第頁4．5．3函數(shù)模型的應(yīng)用【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一、幾種常見的函數(shù)模型1、一次函數(shù)模型：（，為常數(shù)，）2、二次函數(shù)模型：（為常數(shù)，）3、指數(shù)函數(shù)模型：（為常數(shù)，，且）4、對(duì)數(shù)函數(shù)模型：（為常數(shù)，，且）5、冪函數(shù)模型：（為常數(shù)，）6、分段函數(shù)模型：知識(shí)點(diǎn)二、解答應(yīng)用問題的基本思想和步驟1、解應(yīng)用題的基本思想2、解答函數(shù)應(yīng)用題的基本步驟求解函數(shù)應(yīng)用題時(shí)一般按以下幾步進(jìn)行：第一步：審題弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇模型．第二步：建模在細(xì)心閱讀與深入理解題意的基礎(chǔ)上，引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)，將問題的非數(shù)學(xué)語言合理轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，然后根據(jù)題意，列出數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)模型．這時(shí)，要注意函數(shù)的定義域應(yīng)符合實(shí)際問題的要求．第三步：求模運(yùn)用數(shù)學(xué)方法及函數(shù)知識(shí)進(jìn)行推理、運(yùn)算，求解數(shù)學(xué)模型，得出結(jié)果．第四步：還原把數(shù)學(xué)結(jié)果轉(zhuǎn)譯成實(shí)際問題作出解答，對(duì)于解出的結(jié)果要代入原問題中進(jìn)行檢驗(yàn)、評(píng)判，使其符合實(shí)際背景．上述四步可概括為以下流程：實(shí)際問題（文字語言）數(shù)學(xué)問題（數(shù)量關(guān)系與函數(shù)模型）建模（數(shù)學(xué)語言）求模（求解數(shù)學(xué)問題）反饋（還原成實(shí)際問題的解答）．知識(shí)點(diǎn)三、解答函數(shù)應(yīng)用題應(yīng)注意的問題首先，要認(rèn)真閱讀理解材料．應(yīng)用題所用的數(shù)學(xué)語言多為“文字語言、符號(hào)語言、圖形語言”并用，往往篇幅較長(zhǎng)，立意有創(chuàng)新脫俗之感．閱讀理解材料要達(dá)到的目標(biāo)是讀懂題目所敘述的實(shí)際問題的意義，領(lǐng)悟其中的數(shù)學(xué)本質(zhì)，接受題目所約定的臨時(shí)性定義，理解題目中的量與量的位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系，確立解體思路和下一步的努力方向，對(duì)于有些數(shù)量關(guān)系較復(fù)雜、較模糊的問題，可以借助畫圖和列表來理清它．其次，建立函數(shù)關(guān)系．根據(jù)前面審題及分析，把實(shí)際問題“用字母符號(hào)、關(guān)系符號(hào)”表達(dá)出來，建立函數(shù)關(guān)系．其中，認(rèn)真閱讀理解材料是建立函數(shù)模型的關(guān)鍵．在閱讀這一過程中應(yīng)像解答語文和外語中的閱讀問題一樣，有“泛讀”與“精讀”之分．這是因?yàn)橐话愕膽?yīng)用問題，一方面為了描述的問題與客觀實(shí)際盡可能地相吻合，就必須用一定的篇幅描述其中的情境；另一方面有時(shí)為了思想教育方面的需要，也要用一些非數(shù)量關(guān)系的語言來敘述，而我們解決問題所關(guān)心的東西是數(shù)量關(guān)系，因此對(duì)那些敘述的部分只需要“泛讀”即可．反過來，對(duì)那些刻畫數(shù)量關(guān)系、位置關(guān)系、對(duì)應(yīng)關(guān)系等與數(shù)學(xué)有關(guān)的問題的部分，則應(yīng)“精讀”，一遍不行再來一遍，直到透徹地理解為止，此時(shí)切忌草率．【題型歸納目錄】題型一：一次函數(shù)與二次函數(shù)模型的應(yīng)用題型二：分段函數(shù)模型的應(yīng)用題型三：指數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)模型的應(yīng)用題型四：擬合函數(shù)模型的應(yīng)用問題題型五：根據(jù)實(shí)際問題的增長(zhǎng)率選擇合適的函數(shù)模型【典型例題】題型一：一次函數(shù)與二次函數(shù)模型的應(yīng)用例1．黨的十九大報(bào)告明確要求繼續(xù)深化國(guó)有企業(yè)改革，發(fā)展混合所有制經(jīng)濟(jì)，培育具有全球競(jìng)爭(zhēng)力的世界一流企業(yè)，這為我們深入推進(jìn)公司改革發(fā)展指明了方向，提供了根本遵循．某企業(yè)抓住機(jī)遇推進(jìn)生產(chǎn)改革，從單一產(chǎn)品轉(zhuǎn)為生產(chǎn)，兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查與市場(chǎng)預(yù)測(cè)，產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資成正比，且當(dāng)投資2萬元時(shí)，利潤(rùn)為1萬元；產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資的算術(shù)平方根成正比，且當(dāng)投資4萬元時(shí)，利潤(rùn)為4萬元．(1)分別求出，兩種產(chǎn)品的利潤(rùn)表示為投資的函數(shù)關(guān)系式；(2)該企業(yè)已籌集到10萬元資金，并全部投入到，兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，問：怎樣分配這10萬元資金，才能使企業(yè)獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是多少？例2．某種雜志原以每本2.5元的價(jià)格銷售，可以售出8萬本，據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，雜志的單價(jià)每提高0.1元，銷售量就可能減少2000本，若提價(jià)后定價(jià)為x（單位：元），銷售總收入y（單位：萬元）(1)提價(jià)后如何定價(jià)才能使銷售總收入最大？銷售總收入最大值是多少？（精確到0.1）(2)如何定價(jià)才能使提價(jià)后的銷售總收入不低于20萬元？例3．某產(chǎn)品生產(chǎn)廠家根據(jù)以往的銷售經(jīng)驗(yàn)得到下面有關(guān)生產(chǎn)銷售的統(tǒng)計(jì)規(guī)律：每生產(chǎn)產(chǎn)品x（百臺(tái)），其總成本為（萬元），其中固定成本為2.8萬元，并且每生產(chǎn)1百臺(tái)的生產(chǎn)成本為1萬元（總成本=固定成本+生產(chǎn)成本）．銷售收入（萬元）滿足：，假定該產(chǎn)品產(chǎn)銷平衡（即生產(chǎn)的產(chǎn)品都能賣掉），根據(jù)上述統(tǒng)計(jì)規(guī)律，請(qǐng)完成下列問題．(1)寫出利潤(rùn)函數(shù)的解析式（利潤(rùn)=銷售收入-總成本）；(2)工廠生產(chǎn)多少臺(tái)產(chǎn)品時(shí)，可使利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為多少?變式1．某小型服裝廠生產(chǎn)一種風(fēng)衣，日銷貨量件（）與貨價(jià)p元/件之間的關(guān)系為，生產(chǎn)件所需成本為元.(1)若該廠某日的銷貨量是30件，求該廠當(dāng)日的獲利是多少元？(2)若該廠日獲利不少于1300元，求該廠日產(chǎn)量的取值范圍.變式2．2022年8月9日，美國(guó)總統(tǒng)拜登簽署《2022年芯片與科學(xué)法案》．對(duì)中國(guó)的半導(dǎo)體產(chǎn)業(yè)來說，短期內(nèi)可能會(huì)受到“芯片法案”負(fù)面影響，但它不是決定性的，因?yàn)樗鼘⒓ぐl(fā)中國(guó)自主創(chuàng)新的更強(qiáng)爆發(fā)力和持久動(dòng)力．某企業(yè)原有400名技術(shù)人員，年人均投入萬元，現(xiàn)為加大對(duì)研發(fā)工作的投入，該企業(yè)把原有技術(shù)人員分成技術(shù)人員和研發(fā)人員，其中技術(shù)人員名（且），調(diào)整后研發(fā)人員的年人均投入增加，技術(shù)人員的年人均投入調(diào)整為萬元．(1)若要使調(diào)整后研發(fā)人員的年總投入不低于調(diào)整前400名技術(shù)人員的年總投入，求調(diào)整后的研發(fā)人員的人數(shù)最少為多少人？(2)為了激勵(lì)研發(fā)人員的工作熱情和保持技術(shù)人員的工作積極性，企業(yè)決定在投入方面要同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件：①研發(fā)人員的年總投入始終不低于技術(shù)人員的年總投入；②技術(shù)人員的年人均投入始終不減少．請(qǐng)問是否存在這樣的實(shí)數(shù)，滿足以上兩個(gè)條件，若存在，求出的范圍；若不存在，說明理由．【方法技巧與總結(jié)】1、一次函數(shù)模型的應(yīng)用利用一次函數(shù)求最值，常轉(zhuǎn)化為求解不等式（或）．解答時(shí)，注意系數(shù)a的正負(fù)，也可以結(jié)合函數(shù)圖象或其單調(diào)性來求最值．2、二次函數(shù)模型的應(yīng)用構(gòu)建二次函數(shù)模型解決最優(yōu)問題時(shí)，可以利用配方法、判別式法、換元法、討論函數(shù)的單調(diào)性等方法求最值，也可以根據(jù)函數(shù)圖象的對(duì)稱軸與函數(shù)定義域的對(duì)應(yīng)區(qū)間之間的位置關(guān)系討論求解，但一定要注意自變量的取值范圍．題型二：分段函數(shù)模型的應(yīng)用例4．我國(guó)某企業(yè)自主研發(fā)了一款具有自主知識(shí)產(chǎn)權(quán)的平板電腦，并從2021年起全面發(fā)售.經(jīng)測(cè)算，生產(chǎn)該平板電腦每年需投入固定成本1350萬元，每生產(chǎn)（千臺(tái)）電腦需要另投成本萬元，且另外每臺(tái)平板電腦售價(jià)為0.6萬元，假設(shè)每年生產(chǎn)的平板電腦能夠全部售出.已知2021年共售出10000臺(tái)平板電腦，企業(yè)獲得年利潤(rùn)為1650萬元.(1)求該企業(yè)獲得年利潤(rùn)（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（千臺(tái)）的函數(shù)關(guān)系式;(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少千臺(tái)時(shí)，該企業(yè)所獲年利潤(rùn)最大?并求最大年利潤(rùn).例5．某公司為使產(chǎn)品能在市場(chǎng)有更大的份額占比，制定了一個(gè)激勵(lì)銷售人員的獎(jiǎng)勵(lì)方案，當(dāng)銷售利潤(rùn)不超過10萬元時(shí)按銷售利潤(rùn)的15%進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，當(dāng)銷售利潤(rùn)超過10萬元時(shí)，前10萬元按銷售利潤(rùn)的15%進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，若超出部分為A萬元，則超出部分按進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)．記獎(jiǎng)金為y（單位：萬元），銷售利潤(rùn)為x（單位：萬元）．(1)寫出獎(jiǎng)金y關(guān)于銷售利潤(rùn)x的關(guān)系式；(2)如果某業(yè)務(wù)員要得到7.5萬元的獎(jiǎng)金，那么他的銷售利潤(rùn)是多少萬元？例6．濟(jì)南市地鐵項(xiàng)目正在加火如荼的進(jìn)行中，通車后將給市民出行帶來便利，已知某條線路通車后，列車的發(fā)車時(shí)間間隔t（單位：分鐘）滿足，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研測(cè)算，列車載客量與發(fā)車時(shí)間間隔t相關(guān)，當(dāng)時(shí)列車為滿載狀態(tài)，載客量為500人，當(dāng)時(shí)，載客量會(huì)減少，減少的人數(shù)與的平方成正比，且發(fā)車時(shí)間間隔為2分鐘時(shí)的載客量為372人，記列車載客量為.(1)求的表達(dá)式，并求當(dāng)發(fā)車時(shí)間間隔為5分鐘時(shí)，列車的載客量；(2)若該線路每分鐘的凈收益為（元），問當(dāng)發(fā)車時(shí)間間隔為多少時(shí)，該線路每分鐘的凈收益最大，并求出最大值.變式4．響應(yīng)國(guó)家提出的“大眾創(chuàng)業(yè)萬眾創(chuàng)新”的號(hào)召，小王大學(xué)畢業(yè)后決定利用所學(xué)專業(yè)進(jìn)行自主創(chuàng)業(yè)，生產(chǎn)某小型電子產(chǎn)品，經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)研，生產(chǎn)該小型電子產(chǎn)品需投入年固定成本萬元，每生產(chǎn)萬件，需另投入波動(dòng)成本萬元，已知在年產(chǎn)量不足萬件時(shí)，，在年產(chǎn)量不小于萬件時(shí)，，每件產(chǎn)品售價(jià)元，通過市場(chǎng)分析，小王生產(chǎn)的產(chǎn)品當(dāng)年能全部售完.(1)寫出年利潤(rùn)（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（萬件）的函數(shù)解析式（年利潤(rùn)年銷售收入固定成本波動(dòng)成本．）(2)年產(chǎn)量為多少萬件時(shí)，小王在這一產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲年利潤(rùn)最大？最大年利潤(rùn)是多少？變式5．麗水市某工廠生產(chǎn)甲產(chǎn)品的年固定成本為200萬元，若甲產(chǎn)品的年產(chǎn)量為萬件，則需另投入成本萬元）．已知甲產(chǎn)品年產(chǎn)量不超過100萬件時(shí)，；甲產(chǎn)品年產(chǎn)量大于100萬件時(shí)，．因設(shè)備限制，甲產(chǎn)品年產(chǎn)量不超過200萬件．現(xiàn)已知甲產(chǎn)品的售價(jià)為50元/件，且年內(nèi)生產(chǎn)的甲產(chǎn)品能全部銷售完．設(shè)該廠生產(chǎn)甲產(chǎn)品的年利潤(rùn)為（萬元）．(1)寫出關(guān)于的函數(shù)解析式；(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少時(shí)，該廠生產(chǎn)甲產(chǎn)品所獲的利潤(rùn)最大？【方法技巧與總結(jié)】1、分段函數(shù)的“段”一定要分得合理，不重不漏．2、分段函數(shù)的定義域?yàn)閷?duì)應(yīng)每一段自變量取值范圍的并集．3、分段函數(shù)的值域求法：逐段求函數(shù)值的范圍，最后比較再下結(jié)論．題型三：指數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)模型的應(yīng)用例7．水葫蘆原產(chǎn)于巴西能凈化水質(zhì)蔓延速度極快，在巴西由于受生物天敵的鉗制，僅以一種觀賞性的植物分布于水體.某市2018年底，為了凈化某水庫的水質(zhì)引入了水葫蘆，這些水葫蘆在水中蔓延速度越來越快2019年一月底，水葫蘆覆蓋面積為，到了四月底測(cè)得水葫蘆覆蓋面積為，水葫蘆覆蓋面積（單位：），與時(shí)間（單位：月）的關(guān)系有兩個(gè)函數(shù)模型且與可供選擇.(1)分別求出兩個(gè)函數(shù)模型的解析式(2)今測(cè)得2019年5月底水葫蘆的覆蓋面積約為，從上述兩個(gè)函數(shù)模型中選擇更合適的一個(gè)模型求水葫蘆覆蓋面積達(dá)到的最小月份.參考數(shù)據(jù)：，例8．美國(guó)對(duì)中國(guó)芯片的技術(shù)封鎖激發(fā)了中國(guó)“芯”的研究熱潮．某公司研發(fā)的兩種芯片都已經(jīng)獲得成功．該公司研發(fā)芯片已經(jīng)耗費(fèi)資金千萬元，現(xiàn)在準(zhǔn)備投入資金進(jìn)行生產(chǎn)．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查與預(yù)測(cè)，生產(chǎn)芯片的毛收入與投入的資金成正比，已知每投入千萬元，公司獲得毛收入千萬元；生產(chǎn)芯片的毛收入（千萬元）與投入的資金（千萬元）的函數(shù)關(guān)系為，其圖象如圖所示．(1)試分別求出生產(chǎn)兩種芯片的毛收入（千萬元）與投入的資金（千萬元）的函數(shù)關(guān)系式；(2)現(xiàn)在公司準(zhǔn)備投入億元資金同時(shí)生產(chǎn)兩種芯片，求分別對(duì)兩種芯片投入多少資金時(shí)，該公司可以獲得最大凈利潤(rùn)，并求出最大凈利潤(rùn)．（凈利潤(rùn)芯片的毛收入芯片的毛收入研發(fā)耗費(fèi)資金）例9．中國(guó)茶文化博大精深．茶水的口感與茶葉的類型和水的溫度有關(guān)．經(jīng)驗(yàn)表明，某種綠茶用85℃的水泡制，再等到茶水溫度降至60℃時(shí)飲用，可以產(chǎn)生最佳口感．經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)，在25℃室溫下，設(shè)茶水溫度從85℃開始，經(jīng)過x分鐘后的溫度為y℃，則滿足（，，）．(1)求實(shí)數(shù)k的值；(2)經(jīng)過測(cè)試知，求在25℃室溫下，剛泡好的85℃的茶水大約需要放置多長(zhǎng)時(shí)間才能產(chǎn)生最佳飲用口感（結(jié)果精確到1分鐘）．（參考數(shù)據(jù)：，，）變式7．某同學(xué)對(duì)航天知識(shí)有著濃厚的興趣，通過查閱資料，他發(fā)現(xiàn)在不考慮氣動(dòng)阻力和地球引力等造成的影響時(shí)，火箭是目前唯一能使物體達(dá)到宇宙速度，克服或擺脫地球引力，進(jìn)入宇宙空間的運(yùn)載工具．早在1903年齊奧爾科夫斯基就推導(dǎo)出火箭的最大理想速度公式：，被稱為齊奧爾科夫斯基公式，其中為噴流相對(duì)火箭的速度，和分別是火箭的初始質(zhì)量和發(fā)動(dòng)機(jī)熄火（推進(jìn)劑用完）時(shí)的質(zhì)量，被稱為火箭的質(zhì)量比．(1)某火箭的初始質(zhì)量為160噸，噴流相對(duì)火箭的速度為2千米/秒，發(fā)動(dòng)機(jī)熄火時(shí)的火箭質(zhì)量為40噸，求該火箭的最大理想速度（保留2位有效數(shù)字）；(2)根據(jù)現(xiàn)在的科學(xué)水平，通?；鸺馁|(zhì)量比不超過10．如果噴流相對(duì)火箭的速度為2千米/秒，請(qǐng)判斷該火箭的最大理想速度能否超過第一宇宙速度7.9千米/秒，并說明理由．（參考數(shù)據(jù)：）變式8．某集團(tuán)公司為鼓勵(lì)下屬企業(yè)創(chuàng)業(yè)，擬對(duì)年產(chǎn)值在50萬元到500萬元的新增小微企業(yè)進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，獎(jiǎng)勵(lì)方案遵循以下原則：獎(jiǎng)金（單位：萬元）隨年產(chǎn)值（單位：萬元）的增加而增加，但獎(jiǎng)金不低于7萬元，且不超過年產(chǎn)值的.(1)若某下屬企業(yè)年產(chǎn)值100萬元，核定可得9萬元獎(jiǎng)金.試分析函數(shù)模型（為常數(shù)）是否為符合集團(tuán)的獎(jiǎng)勵(lì)原則，并說明原因；(2)設(shè)，若函數(shù)模型符合獎(jiǎng)勵(lì)原則，試求的取值范圍.參考數(shù)據(jù)：.【方法技巧與總結(jié)】1、涉及平均增長(zhǎng)率的問題，求解可用指數(shù)型函數(shù)模型表示，通常可以表示為（其中N為原來的基礎(chǔ)數(shù)，p為增長(zhǎng)率，x為時(shí)間）的形式．2、在實(shí)際問題中，有關(guān)人口增長(zhǎng)、銀行利率、細(xì)胞分裂等增長(zhǎng)問題，都常用到指數(shù)型函數(shù)模型．題型四：擬合函數(shù)模型的應(yīng)用問題例10．自2014年9月25日起，三峽大壩旅游景點(diǎn)對(duì)中國(guó)游客（含港、澳、臺(tái)同胞、海外僑胞）施行門票免費(fèi)，去三峽大壩旅游的游客人數(shù)增長(zhǎng)越來越快，經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)2017年三峽大壩游客總量約為200萬人，2018年約為240萬人，2019年約為288萬人，三峽大壩的年游客人數(shù)y與年份代碼x（記2017年的年份代碼為，2018年年份代碼為，依此類推）有兩個(gè)函數(shù)模型與可供選擇．(1)試判斷哪個(gè)函數(shù)模型更合適（不需計(jì)算，簡(jiǎn)述理由即可），并求出該模型的函數(shù)解析式；(2)問大約在哪一年，三峽大壩旅客年游覽人數(shù)約是2018年的2倍．（參考數(shù)據(jù)：，，，）變式9．2021年新冠肺炎疫情仍在世界好多國(guó)家肆虐，并且出現(xiàn)了傳染性更強(qiáng)的“德爾塔”、“拉姆達(dá)”、“奧密克戎”變異毒株，盡管我國(guó)抗疫取得了很大的成績(jī)，疫情也得到了很好的遏制，但由于整個(gè)國(guó)際環(huán)境的影響，時(shí)而也會(huì)出現(xiàn)一些散發(fā)病例，故而抗疫形勢(shì)依然艱巨，日常防護(hù)依然不能有絲毫放松．某科研機(jī)構(gòu)對(duì)變異毒株在一特定環(huán)境下進(jìn)行觀測(cè)，每隔單位時(shí)間T進(jìn)行一次記錄，用x表示經(jīng)過單位時(shí)間的個(gè)數(shù)，用y表示此變異毒株的數(shù)量，單位為萬個(gè)，得到如下觀測(cè)數(shù)據(jù)：123456…y(萬個(gè))…10…50…150…若該變異毒株的數(shù)量y(單位：萬個(gè))與經(jīng)過個(gè)單位時(shí)間T的關(guān)系有兩個(gè)函數(shù)模型與可供選擇．(1)判斷哪個(gè)函數(shù)模型更合適，并求出該模型的解析式；(2)求至少經(jīng)過多少個(gè)單位時(shí)間該病毒的數(shù)量不少于1億個(gè)．(參考數(shù)據(jù)：，)變式10．某商人計(jì)劃經(jīng)銷A，B兩種商品，據(jù)調(diào)查統(tǒng)計(jì)，當(dāng)投資額為萬元時(shí)，在經(jīng)銷A，B商品中所獲得的收益分別是，，已知投資額為0時(shí)，收益為0.(1)求a，b的值;(2)若該商人投入萬元經(jīng)營(yíng)這兩種商品，試建立該商人所獲收益的函數(shù)模型；(3)如果該商人準(zhǔn)備投入5萬元經(jīng)營(yíng)這兩種商品，請(qǐng)你幫他制定一個(gè)資金投入方案，使他能獲得最大收益，并求出其收益的最大值.變式13．學(xué)校鼓勵(lì)學(xué)生課余時(shí)間積極參加體育鍛煉，每天能用于鍛煉的課余時(shí)間有90分鐘，現(xiàn)需要制定一個(gè)課余鍛煉考核評(píng)分制度，建立一個(gè)每天得分與當(dāng)天鍛煉時(shí)間（單位：分）的函數(shù)關(guān)系，要求及圖示如下：（1）函數(shù)是區(qū)間上的增函數(shù)；（2）每天運(yùn)動(dòng)時(shí)間為0分鐘時(shí)，當(dāng)天得分為0分；（3）每天運(yùn)動(dòng)時(shí)間為30分鐘時(shí)，當(dāng)天得分為3分；（4）每天最多得分不超過6分.現(xiàn)有三個(gè)函數(shù)模型①，②，③供選擇.(1)請(qǐng)你從中選擇一個(gè)合適的函數(shù)模型并說明理由，再根據(jù)所給信息求出函數(shù)的解析式；(2)求每天得分不少于4.5分，至少需要鍛煉多少分鐘.（注：，結(jié)果保留整數(shù)）【方法技巧與總結(jié)】在沒有給出具體模型的問題中，首先要由已知數(shù)據(jù)描繪出函數(shù)草圖，然后聯(lián)想熟悉的函數(shù)圖象，通過檢測(cè)所求函數(shù)模型與實(shí)際誤差的大小，探求相近的數(shù)學(xué)關(guān)系，預(yù)測(cè)函數(shù)的可能模型．題型五：根據(jù)實(shí)際問題的增長(zhǎng)率選擇合適的函數(shù)模型例13．某地西紅柿從2月1日起開始上市.通過市場(chǎng)調(diào)查，得到西紅柿種植成本單位：元與上市時(shí)間（單位：天）的數(shù)據(jù)如下表：時(shí)間50120150種植成本26005002600由表知，體現(xiàn)與數(shù)據(jù)關(guān)系的最佳函數(shù)模型是（

）A． B．C． D．例15．在一次數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中，采集到如下一組數(shù)據(jù)：－2－101230.240.5112.023.988.02則，的函數(shù)關(guān)系與下列各類函數(shù)最接近的是（其中，為待定系數(shù)）（

）A． B． C． D．變式14．在密閉培養(yǎng)環(huán)境中，某類細(xì)菌的繁殖在初期會(huì)較快，隨著單位體積內(nèi)細(xì)菌數(shù)量的增加，繁殖速度又會(huì)減慢．在一次實(shí)驗(yàn)中，檢測(cè)到這類細(xì)菌在培養(yǎng)皿中的數(shù)量（單位：百萬個(gè)）與培養(yǎng)時(shí)間（單位：時(shí)）的關(guān)系如下表，為了描述從第2小時(shí)開始細(xì)菌數(shù)量隨時(shí)間變化的關(guān)系，現(xiàn)有以下四種模型供選擇，則最符合實(shí)際的函數(shù)模型為（

）2345683.53.844.164.34.5A． B．C． D．變式15．今有一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下：x23456y1.52.012.985.028.98現(xiàn)準(zhǔn)備用下列函數(shù)中的一個(gè)近似地表示這些數(shù)據(jù)所滿足的規(guī)律，其中最接近的一個(gè)是（

）A． B． C． D．【同步練習(xí)】一、單選題1．某小型服裝廠生產(chǎn)一種風(fēng)衣，日銷售量x（件）與單價(jià)P（元）之間的關(guān)系為，生產(chǎn)x件所需成本為C（元），其中，若要求每天獲利不少于1300元，則日銷量x的取值范圍是（

）A．， B．，C．， D．，2．牛頓曾經(jīng)提出了常溫環(huán)境下的溫度冷卻模型：，（為時(shí)間，單位分鐘，為環(huán)境溫度，為物體初始溫度，為冷卻后溫度），假設(shè)一杯開水溫度℃，環(huán)境溫度℃，常數(shù)，大約經(jīng)過多少分鐘水溫降為40℃（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：）（

）A．9 B．8 C．7 D．53．在型病毒疫情初始階段，可以用指數(shù)函數(shù)模型描述累計(jì)感染病例數(shù)隨時(shí)間（單位：天）的變化規(guī)律.指數(shù)增長(zhǎng)率與、近似滿足，其中為病毒基本再生數(shù)，為兩代間傳染所需的平均時(shí)間，有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計(jì)出，.據(jù)此，在型病毒疫情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)增加至的4倍，至少需要（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．6天 B．7天 C．8天 D．9天4．考古科學(xué)家在測(cè)定良渚古城遺址年齡的過程中利用了“放射性物質(zhì)因衰變而減少”這一規(guī)律.已知樣本中碳14的質(zhì)量隨時(shí)間（單位：年）的衰變規(guī)律滿足（表示碳14原有的質(zhì)量）.經(jīng)過測(cè)定，良渚古城遺址文物樣本中碳14的質(zhì)量是原來的至，據(jù)此推測(cè)良渚古城存在的時(shí)期距今約在______年到5730年之間，則“______”為（參考數(shù)據(jù)：）（

）A．4011 B．3438 C．2865 D．22925．火箭在發(fā)射時(shí)會(huì)產(chǎn)生巨大的噪音，假設(shè)所有聲音的聲強(qiáng)級(jí)（單位：）與聲強(qiáng)（單位：）滿足，若火箭發(fā)射時(shí)的聲強(qiáng)級(jí)約為，人交談時(shí)的聲強(qiáng)級(jí)約為，則火箭發(fā)射時(shí)的聲強(qiáng)與人交談時(shí)的聲強(qiáng)的比值約為（

）A． B． C． D．6．食品安全問題越來越引起人們的重視，農(nóng)藥、化肥的濫用給人民群眾的健康帶來了一定的危害．為了給消費(fèi)者帶來放心的蔬菜，某農(nóng)村合作社每年投入資金200萬元，搭建甲、乙兩個(gè)無公害蔬菜大棚，每個(gè)大棚至少要投入資金40萬元，其中甲大棚種西紅柿，乙大棚種黃瓜．根據(jù)以往的種菜經(jīng)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)種西紅柿的年收入P（單位：萬元）、種黃瓜的年收入Q（單位：萬元）與各自的投入資金，（單位：萬元）滿足，．設(shè)甲大棚的投入資金為x（單位：萬元），每年兩個(gè)大棚的總收入為（單位：萬元），則總收入的最大值為（

）A．282萬元 B．228萬元 C．283萬元 D．229萬元7．把長(zhǎng)為的細(xì)鐵絲截成兩段，各自圍成一個(gè)正三角形，那么這兩個(gè)正三角形面積之和的最小值是（

）A． B． C． D．8．每年紅嘴鷗都從西伯利亞飛越千山萬水來到美麗的昆明過冬，科學(xué)家經(jīng)過測(cè)量發(fā)現(xiàn)候鳥的飛行速度可以表示為函數(shù)（單位：），其中表示候鳥每分鐘耗氧量的單位數(shù)，常數(shù)表示測(cè)量過程中候鳥每分鐘的耗氧偏差．若雄鳥的飛行速度為，雌鳥的飛行速度為，則此時(shí)雄鳥每分鐘的耗氧量是雌鳥每分鐘耗氧量的（

）A．2倍 B．3倍 C．4倍 D．5倍二、多選題9．如圖，建立平面直角坐標(biāo)系軸在地平面上，軸垂直于地平面，單位長(zhǎng)度為1千米，某炮位于坐標(biāo)原點(diǎn)，已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程表示的曲線上，其中與發(fā)射方向有關(guān)，炮的射程是指炮彈落地點(diǎn)的橫坐標(biāo).設(shè)在第一象限有一飛行物（忽略其大?。?，其飛行高度為千米，它的橫坐標(biāo)為.則下列結(jié)論正確的是（

）A．炮的最大射程為10千米B．炮的最大射程為20千米C．當(dāng)飛行物的橫坐標(biāo)超過6時(shí)，炮彈可以擊中飛行物D．當(dāng)飛行物的橫坐標(biāo)不超過6時(shí)，炮彈可以擊中飛行物11．如圖，某池塘里浮萍的面積（單位）與時(shí)間（單位：月）的關(guān)系為，下列說法正確的是（

）A．浮萍每月的增長(zhǎng)率均相等B．第5個(gè)月時(shí)，浮萍面積就會(huì)超過C．浮萍從蔓延到需經(jīng)過1.5個(gè)月D．若浮萍蔓延到，，所經(jīng)過的時(shí)間分別是，，，則12．甲、乙兩位股民以相同的資金進(jìn)行股票投資，在接下來的交易時(shí)間內(nèi)，甲購買的股票先經(jīng)歷了一次漲停（上漲10%），又經(jīng)歷了一次跌停（下跌10%），乙購買的股票先經(jīng)歷了一次跌停（下跌10%），又經(jīng)歷了一次漲停（上漲10%），則甲，乙的盈虧情況（不考慮其他費(fèi)用）為（

）A．甲、乙都虧損 B．甲盈利，乙虧損 C．甲虧損，乙盈利 D．甲、乙虧損的一樣多三、填空題13．20世紀(jì)30年代，里克特制定了一種表明地震能量大小的尺度，就是使用測(cè)震儀衡量地震能量的等級(jí)，地震能量越大，測(cè)震儀記錄的地震曲線的振幅就越大，這就是我們常說的里氏震級(jí).震級(jí)計(jì)算公式為，其中是被測(cè)地震的最大振幅，是標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅，5級(jí)地震給人的震感已經(jīng)比較明顯，8級(jí)地震的最大振幅是5級(jí)地震的最大振幅的___________倍.14．牛奶中細(xì)菌的標(biāo)準(zhǔn)新國(guó)標(biāo)將最低門檻（允許的最大值）調(diào)整為200萬個(gè)/毫升，牛奶中的細(xì)菌常溫狀態(tài)下大約20分鐘就會(huì)繁殖一代，現(xiàn)將一袋細(xì)菌含量為3000個(gè)/毫升的牛奶常溫放置于空氣中，經(jīng)過________分鐘就不宜再飲用．（參考數(shù)據(jù)：，）16．2021年8月30日第九屆未來信息通信技