重難點突破01概率與統(tǒng)計的綜合問題目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01方法技巧與總結 202題型歸納與總結 2題型一：決策問題 2題型二：道路通行問題. 7題型三：保險問題 10題型四：概率最值問題 13題型五：放回與不放回問題 16題型六：體育比賽問題 19題型七：幾何問題 22題型八：彩票問題 26題型九：納稅問題 29題型十：疾病問題 34題型十一：建議問題 37題型十二：概率與數(shù)列遞推問題 40題型十三：硬幣問題 45題型十四：自主選科問題 49題型十五：高爾頓板問題 54題型十六：自主招生問題 59題型十七：順序排位問題 62題型十八：博彩問題 6803過關測試 71

概率與統(tǒng)計的綜合問題，往往涉及數(shù)據(jù)的收集、處理、分析以及基于這些數(shù)據(jù)進行決策。以下是一些方法技巧與總結：1、理解基本概念：首先，要牢固掌握概率與統(tǒng)計的基本概念，如隨機事件、概率分布、統(tǒng)計量等，這是解題的基礎。2、數(shù)據(jù)收集與處理：在實際問題中，要合理設計數(shù)據(jù)收集方案，確保數(shù)據(jù)的真實性和可靠性。同時，要善于運用統(tǒng)計圖表等工具，對數(shù)據(jù)進行整理和展示。3、靈活運用公式：概率與統(tǒng)計中有很多公式和定理，要熟練掌握并靈活運用。在解題時，要根據(jù)問題的具體情況，選擇合適的公式進行計算。4、注重邏輯推理：概率與統(tǒng)計問題往往需要進行邏輯推理和判斷。在解題時，要保持清晰的思路，逐步推導，得出正確的結論。綜上所述，解決概率與統(tǒng)計的綜合問題，需要扎實的基礎知識、熟練的計算技巧以及良好的邏輯推理能力。通過不斷練習和總結，可以逐漸提高解題水平。題型一：決策問題【典例1-1】2020年1月15日，教育部制定出臺了《關于在部分高校開展基礎學科招生改革試點工作的意見》（也稱“強基計劃”），選拔培養(yǎng)有志于服務國家重大戰(zhàn)略需求且綜合素質(zhì)優(yōu)秀或基礎學科拔尖的學生，由試點高校自主命題，?？歼^程中通過筆試后才能進入面試環(huán)節(jié).(1)為了更好地服務于高三學生，某研究機構對隨機抽取的5名高三學生的記憶力和判斷力進行統(tǒng)計分析，得到下表數(shù)據(jù)：689101223456請用相關系數(shù)說明該組數(shù)據(jù)中與之間的關系可用線性回歸模型進行擬合，并求關于的線性回歸方程（精確到0.01）；(2)現(xiàn)有甲、乙兩所大學的筆試環(huán)節(jié)都設有三門考試科目且每門科目是否通過相互獨立，若某考生報考甲大學，每門筆試科目通過的概率均為，該考生報考乙大學，每門筆試科目通過的概率依次為、、，其中，根據(jù)規(guī)定每名考生只能報考強基計劃的一所試點高校，若以筆試過程中通過科目數(shù)的期望為依據(jù)作出決策，求該考生更希望通過乙大學筆試時的取值范圍.【解析】（1）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可得，，，，，可得相關系數(shù)，故與之間的關系可用線性回歸模型進行擬合，又由，可得.綜上回歸直線方程.（2）通過甲大學的考試科目數(shù)，則，設通過乙大學的考試科目數(shù)為，則可能的取值為0、1、2、3，則，，，，所以，因為該考生更希望通過乙大學的筆試考試，所以，即，又由，解得，即為該考生更希望通過乙大學的筆試時的范圍為.【典例1-2】某綜藝節(jié)目，5位嘉賓輪流參與抽獎．四個一模一樣的箱子，只有一個箱子有獎品．抽獎規(guī)則為主持人請嘉賓在四個箱子中選擇一個，若獎品在此箱子里，則獎品由嘉賓獲得．前一位嘉賓抽獎結束后，主持人重新布置箱子，邀請下一位嘉賓抽獎．(1)記X為5位嘉賓中的中獎人數(shù)，求X的分布列，均值和方差；(2)主持人宣布游戲升級，新的抽獎規(guī)則是：當嘉賓選好一個箱子后，主持人（他知道哪個箱子有獎品）會打開一個嘉賓沒有選擇的空箱子給嘉賓看，此后嘉賓可以選擇換一個箱子或者不換．嘉賓做出選擇后，主持人再打開嘉賓最終選中的箱子，揭曉嘉賓是否中獎．嘉賓的哪種決策會有更大可能抽中獎品？請說明理由．【解析】（1）由題意知，每位嘉賓中獎的概率為，不中獎的概率為，則服從二項分布，所以，，，所以的分布列為：012345數(shù)學期望為，方差為；（2）不換箱子時中獎概率：嘉賓第一次選擇箱子時，中獎概率為；換箱子時中獎概率：設4個箱子分別為，有獎品的箱子為，當嘉賓先選箱，主持人會在箱中打開一個空箱子，此時嘉賓換箱子后，就選不中獎品，其概率為0；當嘉賓先選或或箱子，概率為，此時主持人打開另一個空箱子，嘉賓換箱子后一定能選中有獎品的箱，其概率為，所以換箱子的中獎概率為.所以，故嘉賓換箱子會有更大可能抽中獎品.【變式1-1】某農(nóng)產(chǎn)品經(jīng)銷商計劃分別在甲、乙兩個市場銷售某種農(nóng)產(chǎn)品（兩個市場的銷售互不影響），為了了解該種農(nóng)產(chǎn)品的銷售情況，現(xiàn)分別調(diào)查了該農(nóng)產(chǎn)品在甲、乙兩個市場過去10個銷售周期內(nèi)的銷售情況，得下表：銷售量銷售周期個數(shù)市場3噸4噸5噸甲343乙253(1)從過去10個銷售周期中隨機抽取一個銷售周期，求甲市場銷售量為4噸的概率；(2)以市場銷售量的頻率代替銷售量的概率．設（單位：噸）表示下個銷售周期兩個市場的總銷售量，求隨機變量概率分布列；(3)在（2）的條件下，設該經(jīng)銷商計劃在下個銷售周期購進噸該產(chǎn)品，在甲、乙兩個市場同時銷售，已知該產(chǎn)品每售出1噸獲利1000元，未售出的產(chǎn)品降價處理，每噸虧損200元．以銷售利潤的期望作為決策的依據(jù)，判斷與應選用哪一個．【解析】（1）設甲市場銷售量為4噸的事件為A，則.（2）設甲市場銷售量為噸的概率為，乙市場銷售量為噸的概率為，則由題意得，，；，，，設兩個市場總需求量為的概率為，所有可能的取值為6，7，8，9，10，，，，，，所以的分布列如下表：6789100.060.230.350.270.09（3）由（2）知，，，當時，銷售利潤，當時，，當時，，因此的分布列為：0.06則元；當時，，，，銷售利潤，當時，，當時，，當時，，因此的分布列為：0.060.71則元；因為，所以應選.題型二：道路通行問題.【典例2-1】（2024·全國·模擬預測）近年來，汽車智能化自動化方向發(fā)展迅速，某地區(qū)舉辦了面向中學生的智能小車大賽，其中初賽為自動循跡小車比賽，要求參賽小車能在指定賽道按規(guī)則成功到達目標地將晉級下一輪.賽道如圖所示，圖中每個點表示一個路口且相鄰路口的道路長.點為小車的出發(fā)地，最下方五個點都是目標地，規(guī)則為：①小車等可能的選擇右下，左下或水平路線行進；②沿水平道路行駛到下一個路口后必須選擇右下或左下的路線行進.(1)求小車行駛到達目標地的概率；(2)若云槐中學代表隊成功晉級，設其參賽小車行駛的距離為，求的分布列和數(shù)學期望.【解析】（1）根據(jù)規(guī)則，小車行駛到達目標地，需要行駛1段水平道路，4段向下的道路，且從點開始第一步必定往下，再在中間三段水平路中選擇一段橫移，故小車行駛到達目標地的概率為.（2）根據(jù)題意的可取值為4，5，6，7，且從點開始第一步必定往下，再在中間三段水平路中選擇橫移段數(shù)，則；；；.故的分布列為：4567則.【典例2-2】市民李先生居住在甲地，工作在乙地，他的小孩就讀的小學在丙地，三地之間的道路情況如圖所示．假設工作日不走其它道路，只在圖示的道路中往返，每次在路口選擇道路是隨機的．同一條道路去程與回程是否堵車相互獨立．假設李先生早上需要先開車送小孩去丙地小學，再返回經(jīng)甲地趕去乙地上班．假設道路A，B，D上下班時間往返出現(xiàn)擁堵的概率都是，道路C，E上下班時間往返出現(xiàn)擁堵的概率都是，只要遇到擁堵上學和上班的都會遲到．(1)求李先生的小孩按時到校的概率；(2)李先生是否有七成把握能夠按時上班？(3)設X表示李先生下班時從單位乙到達小學丙遇到擁堵的次數(shù)，求X的均值．【解析】（1）因為道路D、E上班時間往返出現(xiàn)擁堵的概率分別是和，因此從甲到丙遇到擁堵的概率是：×＋×＝，故李先生的小孩能夠按時到校的概率是1－＝.（2）甲到丙沒有遇到擁堵的概率是，丙到甲沒有遇到擁堵的概率也是，甲到乙遇到擁堵的概率是×＋×＋×＝，甲到乙沒有遇到擁堵的概率是1－＝，∴李先生上班途中均沒有遇到擁堵的概率是××＝<0.7，所以李先生沒有七成把握能夠按時上班．（3）依題意X可以取0，1，2.P(X＝0)＝×＝，P(X＝1)＝×＋×＝；P(X＝2)＝×＝.分布列是：X012PE(X)＝0×＋1×＋2×＝.【變式2-1】已知小田開小汽車上班的道路A有5個紅綠燈路口（只有紅燈和綠燈），小田到達每一個路口遇到紅燈的概率都為，遇到綠燈的概率都為．(1)若小田從出門到第一個路口和最后一個路口到辦公室各需要5min，在路口遇到紅燈的平均等待時間為1min，每兩個路口之間的行駛時間為2min，求小田從出門到辦公室的平均時間．(2)小田騎電動車上班的道路B只有3個紅綠燈路口（只有紅燈和綠燈）．①若小田到達第一個路口遇到紅燈、綠燈的概率都為，一個路口遇到紅燈時下一個路口遇到紅燈和一個路口遇到綠燈時下一個路口遇到綠燈的概率都為，求小田遇到紅燈個數(shù)的平均值；②若小田從出門到第一個路口和最后一個路口到辦公室各需要4min，在路口遇到紅燈的平均等待時間為1min，每兩個路口之間的行駛時間為5min，從時間來考慮，請問小田上班是開小汽車好，還是騎電動車好？【解析】（1）設小田遇到紅燈的個數(shù)為，則，設小田從出門到辦公室的時間為Xmin，則，所以，所以小田從出門到辦公室的平均時間為20min．（2）①設小田騎電動車遇到紅燈的個數(shù)為，則的可能取值為0，1，2，3，，，，，所以，所以小田遇到紅燈個數(shù)的平均值為．②設小田騎電動車從出門到辦公室的時間為Ymin，則，所以，所以小田上班騎電動車較好．題型三：保險問題【典例3-1】某保險公司為了給年齡在20~70歲的民眾提供某種醫(yī)療保障，設計了一款針對某疾病的保險.現(xiàn)從10000名參保人員中隨機抽取100名進行分析，并按年齡段分成了五組，其頻率分布直方圖如圖所示，每人每年所交納的保費與參保年齡如下表所示：年齡40,5050,60保費（單位：元）(1)若采用分層抽樣的方法，從年齡段在和40,50內(nèi)的參保人員中共抽取6人進行問卷調(diào)查，再從中選取2人進行調(diào)查對該種保險的滿意度，求這2人中恰好有1人年齡段在內(nèi)的概率.(2)由于10000人參加保險，該公司每年為此項保險支出的各種費用為200萬元.為使公司不虧本，則年齡段50,60的參保人員每人每年需要繳納的保費至少為多少元？【解析】（1）由得，設“抽取2人中恰好有1人年齡段在內(nèi)”為事件.由題設可知，年齡在和內(nèi)的頻率分別為0.16和0.32，則抽取的6人中，年齡在內(nèi)的有2人，年齡在內(nèi)的有4人.記年齡在內(nèi)2位參保人員為，年齡在的4位參保人員為，則從6人中任取2人，樣本空間，共包含15個樣本點，共包含8個樣本點，所以.（2）保險公司每年收取的保費為：，所以要使公司不虧本，則，即，解得，所以年齡段需要繳納的保費至少為250元.【典例3-2】（2024·江西上饒·一模）機動車輛保險即汽車保險（簡稱車險），是指對機動車輛由于自然災害或意外事故所造成的人身傷亡或財產(chǎn)損失負賠償責任的一種商業(yè)保險．機動車輛保險一般包括交強險和商業(yè)險兩部分，其中商業(yè)險包括基本險和附加險．經(jīng)驗表明商業(yè)險保費（單位：元）由過去三年的出險次數(shù)決定了下一年的保費倍率，上饒市某機動車輛保險公司對于購買保險滿三年的汽車按如下表格計算商業(yè)險費用．（假設每年出險次數(shù)2次及以上按2次計算）出險情況商業(yè)險折扣若基準保費3000元時對應保費三年內(nèi)6賠1.85400三-年內(nèi)5賠1.54500三年內(nèi)4賠1.23600三年內(nèi)3賠13000三年內(nèi)2賠0.82400三年內(nèi)1賠0.72100三年內(nèi)0賠0.61800(1)汽車的基準保費由車的價格決定，假定王先生的汽車基準保費為3000元，且過去8年都沒有出險，近期發(fā)生輕微事故，王先生到汽車維修店詢價得知維修費為1000元，理賠人員根據(jù)王先生過去一直安全行車的習慣，建議王先生出險理賠，王先生是否該接受建議？（假設接下來三年王先生汽車基準保費不變，且都不出險）(2)張先生有多年駕車經(jīng)驗，用他過去的駕車出險頻率估計概率，得知平均每年不出險的概率為0.8，出一次險的概率為0.1，出兩次險的概率為0.1（兩次及以上按兩次算）．張先生近期買了一輛新車，商業(yè)險基準保費為3000元（假設基準保費不變），求張先生新車剛滿三年時的商業(yè)險保費分布列及期望．【解析】（1）由于王先生過去三年都沒有出險，若不出險，王先生接下來三年只需按最低標準1800元繳費，共需5400元．若進行理賠，則接下來三年每年需2100元，共需6300元，故出險理賠更劃算.（2）設商業(yè)險保費數(shù)額為隨機變量，則的可能值為5400，4500，3600，3000，2400，2100，1800．則則（元）【變式3-1】（2024·四川南充·模擬預測）隨著我國經(jīng)濟的發(fā)展，人們生活水平的提高，汽車的保有量越來越高．汽車保險費是人們非常關心的話題．保險公司規(guī)定：上一年的出險次數(shù)決定了下一年的保費倍率，具體關系如下表：上一年的出險次數(shù)次以上（含次）下一年的保費倍率連續(xù)兩年沒有出險打折，連續(xù)三年沒有出險打折經(jīng)驗表明新車商業(yè)車險保費與購車價格有較強的線性相關關系，下面是隨機采集的組數(shù)據(jù)（其中（萬元）表示購車價格，（元）表示商業(yè)車險保費）：，，，，，，，．設由這組數(shù)據(jù)得到的回歸直線方程為．（1）求的值．（2）某車主蔡先生購買一輛價值萬元的新車．①估計該車主蔡先生購車時的商業(yè)車險保費．②若該車今年保險期間內(nèi)已出過一次險，現(xiàn)在又被刮花了，蔡先生到店詢價，預計修車費用為元，保險專員建議蔡先生自費（即不出險），你認為蔡先生是否應該接受建議？并說明理由．（假設該車輛下一年與上一年購買相同的商業(yè)車險產(chǎn)品進行續(xù)保）．【解析】（1）（萬元）（元），回歸直線經(jīng)過樣本點的中心，即，所以．（2）①價值為萬元的新車的商業(yè)車險保費預報值為（元）．②由于該車已出過一次險，若再出一次險，則保費增加，即增加（元）．因為，所以應該接受建議．題型四：概率最值問題【典例4-1】某群體有4000人，假設攜帶乙肝病毒的占，某體檢機構通過抽血的方法篩查乙肝病毒攜帶者，如果對每個人的血樣逐一化驗，就需要化驗4000次.為減輕化驗工作量，統(tǒng)計專家給出了一種化驗方法:隨機按照個人進行分組，將各組個人的血樣混合再化驗，如果混合血樣呈陰性，說明這個人全部陰性;如果混合血樣呈陽性，說明其中至少有一人的血樣呈陽性，就需對該組每個人的血樣再分別化驗一次.假設每人的血樣化驗結果呈陰性還是陽性相互獨立.設每人血樣單獨化驗一次的費用為10元，個人混合化驗一次的費用為元.(1)若，記每人血樣化驗的費用為元，求的數(shù)學期望;(2)若，求當取何值時，每人血樣化驗費用的數(shù)學期望最小，并估計化驗總費用.參考公式:.【解析】（1）每人血樣化驗的費用為元，若混合血樣呈陰性，則，若混合血樣呈陽性，則，，2.5.的數(shù)學期望為2.5（元）.（2）設每組人，每組化驗總費用為元，若混合血樣呈陰性，則;若混合血樣呈陽性，則，且，，,則每人血樣化驗的費用為，當且僅當，即時取等號，即100個人一組，每人血樣化驗費用的數(shù)學期望最小，此時化驗總費用估計為（元）.【典例4-2】（2024·高三·河北張家口·開學考試）某校社團開展知識競賽活動，比賽有兩個階段，每隊由兩名成員組成.比賽規(guī)則如下：階段由某參賽隊中一名隊員答2個題，若兩次都未答對，則該隊被淘汰，該隊得0分；若至少答對一個，則該隊進入階段，并獲得5分獎勵.在階段由參賽隊的另一名隊員答3個題，每答對一個得5分，答錯得0分，該隊的成績?yōu)?，兩階段的得分總和.已知某參賽隊由甲乙兩人組成，設甲每次答對的概率為，乙每次答對的概率為，各次答對與否相互獨立.(1)若，甲參加階段比賽，求甲乙所在隊的比賽成績不少于10分的概率；(2)①設甲參加階段比賽，求該隊最終得分的數(shù)學期望（用表示）；②，且，設乙參加階段比賽時，該隊最終得分的數(shù)學期望為，則時，求的最小值.【解析】（1）甲乙所在隊的比賽成績不少于10分的概率為：.（2）①由題意，的值可能為0，5，10，15，20，且，，，，.所以的分布列為：05101520所以.②同理可知，由，又，所以.所以.所以，所以（當且僅當，即，時取“”）所以的最小值為：.【變式4-1】某射擊隊員進行打靶訓練，每次是否命中十環(huán)相互獨立，且每次命中十環(huán)的概率為0.9，現(xiàn)進行了n次打靶射擊，其中打中十環(huán)的數(shù)量為.(1)若，求恰好打中4次十環(huán)的概率（結果保留兩位有效數(shù)字）；(2)要使的值最大，求n的值；(3)設隨機變量X的數(shù)學期望及方差都存在，則，，，這就是著名的切比雪夫不等式.對于給定的隨機變量，其方差如果存在則是唯一確定的數(shù)，所以該不等式告訴我們：的概率必然隨的變大而縮小．為了至少有90%的把握使命中十環(huán)的頻率落在區(qū)間，請利用切比雪夫不等式估計射擊隊員打靶次數(shù)n的最小值.【解析】（1）；（2），由題意有，則，解得，由于n為整數(shù)，故；（3），則，.由題意，，即，，也即.由切比雪夫不等式，有，從而，解得，故估計n的最小值為360.題型五：放回與不放回問題【典例5-1】一個袋子里裝有除顏色以外完全相同的白球和黑球共10個，其中白球有4個，黑球有6個.(1)若有放回地從袋中隨機摸出3個球，求恰好摸到2個黑球的概率；(2)若不放回地從袋中隨機摸出2個球，用表示摸出的黑球個數(shù)，求的分布列和期望與方差.【解析】（1）摸出黑球的概率是，則有放回地從袋中隨機摸出3個球，恰好摸到2個黑球的概率為；（2）的可能取值為0，1，2，則，，，的分布列為：012P期望為，方差為【典例5-2】（2024·河南·三模）某校甲、乙兩個數(shù)學興趣班要進行擴招，經(jīng)過數(shù)學興趣班的海報宣傳，共有4名數(shù)學愛好者a，b，c，d報名參加（字母編號的排列是按照報名的先后順序而定）．現(xiàn)通過一個小游戲進行分班，規(guī)則如下：在一個不透明的箱子中放有紅球和黑球各2個，紅球和黑球除顏色不同之外，其余大小、形狀完全相同，按報名先后順序，先由第一名數(shù)學愛好者從箱子中不放回地摸出1個小球，再另取完全相同的紅球和黑球各1個放入箱子中；接著由下一名數(shù)學愛好者從箱子中不放回地摸出1個小球后，再放入完全相同的紅球和黑球各1個，如此重復，直至4名數(shù)學愛好者均摸球完畢．數(shù)學愛好者若摸出紅球，則被分至甲班，否則被分至乙班．(1)求a，b，c三名數(shù)學愛好者均被分至同一個興趣班的概率；(2)記甲、乙兩個興趣班最終擴招的人數(shù)分別為e，f，記，求．【解析】（1）a，b，c三人均被分至同一個興趣班，即三人同被分至甲班或乙班，記事件“a被分至甲班”，事件“b被分至甲班”，事件“c被分至甲班”，當a即將摸球時，箱子中有2個紅球和2個黑球，則a被分至甲班即a摸出紅球的概率為；當a被分至甲班，b即將摸球時，箱子中有2個紅球和3個黑球，則b被分至甲班即b摸出紅球的概率為；當a，b均被分至甲班，c即將摸球時，箱子中有2個紅球和4個黑球，則c被分至甲班即c摸出紅球的概率為；所以，，同理可知，數(shù)學愛好者a，b，c均被分至乙班的概率也為，所以a，b，c三人均被分至同一個興趣班的概率為．（2）由題意，X的可能取值為4，2，0，為4名數(shù)學愛好者被分至同一班，則，為4名數(shù)學愛好者中有3名均被分至同一班，其余1名被分至另一班，設第名數(shù)學愛好者被單獨分至另一班，則，，，，所以，為4名數(shù)學愛好者中各有2名被分至甲班和乙班，則，所以．【變式5-1】袋中裝有3個大小和質(zhì)地相同的白球，編號為1、2、3，從袋中依次取出兩個球，用、表示第一個及第二個球的編號，在以下兩種情況下分別求隨機變量、和的期望，并研究、和的關系．(1)有放回地依次取出兩個球；(2)不放回的依次取出兩個球．【解析】（1）由題意得可能取的值是1、2、3，易得，則隨機變量的分布為，而，同理，隨機變量的分布為，則，可能取的值是2、3、4、5、6，，，，，，又隨機變量的分布為，則，則；（2）由題意得可能取的值是1、2、3，易得，則隨機變量的分布為，而，同理，隨機變量的分布為，則，又可能取的值是3、4、5，，隨機變量的分布為，則，則．題型六：體育比賽問題【典例6-1】（2024·上海奉賢·三模）在剛剛結束的杭州亞運會上，中國羽毛球隊延續(xù)了傳統(tǒng)優(yōu)勢項目，以4金3銀2銅的成績傲視亞洲．在舊制的羽毛球賽中，只有發(fā)球方贏得這一球才可以得分，即如果發(fā)球方在此回合的爭奪中輸球，則雙方均不得分．但發(fā)球方輸?shù)舸嘶睾虾?，下一回合改為對方發(fā)球．(1)在舊制羽毛球賽中，中國隊某運動員每一回合比賽贏球的概率均為，且各回合相互獨立．若第一回合該中國隊運動員發(fā)球，求第二回合比賽有運動員得分的概率；(2)羽毛球比賽中，先獲得第一分的隊員往往會更加占據(jù)心理上的優(yōu)勢，給出以下假設：假設1：各回合比賽相互獨立；假設2：比賽雙方運動員甲和乙的實力相當，即每回合比賽中甲獲勝的概率均為；求第一回合發(fā)球者在整場比賽中先得第一分的概率，并說明舊制是否合理？【解析】（1）設事件表示第一回合該中國隊運動員贏球，事件表示第二回合該中國隊運動員贏球，事件表示第二回合比賽有運動員得分，由已知，，，則，即第二回合比賽有運動員得分的概率為.（2）設運動員甲先發(fā)球，記事件表示第i回合該運動員甲贏球，記事件表示運動員甲先得第一分，則，則，所以，即則第一回合發(fā)球者在整場比賽中先得第一分的概率大于，則比賽雙方運動員實力相當?shù)那闆r下，先發(fā)球者更大概率占據(jù)心理上的優(yōu)勢，所以舊制不合理.【典例6-2】為豐富和活躍學校教師業(yè)余文化生活，提高教師身體素質(zhì)，展現(xiàn)教師自我風采，增進教師溝通交流，陽泉一中舉辦了2024年度第一屆青年教師團建暨羽毛球比賽活動，已知其決賽在小胡和小張之間進行，每場比賽均能分出勝負，已知該學校為本次決賽提供了1000元獎金，并規(guī)定:若其中一人贏的場數(shù)先達到4場，則比賽終止，同時該人獲得全部獎金;若比賽意外終止時無人先贏4場，則按照比賽繼續(xù)進行各自贏得全部獎金的概率之比給兩人分配獎金.若每場比賽小胡贏的概率為，每場比賽相互獨立.(1)在已進行的5場比賽中小胡贏了3場，若比賽繼續(xù)進行到有人先贏4場，求小胡贏得全部獎金的概率；(2)若比賽進行了5場時終止（含自然終止與意外終止），記小胡獲得獎金數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望.【解析】（1）記小胡贏得全部獎金為事件，則；（2）若場比賽結束，比賽自然終止，①小胡與小張贏得比賽場數(shù)分別為，小胡獲元；②小胡與小張贏得比賽場數(shù)分別為，小胡無獎金；若場比賽結束，比賽意外終止，即有一人贏了場，有一人贏了場，則贏了場的人，按照比賽繼續(xù)進行贏得全部獎金的概率為，所以此人得到的獎金為元，則贏了場的人，得到的獎金為元；③小胡與小張贏得比賽場數(shù)分別為，小胡獲元；④小胡與小張贏得比賽場數(shù)分別為，小胡獲元；所以隨機變量的可能取值為，，，；比賽結果共有，所以，，，，所以的分布列為：02507501000數(shù)學期望為．【變式6-1】某學校高二年級乒乓球社團舉辦了一次乒乓球比賽，進入決賽的9名選手來自于3個不同的班級，三個班級的選手人數(shù)分別是2，3，4，本次決賽的比賽賽制采取單循環(huán)方式，即每名選手進行8場比賽，每場比賽采取5局3勝制，先贏得三場的人為獲勝者，比賽結束，根據(jù)積分選出最后的冠軍.如果最終積分相同，則同分選手加賽決出排名，積分規(guī)則如下：比賽中以3:0或3:1取勝的選手積3分，失敗的選手積0分；而在比賽中以3:2取勝的選手積2分，失敗的選手積1分.已知第6場是甲、乙之間的比賽，設每局比賽甲取勝的概率為).(1)若進入決賽的9名選手獲得冠亞軍的概率相等，則比賽結束后冠亞軍恰好來自同一個班級的概率是多少?(2)在第6場比賽中，當時，設甲所得積分為，求的分布列及期望.【解析】（1）記比賽結束后冠亞軍恰好來自同一個班級為事件，由于每名選手獲得冠亞軍的概率都相等，則.（2）依題意的可能取值為0，1，2，3，所以，，，.所以的分布列為0123所以的期望為.題型七：幾何問題【典例7-1】如圖，在正方體的頂點處各掛一盞燈籠，每秒有且只有一個頂點處的燈籠被點亮，下一秒被點亮的燈籠必須與上一個頂點相鄰（在同一條棱上），且每個相鄰頂點的燈籠被點亮的概率相同，下一盞燈籠被點亮上一盞自動熄滅．若初始亮燈點位于點處，第秒亮燈點在底面上的概率為．(1)求和的值；(2)推測與的關系，并求出的表達式．【解析】（1）依題意第一秒燈點等可能的在頂點、、處，其中在底面上的頂點為、，所以，第一秒燈點在頂點為、處（概率為），第二秒燈點在底面上的概率為；第一秒燈點在頂點為處（概率為），第二秒燈點在底面上的概率為；所以第二秒燈點在底面上的概率；（2）第秒亮燈點在底面上的概率為，在底面上的概率為，所以，所以，所以是以，公比為的等比數(shù)列，所以，則.【典例7-2】如圖，一只螞蟻從正方體的頂點出發(fā)沿棱爬行，記螞蟻從一個頂點到另一個頂點為一次爬行，每次爬行的方向是隨機的，螞蟻沿正方體上、下底面上的棱爬行的概率為，沿正方體的側(cè)棱爬行的概率為．

(1)若螞蟻爬行5次，求螞蟻在下底面頂點的概率；(2)若螞蟻爬行5次，記它在頂點出現(xiàn)的次數(shù)為，求的分布列與數(shù)學期望．【解析】（1）記螞蟻爬行次在底面的概率為，則它前一步只有兩種情況：在下底面或在上底面，結合題意易得，，是等比數(shù)列，首項為，公比為，，則，（2）結合題意易得：，當時，螞蟻第3次、第5次都在處，當時，螞蟻第3次在處或第5次在處，設螞蟻第3次在處的概率為，設螞蟻第5次在處的概率為，設螞蟻不過點且第3次在的概率為，設螞蟻不過點且第3次在的概率為，設螞蟻不過點且第3次在的概率為，由對稱性知，，，又，得，，，的分布列為：012的數(shù)學期望.【變式7-1】如圖，已知三棱錐的三條側(cè)棱，，兩兩垂直，且，，，三棱錐的外接球半徑.

(1)求三棱錐的側(cè)面積的最大值；(2)若在底面上，有一個小球由頂點處開始隨機沿底邊自由滾動，每次滾動一條底邊，滾向頂點的概率為，滾向頂點的概率為；當球在頂點處時，滾向頂點的概率為，滾向頂點的概率為；當球在頂點處時，滾向頂點的概率為，滾向頂點的概率為.若小球滾動3次，記球滾到頂點處的次數(shù)為，求數(shù)學期望的值.【解析】（1）因為三條側(cè)棱，，兩兩垂直，且，，，且三棱錐的外接球半徑，則以、、為長、寬、高的長方體的體對角線為外接球的直徑，即，所以，當且僅當時取等號，所以三棱錐的側(cè)面積，當且僅當時取等號，即三棱錐的側(cè)面積的最大值為.（2）依題意的可能取值為、、，則，，，所以.【變式7-2】（2024·江蘇南通·一模）已知正六棱錐的底面邊長為2，高為1．現(xiàn)從該棱錐的7個頂點中隨機選取3個點構成三角形，設隨機變量表示所得三角形的面積.(1)求概率的值；(2)求的分布列，并求其數(shù)學期望．【解析】分析：（1）從個頂點中隨機選取個點構成三角形，共有種取法，其中面積的三角形有個，由古典概型概率公式可得結果；(2)的可能取值，根據(jù)古典概型概率公式可求得隨機變量對應的概率，從而可得分布列，進而利用期望公式可得其數(shù)學期望．（1）從個頂點中隨機選取個點構成三角形，共有種取法，其中的三角形如，這類三角形共有個因此.（2）由題意，的可能取值為其中的三角形如，這類三角形共有個；其中的三角形有兩類，，如（個），（個），共有個；其中的三角形如，這類三角形共有個；其中的三角形如，這類三角形共有個；其中的三角形如，這類三角形共有個；因此所以隨機變量的概率分布列為：3所求數(shù)學期望.題型八：彩票問題【典例8-1】（2024·江西·模擬預測）某數(shù)學興趣小組模擬“刮刮樂”彩票游戲，每張彩票的刮獎區(qū)印有從10個數(shù)字1，2，3，……，10中隨機抽取的3個不同數(shù)字，刮開涂層即可兌獎，中獎規(guī)則為：每張彩票只能中獎一次（按照最高獎勵算）若3個數(shù)的積為2的倍數(shù)且不為3的倍數(shù)時，中三等獎；若3個數(shù)的積為5的倍數(shù)且不為3的倍數(shù)時，中二等獎；若3個數(shù)的積既為3的倍數(shù)，又為4的倍數(shù)，又為7的倍數(shù)時，中一等獎；其他情況不中獎．(1)在一張彩票中獎的前提下，求這張彩票是一等獎的概率；(2)假設每張彩票售價為元，且獲得三、二、一等獎的獎金分別為2元，3元，10元，從出售該彩票可獲利的角度考慮，求的最小值．【解析】（1）若獲得三等獎則可能是出現(xiàn)：①2，4，8中出現(xiàn)3個；②2，4，8中出現(xiàn)2個，1，7出現(xiàn)1個；③2，4，8中出現(xiàn)1個，1，7出現(xiàn)2個；則獲得三等獎的概率；若獲得二等獎則可能是出現(xiàn)：①5、10中出現(xiàn)1個，1、2、4、7、8出現(xiàn)2個；②5、10中出現(xiàn)2個，1、2、4、7、8出現(xiàn)1個；則獲得二等獎的概率；若獲得一等獎則可能是出現(xiàn)：①一個7，3、9中出現(xiàn)1個，4、8出現(xiàn)1個；②一個7，一個6，2、4、8、10中出現(xiàn)1個，則獲得一等獎的概率；所以隨機抽取一張彩票，則這張彩票中獎的概率．所以已知一張彩票中獎，且是一等獎的概率為.（2）一張彩票的獎金的取值可能為0、2、3、10元，由題可知不中獎的概率為，，，.其分布列為：02310所以，所以要盈利，則；又，所以的最小值為2．【典例8-2】中國福利彩票雙色球游戲規(guī)則是由中華人民共和國財政部制定的規(guī)則，是一種聯(lián)合發(fā)行的“樂透型”福利彩票.“雙色球”彩票投注區(qū)分為紅色球號碼區(qū)和藍色球號碼區(qū)，“雙色球”每注投注號碼由6個紅色球號碼和1個藍色球號碼組成，紅色球號碼從1—33中選擇；藍色球號碼從1—16中選擇.“雙色球”獎級設置分為高等獎和低等獎，一等獎和二等獎為高等獎，三至六等獎為低等獎.“雙色球”彩票以投注者所選單注投注號碼與當期開出中獎號碼相符的球色和個數(shù)確定中獎等級：一等獎：7個號碼相符（6個紅色球號碼和1個藍色球號碼）（紅色球號碼順序不限，下同）；二等獎：6個紅色球號碼相符；三等獎：5個紅色球號碼和1個藍色球號碼相符；四等獎：5個紅色球號碼，或4個紅色球號碼和1個藍色球號碼相符；五等獎：4個紅色球號碼，或3個紅色球號碼和1個藍色球號碼相符；六等獎：1個藍色球號碼相符（有無紅色球號碼相符均可）.（1）求中三等獎的概率（結果用a表示）；（2）小王買了一注彩票，在已知小王中了高等獎的條件下，求小王中二等獎的概率.參考數(shù)據(jù)：【解析】（1）中三等獎表示6個中獎紅色球號碼選個，個有獎的藍色號碼選正確，有種選法；隨機選6個紅色球號碼和1個藍色球號有種選法，所以中三等獎的概率；（2）記小王中了高等獎為事件，小王中二等獎為事件，可得，所以小王中了高等獎的條件下，求小王中二等獎的概率小王中二等獎的概率.【變式8-1】在一種稱為“幸運35”的福利彩票中，規(guī)定從01，02，…，35這35個號碼中任選7個不同號碼組成一注，并通過搖獎機從這35個號碼中搖出7個不同的號碼作為特等獎.與特等獎號碼僅6個相同的為一等獎，僅5個相同的為二等獎，僅4個相同的為三等獎，其他的情況不得獎比.為了便于計算，假定每個投注號只有1次中獎機會（只計獎金額最大的獎），該期的每組號碼均有人買，且彩票無重復號碼比.若每注彩票為2元，特等獎獎金為100萬元/注，一等獎獎金為1萬元/注，二等獎獎金為100元/注，三等獎獎金為10元/注，試求：(1)獎金額X（元）的概率分布；(2)這一期彩票售完可以為福利事業(yè)籌集多少資金（不計發(fā)售彩票的費用）？【解析】（1）的可能取值為.，，，，所以的分布列為：（2）可籌集元.題型九：納稅問題【典例9-1】（2024·四川南充·一模）自2019年1月1日起，對個人所得稅起征點和稅率進行調(diào)整.調(diào)整如下：納稅人的工資、薪金所得，以每月全部收入額減去5000元后的余額為應納稅所得額．依照個人所得稅稅率表，調(diào)整前后的計算方法如表：個人所得稅稅率（調(diào)整前）個人所得稅稅率（調(diào)整后）免征額3500元免征額5000元級數(shù)全月應納稅所得額稅率（%）級數(shù)全月應納稅所得額稅率（%）1不超過1500元的部分31不超過3000元的部分32超過1500元至4500元的部分102超過3000元至12000元的部分103超過4500元至9000元的部分203超過12000元至25000元的部分20………………(1)假如李先生某月的工資、薪金等所得稅前收入總和不高于8000元，記x表示總收入，y表示應納的稅，試分別求出調(diào)整前和調(diào)整后y關于x的函數(shù)表達式；(2)某稅務部門在李先生所在公司利用分層抽樣方法抽取某月100個不同層次員工的稅前收入，并制成下面的頻數(shù)分布表：收入（元）人數(shù)304010875先從收入在及的人群中按分層抽樣抽取7人，再從中選2人作為新納稅法知識宣講員，求選中的2人收入都在的概率；【解析】（1）根據(jù)個人所得稅稅率（調(diào)整前）可知：；根據(jù)個人所得稅稅率（調(diào)整后）可知：；（2）與人數(shù)的比例為，所以中抽取人，記為，中抽取人，記為，從中任取兩個，基本事件為：，，共個，其中選中的2人收入都在為，共個，所以選中的2人收入都在的概率為.【典例9-2】個人所得稅起征點是個人所得稅工薪所得減除費用標準或免征額，個稅起征點與個人稅負高低的關系最為直接，因此成為廣大工薪階層關注的焦點.隨著我國人民收入的逐步增加，國家稅務總局綜合考慮人民群眾消費支出水平增長等各方面因素，規(guī)定從2019年1月1日起，我國實施個稅新政.實施的個稅新政主要內(nèi)容包括:①個稅起征點為元②每月應納稅所得額(含稅)收入個稅起征點專項附加扣除;③專項附加扣除包括住房、子女教育和贍養(yǎng)老人等.新舊個稅政策下每月應納稅所得額(含稅)計算方法及其對應的稅率表如下:舊個稅稅率表(個稅起征點元)新個稅稅率表(個稅起征點元)繳稅級數(shù)每月應納稅所得額(含稅)收入個稅起征點稅率/%每月應納稅所得額(含稅）收入個稅起征點專項附加扣除稅率/%1不超過元不超過元2部分超過元至元部分部分超過元至元部分3超過元至元的部分超過元至元的部分4超過元至元的部分超過元至元的部分5超過元至元部分超過元至元部分············隨機抽取某市名同一收入層級的無親屬關系的男性互聯(lián)網(wǎng)從業(yè)者(以下互聯(lián)網(wǎng)從業(yè)者都是指無親屬關系的男性)的相關資料，經(jīng)統(tǒng)計分析，預估他們2022年的人均月收入為元.統(tǒng)計資料還表明，他們均符合住房專項扣除，同時他們每人至多只有一個符合子女教育扣除的孩子，并且他們之中既不符合子女教育扣除又不符合贍養(yǎng)老人扣除、只符合子女教育扣除但不符合贍養(yǎng)老人扣除、只符合贍養(yǎng)老人扣除但不符合子女教育扣除、既符合子女教育扣除又符合贍養(yǎng)老人扣除的人數(shù)之比是.此外，他們均不符合其他專項附加扣除.新個稅政策下該市的專項附加扣除標準為:住房元/月，子女教育每孩元/月，贍養(yǎng)老人元/月等.假設該市該收入層級的互聯(lián)網(wǎng)從業(yè)者都獨自享受專項附加扣除，將預估的該市該收入層級的互聯(lián)網(wǎng)從業(yè)者的人均月收入視為其個人月收入.根據(jù)樣本估計總體的思想，解決下列問題.（1）按新個稅方案，設該市該收入層級的互聯(lián)網(wǎng)從業(yè)者2022年月繳個稅為元，求的分布列和數(shù)學期望;（2）根據(jù)新舊個稅方案，估計從2022年1月開始，經(jīng)過幾個月，該市該收入層級的互聯(lián)網(wǎng)從業(yè)者各月少繳的個稅之和就能購買一臺價值為元的華為智慧屏巨幕電視?【解析】解:既不符合子女教育扣除也不符合贍養(yǎng)老人扣除的人群每月應納稅所得額為元，月繳個稅元;只符合子女教育扣除但不符合贍養(yǎng)老人扣除的人群每月應納稅所得額為元，月繳個稅元;只符合贍養(yǎng)老人扣除但不符合子女教育扣除的人群每月應納稅所得額為元，月繳個稅元;既符合子女教育扣除又符合贍養(yǎng)老人扣除的人群每月應納稅所得額元，月繳個稅元.所以的可能值為，依題意，上述四類人群的人數(shù)之比是，所以，，，所以的分布列為所以在舊政策下該收入層級的互聯(lián)網(wǎng)從業(yè)者2022年每月應納稅所得額為元，其月繳個稅為元，由知在新政策下該收入層級的互聯(lián)網(wǎng)從業(yè)者2022年月繳個稅為元，所以該收入層級的互聯(lián)網(wǎng)從業(yè)者每月少繳的個稅為元.設經(jīng)過個月，該收入層級的互聯(lián)網(wǎng)從業(yè)者少繳的個稅的總和就超過則因為所以所以經(jīng)過個月﹐該收入層級的互聯(lián)網(wǎng)從業(yè)者就能購買一臺價值為元的華為智慧屏巨幕電視.【變式9-1】（2024·河南鄭州·三模）依法納稅是公民應盡的義務，隨著經(jīng)濟的發(fā)展，個人收入的提高，自2018年10月1日起，個人所得稅起征點和稅率進行了調(diào)整，調(diào)整前后的計算方法如下表，2018年12月22日國務院又印發(fā)了《個人所得稅專項附加扣除暫行辦法》(以下簡稱《辦法》)，自2019年1月1日起施行，該《辦法》指出，個人所得稅專項附加扣除，是指個人所得稅法規(guī)定的子女教育、繼續(xù)教育、大病醫(yī)療、住房貸款利息或者住房租金、贍養(yǎng)老人等6項專項附加扣除.簡單來說，2018年10月1日之前，“應納稅所得額”“稅前收入”“險金”“基本減除費用(統(tǒng)一為3500元)”“依法扣除的其他扣除費用”;自2019年1月1日起，“應納稅所得額”“稅前收入”“險金”“基本減除費用(統(tǒng)一為5000元)”“專項附加扣除費用”“依法扣除的其他扣除費用.調(diào)整前后個人所得稅稅率表如下:個人所得稅稅率表（調(diào)整前）個人所得稅稅率表（調(diào)整后）級數(shù)全月應納稅所得額稅率（%）級數(shù)全月應納稅所得額稅率（%）1不超過1500元的部分31不超過3000元的部分32超過1500元至4500元的部分102超過3000元至12000元的部分103超過4500元至9000元的部分203超過12000元至25000元的部分20………………某稅務部門在小李所在公司利用分層抽樣方法抽取某月100個不同層次員工的稅前收入，扣除險金后，制成下面的頻數(shù)分布表:收入（元）人數(shù)102025201510（Ⅰ）估算小李公司員工該月扣除險金后的平均收入為多少?（Ⅱ）若小李在該月扣除險金后的收入為10000元，假設小李除住房租金一項專項扣除費用1500元外，無其他依法扣除費用，則2019年1月1日起小李的個人所得稅，比2018年10月1日之前少交多少?（Ⅲ）先從收入在[9000，11000)及[11000，13000)的人群中按分層抽樣抽取7人，再從中選2人作為新納稅法知識宣講員，求兩個宣講員不全是同一收入人群的概率.【解析】（Ⅰ）小李公司員工該月扣除險金后的平均收入（元），小李公司員工該月扣除險金后的平均收入為（元）.（Ⅱ）2018年10月1日之前小李的個人所得稅（元），2019年1月1日起小李的個人所得稅（元）2019年1月1日起小李個人所得稅少交（元）.（Ⅲ）由頻數(shù)分布表可知，收入在和的人數(shù)共有人，其中收入在的占，收入在的占，按分層抽樣抽取7人，其中中占4人，記為1，2，3，4；中占3人，記為A，B，C，從7人中選2人共有21種選法如下：，其中不在同一收入的人群有，，，，，，，，，，，共12種，所以兩個宣講員不全是同一收入人群的概率為.題型十：疾病問題【典例10-1】（2024·全國·模擬預測）某單位有10000名職工，想通過驗血的方法篩查出某種細菌感染性疾?。闃踊烇@示，當前攜帶該細菌的人約占0.9%，若逐個化驗需化驗10000次．統(tǒng)計專家提出了一種化驗方法：隨機按n人一組進行分組，將各組n個人的血液混合在一起化驗，若混合血樣呈陰性，則這n個人的血樣全部陰性；若混合血樣呈陽性，則說明其中至少有一人的血樣呈陽性，就需對每個人再分別化驗一次．(1)若每人單獨化驗一次花費10元，n個人混合化驗一次花費元．問n為何值時，化驗費用的數(shù)學期望最??？（注：當時，）(2)該疾病主要是通過人與人之間進行傳播，感染人群年齡大多數(shù)是40歲以上．細菌進入人體后有潛伏期．潛伏期是指病原體侵入人體至最早出現(xiàn)臨床癥狀的這段時間．潛伏期越長，感染給他人的可能性越高．現(xiàn)對已發(fā)現(xiàn)的90個病例的潛伏期（單位：天）進行調(diào)查，統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)潛伏期的平均數(shù)為7.2，方差為．如果認為超過8天的潛伏期屬于“長潛伏期”，按照年齡統(tǒng)計樣本，得到下面的列聯(lián)表：年齡/人數(shù)長期潛伏非長期潛伏40歲以上155040歲及40歲以下1015①是否有95%的把握認為“長期潛伏”與年齡有關？②假設潛伏期X服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)近似為樣本方差．為防止該疾病的傳播，現(xiàn)要求感染者的密接者居家觀察14天，請用概率的知識解釋其合理性．附：，0.10.050.0102.7063.8416.635若，則．【解析】（1）要使化驗費用的數(shù)學期望最小，只需每個人的化驗費用期望最?。O每人的化驗費用為Y元，若混合血樣呈陰性，則，若混合血樣是陽性，則，所以，，每位職工的化驗費用為：，當且僅當，即時取等號，故時，每位職工化驗費用的期望最?。?）（i）零假設為：“長期潛伏”與年齡無關．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到，，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷不成立，因此可以認為“長期潛伏”與年齡無關．（ii）若潛伏期，由，得知潛伏期超過14天的概率很低，因此隔離14天是合理的．【典例10-2】根據(jù)歷史資料顯示，某種慢性疾病患者的自然痊愈率為5%.為試驗一種新藥，在有關部門批準后，醫(yī)院將此藥給10位病人服用，試驗方案為：若這10人中至少有2人痊愈，則認為該藥有效，提高了治愈率；否則，則認為該藥無效．(1)如果在該次試驗中有5人痊愈，院方欲從參加該次試驗的10人中隨機選2人了解服藥期間的感受，記抽到痊愈的人的個數(shù)為X，求X的概率分布．(2)在第（1）題的條件下求隨機變量X的期望與方差．(3)如果新藥有效，將治愈率提高到了50%，求通過試驗卻認定新藥無效的概率P并根據(jù)P的值解釋該試驗方案的合理性.（參考結論：通常認為發(fā)生概率小于5%的事件可視為小概率事件）．【解析】（1）X的可能取值為，，，，故分布列如下：012（2），；（3）新藥無效的情況有：10人中1人痊愈，10人中0人痊愈，故，所以通過試驗卻認定新藥無效為小概率事件，該試驗方案合理.【變式10-1】（2024·高三·江西贛州·期中）某藥廠生產(chǎn)的一種藥品，聲稱對某疾病的有效率為80%.若該藥對患有該疾病的病人有效，病人服用該藥一個療程，有90%的可能性治愈，有10%的可能性沒有治愈；若該藥對患有該疾病的病人無效，病人服用該藥一個療程，有40%的可能性自愈，有60%的可能性沒有自愈.(1)若該藥廠聲稱的有效率是真實的，利用該藥治療3個患有該疾病的病人，記一個療程內(nèi)康復的人數(shù)為，求隨機變量的分布列和期望；(2)一般地，當比較大時，離散型的二項分布可以近似地看成連續(xù)型的正態(tài)分布，若，則可以近似看成隨機變量，，其中，，對整數(shù)，（），.現(xiàn)為了檢驗此藥的有效率，任意抽取100個此種病患者進行藥物臨床試驗，如果一個療程內(nèi)至少有人康復，則此藥通過檢驗.現(xiàn)要求：若此藥的實際有效率為，通過檢驗的概率不低于0.9772，求整數(shù)的最大值.（參考數(shù)據(jù)：若，則，，）【解析】（1）記“一個患有該疾病的病人服用該藥一個療程康復”為事件，則，因此，，，，則的分布列為：的數(shù)學期望.（2）若該藥品的有效率為，由（1）得，一個療程內(nèi)，使用該藥后的康復率也為，記康復的人數(shù)為隨機變量，則，設，設，所以整數(shù)的最大值為題型十一：建議問題【典例11-1】（2024·高三·廣東深圳·期末）在一個地區(qū)篩查某種疾病，由以往經(jīng)驗可知該地區(qū)居民得此病（血液樣本化驗呈陽性）的概率為．根據(jù)需要，居民每三人一組進行化驗篩查，為節(jié)約資源，化驗次數(shù)越少，則方法越優(yōu)．現(xiàn)對每組的3個樣本給出下面兩種化驗方法：方法1：逐個化驗；方法2：3個樣本各取一部分混合在一起化驗．若混合樣本呈陽性，就把這3個樣本再逐個化驗；若混合樣本呈陰性，則判斷這3個樣本均為陰性．(1)若，用隨機變量表示3個樣本中檢測呈陽性的個數(shù)，請寫出的分布列并計算．(2)若p=0.25，現(xiàn)要完成化驗篩查，請問：哪種方法更優(yōu)？(3)若要完成化驗篩查，且已知“方法2”比“方法1”更優(yōu)，求的取值范圍．【解析】（1）由題意可知：隨機變量，若，則，，，，所以的分布列為：0123可得．（2）方法1：3個樣本需要試驗次數(shù)為3次；方法2：以實驗次數(shù)為隨機變量，則的可能取值為1或4，且，所以，因為，所以方法2更優(yōu)．（3）采用方法2，設3個樣本完成化驗篩查的實驗次數(shù)為隨機變量，則的可能取值為1或4，且，由已知得解之得．所以的取值范圍為．【典例11-2】研究表明，學生的學習成績y（分）與每天投入的課后學習時間x（分鐘）有較強的線性相關性．某校數(shù)學小組為了研究如何高效利用自己的學習時間，收集了該校高三（1）班學生9個月內(nèi)在某學科（滿分100分）所投入的課后學習時間和月考成績的相關數(shù)據(jù)，下圖是該小組制作的原始數(shù)據(jù)與統(tǒng)計圖（散點圖）．月次123456789某科課后投入時間（分鐘）202530354045505560高三（1）班某科平均分（分）6568757273737373．573

(1)當時，該小組建立了與的線性回歸模型，求其經(jīng)驗回歸方程；(2)當時，由圖中觀察到，第3個月的數(shù)據(jù)點明顯偏離回歸直線，若剔除第3個月數(shù)據(jù)點后，用余下的4個散點做線性回歸分析，得到新回歸直線，證明：；(3)當時，該小組確定了與滿足的線性回歸方程為：，該數(shù)學小組建議該班在該學科投入課后學習時間為40分鐘，請結合第（1）（2）問的結論說明該建議的合理性．附：經(jīng)驗回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，【解析】（1），，，則，所求經(jīng)驗回歸方程為：；（2）設的方程為，，，∴，則，的方程為，故，；（3）當時，的斜率為0.4，這個斜率的意義是：課后每多投入10分鐘，平均分就能提高4分；當時，回歸直線的斜率為0.01這個斜率的意義是：課后每多投入10分鐘，平均分就能提高0.1分，說明投入幾乎沒用，故該學習小組的建議是合理的.【變式11-1】（2024·吉林·二模）我市近日開展供熱領域民生問題“大調(diào)研、大起底、大整治、大提升”工作，在調(diào)查階段，從兩小區(qū)一年供熱期的數(shù)據(jù)中隨機抽取了相同20天的觀測數(shù)據(jù)，得到兩小區(qū)的同日室溫平均值如下圖所示：

根據(jù)室內(nèi)溫度（單位：），將供熱狀況分為以下三個等級：室內(nèi)溫度供熱等級不達標達標舒適(1)試估計小區(qū)當年（供熱期172天）的供熱狀況為“舒適”的天數(shù)；(2)若兩小區(qū)供熱狀況相互獨立，記事件“一天中小區(qū)供熱等級優(yōu)于小區(qū)供熱等級”.根據(jù)所給數(shù)據(jù)，以事件發(fā)生的頻率作為相應事件發(fā)生的概率，求事件的概率；(3)若從供熱狀況角度選擇生活地區(qū)居住，你建議選擇中的哪個小區(qū)，并簡述判斷依據(jù).【解析】（1）估計小區(qū)當年（供熱期172天）的供熱狀況為“舒適”的天數(shù)為天；（2）由題意，樣本空間共有20個樣本點，設分別表示，B小區(qū)的室內(nèi)溫度，用表示一天中的溫度結果，則，所以，所以；（3）若從供熱狀況角度選擇生活地區(qū)居住，建議選擇小區(qū)，因為小區(qū)供熱等級舒適的頻率為，小區(qū)供熱等級舒適的頻率為，所以建議選擇小區(qū).題型十二：概率與數(shù)列遞推問題【典例12-1】（2024·高三·重慶·開學考試）某趣味活動設置了“謎語競猜”和“知識競答”兩個環(huán)節(jié)，小王參與這兩個環(huán)節(jié)的活動．在“謎語競猜”環(huán)節(jié)，設置①、②、③三道謎語題，猜謎者按照一定的順序猜謎，只有猜對當前謎語才能繼續(xù)競猜下一道謎語，并且獲得本謎語的獎金．每次猜謎的結果相互獨立．猜對三道謎語的概率及獲得的相應獎金如下表：謎語①②③猜對的概率0.80.5獲得的獎金（元）102030(1)若，按“①、②、③”的順序猜謎．在所獲獎金不低于10元的條件下，求小王所獲獎金為30元的概率；(2)假設只按“①、②、③”和“③、②、①”兩種順序猜謎．若以猜謎所獲獎金的數(shù)學期望為決策依據(jù)，小王應按哪種順序猜謎所獲獎金更多？(3)在“知識競答環(huán)節(jié)，參賽者要回答A、B兩類問題，每個參賽者回答n次，每次回答一個問題，若回答正確，則下一個問題從B類中隨機抽??；若回答錯誤，則下一個問題從A類中隨機抽取，規(guī)定每位參賽者回答的第一個問題從A類中抽?。阎⊥跄苷_回答A類問題的概率為，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為，且每次回答問題正確與否相互獨立，求小王第n次回答正確的概率．【解析】（1）設“所獲獎金不低于元”為事件，“小王所獲得的獎金為元”為事件，則，，所以（2）若小王按“①、②、③”的順序猜謎語，他所獲獎金的所有可能取值為(元)，，，，，因此；若小王按“③、②、①”順序猜謎語，他所獲獎金的所有可能取值為(元)，，，，，因此，，當，即時，應按①、②、③順序猜謎所獲得獎金更多；當，即時，按①、②、③和③、②、①順序猜謎所獲獎金一樣多；當，即時，應按③、②、①順序猜謎所獲得獎金更多．（3）小王第次回答正確的概率只與第次回答是否正確有關，則，即，于是，又，因此數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，即，則，所以小王第次回答正確的概率．【典例12-2】（2024·高三·江西·開學考試）馬爾科夫鏈是概率統(tǒng)計中的一個重要模型，其過程具備“無記憶”的性質(zhì)：下一狀態(tài)的概率分布只能由當前狀態(tài)決定，即第n＋1次狀態(tài)的概率分布只與第n次的狀態(tài)有關，與第，…次的狀態(tài)無關，即．已知甲盒中裝有1個白球和2個黑球，乙盒中裝有2個白球，現(xiàn)從甲、乙兩個盒中各任取1個球交換放入對方的盒中，重復n次（）這樣的操作，記此時甲盒中白球的個數(shù)為，甲盒中恰有2個白球的概率為，恰有1個白球的概率為．(1)求和．(2)證明：為等比數(shù)列．(3)求的數(shù)學期望（用n表示）．【解析】（1）若甲盒取黑球、乙盒取白球，互換，則甲盒中的球變?yōu)?白1黑，乙盒中的球變?yōu)?白1黑，概率；若甲盒取白球、乙盒取白球，互換，則甲盒中的球仍為1白2黑，乙盒中的球仍為2白，概率，研究第2次交換球時的概率，根據(jù)第1次交換球的結果討論如下：①當甲盒中的球為2白1黑，乙盒中的球為1白1黑時，對應概率為，此時，若甲盒取黑球、乙盒取黑球，互換，則甲盒中的球仍為2白1黑，乙盒中的球仍為1白1黑，概率為；若甲盒取黑球、乙盒取白球，互換，則甲盒中的球變?yōu)?白，乙盒中的球變?yōu)?黑，概率為；若甲盒取白球、乙盒取黑球，互換，則甲盒中的球變?yōu)?白2黑，乙盒中的球變?yōu)?白，概率為；若甲盒取白球、乙盒取白球，互換，則甲盒中的球仍為2白1黑，乙盒中的球仍為1白1黑，概率為，②當甲盒中的球為1白2黑，乙盒中的球為2白時，對應概率為，此時，若甲盒取黑球、乙盒取白球，互換，則甲盒中的球變?yōu)?白1黑，乙盒中的球變?yōu)?白1黑，概率為若甲盒取白球，乙盒取白球，互換，則甲盒中的球仍為1白2黑，乙盒中的球仍為2白，概率為，綜上，.（2）依題意，經(jīng)過次這樣的操作，甲盒中恰有2個白球的概率為，恰有1個白球的概率為，則甲盒中恰有3個白球的概率為，研究第次交換球時的概率，根據(jù)第次交換球的結果討論如下：①當甲盒中的球為2白1黑，乙盒中的球為1白1黑時，對應概率為，此時，若甲盒取黑球、乙盒取黑球，互換，則甲盒中的球仍為2白1黑，乙盒中的球仍為1白1黑，概率為；若甲盒取黑球、乙盒取白球，互換，則甲盒中的球變?yōu)?白，乙盒中的球變?yōu)?黑，概率為；若甲盒取白球、乙盒取黑球，互換，則甲盒中的球變?yōu)?白2黑，乙盒中的球變?yōu)?白，概率為；若甲盒取白球、乙盒取白球，互換，則甲盒中的球仍為2白1黑，乙盒中的球仍為1白1黑，概率為，②當甲盒中的球為1白2黑，乙盒中的球為2白時，對應概率為，此時，若甲盒取黑球、乙盒取白球，互換，則甲盒中的球變?yōu)?白1黑，乙盒中的球變?yōu)?白1黑，概率為；若甲盒取白球、乙盒取白球，互換，則甲盒中的球仍為1白2黑，乙盒中的球仍為2白，概率為，③當甲盒中的球為3白，乙盒中的球為2黑時，對應概率為，此時，甲盒只能取白球、乙盒只能取黑球，互換，則甲盒中的球變?yōu)?白1黑，乙盒中的球變?yōu)?白1黑，概率為，綜上，則，整理得，又，所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列.（3）由（2）知，則，隨機變量的分布列為123所以.【變式12-1】（2024·高三·貴州貴陽·開學考試）如圖，單位圓上的一質(zhì)點在隨機外力的作用下，每一次在圓弧上等可能地逆時針或順時針移動，設移動次回到起始位置的概率為.(1)求及的值：(2)求數(shù)列的前項和.【解析】（1）如圖：設起始位置為，移動2次回到起始位置，則；；所以，若移動3次回到起始位置，；；所以，（2）每次移動的時候是順時針與逆時針移動是等可能的，設擲骰子次時，棋子移動到，，處的概率分別為：，，，所以．擲骰子次時，共有，，三種情況，故．，即，，又，時，，又，可得，由，可得數(shù)列是首項為公比為的等比數(shù)列，，即，又．所以的前項和為題型十三：硬幣問題【典例13-1】甲乙兩人輪流擲硬幣，第一局甲先擲，誰先擲出正面誰就勝，上一局的負者下一局先擲．問：(1)第一局甲勝的概率；(2)第局甲勝的概率．【解析】（1）；（2）設第局甲勝的概率為，則，又，用待定系數(shù)法易知．【典例13-2】到年全面建成小康社會，是我們黨向人民、向歷史作出的莊嚴承諾.農(nóng)村貧困人口脫貧是全面建成小康社會最艱巨的任務.習近平總書記提出的“精準扶貧”理論體系，為欠發(fā)達地區(qū)推進扶貧攻堅、實現(xiàn)與全國同步全面建成小康社會提供了重要的理論依據(jù).各地區(qū)政府采用多種渠道進行扶貧投資開發(fā)，其中一項就是引入風險投資基金.甲、乙兩家風險投資公司看中一個扶貧項目，要對其進行投資，甲、乙公司經(jīng)理決定用擲硬幣的方式?jīng)Q定投資金額，已知每次投擲中，硬幣出現(xiàn)正面或反面的概率都是.由于兩家公司規(guī)模不同，每次擲硬幣中，若出現(xiàn)正面，則甲公司增加投資萬元，乙公司不增加投資；若出現(xiàn)反面，則乙公司增加投資萬元，甲公司不增加投資.（1）求擲硬幣次后，投資資金總和的分布列與數(shù)學期望；（2）求投資資金總和恰好為萬元的概率.【解析】（1）由題意可知，隨機變量的所有可能取值為、、、，則，，，，∴隨機變量的分布列為：∴隨機變量的數(shù)學期望；（2）設投資資金總和恰好為萬元的概率為，則投資資金總和恰好為萬元的概率為，∴()，∵、，∴，∴數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，∴，∴，∴投資資金總和恰好為萬元的概率是.【變式13-1】甲和乙每人擲五枚硬幣，每個硬幣正面朝上或反面朝上的概率相等，且每個結果相互獨立，如果甲的硬幣正面朝上的數(shù)量比乙的多，那么這個游戲甲獲勝．如果甲乙兩人正面朝上的硬幣數(shù)量相同，那么這個游戲就是平局．(1)求甲乙兩人平局的概率；(2)求甲獲勝的概率．【解析】（1）甲乙兩人的硬幣正面朝上的數(shù)量相同共有等可能的情形，每種情形發(fā)生的概率為，故甲乙兩人平局的概率．（2）注意到甲獲勝的概率與乙獲勝的概率相同，所以，進一步解得．【變式13-2】（2024·河北·一模）某商場周年慶進行大型促銷活動，為吸引消費者，特別推出“玩游戲，送禮券”的活動，活動期間在商場消費達到一定金額的人可以參加游戲，游戲規(guī)則如下：在一個盒子里放著六枚硬幣，其中有三枚正常的硬幣，一面印著字，一面印著花；另外三枚硬幣是特制的，有兩枚雙面都印著字，一枚雙面都印著花，規(guī)定印著字的面為正面，印著花的面為反面．游戲者蒙著眼睛隨機從盒子中抽取一枚硬幣并連續(xù)投擲兩次，由工作人員告知投擲的結果，若兩次投擲向上的面都是正面，則進入最終挑戰(zhàn)，否則游戲結束，不獲得任何禮券．最終挑戰(zhàn)的方式是進行第三次投擲，有兩個方案可供選擇：方案一，繼續(xù)投擲之前抽取的那枚硬幣，如果擲出向上的面為正面，則獲得200元禮券，方案二，不使用之前抽取的硬幣，從盒子里剩余的五枚硬幣中再次隨機抽取一枚投擲，如果擲出向上的面為正面，則獲得300元禮券，不管選擇方案一還是方案二，如果擲出向上的面為反面，則獲得100元禮券．(1)求第一次投擲后，向上的面為正面的概率．(2)若已知某顧客抽取一枚硬幣后連續(xù)兩次投擲，向上的面均為正面，求該硬幣是正常硬幣的概率．(3)在已知某顧客進入了最終挑戰(zhàn)環(huán)節(jié)的條件下，試分別計算他選擇兩種抽獎方案最終獲得的禮券的數(shù)學期望，并以此判斷應該選擇哪種抽獎方案更合適．【解析】（1）設第一次抽到正常硬幣為事件，抽到雙面都印著字的硬幣為事件，抽到雙面都印著花的硬幣為事件，第一次投擲出正面向上為事件，第二次投擲出正面向上為事件，選擇方案一進行第三次投擲并正面向上事件，選擇方案二進行第三次投擲并證明向上為事件，由全概率公式可得，，，（2）連續(xù)兩次都是正面的概率，，所以；（3）（一）若選擇方案一，設第三次投擲后最終獲得的禮券為元，第三次投擲出正面向上為事件，則，，，；（二）如選擇方案二，設第三次投擲后最終獲得禮券為元，第三次投擲出正面向上為事件，①如果第一次抽到的是正常硬幣，設第二次抽到正常硬幣為事件，第二次抽到兩面都是字的硬幣為事件，第二次抽到兩面都是花的硬幣為事件，則；②如果第一次抽到的兩面都是字的硬幣，設第二次抽到正常硬幣為事件，第二次抽到兩面都是字的硬幣為事件，第二次抽到兩面都是花的硬幣為事件，則；所以，，，，,綜上（一）（二）可得，，所以選擇方案二的收益更高.題型十四：自主選科問題【典例14-1】（2024·高三·山西臨汾·期中）山西省高考綜合改革從2022年秋季入學的高一年級學生開始實施，新高考將實行“3＋1＋2”模式，其中3表示語文、數(shù)學、外語三科必選，1表示從物理、歷史兩科中選擇一科，2表示從化學、生物學、思想政治、地理四科中選擇兩科.相應的，高校在招生時可對特定專業(yè)設置具體的選修科目要求.現(xiàn)從某中學2022年高一年級所有學生中隨機抽取20人進行選科情況調(diào)查，得到如下統(tǒng)計表：序號選科情況序號選科情況序號選科情況序號選科情況1史化生6物化政11史地政16物化地2物化地7物化生12物化地17物化政3物化地8史生地13物生地18物化地4史生地9史化地14物化地19史化地5史地政10史化政15物地政20史地政(1)請創(chuàng)建列聯(lián)表，依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為學生“選擇化學科目”與“選擇物理科目”有關聯(lián).(2)某高校在其人工智能方向?qū)I(yè)甲的招生簡章中明確要求，考生必須選擇物理，且在化學和生物學2門中至少選修1門，方可報名.現(xiàn)從該中學高一新生中隨機抽取4人，設具備這所高校專業(yè)甲報名資格的人數(shù)為，用樣本的頻率估計概率，求的分布列與期望.附：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828【解析】（1）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計后，制作列聯(lián)表如下：選物理選歷史合計選化學9413不選化學257合計11920則，∴根據(jù)小概率值的獨立性試驗，我們推斷學生“選擇化學科目”與“選擇物理科目”有關聯(lián)；（2）經(jīng)統(tǒng)計，樣本中選修了物理科目，且在化學和生物學2門中至少選修了一門的人數(shù)為10，頻率為，用頻率估計概率，則，隨機變量可取，，，，，，分布列如下：01234數(shù)學期望為.【典例14-2】（2024·河北唐山·二模）目前，全國多數(shù)省份已經(jīng)開始了新高考改革．改革后，考生的高考總成績由語文、數(shù)學、外語3門全國統(tǒng)一考試科目成績和3門選擇性科目成績組成．注：甲、乙兩名同學對選擇性科目的選擇是隨機的．(1)A省規(guī)定：選擇性考試科目學生可以從思想政治、歷史、地理、物理、化學、生物6門科目中任選3門參加選擇性考試．求甲同學在選擇物理科目的條件下，選擇化學科目的概率；(2)B省規(guī)定：3門選擇性科目由學生首先從物理科目和歷史科目中任選1門，再從思想政治、地理、化學、生物4門科目中任選2門．①求乙同學同時選擇物理科目和化學科目的概率；②為調(diào)查學生的選科情況，從某校高二年級抽取了10名同學，其中有6名首選物理，4名首選歷史．現(xiàn)從這10名同學中再選3名同學做進一步調(diào)查．將其中首選歷史的人數(shù)記作X，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望．【解析】（1）“選擇物理”記作事件，“選擇化學”為事件，則，，則.（2）對于①，“選擇物理”記作事件，“選擇化學”記作事件，則，事件與事件相互獨立，則；對于②，隨機變量可以取0，1，2，3.，，，，隨機變量的分布列為0123.【變式14-1】（2024·高三·上海浦東新·期中）2024屆起，上海實行高考改革新方案．新方案規(guī)定：語文、數(shù)學、英語是考生的必考科目，考生還需從物理、化學、生物、政治、歷史、地理6門科目中選取3門作為選考科目．某校為了解高一年級360名學生選科方案的意向，隨機選取36名學生進行了一次調(diào)查，統(tǒng)計選考科目人數(shù)如下表：性別人數(shù)物理化學生物政治歷史地理男生1616168242女生20442061610(1)估計該學校高一年級學生中，選科方案為“物理、化學、歷史”組合的男生有多少人？(2)從選取的16名男生中隨機選出2名，求恰好有1人選“物理、化學、生物”組合的概率；(3)已知選取的20名女生有且僅有“物理、化學、生物”、“生物、政治、歷史”、“生物、歷史、地理”3種選科方案，若從選取的20名女生中隨機選出2名，設隨機變量為，其中兩名學生選科方案不同時，，兩名學生選科方案相同時，，求的分布列與期望．【解析】（1）36名學生中，選科方案為“物理、化學、歷史”組合的男生人數(shù)為4人，故估計該學校高一年級學生中選科方案為“物理、化學、歷史”組合的人數(shù)為人；（2）由數(shù)據(jù)可知，16名男生中有8人的選科方案為“物理、化學、生物”，設恰好有1人選“物理、化學、生物”為事件，則．（3）由數(shù)據(jù)可知，20名女生中有4人的選科方案為“物理、化學、生物”，有6人的選科方案為“生物、政治、歷史”，有10人的選科方案為“生物、歷史、地理”，，，的分布列為，故.【變式14-2】材料一：2018年，全國逾半省份將從秋季入學的高一年級開始實行新的學業(yè)水平考試和高考制度．所有省級行政區(qū)域均突破文理界限，由學生跨文理選科，均設置“”的考試科目．前一個“3”為必考科目，為統(tǒng)一高考科目語文、數(shù)學、外語.除個別省級行政區(qū)域仍執(zhí)行教育部委托的分省命題任務外，絕大部分省級行政區(qū)域均由教育部考試中心統(tǒng)一命題；后一個“3”為高中學業(yè)水平考試（簡稱“學考”）選考科目，由各省級行政區(qū)域自主命題．材料二：2019年4月，河北、遼寧、江蘇、福建、湖北、湖南、廣東、重慶等8省市發(fā)布高考綜合改革實施方案，方案決定從2018年秋季入學的高中一年級學生開始實施高考綜合改革．考生總成績由全國統(tǒng)一高考的語文、數(shù)學、外語3個科目成績和考生選擇的3科普通高中學業(yè)水平選擇性考試科目成績組成，滿分為750分．即通常所說的“”模式，所謂“”，即“3”是三門主科，分別是語文、數(shù)學、外語，這三門科目是必選的．“1”指的是要在物理、歷史里選一門，按原始分計入成績．“2”指考生要在生物、化學、思想政治、地理4門中選擇2門．但是這幾門科目不以原始分計入成績，而是等級賦分．等級賦分指的是把考生的原始成績根據(jù)人數(shù)的比例分為、、、、五個等級，五個等級分別對應著相應的分數(shù)區(qū)間，然后再用公式換算，轉(zhuǎn)換得出分數(shù)．（1）若按照“”模式選科，求選出的六科中含有“語文，數(shù)學，外語，物理，化學”的概率．（2）某教育部門為了調(diào)查學生語數(shù)外三科成績與選科之間的關系，現(xiàn)從當?shù)夭煌瑢哟蔚膶W校中抽取高一學生2500名參加語數(shù)外的網(wǎng)絡測試，滿分450分，并給前400名頒發(fā)榮譽證書，假設該次網(wǎng)絡測試成績服從正態(tài)分布，且滿分為450分；①考生甲得知他的成績?yōu)?70分，考試后不久了解到如下情況：“此次測試平均成績?yōu)?71分，351分以上共有57人”，問甲能否獲得榮譽證書，請說明理由；②考生丙得知他的實際成績?yōu)?30分，而考生乙告訴考生丙：“這次測試平均成績?yōu)?01分，351分以上共有57人”，請結合統(tǒng)計學知識幫助丙同學辨別乙同學信息的真?zhèn)危剑?；?【解析】（1）設事件A：選出的六科中含有“語文，數(shù)學，外語，物理，化學”；則從剩余生物、思想政治、地理三個科目中選擇一個有.從物理、歷史里選一門，生物、化學、思想政治、地理4門中選擇2門的方案有種，所以.（2）設此次網(wǎng)絡測試的成績記為.①由題意可知，因為，且，所以；而，且，所以前400名學生成績的最低分高于，而考生甲的成績?yōu)?70分，所以甲同學能夠獲得榮譽證書.②假設考生乙所說為真，則，，而，所以，從而，而，所以為小概率事件，即丙同學的成績?yōu)?30分是小概率事件，可認為其不可能發(fā)生，但卻又發(fā)生了，所以可認為乙同學所說為假.題型十五：高爾頓板問題【典例15-1】如圖所示的高爾頓板，小球從通道口落下，第1次與第2層中間的小木塊碰撞，以的概率向左或向右滾下，依次經(jīng)過6次與小木塊碰撞，最后掉入編號為1，2…，7的球槽內(nèi).

(1)若進行一次以上試驗，求小球落入6號槽的概率；(2)小明同學利用該圖中的高爾頓板來到社團文化節(jié)上進行盈利性“抽獎”活動，8元可以玩一次游戲，小球掉入號球槽得到的獎金為元，其中（i）求的分布列；（ii）很多同學參加了游戲，你覺得小明同學能盈利嗎？【解析】（1）根據(jù)題意可知要使小球落入6號槽，此時小球需要在6次碰撞中向左1次，向右5次，所以小球落入6號槽的概率為，（2）（i）由題意得的所有取值為1，2，3，4，5，6，7，則，，，，所以的分布列為1234567（ii）因為小球掉入號球槽得到的獎金為金為元，其中，所以有所有取值為0，5，10，15，則，，，，所以，因為，所以小明同學能盈利.【典例15-2】高爾頓板又稱豆機、梅花機等，是英國生物統(tǒng)計學家高爾頓設計用來研究隨機現(xiàn)象的模型．如圖所示的高爾頓板為一塊木板自上而下釘著6層圓柱形小木塊，最頂層有2個小木塊，以下各層小木塊的個數(shù)依次遞增，各層小木塊互相平行但相互錯開，小木塊之間留有適當?shù)目障蹲鳛橥ǖ溃懊鎿跤幸粔K透明玻璃．讓小球從高爾頓板上方的通道口落下，小球在下落過程中與層層小木塊碰撞，且等可能向左或者向右滾下，最后落入高爾頓板下方從左至右編號為1，2，…，6的球槽內(nèi)．

(1)某商店將該高爾頓板改良成游戲機，針對某商品推出促銷活動．凡是入店購買該商品一件，就可以獲得一次游戲機會．若小球落入號球槽，該商品可立減元，其中．若該商品的成本價是10元，從期望的角度考慮，為保證該商品總體能盈利，求該商品的最低定價．（結果取整數(shù)）(2)將79個小球依次從高爾頓板上方的通道口落下，試問3號球槽中落入多少個小球的概率最大？附：設隨機變量，則的分布列為，．．【解析】（1）的取值可能為1，2，3，4，5，6．，，．因為，所以的取值可能為0，5，10，15．，，，．的分布列為051015，則顧客玩一次游戲，立減金額的均值約為4.7元，又該商品成本價是10元，所以該商品的最低定價約為1