左邊：("+仔=*+2〃+1-〃2=2"+1,

，左邊=右邊，

，等式成立.

故答案為：(n+1)2-n2=2n+l.

(3)解：由(2)中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律可得

1+3+5+7++99

=1+22-l2+32-22+42-32++492-482+502-492

=502

=2500.

16.(1)170；(2)5；(3)12

【分析】本題考查了完全平方公式變形應(yīng)用；

(1)設(shè)10-x=a,由完全平方公式將(10-x)2+(%+2)2化為(a+/?y-2a6,即可求解；

(2)設(shè)x+l=a,x—3=b,將2(x+l)(;v—3)化為—[(a—6)—(a~+b~)],即可求解；

(3)設(shè)X-2024=M,X-2026=/I,可求出〃z-"=2,rrr+H2=26,將(X-2025P化為

+/+2〃?〃)，即可求解；

掌握(。+6)2、5一32、汕、a+b,之間的關(guān)系，并能熟練利用其進(jìn)行運(yùn)算是解題的

答案第6頁(yè)，共34頁(yè)

關(guān)鍵.

【詳解】解：（1）設(shè)10-％=々，％+2=Z?則:

ab=-13,a+b=12,

■■■(10-X)2+(X+2)2

2

=a+)2

=(a+Z?)2-lab

=122-2X(-13)

=170；

(2)設(shè)九+l=a,x-3=b,則有:

a2+b2=26,a—b=4,

2(x+l)(x-3)

=lab

-一[(〃-0)2―(々2+從)]

=10,

(x+l)(x—3)=5；

(3)設(shè)%-2024=x-2026=n,

/.x-2025——+〃),

x-2Q24=m,九一2026=〃,

(%-2024)2+(x-2026)2=26

：?m—n=2,m2+n2=26,

(m—n)2=4,

(機(jī)2+?)_(根—〃J_22,

2mn=

(尤-2025)2

=；(m+幾丫

=；(蘇+/+2mn

答案第7頁(yè)，共34頁(yè)

=-（26+22）=12.

17.D

【分析】本題考查了平方差公式與圖形面積，熟練掌握平方差公式是解題關(guān)鍵.根據(jù)圖①可

得剩余部分的面積等于大正方形的面積減去小正方形的面積，根據(jù)圖②可得剩余部分的面積

等于長(zhǎng)為，寬為的矩形的面積，由此即可得.

【詳解】解：由圖①可知，剩余部分的面積為/一萬(wàn)2,

由圖②可知，拼成的平行四邊形矩形的底為高為匕，

則剩余部分的面積為g+6）g-b）,

所以能驗(yàn)證的等式是"-62=5+3（°—3，

故選：D.

18.C

【分析】本題考查平方差公式與幾何圖形，根據(jù)長(zhǎng)方形的面積和正方形的面積公式求解即可.

【詳解】解：由圖知，第一個(gè)長(zhǎng)方形的面積為（。+6）（。-外，

第二個(gè)圖形的面積為"一廿，

（4+。）（口—b）=片—段,

故選：C.

19.B

【分析】本題考查了完全平方公式的變形求值，掌握（。+6）2=/+2"+62是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)拼成的大長(zhǎng)方形周長(zhǎng)為72cm,四個(gè)正方形的面積之和為240cm2,得到。+6=12,

/+4=120,根據(jù)完全平方公式求出而的值即可.

【詳解】解：?,?大長(zhǎng)方形周長(zhǎng)為72cm,

2［（2a+b）+（a+2b）］=72,

a+b=12,

四個(gè)正方形的面積之和為240cm2,

2〃+2〃=240,

a2+b2=120,

（a+b）2=a2+Zab+b2,

答案第8頁(yè)，共34頁(yè)

.?.144=120+2",

/.ab=12,

故選：B.

20.①②③

【分析】本題考查平方差公式的幾何背景，掌握平方差公式(。+3(。-6)=/->2以及等面

積法是解題的關(guān)鍵.

用不同的方法分別用代數(shù)式表示各個(gè)圖形中左圖、右圖陰影部分面積即可得出等式，再進(jìn)行

判斷即可.

【詳解】解：圖①中，左圖陰影部分可以看作兩個(gè)正方形的面積差，即拼成的右

圖是底為(。+6),高為的平行四邊形，面積為-6),

(?+&)(?-&)=cr-b1,故圖①可以驗(yàn)證平方差公式；

圖②中，左圖陰影部分可以看作兩個(gè)正方形的面積差，即-k)，拼成的右圖是長(zhǎng)為(a+3,

寬為(a-3的長(zhǎng)方形，面積為(a+6)(a"),

二(a+6)(a-b)=a2-b2,故圖②可以驗(yàn)證平方差公式；

圖③中，左圖陰影部分可以看作兩個(gè)正方形的面積差，即(/-k)，拼成的右圖是底為(a+3,

高為(。-3的平行四邊形，面積為(。+3(。-切，

(a+6)(a-6)=a2-b1,故圖③可以驗(yàn)證平方差公式；

圖④中，左圖陰影部分的可以看作兩個(gè)正方形的面積差，即(a+6)2-(a-6)2,拼成的右圖

是長(zhǎng)為2a,寬為2"的長(zhǎng)方形，面積為4m,

(a+6)2-(a-域=4ab,故圖④不能驗(yàn)證平方差公式；

綜上所述，能驗(yàn)證平方差公式的有①②③，

故答案為：①②③.

21.(1)(4+6)2=/+/+2"仁)6,12；(3)18

【分析】本題主要考查了完全平方公式的幾何背景，應(yīng)用完全平方公式進(jìn)行變形計(jì)算，解題

的關(guān)鍵是熟練掌握完全平方公式，(a±by=a2±2ab+b2.

答案第9頁(yè)，共34頁(yè)

(1)圖2的面積可以表示為一個(gè)邊長(zhǎng)為(4+6)的正方形面積，又可以表示為一個(gè)邊長(zhǎng)為a

的正方形面積加上一個(gè)邊長(zhǎng)為b的正方形面積再加上兩個(gè)長(zhǎng)為b,寬為。的長(zhǎng)方形面積，據(jù)

此可得結(jié)論；

(2)根據(jù)。+匕=6可得(。+6)2=36,再根據(jù)(1)中的結(jié)論計(jì)算即可；

(3)設(shè)X—2023=。，2025—x=b,則a+6=2,可得出(4+92=22,再根據(jù)(1)中的結(jié)

論計(jì)算即可.

【詳解】解：(1)二.圖2是邊長(zhǎng)為(。+6)的正方形，

：.S={a+b)2,

..?圖2可看成1個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形，1個(gè)邊長(zhǎng)為b的正方形以及2個(gè)長(zhǎng)為6,寬為a的長(zhǎng)

方形的組合圖形，

^S^cr+lP+lab,

(a+")~=a2+b~+2ab；

故答案為：+="+〃+2a6.

(2)-：a+b=6,

：.(a+6)2=62,

即a2+b2+2ab^36,

又"+62=24,

：?ab=6,

.?.(a-6)2="+/一2^=24-2x6=12；

(3)設(shè)x—2023=。，2025-x=b,

a+b=x—2023+2025—x=2,

/.(a+6)2=22,

即a2+b2+2ab=4,

?；(x-2023)(2025-x)=-7,

ab=-rl,

.?./+/+2x(-7)=4,

答案第10頁(yè)，共34頁(yè)

cr+b1=18

即(x—2023)2+(2025-尤y=18.

22.(1)3；(2)-1012；(3)—.

O

【分析】本題考查完全平方公式的應(yīng)用，熟練掌握完全平方公式及其變形是解題的關(guān)鍵.

(1)由完全平方公式即可計(jì)算；

(2)由完全平方公式即可計(jì)算；

(3)由正方形，三角形的面積，利用完全平方公式求出加九="，，即可求解

4

【詳解】解：(1),?*2m+n=5,

/.(2m+M)2=25,HP4m2+4mn+n2=25,

,**4m2+n2=139

4mAi=12,

mn=3,

故答案為：3；

(2)設(shè)。=加一2023,/?=機(jī)—2024,貝I」一6=2024-加，(j2+fe2=2025,a-b=l,

?,*=1,即［2+62一2"=1,

A-2^=-2024,

—ab=—1012,

(m-2023)(2024-m)=-ab=-1012；

(3)