群論基礎(chǔ)試題及答案

單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.以下哪個(gè)集合在普通加法運(yùn)算下構(gòu)成群（）A.正整數(shù)集B.整數(shù)集C.有理數(shù)集的非零元素集D.自然數(shù)集2.群\(G\)中，方程\(ax=b\)（\(a,b\inG\)）的解（）A.不存在B.有唯一解C.有多個(gè)解D.不確定3.群的階指的是（）A.群中元素的個(gè)數(shù)B.群中運(yùn)算的次數(shù)C.群的生成元個(gè)數(shù)D.以上都不對(duì)4.若\(G\)是群，\(a\inG\)，\(a\)的階為\(n\)，則\(a^m=e\)（\(e\)為單位元）當(dāng)且僅當(dāng)（）A.\(m=n\)B.\(m\)是\(n\)的倍數(shù)C.\(n\)是\(m\)的倍數(shù)D.\(m\)和\(n\)互質(zhì)5.循環(huán)群一定是（）A.交換群B.非交換群C.有限群D.無(wú)限群6.一個(gè)群\(G\)的子群\(H\)，滿足（）則\(H\)是正規(guī)子群。A.對(duì)任意\(a\inG\)，\(aH=Ha\)B.\(H\)的階是\(G\)的階的一半C.\(H\)是交換群D.以上都不對(duì)7.群\(G\)中單位元\(e\)的逆元是（）A.\(e\)B.不存在C.\(G\)中任意元素D.除\(e\)外的元素8.若群\(G\)是有限群，\(|G|=n\)，\(H\)是\(G\)的子群，\(|H|=m\)，則\(m\)與\(n\)的關(guān)系是（）A.\(m>n\)B.\(m=n\)C.\(m\)整除\(n\)D.\(n\)整除\(m\)9.置換群中，\((12)(23)\)等于（）A.\((123)\)B.\((132)\)C.\((321)\)D.\((213)\)10.群\(G\)中元素\(a\)的階為\(5\)，則\(a^{15}\)等于（）A.\(a\)B.\(a^2\)C.\(e\)D.\(a^3\)答案：1.B2.B3.A4.B5.A6.A7.A8.C9.A10.C多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.以下哪些性質(zhì)是群所具有的（）A.封閉性B.結(jié)合律C.存在單位元D.每個(gè)元素都有逆元2.下列集合在指定運(yùn)算下能構(gòu)成群的有（）A.實(shí)數(shù)集在乘法運(yùn)算下B.非零實(shí)數(shù)集在乘法運(yùn)算下C.整數(shù)集在加法運(yùn)算下D.正實(shí)數(shù)集在乘法運(yùn)算下3.關(guān)于群中元素的階，正確的說(shuō)法有（）A.元素\(a\)的階是使得\(a^n=e\)的最小正整數(shù)\(n\)B.若\(a\)的階為\(n\)，則\(a^m\)的階為\(\frac{n}{(m,n)}\)（\((m,n)\)為\(m\)和\(n\)的最大公因數(shù)）C.有限群中每個(gè)元素的階都有限D(zhuǎn).無(wú)限群中元素的階一定無(wú)限4.一個(gè)群\(G\)的子群\(H\)是正規(guī)子群的等價(jià)條件有（）A.對(duì)任意\(a\inG\)，\(a^{-1}Ha=H\)B.\(G/H\)（商群）存在C.\(H\)在\(G\)中的左陪集和右陪集相等D.\(H\)是\(G\)的唯一子群5.循環(huán)群的生成元（）A.一定唯一B.可能不唯一C.個(gè)數(shù)與群的階有關(guān)D.個(gè)數(shù)一定為\(1\)6.群同態(tài)的性質(zhì)包括（）A.保持運(yùn)算B.將單位元映射到單位元C.將逆元映射到逆元D.是雙射7.以下關(guān)于置換群的說(shuō)法正確的有（）A.置換群是有限群B.置換群中元素是置換C.對(duì)稱群\(S_n\)是置換群D.置換群一定是交換群8.若\(G\)是群，\(a,b\inG\)，則（）A.\((ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}\)B.\((a^n)^m=a^{nm}\)C.\(a^ma^n=a^{m+n}\)D.\((ab)^n=a^nb^n\)（\(G\)不一定是交換群）9.有限群\(G\)的子群\(H\)的性質(zhì)有（）A.\(|H|\)整除\(|G|\)B.\(H\)本身也是群C.\(H\)中元素的階都整除\(|H|\)D.\(H\)一定是正規(guī)子群10.群\(G\)的中心\(Z(G)\)滿足（）A.\(Z(G)\)是\(G\)的子群B.\(Z(G)\)是正規(guī)子群C.\(Z(G)\)中的元素與\(G\)中所有元素可交換D.\(Z(G)\)一定是循環(huán)群答案：1.ABCD2.BCD3.ABC4.ABC5.BC6.ABC7.ABC8.ABC9.ABC10.ABC判斷題（每題2分，共10題）1.任意集合在某種運(yùn)算下都能構(gòu)成群。（）2.群中單位元是唯一的。（）3.若群\(G\)中元素\(a\)的階為\(n\)，\(m<n\)，則\(a^m\neqe\)。（）4.交換群的子群一定是交換群。（）5.所有有限群都是循環(huán)群。（）6.正規(guī)子群的交還是正規(guī)子群。（）7.群同構(gòu)是一種特殊的群同態(tài)。（）8.置換群中兩個(gè)置換的乘積一定還是置換。（）9.群\(G\)中元素\(a\)的階與\(a^{-1}\)的階相同。（）10.無(wú)限群中一定沒(méi)有有限階元素。（）答案：1.×2.√3.√4.√5.×6.√7.√8.√9.√10.×簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.簡(jiǎn)述群的定義答：集合\(G\)上定義一個(gè)二元運(yùn)算，滿足封閉性、結(jié)合律，存在單位元，且每個(gè)元素都有逆元，則\(G\)關(guān)于此運(yùn)算構(gòu)成群。2.什么是群中元素的階？答：群中元素\(a\)的階是使得\(a^n=e\)（\(e\)為單位元）的最小正整數(shù)\(n\)，若不存在這樣的正整數(shù)，稱\(a\)的階為無(wú)限。3.說(shuō)明子群的判定方法答：設(shè)\(H\)是群\(G\)的非空子集，若對(duì)任意\(a,b\inH\)，有\(zhòng)(ab^{-1}\inH\)，則\(H\)是\(G\)的子群。4.簡(jiǎn)述商群的定義答：設(shè)\(G\)是群，\(H\)是\(G\)的正規(guī)子群，\(G\)關(guān)于\(H\)的所有左陪集（或右陪集）在陪集乘法運(yùn)算下構(gòu)成的群，稱為\(G\)關(guān)于\(H\)的商群，記為\(G/H\)。討論題（每題5分，共4題）1.討論循環(huán)群的性質(zhì)及應(yīng)用答：循環(huán)群性質(zhì)：由一個(gè)元素生成，是交換群，子群也是循環(huán)群。應(yīng)用：在密碼學(xué)中用于構(gòu)建安全的加密算法，如Diffie-Hellman密鑰交換；在數(shù)論中研究整數(shù)的同余類相關(guān)問(wèn)題。2.探討群同態(tài)與群同構(gòu)的聯(lián)系與區(qū)別答：聯(lián)系：同構(gòu)是雙射的同態(tài)。群同態(tài)保持運(yùn)算結(jié)構(gòu)，將單位元映到單位元，逆元映到逆元。區(qū)別：同態(tài)不一定是雙射，同構(gòu)一定是雙射，同構(gòu)的群結(jié)構(gòu)完全相同，同態(tài)只是結(jié)構(gòu)有相似性。3.分析正規(guī)子群在群論中的重要性答：正規(guī)子群很重要，它決定了商群的存在，商群是研究群結(jié)構(gòu)的重要工