河北省廊坊市2024-2025學年高一下學期期末測試

數(shù)學試卷

一、單選題

1.復數(shù)z=3-i3在復平面內對應的點位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

2.在平行四邊形ABCD中，點E為AD的中點，則羽+蒞+方=（）

A.ICEB.—ADC.BED.—AD

22

3.一個口袋中裝有20個紅球和若干個黑球，在不允許將球倒出來數(shù)的前提下，為估計口袋中黑球的個數(shù),

小張采用了如下的方法：每次從口袋中摸出1個球，記下球的顏色后再把球放回口袋中搖勻.不斷重復上述

過程900次，共摸出紅球400次，根據(jù)上述數(shù)值，估計口袋中黑球的個數(shù)為（）

A.25B.30C.35D.40

4.拋擲兩枚質地均勻的骰子，記錄朝上的點數(shù)，則下列選項的兩個事件中，互斥但不對立的是（）

A.事件“點數(shù)之和為奇數(shù)”與事件“點數(shù)之積為偶數(shù)”

B.事件“點數(shù)之和為奇數(shù)”與事件“點數(shù)之積為奇數(shù)”

C.事件“點數(shù)之和不小于8”與事件“點數(shù)之和不大于7”

D.事件“點數(shù)之積不小于7”與事件“點數(shù)之積不大于8”

5.己知圓臺的上、下底面直徑長分別為2、8,側面積為25兀，則該圓臺的體積為（）

68兀

A.8471B.68KC.28兀D.

3

6.已知平面向量Z、B滿足2=（1,⑹，W=K-司=6,則6在￡上的投影向量為（）

7.如圖所示，為測量一條河流的寬度，選取了與河寬A3在同一垂直平面內的兩個觀測點C,D,利用無

人機在點C處測得河岸點A的俯角為a,河岸點B的俯角為￡,無人機沿CE方向飛行沉千米到達點。，測

得河岸點A的俯角為/（/>a>尸），則AB=（）

河岸4河寬河岸8

msin(7-cjf)sin(6Zmsin/sin(7-cr)

A.千米B.千米

sin/sin/?sin(a_/?)sin夕

機sin(a一月)sin夕msin/sin(cr-/7)

C.千米D.千米

sinysin(/-6Z)sin(y-cr)sin/?

8.如圖，正方形A3CO和正方形AB￡F的邊長均為2,且它們所在的平面互相垂直，點N在線段面上運動,

點加在正方形ABCD內運動，MN=2,且始終保持則。拉的最小值為（）

「3D.B

A.V2-1B.272-2

22

二、多選題

9.在一次射擊決賽中，某位選手射擊了一組子彈，得分分別為&3,8.4,8.4,8.7,9.2,94,9.5,9.9,10.1,10.1,

則（）

A.該組數(shù)據(jù)的極差為1.8

B.該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為10.1

C.該組數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)為9.9

D.若該組數(shù)據(jù)去掉一個數(shù)得到一組新數(shù)據(jù)，則這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)可能相等

10.在VA5c中，角48,C的對邊分別為a,4c,則下列說法正確的是（）

A.若。=2后,4=三，則VABC的外接圓的面積為4兀

B.若“=3,6=4,A=§,則滿足條件的三角形有兩個

C.若VABC為銳角三角形，貝i|sinA+sin3>cosA+cos3

D.若B>C,貝!ItanB>tanC

11.在棱長為4的正方體中，點、E,F,G分別為棱3C,M.臺用的中點，則下列說法

正確的是（）

A.直線跖，是異面直線

B.直線AQ與GE所成角的余弦值為（

C.三棱錐G-4BO的內切球的體積為生87r

16

D.平面GOG截正方體所得截面的面積為18

三、填空題

12.用斜二測畫法作出水平放置的正方形ABCD的直觀圖A'B'C'。'如圖所示，則正方形ABC。與直觀圖

AB'C'D'的周長之比.

13.已知是相互獨立事件，且尸（M）=Q18,P（N）=0.3,則P（MUN）=.

14.費馬點是在三角形中到三個頂點距離之和最小的點，具體位置取決于三角形的形狀，如果三角形的三

個內角均小于120。，費馬點是三角形內部對三邊張角均為120。的點；如果三角形有一個內角大于或等于120。,

費馬點就是該內角所在的頂點.已知VASC中，角所對的邊分別為。，"c,。為費馬點.若

a=幣,b=l,c=3,則函.礪+前.花+元.兩的值為.

四、解答題

15.設復數(shù)z=l+;wi（〃zeR）.

⑴若（2-i）z是實數(shù)，求根的值；

（2）若業(yè)是純虛數(shù)，求復數(shù)z的共軟復數(shù)N.

z

16.已知向量方=（21-1,1）,5=（4,t+1）,c=（1,2）.

⑴求卜+同的最小值；

⑵若5-日與萬共線，求］與1的夾角.

17.記銳角VABC的內角A,B,C的對邊分別為b,c,已知。=2,bcosB=yflsin2B.

⑴求A；

⑵求(6-1及+缶的最大值.

18.用分層隨機抽樣從某校高一年級1000名學生的數(shù)學成績(滿分為100分，成績都是整數(shù))中抽取一個

樣本容量為100的樣本，其中男生成績數(shù)據(jù)40個，女生成績數(shù)據(jù)60個.再將40個男生成績樣本數(shù)據(jù)分為6

[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],繪制得到如圖所示的頻率分布直方圖.

。405060708090100成績/分

(1)由頻率分布直方圖，求出圖中f的值；

(2)為了進一步分析學生的成績，按性別采用分層隨機抽樣的方法抽取5人，再從中抽取2人，求這2人中

男生女生各1人的概率；

(3)已知男生成績樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為71和187.75,女生成績樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為

66和40,求總樣本的平均數(shù)和方差.

19.如圖，在三棱錐P-ABC中，平面RW_L平面ABC,是邊長為2的等邊三角形，8c=2百，PC=4,

點E是棱PB的中點，點M是棱BC上的一點.

⑴求證：PA±BC；

(2)^BM=MC,求二面角E—AM—3的余弦值；

(3)若直線EM與平面EAC所成角的正弦值為正,求線段BM的長.

題號12345678910

答案ABABCBDBACDAC

題號11

答案ABD

1.A

利用復數(shù)的運算法則和幾何意義即可得出.

【詳解】由z=3-3=3+i,知復數(shù)z在復平面內對應的點為(3,1),位于第一象限.

故選：A.

2.B

根據(jù)向量的概念及加法運算即可求解.

［詳解】AB+AD+CE^AC+CE=AE^-AD.

2

故選：B.

3.A

設黑球的個數(shù)為n,根據(jù)古典概型概率公式列式求解即可.

【詳解】設黑球的個數(shù)為"，由古典概型的概率公式可得20工＞4=0黑0，解得a=25.

20+n900

故選：A.

4.B

根據(jù)互斥事件和對立事件的定義逐一判斷即可.

【詳解】對于A,二者能同時發(fā)生，不是互斥事件，如(3,4),故A錯誤；

對于B,二者不能同時發(fā)生，也不能同時不發(fā)生，點數(shù)都是偶數(shù)，故B正確；

對于C,二者不能同時發(fā)生，也不能同時不發(fā)生，是對立事件，故C錯誤；

對于D,二者能同時發(fā)生，不是互斥事件，如(2,4),故D錯誤.

故選:B

5.C

利用圓臺的側面積公式求出圓臺的母線長，進而可求出圓臺的高，結合臺體體積公式可求得該圓臺的體積.

【詳解】設圓臺的母線長為/,則該圓臺的側面積為兀入(1+4)=5兀/=25兀，故/=5,

取圓臺的軸截面ABC。，則四邊形A2CD為等腰梯形，

分別過點C、。在平面ABC。內作CE1AB、DFLAB,垂足分別為點E、F,如下圖所示:

D

因為CD〃AB,CE1AB,DFLAB,則四邊形CDFE為矩形，故EF=CD=2,

且CE=D尸,

因為AD=BC,DF=CE,ZDAF=Z.CBE,故AADF%BCE,

所以AV=3E=”。匹=t^=3,^DF=yjAD2-AF2=752-32

故圓臺的高為4,因此該圓臺的體積為V=9x(12+42+1X4)X4=28TI.

故選：C.

6.B

由平面向量數(shù)量積的運算可求出的值，再利用投影向量的定義可求得5在￡上的投影向量的坐標.

【詳解】因為方=(i，⑹，則同=JTT^=2,且忖=有，

則|方一=a2-2a-b+b2=1-2a-b=3,可得2.石=2,

所以’B在。上的投影向量為酢os,孫小明?葡?G=￥?萬=%=*石卜，

故選：B.

7.D

由題目中條件分別在VMC和“8中利用正弦定理解方程組可得皿=m▽smys壽in(a蒲-6].

【詳解】根據(jù)題意可知/ABC=回尸,

ABAC,所以A,C_=畫AB匚?sin方B;

在VABC中，利用正弦定理可得胡畫=能

又易知ZADC=7i-/,ZG4D=7i-cr-(7L-/)=/-?,

CDACAC,所以仁C畫D?s焉iny;

在AACD中，利用正弦定理可得「----

sin—ar)=—sin;(-7-1-77)=-s-in/

m-sin/AB?sin/3

又CD=m，因此可得sin(z-a)=sin("￡)'

7〃sin/sin(a-⑶

因此AB=

sin(/-ar)sin/3

故選：D

8.B

過點N作NH_LAB,利用面面垂直的性質、線面垂直的性質判定證得平面AB￡F,再結合三角形全

等的性質及圓的性質求出最小值.

【詳解】如圖，過點N作垂足為連接

而MNCHN=N,MN,HNu平面MNH,則AB_L平面MNH.

又Mfu平面MNH,則又平面ABCD工平面,

平面ABCDD平面AB￡F=M,平面ABC。，則平面,

HNu平面ABEF,于是MHLNH,而HN=HB,因此RtABHM/RtANHM,MB=MN=2,

則點M的軌跡是以B為圓心，2為半徑的圓弧，所以八M的最小值為￡)8-2=2&-2.

故選：B

9.ACD

根據(jù)題意，利用極差、百分位數(shù)、平均數(shù)的概念逐項判斷即可.

【詳解】對于A項，極差等于10.1-8.3=1.8,故A正確；

對于B項，該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為10.1和&4,故B錯誤；

對于C項，10x75%=7.5,故75%分位數(shù)為9.9,故C正確；

對于D項，平均數(shù)等于-------------------------------------------=9.2,

去掉9.2后，這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等，故D正確.

故選：ACD.

10.AC

應用正弦定理有'-=4=2R,進而求外接圓的面積判斷A；應用正弦定理判斷三角形個數(shù)判斷B；由銳角

sinA

三角形及誘導公式有sinA>cosB>sinB>cosA判斷C；假設5為鈍角即可判斷D.

【詳解】因為。=26,4=三，所以/6=VT=4=2A（R為VABC外接圓的半徑），

T

所以R=2,故VABC的外接圓的面積為4兀，故A正確；

7T

若。=31=4,4=§,則avAsinA,所以無解，故B錯誤；

IT-TT

若VABC為銳角三角形，則A+8>5,所以4>5-8,

所以sinA>sing-“=cosB,同理sin3>cosA,

所以sinA+sin3>cosA+cos3,故C正確；

若8為鈍角，顯然滿足8>C,（HtanB<0,tanC>0,不滿足tanB>tanC,故D錯誤.

故選：AC

11.ABD

根據(jù)異面直線的判定定理判斷A的真假；構造異面直線所成的角，解三角形求兩直線所成角的余弦；先判

斷三棱錐C1-4出。是正四面體，利用體積法求其內切球的半徑，進而求內切球的體積，判斷C的真假；作

出截面，再求截面面積，判斷D的真假.

【詳解】對A：如圖：

取。，中點為Af,連接"F,MC,BF,

因為M///BC,所以共面，且EFu平面MFBC,

又平面MFBC,B正EF,。任平面MFBC,所以直線EF與。出異面.故A正確;

對B：取用G的中點N,取用N的中點〃，則QE//BNUGH,

所以/AGH為直線AQ與QE所成的角或其補角.

連接AH,在AAGH中，%G=2后,HG=j5,4"=后,

_AG'HG-AH?_(2⑻?+?)2T拒)2_2

由余弦定理得:UCLO/oSXZ._A/AiGKJLHJL——―

2Afi-HG2x2v5Xy/55

2

即直線4G與C|E所成角的余弦值為：，故B正確;

對C：如圖：

由題意，三棱錐G-48。為棱長是4后的正四面體，設其內切球的球心為。，半徑為R,

所以1.4m=3邑4加了=3*￥*(40)2*7?,

又%3=七方體一嗎用「對-4xgx；x4x4x4=q,

所以±X^X(40)2XR=^,解得R=3叵,

3433

則三棱錐G-4即的內切球的體積為；無=等無，故c錯誤;

對D：如圖：

延長CQ,CB交于點K,連接KD交AB于點L,連接GL,

因為平面ABBA〃平面DCGA，平面KCQc平面ABBiA=KL,平面KCQc平面。CCQ=CQ,所以

KL//QD.

在梯形GLDC|中，￡>G=40,GL=2垃,DL=GC、=26

則梯形的高為J(2石『-(函『=372，

所以等腰梯形GLDQ的面積為（4應+20A30=*,故D正確.

2

故選：ABD

12.4:3

設正方體的棱長，再利用畫直觀圖的規(guī)則求出直觀圖的周長即可.

【詳解】設正方形ABCD的邊長為。，則正方形A2CD的周長為4a,

直觀圖AB'C'D'中,A'B'=a,AD'——a,則其周長為2a+2y.—a=3a,

22

所以正方形ABC。與直觀圖AB'C'D'的周長之比為4:3.

故答案為：4:3.

13.0.426

根據(jù)事件獨立求出尸（MV）,再利用尸（21^^）=P（加）+尸（'）-尸（加）求出答案.

【詳解】因為M，N是相互獨立事件，所以P（MN）=P（M）?P（N）=0.18x0.3=0.054,

所以尸（MUN）=P（M）+P（N）—P（肱V）=0.18+0.3—0.054=0.426.

故答案為：0.426

3

14.——

2

根據(jù)已知求cosC=-立〉-工，進而有sinC=3且且費馬點。在VA5c內部，

14214

ZAOB=ZAOC=ZBOC=120°,再應用三角形面積公式列方程得。4-OB+a4?OC+OB-OC=3,再由向量

數(shù)量積的定義求目標式的值.

【詳解】由。=近力=1,。=3,顯然最大角為C,且cosC="P=-立＞-L

2V7142

所以C為小于120。的鈍角，且sinC=2叵，

14

所以費馬點。在VABC內部，且NAOB=NAOC=N3OC=120。，

所以S.ABC=|OA-OBsin120°+1OA-OCsin120°+1OB-OCsin120°,

貝U；x77xlx隼i=￥（OAOB+OA-OC+OB-OC）,

所以OAOB+OA.OC+OBOC=3,

由M加加工+反.西=（的函+MM+lMMssi2。。］.

3

故答案為：-彳

2

15.(1)^

(2)z=1+i

(1)利用復數(shù)的乘法運算化簡，根據(jù)實數(shù)條件得到虛部為零，求得機的值;

(2)利用復數(shù)的除法運算化簡，利用純虛數(shù)的條件求得加的值，進而得解.

【詳解】(1)由題知(2—i)z=(2—i)(l+mi)=(2+M+(2m—l)i

若(2-i)z是實數(shù)，則2m一1=0,解得根=；；

⑵由題知工=產=之吟比?”

z1+mi^1+mi^l-m2iJ=1+m

1+i11+m=0

若」是純虛數(shù)，則，八，解得租=-1,所以z=l-i衣=l+i.

z[1—機w0

16.⑴g

吒

(1)根據(jù)向量線性運算以及模長的坐標表示，結合二次函數(shù)的性質，可得答案；

(2)根據(jù)共線向量以及數(shù)量積與模長的坐標表示，利用向量夾角的計算公式，可得答案.

【詳解】(1)由4=(2/—1,1),S=(4,?+1),可得日+5=(2/+3J+2),

則忖+5『=(2/+3)2+?+2)2=5/+16.+13=51+|)+1,

故當/=-|時，++,取得最小值.即,=一|時，K+.取得最小值f.

(2)b-a^(5-2t,t),八(L2),

由5-4與1共線可得"2(5-20，解得r=2,

則少=(3,1),商1=3x1+2=5,|5|=A/10,|c|=5/5,

a-c5J2

設m與亍的夾角為凡所以cose=^y=-匚==，

冏?冏V10xV52

因為owewn,所以e=—.

17.(1)A=：

(2)472

(1)根據(jù)二倍角公式化簡，結合正弦定理可得角A；

(2)根據(jù)正弦定理進行邊角互化，結合三角函數(shù)性質可得最值.

【詳解】(1)由已知。cosB=V^sin25，

即AcosB=2^2sinBcosB,

又在VABC中，

則cosB>Q,

可得6=2&sin8,BP—=272,

smB

b_c

又由正弦定理可知一；=20,

sinAsinBsinC

即sinA=^==—,

2V22

又問。，？，

jr

所以A=:；

4

(2)由(1)可得)=20sin5,c=20sinC,

貝|](石-1)6+技=2(痛-0卜苗3+45也(?,

又在VA3C中，sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=^-sinB+^-cosB,

即(君-1)6+缶=2(6-亞卜.3+2。皿8+2及85B=2A/6sinB+242cosB=4A/2sinfB+-^

0<B<-

2,:<2<],則8+25TI2TI)

由v

?！葱?2426

42

所以當8+e=；,即8=g時，(△-1)6+缶=4血sinB+-兀|取最大值為40.

6

18.⑴=0.015

(2)i

(3)平均數(shù)和方差分別為68和105.1

(1)由頻率分布直方圖的面積和為1計算可得;

(2)先根據(jù)分層抽樣求出男女生人數(shù)，再由古典概率計算可得；

(3)求出總樣本的平均數(shù)，利用整體方差和局部方差的相關公式求出答案.

【詳解】(1)由圖形可得10(0.01+27+0.03+0.025+0.005)=1,解得t=0.015.

(2)男生成績數(shù)據(jù)40個，女生成績數(shù)據(jù)60個，按性別采用分層隨機抽樣的方法抽取5人，

則抽取男生人數(shù)為5x^=2,女生人數(shù)為3人，

設男生為A3,女生為a,b,c,

抽取兩人的情況為：AB,Aa,Ab,Ac,Ba,Bb,Be,ab,ac,be,共10種，

再從中抽取2人，這2人中男生女生各1人的情況為：Aa,Ab,Ac,Ba,Bb,Bc,

3

所以概率為M

(3)設男生成績樣本平均數(shù)為嚏=71,方差為T=187.75,

女生成績樣本平均數(shù)亍=66,方差為《=40,總樣本的平均數(shù)為1方差為

-40_60_

z=xd-----y=0.4x71+0.6x66=68.

100100

2

240「s2+/—x~z\~\60T2

s二一x\-]+一<+y—z

woL'，」iooLy'，」

=^[187.75+(71-68)2]+^[40+(66-68)2]=105.1.

所以總樣本的平均數(shù)和方差分別為68和105.1.

19.(1)證明見解析

⑵！

(3)T

【詳解】(1)證明：取AB的中點R連接PR因為鉆是邊長為2的等邊三角形，

所以又平面平面ABC,平面平面=AB,P/u平面PAB,所以P尸_L平面

ABC,

又BCu平面ABC,所以PP_L2C.

在△P3C中，PB=2,BC=2?PC=4,PB2+BC2=PC2,所以

又尸產C]PB=P,尸尸，尸Bu平面上鉆，所以平面上45,

又PAu平面所以B4_LBC.

(2)取8F的中點O,連接EO,因為E為線段尸8的中點，

p

￡

節(jié)

/

c

所以EO//PF,EO^-PF=-xy/PB2-BF2--xV22-l2