矩陣對(duì)角化方法試題及答案

一、填空題（每題1分，共10分）1.\(n\)階矩陣\(A\)可對(duì)角化的充分必要條件是\(A\)有______個(gè)線性無關(guān)的特征向量。2.設(shè)矩陣\(A\)的特征值為\(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n\)，則\(|A|=\)______。3.若矩陣\(A\)與對(duì)角矩陣\(\Lambda\)相似，則\(A\)與\(\Lambda\)的______相同。4.對(duì)于\(n\)階方陣\(A\)，若存在可逆矩陣\(P\)，使得\(P^{-1}AP=\Lambda\)（\(\Lambda\)為對(duì)角矩陣），則\(P\)的列向量是\(A\)的______。5.矩陣\(A\)的屬于不同特征值的特征向量一定______。6.已知矩陣\(A\)滿足\(A^2-3A+2E=0\)，則\(A\)的特征值可能是______。7.若矩陣\(A\)可對(duì)角化，且\(A\)的特征值為\(1,1,2\)，則\(r(A-E)=\)______。8.設(shè)\(A\)是\(n\)階實(shí)對(duì)稱矩陣，則\(A\)一定可______對(duì)角化。9.矩陣\(A\)的特征多項(xiàng)式為\(f(\lambda)=\lambda^3-4\lambda^2+5\lambda-2\)，則\(A\)的特征值為______。10.若\(A\)為\(n\)階矩陣，且\(A\)的秩\(r(A)=n-1\)，\(0\)是\(A\)的一個(gè)特征值，則\(A\)的屬于特征值\(0\)的線性無關(guān)的特征向量有______個(gè)。二、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.設(shè)\(A\)是\(n\)階矩陣，下列說法正確的是（）A.\(A\)有\(zhòng)(n\)個(gè)不同的特征值，則\(A\)一定可對(duì)角化B.\(A\)有\(zhòng)(n\)個(gè)線性無關(guān)的特征向量，則\(A\)不一定可對(duì)角化C.\(A\)可對(duì)角化，則\(A\)一定有\(zhòng)(n\)個(gè)不同的特征值D.\(A\)可對(duì)角化，則\(A\)的特征向量一定線性無關(guān)2.已知矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\)，則\(A\)的特征值為（）A.\(1,1\)B.\(0,1\)C.\(1,2\)D.\(0,2\)3.設(shè)\(A\)為\(n\)階可逆矩陣，\(\lambda\)是\(A\)的一個(gè)特征值，則\(A^{-1}\)的一個(gè)特征值是（）A.\(\lambda\)B.\(\frac{1}{\lambda}\)C.\(\lambda^2\)D.\(\lambda^{-2}\)4.若\(n\)階矩陣\(A\)與\(B\)相似，則（）A.\(A\)與\(B\)有相同的特征向量B.\(A\)與\(B\)有相同的特征多項(xiàng)式C.\(A=B\)D.\(r(A)\neqr(B)\)5.設(shè)\(A\)是實(shí)對(duì)稱矩陣，\(\lambda_1,\lambda_2\)是\(A\)的兩個(gè)不同的特征值，\(\xi_1,\xi_2\)分別是屬于\(\lambda_1,\lambda_2\)的特征向量，則（）A.\((\xi_1,\xi_2)\)不一定為零B.\((\xi_1,\xi_2)=0\)C.\(\xi_1=\xi_2\)D.\(\lambda_1=\lambda_2\)6.矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}\)與矩陣\(B=\begin{pmatrix}3&0&0\\0&2&0\\0&0&1\end{pmatrix}\)（）A.相似B.合同C.相等D.既不相似也不合同7.已知矩陣\(A\)的特征值為\(1,-1,2\)，則\(|A+E|\)等于（）A.\(2\)B.\(4\)C.\(6\)D.\(8\)8.設(shè)\(A\)為\(n\)階矩陣，且\(A\)的特征值全為\(0\)，則（）A.\(A=0\)B.\(A\)一定可對(duì)角化C.\(r(A)=0\)D.\(A^n=0\)9.若矩陣\(A\)可對(duì)角化，且\(A\)的特征值為\(2,2,3\)，則\(A\)的秩\(r(A)\)為（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(3\)D.無法確定10.設(shè)\(A\)是\(n\)階矩陣，\(\lambda_0\)是\(A\)的\(k\)重特征值，則屬于\(\lambda_0\)的線性無關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)（）A.等于\(k\)B.小于\(k\)C.不超過\(k\)D.大于\(k\)三、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.下列關(guān)于矩陣對(duì)角化的說法正確的是（）A.實(shí)對(duì)稱矩陣一定可對(duì)角化B.可逆矩陣一定可對(duì)角化C.有\(zhòng)(n\)個(gè)不同特征值的\(n\)階矩陣一定可對(duì)角化D.矩陣可對(duì)角化的充要條件是其每個(gè)特征值的幾何重?cái)?shù)等于代數(shù)重?cái)?shù)2.設(shè)\(A\)是\(n\)階矩陣，\(\lambda\)是\(A\)的特征值，\(\xi\)是屬于\(\lambda\)的特征向量，則（）A.\(A\xi=\lambda\xi\)B.\((\lambdaE-A)\xi=0\)C.\(|\lambdaE-A|=0\)D.\(\xi\)一定是非零向量3.已知矩陣\(A\)可對(duì)角化，且\(A\)的特征值為\(1,2,3\)，則（）A.存在可逆矩陣\(P\)，使得\(P^{-1}AP=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}\)B.\(A\)的秩為\(3\)C.\(A\)與對(duì)角矩陣相似D.\(A\)的屬于不同特征值的特征向量線性無關(guān)4.對(duì)于\(n\)階實(shí)對(duì)稱矩陣\(A\)，下列結(jié)論正確的是（）A.\(A\)的特征值都是實(shí)數(shù)B.\(A\)一定有\(zhòng)(n\)個(gè)線性無關(guān)的特征向量C.\(A\)不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量相互正交D.\(A\)與對(duì)角矩陣合同5.設(shè)\(A\)是\(n\)階矩陣，\(A\)可對(duì)角化的充分條件有（）A.\(A\)有\(zhòng)(n\)個(gè)不同的特征值B.\(A\)是實(shí)對(duì)稱矩陣C.\(A\)的每個(gè)特征值的代數(shù)重?cái)?shù)等于幾何重?cái)?shù)D.\(A\)只有一個(gè)特征值6.已知矩陣\(A\)的特征多項(xiàng)式為\(f(\lambda)=(\lambda-1)^2(\lambda-2)\)，則（）A.\(A\)的特征值為\(1,1,2\)B.屬于特征值\(1\)的線性無關(guān)的特征向量最多有\(zhòng)(2\)個(gè)C.\(A\)可能可對(duì)角化D.\(A\)一定不可對(duì)角化7.設(shè)\(A\)與\(B\)相似，則（）A.\(|A|=|B|\)B.\(A\)與\(B\)有相同的特征值C.\(r(A)=r(B)\)D.\(A\)與\(B\)有相同的跡（主對(duì)角線元素之和）8.下列矩陣中，一定可對(duì)角化的是（）A.二階矩陣\(A\)有兩個(gè)不同的特征值B.實(shí)對(duì)稱矩陣\(A\)C.可逆矩陣\(A\)D.矩陣\(A\)的特征值都為\(0\)9.設(shè)\(A\)是\(n\)階矩陣，\(\lambda\)是\(A\)的特征值，若\(r(\lambdaE-A)=n-1\)，則（）A.\(\lambda\)是\(A\)的單特征值B.屬于\(\lambda\)的線性無關(guān)的特征向量有\(zhòng)(1\)個(gè)C.\(A\)一定可對(duì)角化D.\(|\lambdaE-A|=0\)10.已知矩陣\(A\)可對(duì)角化，且\(A\)的特征值滿足\(\lambda_1^2=\lambda_1\)，\(\lambda_2^2=\lambda_2\)，則（）A.\(A^2=A\)B.\(A\)的特征值只能是\(0\)或\(1\)C.\(A\)是冪等矩陣D.\(A\)的秩等于其非零特征值的個(gè)數(shù)四、判斷題（每題1分，共10分）1.若矩陣\(A\)有\(zhòng)(n\)個(gè)線性無關(guān)的特征向量，則\(A\)可對(duì)角化。（）2.矩陣\(A\)的特征值一定是實(shí)數(shù)。（）3.相似矩陣有相同的特征向量。（）4.實(shí)對(duì)稱矩陣不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量一定正交。（）5.若矩陣\(A\)的特征值全為\(0\)，則\(A=0\)。（）6.可逆矩陣一定可對(duì)角化。（）7.矩陣\(A\)可對(duì)角化，則\(A\)的特征多項(xiàng)式可分解為一次因式的乘積。（）8.設(shè)\(A\)是\(n\)階矩陣，若\(|A|=0\)，則\(0\)是\(A\)的一個(gè)特征值。（）9.若\(A\)與\(B\)相似，則\(A\)與\(B\)的特征向量也相似。（）10.對(duì)于\(n\)階矩陣\(A\)，其特征值的代數(shù)重?cái)?shù)之和等于\(n\)。（）五、簡(jiǎn)答題（每題5分，共20分）1.簡(jiǎn)述矩陣可對(duì)角化的步驟。答案：先求矩陣\(A\)的特征多項(xiàng)式\(|\lambdaE-A|\)，進(jìn)而得到特征值\(\lambda_i\)。對(duì)每個(gè)特征值\(\lambda_i\)，求齊次線性方程組\((\lambda_iE-A)X=0\)的基礎(chǔ)解系，得到屬于\(\lambda_i\)的線性無關(guān)特征向量。若所有特征值對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)特征向量個(gè)數(shù)之和等于矩陣階數(shù)，則可對(duì)角化，將這些特征向量組成可逆矩陣\(P\)，\(P^{-1}AP\)即為對(duì)角矩陣。2.已知矩陣\(A\)的特征值\(\lambda_1=1,\lambda_2=2,\lambda_3=3\)，且對(duì)應(yīng)的特征向量分別為\(\xi_1,\xi_2,\xi_3\)，寫出可逆矩陣\(P\)使得\(P^{-1}AP\)為對(duì)角矩陣。答案：令\(P=(\xi_1,\xi_2,\xi_3)\)，則\(P\)可逆，且\(P^{-1}AP=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}\)。3.實(shí)對(duì)稱矩陣一定可對(duì)角化的原因是什么？答案：實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值都是實(shí)數(shù)，且不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量相互正交。對(duì)于每個(gè)特征值，其幾何重?cái)?shù)等于代數(shù)重?cái)?shù)，所以實(shí)對(duì)稱矩陣一定有\(zhòng)(n\)個(gè)線性無關(guān)的特征向量，滿足可對(duì)角化的充要條件，故一定可對(duì)角化。4.如何判斷矩陣\(A\)的一個(gè)特征向量\(\xi\)屬于哪個(gè)特征值？答案：將\(\xi\)代入\(A\xi\)計(jì)算，若\(A\xi=\lambda\xi\)，則\(\lambda\)就是特征向量\(\xi\)所屬于的特征值。六、討論題（每題5分，共20分）1.討論矩陣可對(duì)角化在實(shí)際應(yīng)用中的意義。答案：在實(shí)際中，可對(duì)角化簡(jiǎn)化矩陣運(yùn)算。比如在微分方程、動(dòng)力系統(tǒng)中，將線性變換對(duì)應(yīng)的矩陣對(duì)角化，能方便求解方程，分析系統(tǒng)穩(wěn)定性。在數(shù)據(jù)處理、圖像壓縮里，利用矩陣對(duì)角化可提取關(guān)鍵信息、降低數(shù)據(jù)維度，提高效率和準(zhǔn)確性。2.若矩陣\(A\)不可對(duì)角化，如何處理相關(guān)問題？答案：可考慮其Jordan標(biāo)準(zhǔn)形。雖然\(A\)不能相似對(duì)角化，但能相似于Jordan矩陣。通過研究Jordan標(biāo)準(zhǔn)形，可分析矩陣性質(zhì)，如計(jì)算矩陣冪、求線性方程組解等。還能在一定程度上簡(jiǎn)化運(yùn)算，理解矩陣所代表的線性變換結(jié)構(gòu)。3.試討論相似矩陣和合同矩陣的聯(lián)系與區(qū)別。答案：聯(lián)系：都保持矩陣的一些性質(zhì)，如秩不變。實(shí)對(duì)稱矩陣相似必合同。區(qū)別：相似基于\(P^{-1}AP=B\)，關(guān)注特征值；合同基于\(P^TAP=B\)，對(duì)實(shí)對(duì)稱矩陣與二次型有關(guān)。相似矩陣特征值相同，合同矩陣正負(fù)慣性指數(shù)相同，應(yīng)用場(chǎng)景和側(cè)重點(diǎn)不同。4.對(duì)于\(n\)階矩陣\(A\)，特征值的代數(shù)重?cái)?shù)和幾何重?cái)?shù)之間有什么關(guān)系？這種關(guān)系對(duì)矩陣對(duì)角化有何影響？答案：特征值的幾何重?cái)?shù)不超過代數(shù)重?cái)?shù)。若\(n\)階矩陣\(A\)每個(gè)特征值的幾何重?cái)?shù)都等于其代數(shù)重?cái)?shù)，則\(A\)可對(duì)角化；若存在特征值幾何重?cái)?shù)小于代數(shù)重?cái)?shù)，則\(A\)不可對(duì)角化。這種關(guān)系是判斷矩陣能否對(duì)角化的關(guān)鍵依據(jù)。答案一、填空題1.