2025年高等傳熱學(xué)試題及答案一、簡答題（每題10分，共40分）1.簡述傅里葉定律的物理意義及其適用條件，并說明當(dāng)物體內(nèi)部存在內(nèi)熱源時，導(dǎo)熱微分方程與傅里葉定律的關(guān)系。傅里葉定律描述了導(dǎo)熱過程中熱流密度與溫度梯度的關(guān)系，數(shù)學(xué)表達(dá)式為\(\boldsymbol{q}=-\lambda\nablaT\)，其中負(fù)號表示熱流方向與溫度梯度方向相反，符合能量從高溫向低溫傳遞的自然規(guī)律。其物理意義是：單位時間內(nèi)通過單位面積的導(dǎo)熱量與該方向上的溫度梯度成正比，比例系數(shù)為材料的導(dǎo)熱系數(shù)\(\lambda\)。適用條件包括：（1）連續(xù)介質(zhì)假設(shè)成立（即物體尺度遠(yuǎn)大于分子平均自由程）；（2）導(dǎo)熱系數(shù)為常數(shù)或僅隨溫度線性變化（若為變導(dǎo)熱系數(shù)，需通過積分形式修正）；（3）非極端條件（如極低溫或超高溫導(dǎo)致的量子效應(yīng)或輻射主導(dǎo)時不適用）；（4）穩(wěn)態(tài)或非穩(wěn)態(tài)過程均適用，但非穩(wěn)態(tài)時需結(jié)合能量守恒方程。當(dāng)存在內(nèi)熱源（單位體積產(chǎn)熱率\(\dot{q}_v\)）時，導(dǎo)熱微分方程由能量守恒推導(dǎo)得出，其形式為\(\rhoc\frac{\partialT}{\partialt}=\nabla\cdot(\lambda\nablaT)+\dot{q}_v\)。傅里葉定律在此方程中作為熱流密度的本構(gòu)關(guān)系，用于描述導(dǎo)熱項(xiàng)\(\nabla\cdot(\lambda\nablaT)\)，即通過傅里葉定律將溫度梯度與熱流的散度關(guān)聯(lián)，進(jìn)而結(jié)合內(nèi)熱源項(xiàng)和能量積累項(xiàng)，構(gòu)成完整的導(dǎo)熱控制方程。2.說明對流換熱中“邊界層”概念的核心意義，并比較層流邊界層與湍流邊界層在速度分布、溫度分布及傳熱特性上的差異。對流換熱邊界層的核心意義在于將流體流動與傳熱的主要梯度區(qū)域限制在壁面附近的薄層內(nèi)，從而簡化分析。對于速度邊界層（厚度\(\delta\)），流體速度從壁面的無滑移條件（\(u=0\)）迅速發(fā)展到主流速度\(u_\infty\)；溫度邊界層（厚度\(\delta_t\)）則是流體溫度從壁面溫度\(T_w\)變化到主流溫度\(T_\infty\)的區(qū)域。邊界層外的流體可視為無粘性、無溫度梯度的“主流區(qū)”，極大降低了問題的復(fù)雜度。層流與湍流邊界層的差異：（1）速度分布：層流邊界層速度呈拋物線型（\(u/u_\infty\approxy/\delta\)或更高階多項(xiàng)式），梯度主要集中在近壁區(qū)；湍流邊界層由于強(qiáng)烈的動量輸運(yùn)，近壁區(qū)存在線性的“粘性底層”（\(u^+=y^+\)），外層為對數(shù)分布（\(u^+=2.5\lny^++5.0\)），整體分布更飽滿。（2）溫度分布：層流邊界層溫度梯度隨\(y\)增加而減小，呈曲線分布；湍流邊界層因湍流脈動增強(qiáng)了熱量混合，溫度梯度在粘性底層內(nèi)較大，外層梯度較小，整體分布更平坦。（3）傳熱特性：湍流邊界層的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)\(h\)顯著高于層流（因湍流的動量與熱量輸運(yùn)以渦擴(kuò)散為主，遠(yuǎn)強(qiáng)于分子擴(kuò)散），且\(h\)隨流動發(fā)展的衰減速率更慢（層流\(h\proptox^{-1/2}\)，湍流\(h\proptox^{-1/5}\)）。3.推導(dǎo)灰體表面間輻射換熱的有效輻射表達(dá)式，并說明“重輻射面”的定義及其在輻射換熱網(wǎng)絡(luò)法中的處理方式?；殷w表面的有效輻射\(J\)定義為單位時間內(nèi)離開表面單位面積的總輻射能，包括自身發(fā)射的輻射\(\varepsilon\sigmaT^4\)和反射的投入輻射\((1-\varepsilon)G\)，因此\(J=\varepsilon\sigmaT^4+(1-\varepsilon)G\)。根據(jù)能量守恒，表面凈輻射換熱量\(q=J-G\)，聯(lián)立可得\(G=J-q\)，代入前式消去\(G\)，得到\(q=\frac{\varepsilon}{1-\varepsilon}(\sigmaT^4-J)\)，即\(J=\sigmaT^4-\frac{1-\varepsilon}{\varepsilon}q\)，此為有效輻射的另一種表達(dá)式。重輻射面指表面凈換熱量為零（\(q=0\)）的絕熱表面（如保溫良好的壁面）。在輻射網(wǎng)絡(luò)法中，重輻射面的節(jié)點(diǎn)相當(dāng)于“浮動節(jié)點(diǎn)”，其有效輻射\(J\)由與之相連的其他表面節(jié)點(diǎn)的輻射傳遞決定。由于\(q=0\)，重輻射面與其他表面間的輻射熱阻僅涉及空間熱阻（\(1/(AX)\)，\(X\)為角系數(shù)），而表面熱阻（\((1-\varepsilon)/(\varepsilonA)\)）因\(q=0\)可視為開路（或直接忽略），最終通過網(wǎng)絡(luò)平衡方程求解\(J\)。4.分析非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱中“集總參數(shù)法”的適用條件，并說明當(dāng)物體Bi數(shù)\(Bi\to0\)時，溫度場的分布特征及冷卻（或加熱）時間的計算方法。集總參數(shù)法適用于物體內(nèi)部導(dǎo)熱熱阻遠(yuǎn)小于表面對流熱阻的情況，即\(Bi=hL_c/\lambda\ll1\)（通常取\(Bi<0.1\)），其中\(zhòng)(L_c\)為特征長度（體積/表面積）。此時物體內(nèi)部溫度梯度可忽略，溫度僅隨時間變化，與空間位置無關(guān)。當(dāng)\(Bi\to0\)時，物體內(nèi)部各點(diǎn)溫度趨于均勻，溫度場可表示為\(T(t)=T_\infty+(T_0-T_\infty)\exp(-t/\tau)\)，其中\(zhòng)(\tau=\rhocV/(hA)\)為時間常數(shù)。冷卻（或加熱）時間的計算需給定目標(biāo)溫度\(T(t_1)\)，通過上式反解\(t_1=\tau\ln\left(\frac{T_0-T_\infty}{T(t_1)-T_\infty}\right)\)。二、計算題（每題20分，共60分）1.如圖1所示（假想圖：二維矩形截面桿，長\(a=0.2\,\text{m}\)，寬\(b=0.1\,\text{m}\)），桿內(nèi)有均勻內(nèi)熱源\(\dot{q}_v=5\times10^5\,\text{W/m}^3\)，導(dǎo)熱系數(shù)\(\lambda=40\,\text{W/(m·K)}\)。桿的上下表面（\(y=0\)和\(y=b\)）絕熱，左右端面（\(x=0\)和\(x=a\)）分別保持\(T(0,y)=T_1=300\,\text{K}\)和\(T(a,y)=T_2=400\,\text{K}\)。假設(shè)穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱，試求桿內(nèi)溫度分布\(T(x,y)\)。解：穩(wěn)態(tài)二維導(dǎo)熱控制方程（含內(nèi)熱源）：\[\frac{\partial^2T}{\partialx^2}+\frac{\partial^2T}{\partialy^2}+\frac{\dot{q}_v}{\lambda}=0\]邊界條件：-\(y=0\)和\(y=b\)：絕熱，即\(\partialT/\partialy=0\)；-\(x=0\)：\(T=T_1\)；\(x=a\)：\(T=T_2\)。由于上下表面絕熱，溫度分布與\(y\)無關(guān)（\(\partial^2T/\partialy^2=0\)），方程簡化為一維：\[\frac{d^2T}{dx^2}=-\frac{\dot{q}_v}{\lambda}\]積分一次：\(dT/dx=-\frac{\dot{q}_v}{\lambda}x+C_1\)；積分二次：\(T(x)=-\frac{\dot{q}_v}{2\lambda}x^2+C_1x+C_2\)。代入邊界條件\(x=0\)，\(T=T_1\)，得\(C_2=T_1\)；\(x=a\)，\(T=T_2\)，得\(T_2=-\frac{\dot{q}_v}{2\lambda}a^2+C_1a+T_1\)，解得\(C_1=\frac{T_2-T_1}{a}+\frac{\dot{q}_va}{2\lambda}\)。因此，溫度分布為：\[T(x)=T_1+\frac{T_2-T_1}{a}x+\frac{\dot{q}_v}{2\lambda}(ax-x^2)\]代入數(shù)值：\(\dot{q}_v=5×10^5\,\text{W/m}^3\)，\(\lambda=40\,\text{W/(m·K)}\)，\(a=0.2\,\text{m}\)，\(T_1=300\,\text{K}\)，\(T_2=400\,\text{K}\)，得：\[T(x)=300+500x+\frac{5×10^5}{2×40}(0.2x-x^2)=300+500x+6250(0.2x-x^2)\]\[=300+500x+1250x-6250x^2=300+1750x-6250x^2\]（單位：K）。2.20℃的空氣以\(u_\infty=10\,\text{m/s}\)的速度外掠一塊長度\(L=1.5\,\text{m}\)、溫度\(T_w=80\,\text{C}\)的光滑平板（平板寬度\(b=0.5\,\text{m}\)）。假設(shè)流動為湍流過渡（臨界雷諾數(shù)\(Re_{xc}=5×10^5\)），空氣物性取\(\nu=1.6×10^{-5}\,\text{m}^2/\text{s}\)，\(\lambda=0.028\,\text{W/(m·K)}\)，\(Pr=0.7\)。試計算：（1）平板末端（\(x=L\)）處的速度邊界層厚度\(\delta\)；（2）平板的平均表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)\(\bar{h}\)。解：（1）首先計算平板末端雷諾數(shù)\(Re_L=u_\inftyL/\nu=10×1.5/1.6×10^{-5}=9.375×10^5\)，大于\(Re_{xc}=5×10^5\)，故流動為混合邊界層（前\(x_c\)為層流，后為湍流）。湍流邊界層厚度公式（\(Re_x>Re_{xc}\)）：\(\delta=0.37x/Re_x^{1/5}\)。末端\(x=L\)處，湍流部分的邊界層厚度需考慮從\(x_c\)開始的湍流發(fā)展。但工程上常近似混合邊界層厚度為湍流部分主導(dǎo)，直接用湍流公式計算（誤差在可接受范圍內(nèi)）：\[\delta_L=0.37L/Re_L^{1/5}=0.37×1.5/(9.375×10^5)^{1/5}\]計算\(Re_L^{1/5}≈(9.375×10^5)^{0.2}≈(9.375)^{0.2}×(10^5)^{0.2}≈1.56×10=15.6\)，故\(\delta_L≈0.37×1.5/15.6≈0.0355\,\text{m}=35.5\,\text{mm}\)。（2）平均表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)\(\bar{h}\)需考慮層流與湍流段的貢獻(xiàn)?；旌线吔鐚拥钠骄麪枖?shù)公式為：\[\overline{Nu}_L=0.037Re_L^{4/5}Pr^{1/3}-871\]（當(dāng)\(Re_{xc}=5×10^5\)時）。代入數(shù)據(jù)：\(Re_L=9.375×10^5\)，\(Pr=0.7\)，\[\overline{Nu}_L=0.037×(9.375×10^5)^{4/5}×0.7^{1/3}-871\]計算\((9.375×10^5)^{4/5}=(9.375)^{4/5}×(10^5)^{4/5}≈1.56^4×10^4≈5.86×10^4\)，\(0.7^{1/3}≈0.888\)，則\(\overline{Nu}_L≈0.037×5.86×10^4×0.888-871≈0.037×51930-871≈1921-871=1050\)。平均表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)\(\bar{h}=\overline{Nu}_L×\lambda/L=1050×0.028/1.5≈19.6\,\text{W/(m}^2·\text{K)}\)。3.兩個平行放置的正方形灰體表面（邊長\(l=0.5\,\text{m}\)），表面1溫度\(T_1=800\,\text{K}\)，黑度\(\varepsilon_1=0.8\)；表面2溫度\(T_2=500\,\text{K}\)，黑度\(\varepsilon_2=0.6\)；兩表面間距\(d=0.25\,\text{m}\)，且周圍為絕熱環(huán)境（重輻射面）。試計算兩表面間的輻射換熱量\(Q_{1-2}\)。解：兩平行灰體表面構(gòu)成封閉系統(tǒng)（周圍為重輻射面，可視為第三表面\(J_3\)），輻射網(wǎng)絡(luò)法中，總熱阻包括兩表面的表面熱阻和空間熱阻。首先計算角系數(shù)\(X_{1-2}\)：對于平行正方形平板，間距\(d/l=0.25/0.5=0.5\)，查角系數(shù)圖或公式（如Hottel交叉線法），得\(X_{1-2}=0.28\)（因\(d/l=0.5\)，近似值）。由于系統(tǒng)封閉，\(X_{1-3}=1-X_{1-2}=0.72\)，同理\(X_{2-3}=1-X_{2-1}=0.72\)（\(X_{2-1}=X_{1-2}=0.28\)）。重輻射面\(J_3\)凈換熱量為零，故\(Q_{1-3}=Q_{3-2}\)，即\((J_1-J_3)/(1/(AX_{1-3}))=(J_3-J_2)/(1/(AX_{2-3}))\)，因\(X_{1-3}=X_{2-3}\)，得\(J_3=(J_1+J_2)/2\)。兩表面間凈輻射換熱量\(Q_{1-2}=\frac{\sigma(T_1^4-T_2^4)}{\frac{1-\varepsilon_1}{\varepsilon_1A}+\frac{1}{AX_{1-2}}+\frac{1-\varepsilon_2}{\varepsilon_2A}}\)（當(dāng)忽略重輻射面時不適用，此處需考慮重輻射面的影響）。正確方法：封閉系統(tǒng)中，總輻射換熱量為\(Q_{1-2}=A_1X_{1-2}\frac{\sigma(T_1^4-T_2^4)}{\frac{1}{\varepsilon_1}+\frac{1}{\varepsilon_2}-1}\)（當(dāng)周圍為黑體環(huán)境時），但此處周圍為重輻射面，需用三表面網(wǎng)絡(luò)求解。設(shè)\(A_1=A_2=A=l^2=0.25\,\text{m}^2\)，表面熱阻\(R_1=(1-\varepsilon_1)/(\varepsilon_1A)=0.2/(0.8×0.25)=1\,\text{K/W}\)，\(R_2=(1-\varepsilon_2)/(\varepsilon_2A)=0.4/(0.6×0.25)=2.667\,\text{K/W}\)；空間熱阻\(R_{1-2}=1/(AX_{1-2})=1/(0.25×0.28)=14.286\,\text{K/W}\)，\(R_{1-3}=1/(AX_{1-3})=1/(0.25×0.72)=5.556\,\text{K/W}\)，\(R_{2-3}=5.556\,\text{K/W}\)。節(jié)點(diǎn)方程：對表面1：\((E_{b1}-J_1)/R_1=(J_1-J_2)/R_{1-2}+(J_1-J_3)/R_{1-3}\)；對表面2：\((E_{b2}-J_2)/R_2=(J_2-J_1)/R_{1-2}+(J_2-J_3)/R_{2-3}\)；對表面3：\((J_1-J_3)/R_{1-3}+(J_2-J_3)/R_{2-3}=0\)（因\(Q_3=0\)）。由表面3方程得\((J_1-J_3)/5.556+(J_2-J_3)/5.556=0\)，即\(J_1+J_2=2J_3\)，故\(J_3=(J_1+J_2)/2\)。代入表面1方程：\[(5.67×10^{-8}×800^4-J_1)/1=(J_1-J_2)/14.286+(J_1-(J_1+J_2)/2)/5.556\]計算\(E_{b1}=5.67×10^{-8}×800^4≈23224\,\text{W/m}^2\)，\(E_{b2}=5.67×10^{-8}×500^4≈3544\,\text{W/m}^2\)?；啽砻?方程：\[23224-J_1=\frac{J_1-J_2}{14.286}+\frac{J_1-