川農(nóng)高數(shù)b期末考試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題，20分）1.函數(shù)\(y=\frac{1}{\sqrt{x-1}}\)的定義域是（）A.\(x\geq1\)B.\(x>1\)C.\(x\leq1\)D.\(x<1\)2.當(dāng)\(x\to0\)時(shí)，與\(x\)等價(jià)無(wú)窮小的是（）A.\(2x\)B.\(x^2\)C.\(\sinx\)D.\(1-\cosx\)3.函數(shù)\(y=x^3\)在點(diǎn)\(x=1\)處的導(dǎo)數(shù)為（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(3\)D.\(4\)4.若\(f(x)\)的一個(gè)原函數(shù)是\(x^2\)，則\(f(x)\)=（）A.\(2x\)B.\(x^2\)C.\(\frac{1}{2}x^2\)D.\(x^3\)5.\(\intxdx\)=（）A.\(\frac{1}{2}x^2+C\)B.\(x^2+C\)C.\(\frac{1}{3}x^3+C\)D.\(2x+C\)6.直線\(y=2x+1\)的斜率是（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(-1\)D.\(-2\)7.函數(shù)\(y=\cosx\)的周期是（）A.\(\frac{\pi}{2}\)B.\(\pi\)C.\(2\pi\)D.\(4\pi\)8.極限\(\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}\)的值為（）A.\(0\)B.\(1\)C.\(\infty\)D.不存在9.函數(shù)\(y=e^x\)在點(diǎn)\((0,1)\)處的切線方程是（）A.\(y=x+1\)B.\(y=x-1\)C.\(y=-x+1\)D.\(y=-x-1\)10.若\(f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上連續(xù)，則\(\int_{a}^f(x)dx\)與\(\int_{a}^f(t)dt\)（）A.相等B.互為相反數(shù)C.不確定D.以上都不對(duì)二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題，20分）1.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)的有（）A.\(y=x^3\)B.\(y=\sinx\)C.\(y=e^x\)D.\(y=\ln(x+\sqrt{1+x^2})\)2.以下哪些是求導(dǎo)公式（）A.\((x^n)^\prime=nx^{n-1}\)B.\((\sinx)^\prime=\cosx\)C.\((\lnx)^\prime=\frac{1}{x}\)D.\((e^x)^\prime=e^x\)3.函數(shù)\(y=f(x)\)在點(diǎn)\(x_0\)處可導(dǎo)的必要條件有（）A.函數(shù)在\(x_0\)處連續(xù)B.左導(dǎo)數(shù)等于右導(dǎo)數(shù)C.極限\(\lim_{x\tox_0}f(x)\)存在D.函數(shù)在\(x_0\)處有定義4.下列積分中，屬于不定積分的有（）A.\(\intf(x)dx\)B.\(\int_{a}^f(x)dx\)C.\(\int\sinxdx\)D.\(\int_{0}^{1}x^2dx\)5.直線\(y=kx+b\)（\(k\)、\(b\)為常數(shù)）的性質(zhì)有（）A.\(k\)決定直線的傾斜程度B.\(b\)是直線在\(y\)軸上的截距C.當(dāng)\(k>0\)時(shí)，直線單調(diào)遞增D.當(dāng)\(k<0\)時(shí)，直線單調(diào)遞減6.以下哪些是基本初等函數(shù)（）A.冪函數(shù)B.指數(shù)函數(shù)C.對(duì)數(shù)函數(shù)D.三角函數(shù)7.函數(shù)\(y=f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上的最大值點(diǎn)可能是（）A.區(qū)間端點(diǎn)\(a\)或\(b\)B.駐點(diǎn)C.不可導(dǎo)點(diǎn)D.任意一點(diǎn)8.下列極限運(yùn)算正確的有（）A.\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1\)B.\(\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0\)C.\(\lim_{x\to0}e^x=1\)D.\(\lim_{x\to\infty}x^2=\infty\)9.若函數(shù)\(y=f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上滿足羅爾定理?xiàng)l件，則存在\(\xi\in(a,b)\)使得（）A.\(f^\prime(\xi)=0\)B.\(f(a)=f(b)\)C.\(f(x)\)在\([a,b]\)上連續(xù)D.\(f(x)\)在\((a,b)\)內(nèi)可導(dǎo)10.以下關(guān)于定積分的性質(zhì)正確的有（）A.\(\int_{a}^kf(x)dx=k\int_{a}^f(x)dx\)（\(k\)為常數(shù)）B.\(\int_{a}^[f(x)+g(x)]dx=\int_{a}^f(x)dx+\int_{a}^g(x)dx\)C.\(\int_{a}^f(x)dx=-\int_^{a}f(x)dx\)D.若\(f(x)\geqg(x)\)在\([a,b]\)上成立，則\(\int_{a}^f(x)dx\geq\int_{a}^g(x)dx\)三、判斷題（每題2分，共10題，20分）1.函數(shù)\(y=\sqrt{x}\)與\(y=x^{\frac{1}{2}}\)是同一函數(shù)。（）2.無(wú)窮小量就是很小的數(shù)。（）3.函數(shù)\(y=x^2\)在\(x=0\)處不可導(dǎo)。（）4.若\(F^\prime(x)=f(x)\)，則\(\intf(x)dx=F(x)\)。（）5.定積分的值只與被積函數(shù)和積分區(qū)間有關(guān)，與積分變量的選取無(wú)關(guān)。（）6.函數(shù)\(y=\tanx\)的定義域是\(x\neqk\pi+\frac{\pi}{2},k\inZ\)。（）7.若\(f(x)\)在\(x_0\)處連續(xù)，則\(f(x)\)在\(x_0\)處一定可導(dǎo)。（）8.極限\(\lim_{x\to\infty}\frac{\sinx}{x}=0\)。（）9.函數(shù)\(y=e^{-x}\)的導(dǎo)數(shù)是\(y^\prime=-e^{-x}\)。（）10.曲線\(y=x^3\)的拐點(diǎn)是\((0,0)\)。（）四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題，20分）1.簡(jiǎn)述函數(shù)極限的定義。-答案：設(shè)函數(shù)\(f(x)\)在點(diǎn)\(x_0\)的某一去心鄰域內(nèi)有定義，如果存在常數(shù)\(A\)，對(duì)于任意給定的正數(shù)\(\varepsilon\)（不論它多么小），總存在正數(shù)\(\delta\)，使得當(dāng)\(x\)滿足不等式\(0<|x-x_0|<\delta\)時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值\(f(x)\)都滿足不等式\(|f(x)-A|<\varepsilon\)，那么常數(shù)\(A\)就叫做函數(shù)\(f(x)\)當(dāng)\(x\tox_0\)時(shí)的極限。2.求函數(shù)\(y=x^3-3x^2+1\)的駐點(diǎn)。-答案：對(duì)\(y=x^3-3x^2+1\)求導(dǎo)，\(y^\prime=3x^2-6x\)。令\(y^\prime=0\)，即\(3x^2-6x=0\)，\(3x(x-2)=0\)，解得\(x=0\)和\(x=2\)，所以駐點(diǎn)為\(x=0\)與\(x=2\)。3.簡(jiǎn)述不定積分與定積分的聯(lián)系。-答案：若\(F(x)\)是\(f(x)\)的一個(gè)原函數(shù)，則\(\int_{a}^f(x)dx=F(b)-F(a)\)，即定積分的值可以通過(guò)不定積分求出原函數(shù)，再利用牛頓-萊布尼茨公式計(jì)算。不定積分是所有原函數(shù)的集合，定積分是一個(gè)數(shù)值。4.求\(\int\frac{1}{x^2}dx\)。-答案：根據(jù)積分公式\(\intx^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C\)（\(n\neq-1\)），對(duì)于\(\int\frac{1}{x^2}dx=\intx^{-2}dx\)，則\(\intx^{-2}dx=\frac{1}{-2+1}x^{-2+1}+C=-\frac{1}{x}+C\)。五、討論題（每題5分，共4題，20分）1.討論函數(shù)\(y=\frac{1}{x-1}\)的單調(diào)性。-答案：對(duì)\(y=\frac{1}{x-1}=(x-1)^{-1}\)求導(dǎo)，\(y^\prime=-\frac{1}{(x-1)^2}\)。因?yàn)閈((x-1)^2>0\)，所以\(y^\prime<0\)。在\((-\infty,1)\)和\((1,+\infty)\)上函數(shù)均單調(diào)遞減，\(x=1\)處函數(shù)無(wú)定義。2.討論極限在實(shí)際生活中的應(yīng)用。-答案：在實(shí)際生活中，極限可用于計(jì)算物體的瞬時(shí)速度，如汽車(chē)行駛時(shí)某一時(shí)刻的速度；在經(jīng)濟(jì)學(xué)里可用于分析成本、收益等變化趨勢(shì)，像邊際成本、邊際收益的計(jì)算；在工程中可分析材料的極限承載能力等，幫助做出合理決策。3.討論導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性、極值的關(guān)系。-答案：導(dǎo)數(shù)的正負(fù)決定函數(shù)單調(diào)性，\(f^\prime(x)>0\)時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，\(f^\prime(x)<0\)時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減。在導(dǎo)數(shù)為\(0\)的駐點(diǎn)及不可導(dǎo)點(diǎn)處可能取得極值，當(dāng)導(dǎo)數(shù)在該點(diǎn)兩側(cè)異號(hào)時(shí)為極值點(diǎn)，左正右負(fù)是極大值點(diǎn)，左負(fù)右正是極小值點(diǎn)。4.討論定積分在幾何中的應(yīng)用。-答案：定積分在幾何中可用于求平面圖形的面積，如由曲線\(y=f(x)\)，\(y=g(x)\)以及\(x=a\)，\(x=b\)所圍成圖形面積\(S=\int_{a}^|f(x)-g(x)|dx\)；還能求旋轉(zhuǎn)體體積，如繞\(x\)軸旋轉(zhuǎn)體體積\(V=\pi\int_{a}^[f(x)]^2dx\)