2/30專題2.7函數(shù)與方程（舉一反三講義）【全國通用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判斷】 2【題型2求函數(shù)的零點(diǎn)或零點(diǎn)個(gè)數(shù)】 3【題型3根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)】 3【題型4根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的分布范圍求參數(shù)】 3【題型5求零點(diǎn)的和】 4【題型6復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)問題】 4【題型7用二分法求方程的近似解】 5【題型8函數(shù)零點(diǎn)的大小與范圍問題】 61、函數(shù)與方程考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計(jì)考情分析(1)理解函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解的聯(lián)系

(2)理解函數(shù)零點(diǎn)存在定理，并能簡單應(yīng)用(3)了解用二分法求方程的近似解2023年新課標(biāo)I卷：第15題，5分2024年新課標(biāo)Ⅱ卷：第6題，5分2025年天津卷：第7題，5分2025年上海卷：第21題，18分函數(shù)的零點(diǎn)問題是高考?？嫉闹攸c(diǎn)、熱點(diǎn)內(nèi)容，從近幾年的高考形勢來看，一般以選擇題與填空題的形式出現(xiàn)；函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用也是歷年高考的一個(gè)熱點(diǎn)內(nèi)容，經(jīng)常以客觀題出現(xiàn)，通過分析函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)圖象研究函數(shù)的零點(diǎn)或方程的根的分布、個(gè)數(shù)等，題目難度較大，一般出現(xiàn)在壓軸題位置.知識(shí)點(diǎn)1確定函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的方法1．確定函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在區(qū)間的常用方法(1)利用函數(shù)零點(diǎn)存在性定理：首先看函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是否連續(xù)，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)必有零點(diǎn).(2)數(shù)形結(jié)合法：若一個(gè)函數(shù)(或方程)由兩個(gè)初等函數(shù)的和(或差)構(gòu)成，則可考慮用圖象法求解，如f(x)=g(x)-h(x)，作出y=g(x)和y=h(x)的圖象，其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為函數(shù)f(x)的零點(diǎn).知識(shí)點(diǎn)2函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)和求參問題1．函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷方法函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判定有下列幾種方法：(1)直接法：直接求零點(diǎn)，令f(x)=0，如果能求出解，那么有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn).(2)零點(diǎn)存在定理：利用該定理不僅要求函數(shù)在[a,b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)<0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象和性質(zhì)(如單調(diào)性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn).(3)圖象法：畫兩個(gè)函數(shù)圖象，看其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)有幾個(gè)，其中交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn).(4)性質(zhì)法：利用函數(shù)性質(zhì)，若能確定函數(shù)的單調(diào)性，則其零點(diǎn)個(gè)數(shù)不難得到；若所考查的函數(shù)是周期函數(shù)，則只需解決在一個(gè)周期內(nèi)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).2．已知函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)的方法(1)已知函數(shù)的零點(diǎn)求參數(shù)的一般方法①直接法：直接求方程的根，構(gòu)建方程(不等式)求參數(shù)；②數(shù)形結(jié)合法：將函數(shù)的解析式或者方程進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，把函?shù)的零點(diǎn)或方程的根的問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)熟悉的函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，再結(jié)合圖象求參數(shù)的取值范圍；③分離參數(shù)法：分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題來求解.(2)已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍的方法已知函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍，常利用數(shù)形結(jié)合法將其轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)問題，需準(zhǔn)確畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，利用圖象寫出滿足條件的參數(shù)范圍.知識(shí)點(diǎn)3嵌套函數(shù)的零點(diǎn)問題1．嵌套函數(shù)的零點(diǎn)問題的解題策略函數(shù)的零點(diǎn)是命題的熱點(diǎn)，常與函數(shù)的性質(zhì)和相關(guān)問題交匯.對于嵌套函數(shù)的零點(diǎn)，通常先“換元解套”,設(shè)中間函數(shù)為t，通過換元將復(fù)合函數(shù)拆解為兩個(gè)相對簡單的函數(shù)，借助函數(shù)的圖象、性質(zhì)求解.【題型1函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判斷】【例1】（2025·天津·高考真題）函數(shù)f(x)=0.3x?x的零點(diǎn)所在區(qū)間是（

A．(0,0.3) B．(0.3,0.5) C．(0.5,1) D．(1,2)【變式1-1】（2025·河北滄州·二模）函數(shù)fx=2A．0,12 B．12,1 C．【變式1-2】（2025·廣東·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=x14A．0,14 B．14,13【變式1-3】（24-25高二下·云南·期中）函數(shù)f(x)=x+4A．(0,12) B．(12,1)【題型2求函數(shù)的零點(diǎn)或零點(diǎn)個(gè)數(shù)】【例2】（2025·山東青島·二模）函數(shù)fx=aA．0 B．1 C．1,0 D．a(chǎn)【變式2-1】（24-25高三上·江西撫州·階段練習(xí)）函數(shù)f(x)=lnx?xA．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式2-2】（2025·陜西西安·模擬預(yù)測）已知函數(shù)f(x)=lnx，則函數(shù)y=f(f(x))的零點(diǎn)為（A．1 B．0 C．e D．e【變式2-3】（24-25高一下·甘肅平?jīng)觥ら_學(xué)考試）設(shè)定義域?yàn)镽的函數(shù)fx=x?12,x≤0lnA．4 B．5 C．6 D．7【題型3根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)】【例3】（2025·陜西西安·一模）已知函數(shù)f(x)=10x,x<0lgx,x>0，g(x)=f(x)+2x?m，若g(x)A．(?∞,1] B．(?∞,1) C．【變式3-1】（2025·湖南婁底·模擬預(yù)測）已知函數(shù)f(x)=2x?1，g(x)=[f(x)]2?tf(x)(t∈R)，若關(guān)于x的方程A．(?2,2) B．(3,2) C．(?2,?3【變式3-2】（2025·湖南·二模）若函數(shù)fx=log2x,0<x<41A．1,2 B．1,2 C．1,2 D．1,2【變式3-3】（24-25高二下·內(nèi)蒙古烏蘭察布·期中）已知函數(shù)f(x)=f(x?2),x>1|x|?1,?1≤x≤1若函數(shù)g(x)=f(x)?loga(x+1)A．[15,13) B．(【題型4根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的分布范圍求參數(shù)】【例4】（2025·遼寧撫順·模擬預(yù)測）函數(shù)fx=kx?4+xlog2x在區(qū)間1,4A．?4,1 B．?4,1 C．?1,4 D．?1,4【變式4-1】（2025·陜西西安·模擬預(yù)測）若函數(shù)fx=lgx+t在1,10上有零點(diǎn)，則A．?10,0 B．?110,0 C．0,1【變式4-2】（24-25高一上·河南開封·期末）已知x0是函數(shù)fx=lnx?2x的零點(diǎn)，且xA．3 B．2 C．1 D．0【變式4-3】（2025·四川巴中·一模）若函數(shù)fx=2ax2+3x?1在區(qū)間?1,1A．a(chǎn)|?1<a<2 B．{a|a=?98或C．{a|?1≤a≤2} D．{a|a=?98或【題型5求零點(diǎn)的和】【例5】（2025·甘肅張掖·模擬預(yù)測）函數(shù)fx=eA．0 B．-1 C．3 D．2【變式5-1】（2024·貴州六盤水·模擬預(yù)測）已知函數(shù)f(x)=2x+x,g(x)=log2x+x,?(x)=x3+x的零點(diǎn)分別為aA．0 B．2 C．4 D．6【變式5-2】（2025·山東·模擬預(yù)測）函數(shù)fx=ex與函數(shù)A．?ln2 B．ln2 C．0【變式5-3】（2025·四川綿陽·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=ex,x≤0,lnx,x>0,gx=x?3,A．0 B．3 C．6 D．9【題型6復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)問題】【例6】（2025·山東臨沂·三模）已知函數(shù)fx=lnx,x>0?x2A．a(chǎn)>1 B．a(chǎn)<0 C．?1<a<0 D．a(chǎn)<?1【變式6-1】（2025·貴州畢節(jié)·一模）已知函數(shù)f(x)=?x2?2x+3,x≤0lnA．5 B．6 C．7 D．8【變式6-2】（2025·安徽池州·二模）已知函數(shù)fx=ex+2,x≤0x+1A．2,3 B．2,3 C．3,+∞ D．【變式6-3】（24-25高一上·河北邯鄲·期末）fx為定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，fx=2sinπ2x,0≤x<1A．?1,0 B．0,2 C．?1,2 D．1,2【題型7用二分法求方程的近似解】【例7】（2025·廣東汕頭·模擬預(yù)測）用二分法求函數(shù)fx=lnx+2x?6在2,3內(nèi)的零點(diǎn)近似值，若精確度要求為A．3 B．4 C．5 D．6【變式7-1】（25-26高一上·全國·課后作業(yè)）用二分法求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[2,4]上零點(diǎn)的近似解，經(jīng)驗(yàn)證有f(2)?f(4)<0．若給定精確度ε=0.01，取區(qū)間的中點(diǎn)x1=2+42=3，計(jì)算得f(2)?fA．(2,3) B．(1,2) C．(0,1) D．(3,4)【變式7-2】（2025高三下·全國·專題練習(xí)）下列函數(shù)圖象與x軸均有交點(diǎn)，其中不能用二分法求圖中函數(shù)零點(diǎn)的是（

）A．

B．

C．

D．

【變式7-3】（24-25高一·全國·課后作業(yè)）用二分法求方程ln2x+6+2=3x1.001.251.3751.50f(x)1.07940.1918-0.3604-0.9989則由表中的數(shù)據(jù)，可得方程ln2x+6+2=3A．1.125 B．1.3125 C．1.4375 D．1.46875【題型8函數(shù)零點(diǎn)的大小與范圍問題】【例8】（2025·內(nèi)蒙古赤峰·二模）設(shè)函數(shù)y=x2+2x?10,y=2x+2x?10,y=log2x+2x?10A．a(chǎn)<b<c B．b<a<c C．a(chǎn)<c<b D．c<a<b【變式8-1】（2025·陜西咸陽·模擬預(yù)測）已知函數(shù)f(x)=x2+2x+1,x≤0|lnx|,x>0，若方程fx=a有四個(gè)根A．x1+xC．x1x2【變式8-2】（24-25高一上·廣東佛山·期末）已知函數(shù)fx(1)討論函數(shù)fx(2)若fx有兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2【變式8-3】（2025·海南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx(1)若m=1，判斷并證明fx(2)當(dāng)x∈0,+∞時(shí)，若函數(shù)fx（ⅰ）求m的取值范圍；（ⅱ）證明：x1一、單選題1．（2025·湖北十堰·模擬預(yù)測）函數(shù)f(x)=x+lnx?4的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)2．（2025·北京昌平·二模）已知函數(shù)fx=xx?2a?a恰有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)A．(?∞,?1] B．?∞,?1∪1,+∞3．（2025高一·全國·專題練習(xí)）用二分法求方程的近似解，求得fxx121.51.6251.751.8751.8125f（x）－63－2.625－1.459－0.141.34180.5793則當(dāng)精確度為0.1時(shí)，方程x3+2x?9=0的近似解可取為（A．1.6 B．1.7C．1.8 D．1.94．（2025·廣西柳州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)f(x)=x2+2x?3,x≤0?2+lnx,x>0，若方程A．k≤?4 B．?4<k<?3 C．k=?4或k>?3 D．k=?4或k≥?35．（2025·浙江·二模）定義在0,+∞上的函數(shù)fx滿足f1x=?fx,f2x=?f2xA．3 B．4 C．5 D．66．（2025·云南曲靖·一模）已知x1是函數(shù)fx=xlnx?2025的零點(diǎn)，x2是函數(shù)A．2025e B．e2025 C．20257．（2025·北京門頭溝·一模）已知函數(shù)fx=ax2?x+xa∈R，其中x表示不超過A．不存在a，使得fx有無數(shù)個(gè)零點(diǎn) B．fxC．存在a，使得fx有4個(gè)零點(diǎn) D．存在a，使得f8．（2025·陜西西安·二模）已知函數(shù)f(x)=x2+2x?1,x≤0?2+lnx,x>0，若函數(shù)g(x)=f(x)?mA．(?2,+∞) B．(?2,1] C．?2,e二、多選題9．（2025·四川達(dá)州·模擬預(yù)測）若實(shí)數(shù)log2a,log3bA．c<a<b B．b<c<aC．a(chǎn)<c<b D．a(chǎn)<b<c10．（2025·新疆省直轄縣級(jí)單位·模擬預(yù)測）已知函數(shù)f(x)=|2x+1A．f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2 B．當(dāng)a=0時(shí)，g(x)有2個(gè)不同的零點(diǎn)C．當(dāng)a<0時(shí)，g(x)有4個(gè)不同的零點(diǎn) D．a(chǎn)>0是g(x)有1個(gè)零點(diǎn)的充要條件11．（2025·陜西寶雞·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=log21?x，若函數(shù)gA．a(chǎn)=0 B．a(chǎn)+b=?1C．b=?1 D．6個(gè)零點(diǎn)之和是6三、填空題12．（2025·山東·模擬預(yù)測）函數(shù)fx=lg13．（2025·新疆喀什·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=x2+x,x≤0,14．（2025·北京海淀·三模）已知函數(shù)fx=xx+1,x≤1ex?1四、解答題15．（2025·河南·模擬預(yù)測）設(shè)a>0且a≠1，函數(shù)fx(1)當(dāng)t=1時(shí)，求不等式2fx(2)若函數(shù)?x=afx16．（24-25高一上·江西萍鄉(xiāng)·期末）已知函數(shù)f(x)=x+1(1)判斷函數(shù)fx在區(qū)間1,+(2)用二分法求方程fx=0在區(qū)間17．（2025·河南·模擬預(yù)測）已知a>1，函數(shù)fx(1