高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1安徽省池州市貴池區(qū)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知向量，，則的值為（）A. B.9 C.－7 D.7【答案】D【解析】.故選：D．2.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.不存在【答案】C【解析】因?yàn)橹本€即直線垂直于x軸,根據(jù)傾斜角的定義可知該直線的傾斜角為，故選:C.3.與直線垂直，且在軸上的截距為-2的直線方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題得所求直線的斜率為，∴所求直線方程為，整理為．故選：A．4.如圖所示，在平行六面體中，點(diǎn)E為上底面對(duì)角線中點(diǎn)，若，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】根據(jù)題意，得；故選：A．5.已知向量，，向量在向量上的投影向量為

（

）．A. B.C. D.【答案】A【解析】由題意可知，，所以向量在向量上的投影向量為.故選：A．6.若圓和圓相切，則等于（）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】C【解析】圓的圓心，半徑為5；圓的圓心，半徑為r.若它們相內(nèi)切，則圓心距等于半徑之差，即＝|r－5|，求得r＝18或－8，不滿(mǎn)足5<r<10.若它們相外切，則圓心距等于半徑之和，即＝|r＋5|，求得r＝8或－18(舍去)，故選C．7.在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，向量平面，則點(diǎn)到平面的距離為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，又向量平面，所以是平面的一個(gè)法向量所以點(diǎn)到平面的距離為.8.已知直線l：x－my＋4m－3＝0（m∈R），點(diǎn)P在圓上，則點(diǎn)P到直線l距離的最大值為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】D【解析】直線l：x－my＋4m－3＝0（m∈R）即為，所以直線過(guò)定點(diǎn)，所以點(diǎn)P到直線l的距離的最大值為，故選：D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知直線與交于點(diǎn)，則（）A.B.C.點(diǎn)到直線的距離為D.點(diǎn)到直線的距離為【答案】ABD【解析】由題意，得：，解得，，故A、B正確，∴到直線的距離，故C錯(cuò)誤，D正確.故選：ABD.10.已知空間向量，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】因?yàn)橄蛄?，可得，?duì)于A中，由，設(shè)，即，可得，此時(shí)方程組無(wú)解，所以與不平行，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，由，所以，所以B正確；對(duì)于C中，由，所以C正確；對(duì)于D中，由，所以D正確.故選：BCD.11.直線與曲線恰有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值可能是（）A.4 B.5 C.3 D.【答案】AD【解析】做出函數(shù)與的草圖.設(shè)與圓相切，則或（舍去）.因?yàn)楹瘮?shù)與有兩個(gè)交點(diǎn)，所以.故選：AD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，則___________.【答案】【解析】因?yàn)辄c(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，又因?yàn)辄c(diǎn)B的坐標(biāo)為，所以．13.過(guò)點(diǎn)作圓的切線，則切線方程為_(kāi)__________．【答案】或【解析】①直線的斜率不存在時(shí)滿(mǎn)足，②直線斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為，則，所以切線方程為，即．14.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)直線y＝－x＋2與圓x2＋y2＝r2(r＞0)交于A，B兩點(diǎn)．若圓上存在一點(diǎn)C，滿(mǎn)足，則r的值為_(kāi)_______．【答案】【解析】即，整理化簡(jiǎn)得cos∠AOB＝－，過(guò)點(diǎn)O作AB的垂線交AB于D，則cos∠AOB＝2cos2∠AOD－1＝－，得cos2∠AOD＝.又圓心到直線的距離為OD＝，所以cos2∠AOD＝＝＝，所以r2＝10，r＝.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟．15.已知直線過(guò)點(diǎn)．（1）若直線與直線垂直，求直線的方程（2）若直線在兩坐標(biāo)軸的截距互為相反數(shù)，求直線的方程．解：（1）因?yàn)橹本€與直線垂直，所以可設(shè)直線的方程為，因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)，所以，解得，所以直線的方程為（2）當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，直線的方程是，即．當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線的方程為，把點(diǎn)代入方程得，所以直線的方程是．綜上，所求直線的方程為或16.已知向量.（1）若，求值；（2）求的最小值.解：（1）因?yàn)?，所以，即，解得；?）所以，.所以當(dāng)時(shí)，取得最小值為.17.如圖，在四棱錐中，底面ABCD為直角梯形，，，平面ABCD，Q為線段PD上的點(diǎn)，，，．（1）證明：平面ACQ；（2）求直線PC與平面ACQ所成角的正弦值．（1）證明：如圖，連接BD與AC相交于點(diǎn)M，連接MQ，∵，，則，∴，，∵，∴，平面ACQ，平面ACQ，∴平面ACQ；（2）解：平面，平面,，因?yàn)榈酌?則AB，AD，AP兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，各點(diǎn)坐標(biāo)如下：，，，．設(shè)平面ACQ的法向量為，由，，有，令，，，可得，由，有，，則．故直線PC與平面ACQ所成角的正弦值為．18.如圖，在正方體中，分別是棱的中點(diǎn)，為棱上一點(diǎn)，且異面直線與所成角的余弦值為.（1）證明：為的中點(diǎn)；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.（1）證明：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.不妨令正方體的棱長(zhǎng)為2，則，，，，，設(shè)，則，，所以，所以，解得（舍去），即為的中點(diǎn).（2）解：由（1）可得，，設(shè)是平面的法向量，則.令，得.易得平面的一個(gè)法向量為，所以.所以所求銳二面角的余弦值為.19.已知圓過(guò)點(diǎn)且與直線相切于點(diǎn)，直線與圓交于不同的兩點(diǎn)，．（1）求圓的方程；（2）若圓與軸的正半軸交于點(diǎn)，直線，的斜率分別為，，求證：是定值．解：（1）過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的直線為：，即.又線段，其中的垂直平分線為：，即.由，得圓心，又.故圓的方程為：.（2）將代入得：，整理得：.由.設(shè)Ax1,則，.又，所以，同理：.所以.所以為定值.安徽省池州市貴池區(qū)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知向量，，則的值為（）A. B.9 C.－7 D.7【答案】D【解析】.故選：D．2.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.不存在【答案】C【解析】因?yàn)橹本€即直線垂直于x軸,根據(jù)傾斜角的定義可知該直線的傾斜角為，故選:C.3.與直線垂直，且在軸上的截距為-2的直線方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題得所求直線的斜率為，∴所求直線方程為，整理為．故選：A．4.如圖所示，在平行六面體中，點(diǎn)E為上底面對(duì)角線中點(diǎn)，若，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】根據(jù)題意，得；故選：A．5.已知向量，，向量在向量上的投影向量為

（

）．A. B.C. D.【答案】A【解析】由題意可知，，所以向量在向量上的投影向量為.故選：A．6.若圓和圓相切，則等于（）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】C【解析】圓的圓心，半徑為5；圓的圓心，半徑為r.若它們相內(nèi)切，則圓心距等于半徑之差，即＝|r－5|，求得r＝18或－8，不滿(mǎn)足5<r<10.若它們相外切，則圓心距等于半徑之和，即＝|r＋5|，求得r＝8或－18(舍去)，故選C．7.在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，向量平面，則點(diǎn)到平面的距離為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，又向量平面，所以是平面的一個(gè)法向量所以點(diǎn)到平面的距離為.8.已知直線l：x－my＋4m－3＝0（m∈R），點(diǎn)P在圓上，則點(diǎn)P到直線l距離的最大值為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】D【解析】直線l：x－my＋4m－3＝0（m∈R）即為，所以直線過(guò)定點(diǎn)，所以點(diǎn)P到直線l的距離的最大值為，故選：D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知直線與交于點(diǎn)，則（）A.B.C.點(diǎn)到直線的距離為D.點(diǎn)到直線的距離為【答案】ABD【解析】由題意，得：，解得，，故A、B正確，∴到直線的距離，故C錯(cuò)誤，D正確.故選：ABD.10.已知空間向量，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】因?yàn)橄蛄?，可得，?duì)于A中，由，設(shè)，即，可得，此時(shí)方程組無(wú)解，所以與不平行，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，由，所以，所以B正確；對(duì)于C中，由，所以C正確；對(duì)于D中，由，所以D正確.故選：BCD.11.直線與曲線恰有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值可能是（）A.4 B.5 C.3 D.【答案】AD【解析】做出函數(shù)與的草圖.設(shè)與圓相切，則或（舍去）.因?yàn)楹瘮?shù)與有兩個(gè)交點(diǎn)，所以.故選：AD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，則___________.【答案】【解析】因?yàn)辄c(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，又因?yàn)辄c(diǎn)B的坐標(biāo)為，所以．13.過(guò)點(diǎn)作圓的切線，則切線方程為_(kāi)__________．【答案】或【解析】①直線的斜率不存在時(shí)滿(mǎn)足，②直線斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為，則，所以切線方程為，即．14.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)直線y＝－x＋2與圓x2＋y2＝r2(r＞0)交于A，B兩點(diǎn)．若圓上存在一點(diǎn)C，滿(mǎn)足，則r的值為_(kāi)_______．【答案】【解析】即，整理化簡(jiǎn)得cos∠AOB＝－，過(guò)點(diǎn)O作AB的垂線交AB于D，則cos∠AOB＝2cos2∠AOD－1＝－，得cos2∠AOD＝.又圓心到直線的距離為OD＝，所以cos2∠AOD＝＝＝，所以r2＝10，r＝.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟．15.已知直線過(guò)點(diǎn)．（1）若直線與直線垂直，求直線的方程（2）若直線在兩坐標(biāo)軸的截距互為相反數(shù)，求直線的方程．解：（1）因?yàn)橹本€與直線垂直，所以可設(shè)直線的方程為，因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)，所以，解得，所以直線的方程為（2）當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，直線的方程是，即．當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線的方程為，把點(diǎn)代入方程得，所以直線的方程是．綜上，所求直線的方程為或16.已知向量.（1）若，求值；（2）求的最小值.解：（1）因?yàn)?，所以，即，解得；?）所以，.所以當(dāng)時(shí)，取得最小值為.17.如圖，在四棱錐中，底面ABCD為直角梯形，，，平面ABCD，Q為線段PD上的點(diǎn)，，，．（1）證明：平面ACQ；（2）求直線PC與平面ACQ所成角的正弦值．（1）證明：如圖，連接BD與AC相交于點(diǎn)M，連接MQ，∵，，則，∴，，∵，∴，平面ACQ，平面ACQ，∴平面ACQ；（2）解：平面，平面,，因?yàn)榈酌?則AB，AD，AP兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，各點(diǎn)坐標(biāo)如下：，，，．設(shè)平面ACQ的法向量為，由，，有，令，，，可得，由，有，，則．故直線PC與平面ACQ所成角的正弦值為．18.如圖，在正方體中，分別是棱的中點(diǎn)，為棱上一點(diǎn)，且異面直線與所成角的余弦值為.（1）證明：為的中點(diǎn)；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.（1）證明：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.不妨令正方體的棱長(zhǎng)為2，則，，，