解題上——5大技法破解“計算繁而雜”這一難題第2課時

中學(xué)解析幾何是將幾何圖形置于直角坐標(biāo)系中，用方程的觀點來研究曲線，體現(xiàn)了用代數(shù)的方法解決幾何問題的優(yōu)越性，但有時運算量過大，或需繁雜的討論，這些都會影響解題的速度，甚至?xí)兄菇忸}的過程，達到“望題興嘆”的地步.特別是高考過程中，在規(guī)定的時間內(nèi)，保質(zhì)保量完成解題的任務(wù)，計算能力是一個重要的方面.因此，本講從以下5個方面探索減輕運算量的方法和技巧，合理簡化解題過程，優(yōu)化思維過程，達到快準解題.技法一回歸定義，以逸待勞回歸定義的實質(zhì)是重新審視概念，并用相應(yīng)的概念解決問題，是一種樸素而又重要的策略和思想方法.圓錐曲線的定義既是有關(guān)圓錐曲線問題的出發(fā)點，又是新知識、新思維的生長點.對于相關(guān)的圓錐曲線中的數(shù)學(xué)問題，若能根據(jù)已知條件，巧妙靈活應(yīng)用定義，往往能達到化難為易、化繁為簡、事半功倍的效果.

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[名師微點]本題巧妙運用橢圓和雙曲線的定義建立|AF1|，|AF2|的等量關(guān)系，從而快速求出雙曲線實半軸長a的值，進而求出雙曲線的離心率，大大降低了運算量.

針對訓(xùn)練√

設(shè)而不求是解析幾何解題的基本手段，是比較特殊的一種思想方法，其實質(zhì)是整體結(jié)構(gòu)意義上的變式和整體思想的應(yīng)用.設(shè)而不求的靈魂是通過科學(xué)的手段使運算量最大限度地減少，通過設(shè)出相應(yīng)的參數(shù)，利用題設(shè)條件加以巧妙轉(zhuǎn)化，以參數(shù)為過渡，設(shè)而不求.技法二設(shè)而不求，金蟬脫殼

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[名師微點](1)本題設(shè)出A，B兩點的坐標(biāo)，卻不求出A，B兩點的坐標(biāo)，巧妙地利用根與系數(shù)的關(guān)系用PA，PB的斜率把A，B的坐標(biāo)表示出來，從而快速解決問題.(2)在運用圓錐曲線問題中設(shè)而不求的方法技巧時，需要做到：①凡是不必直接計算就能更簡潔地解決問題的，都盡可能實施“設(shè)而不求”;②“設(shè)而不求”不可避免地要設(shè)參、消參，而設(shè)參的原則是宜少不宜多.

針對訓(xùn)練

換元引參是一種重要的數(shù)學(xué)方法，特別是解析幾何中的最值問題、不等式問題等，利用換元引參使一些關(guān)系能夠相互聯(lián)系起來，激活了解題的方法，往往能化難為易，達到事半功倍.常見的參數(shù)可以選擇點的坐標(biāo)、直線的斜率、直線的傾斜角等.在換元過程中，還要注意代換的等價性，防止擴大或縮小原來變量的取值范圍或改變原題條件.技法三巧設(shè)參數(shù)，變換主元

[名師微點]求解本題利用橢圓的參數(shù)方程，可快速建立各點之間的聯(lián)系，降低運算量.4.設(shè)直線l與拋物線y2=4x相交于A，B兩點，與圓C：(x-5)2+y2=r2(r>0)相切于點M，且M為線段AB的中點，若這樣的直線l恰有4條，求r的取值范圍.解：當(dāng)t=0時，若l與圓C相切，則M恰為AB中點，∴當(dāng)t≠0時，這樣的直線應(yīng)有2條.不妨設(shè)直線l的方程為x=ty+m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入拋物線y2=4x并整理得y2-4ty-4m=0，針對訓(xùn)練

平面向量是銜接代數(shù)與幾何的紐帶，溝通“數(shù)”與“形”，融數(shù)、形于一體，是數(shù)形結(jié)合的典范，具有幾何形式與代數(shù)形式的雙重身份，是數(shù)學(xué)知識的一個交匯點和聯(lián)系多項知識的媒介.妙借向量，可以有效提升圓錐曲線的解題方向與運算效率，達到良好效果.技法四妙借向量，無中生有

[名師微點]本題通過相關(guān)向量坐標(biāo)的確定，結(jié)合∠BFC=90°，巧妙借助平面向量的坐標(biāo)運算來轉(zhuǎn)化圓錐曲線中的相關(guān)問題，從形入手轉(zhuǎn)化為相應(yīng)數(shù)的形式，簡化運算.

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某些涉及線段長度關(guān)系的問題可以通過解方程、求坐標(biāo)，用距離公式計算長度的方法來解;但也可以利用一元二次方程，使相關(guān)的點的同名坐標(biāo)為方程的根，由根