微信公眾號(hào)：邦達(dá)數(shù)學(xué)微信：BDM5292/2題型考點(diǎn)大突破之選修一講義空間向量、直線與圓、圓錐曲線目錄第一章空間向量的運(yùn)算及應(yīng)用 6知識(shí)梳理 6考點(diǎn)一空間向量的概念及其線性運(yùn)算 8考點(diǎn)二共線、共面向量定理的應(yīng)用 9考點(diǎn)三空間向量基本定理的應(yīng)用 12考點(diǎn)四空間向量的坐標(biāo)與空間直角坐標(biāo)系 15考點(diǎn)五空間向量數(shù)量積的應(yīng)用 16第二章空間距離與角度 20知識(shí)梳理 20考點(diǎn)一點(diǎn)到直線的距離 22考點(diǎn)二點(diǎn)到平面的距離 25考點(diǎn)三異面直線的距離 28考點(diǎn)四異面直線所成的角 29考點(diǎn)五直線與平面所成的角 32考點(diǎn)六平面與平面所成的角（二面角） 36考點(diǎn)七角度與距離的綜合問題 39考點(diǎn)八探索性動(dòng)點(diǎn)問題 40第三章直線的方程 45知識(shí)梳理 45考點(diǎn)一直線的傾斜角與斜率 50考點(diǎn)二兩條直線的平行和垂直 51考點(diǎn)三直線的方程 52考點(diǎn)四截距式及截距應(yīng)用 53考點(diǎn)五動(dòng)直線恒過(guò)定點(diǎn)問題及其應(yīng)用 54考點(diǎn)六直線的交點(diǎn)坐標(biāo)和距離問題 55考點(diǎn)七直線的對(duì)稱問題 58考點(diǎn)八直線的綜合問題 59第四章圓的方程 60知識(shí)梳理 60考點(diǎn)一求圓的方程 63考點(diǎn)二點(diǎn)和圓的位置關(guān)系 64考點(diǎn)三直線和圓的位置關(guān)系 65考點(diǎn)四圓的弦長(zhǎng)問題 65考點(diǎn)五圓的切線問題 66考點(diǎn)六直線和圓的應(yīng)用 67考點(diǎn)七圓與圓的位置關(guān)系 69考點(diǎn)八與圓有關(guān)的軌跡問題 71考點(diǎn)九與圓有關(guān)的最值問題 73考點(diǎn)十圓的定點(diǎn)定值問題 74第五章直線和圓綜合 75知識(shí)梳理 75考點(diǎn)一直線和圓的切線問題 76考點(diǎn)二直線和圓的弦長(zhǎng)問題 77考點(diǎn)三與圓有關(guān)的軌跡問題 78考點(diǎn)四直線和圓的最值問題 79考點(diǎn)五韋達(dá)定理及其應(yīng)用 80考點(diǎn)六直線和圓的定點(diǎn)、定值問題 81考點(diǎn)七直線和圓的探索性問題 82考點(diǎn)八直線與圓的實(shí)際應(yīng)用 84第六章橢圓 86知識(shí)梳理 86考點(diǎn)一求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 89考點(diǎn)二點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系 90考點(diǎn)三橢圓的定義及其應(yīng)用 90考點(diǎn)四求橢圓的離心率 92考點(diǎn)五與橢圓有關(guān)的軌跡問題 94考點(diǎn)六直線與橢圓的位置關(guān)系 94考點(diǎn)七弦長(zhǎng)及中點(diǎn)弦問題 95考點(diǎn)八求橢圓的參數(shù)或范圍問題 96考點(diǎn)九求橢圓的最值問題 97考點(diǎn)十橢圓的定點(diǎn)、定值問題 99考點(diǎn)十一橢圓中的向量問題 100考點(diǎn)十二橢圓的實(shí)際應(yīng)用問題 101考點(diǎn)十三與橢圓有關(guān)的綜合問題 102第七章橢圓離心率 104知識(shí)梳理 104考點(diǎn)一利用幾何性質(zhì) 106考點(diǎn)二利用坐標(biāo)法 106考點(diǎn)三橢圓第一定義 107考點(diǎn)四焦半徑和橢圓第二定義 108考點(diǎn)五中點(diǎn)弦和橢圓第三定義 108考點(diǎn)六與斜率乘積相關(guān) 109考點(diǎn)七已知焦點(diǎn)三角形頂角 109考點(diǎn)八已知焦點(diǎn)三角形的兩個(gè)底角 110考點(diǎn)九焦點(diǎn)三角形雙余弦定理模型 111考點(diǎn)十焦點(diǎn)弦與定比分點(diǎn) 111考點(diǎn)十一橢圓與四心 112考點(diǎn)十二焦點(diǎn)圓 113考點(diǎn)十三橢圓與圓 113考點(diǎn)十四橢圓與雙曲線共焦點(diǎn) 114第八章橢圓綜合 116知識(shí)梳理 116考點(diǎn)一求橢圓方程 118考點(diǎn)二與橢圓有關(guān)的軌跡問題 118考點(diǎn)三直線與橢圓的位置關(guān)系 120考點(diǎn)四橢圓的弦長(zhǎng)、焦點(diǎn)弦問題 121考點(diǎn)五橢圓的中點(diǎn)弦問題 122考點(diǎn)六橢圓的面積（最值）問題 122考點(diǎn)七橢圓的三點(diǎn)共線問題 124考點(diǎn)八橢圓中角的問題 125考點(diǎn)九橢圓中的斜率問題 126考點(diǎn)十橢圓的對(duì)稱問題 127考點(diǎn)十一橢圓的向量問題 128考點(diǎn)十二橢圓的參數(shù)范圍及最值問題 129考點(diǎn)十三橢圓的定點(diǎn)、定值、定直線問題 130考點(diǎn)十四橢圓的存在性（探索性）問題 132第九章雙曲線 133知識(shí)梳理 133考點(diǎn)一求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 135考點(diǎn)二雙曲線的焦點(diǎn)三角形 135考點(diǎn)三雙曲線定義的應(yīng)用 137考點(diǎn)四雙曲線的對(duì)稱性 138考點(diǎn)五與雙曲線有關(guān)的軌跡方程 139考點(diǎn)六雙曲線的離心率 139考點(diǎn)七與雙曲線的漸近線有關(guān)的問題 142考點(diǎn)八直線與雙曲線的位置關(guān)系 143考點(diǎn)九直線與雙曲線的弦長(zhǎng)問題 144考點(diǎn)十直線與雙曲線的中點(diǎn)弦問題 144考點(diǎn)十一雙曲線中的向量問題 145考點(diǎn)十二雙曲線中參數(shù)范圍及最值問題 146考點(diǎn)十三雙曲線的定點(diǎn)、定值問題 147考點(diǎn)十四雙曲線的實(shí)際應(yīng)用 149考點(diǎn)十五雙曲線中的存在性（探索性）問題 150第十章雙曲線的離心率 152知識(shí)梳理 152考點(diǎn)一利用雙曲線的定義求離心率 154考點(diǎn)二利用幾何關(guān)系求離心率 155考點(diǎn)三利用齊次方程求離心率 155考點(diǎn)四利用漸近線求離心率 156考點(diǎn)五利用雙曲線中的三個(gè)重要三角形求離心率 157考點(diǎn)六雙三角余弦定理型 158考點(diǎn)七利用中點(diǎn)弦求離心率 158考點(diǎn)八雙曲線與三角形四心 159考點(diǎn)九雙曲線與圓 160考點(diǎn)十共焦點(diǎn)的橢圓與雙曲線 161第十一章雙曲線綜合 163知識(shí)梳理 163考點(diǎn)一求雙曲線的方程 165考點(diǎn)二與雙曲線軌跡有關(guān)的問題 165考點(diǎn)三直線與雙曲線的弦長(zhǎng)、中點(diǎn)弦問題 166考點(diǎn)四直線與雙曲線的面積（最值）問題 168考點(diǎn)五常規(guī)韋達(dá)定理應(yīng)用 170考點(diǎn)六雙曲線的向量問題 171考點(diǎn)七參數(shù)最值與范圍問題 171考點(diǎn)八直線與雙曲線的定點(diǎn)問題 172考點(diǎn)九直線與雙曲線的定值問題 175考點(diǎn)十直線與雙曲線的定直線問題 176考點(diǎn)十一直線與雙曲線的存在（探索性）問題 177第十二章拋物線 179知識(shí)梳理 179考點(diǎn)一求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 181考點(diǎn)二拋物線定義的應(yīng)用 181考點(diǎn)三拋物線的軌跡問題 183考點(diǎn)四直線與拋物線的位置關(guān)系 184考點(diǎn)五直線與拋物線的弦長(zhǎng)、焦點(diǎn)弦、中點(diǎn)弦問題 185考點(diǎn)六拋物線中的參數(shù)范圍及最值問題 188考點(diǎn)七拋物線的定值、定點(diǎn)、定直線問題 189考點(diǎn)八拋物線的實(shí)際應(yīng)用 193第十三章拋物線焦點(diǎn)弦常用結(jié)論及其應(yīng)用 195知識(shí)梳理 195考點(diǎn)一與拋物線有關(guān)的焦點(diǎn)弦的幾何性質(zhì) 201考點(diǎn)二與拋物線焦點(diǎn)弦有關(guān)的比例問題 202考點(diǎn)三拋物線的通徑問題 203考點(diǎn)四與焦點(diǎn)弦有關(guān)的最值問題 204第十四章拋物線綜合 205知識(shí)梳理 205考點(diǎn)一求拋物線方程 207考點(diǎn)二與拋物線有關(guān)的軌跡問題 208考點(diǎn)三直線與拋物線的位置關(guān)系 209考點(diǎn)四直線與拋物線的弦長(zhǎng)、中點(diǎn)弦、焦點(diǎn)弦問題 210考點(diǎn)五直線與拋物線的面積（最值）問題 212考點(diǎn)六常規(guī)韋達(dá)定理的應(yīng)用 214考點(diǎn)七拋物線中的參數(shù)及最值問題 215考點(diǎn)八拋物線中的定點(diǎn)問題 216考點(diǎn)九拋物線中的定值問題 219考點(diǎn)十拋物線中的定直線問題 221考點(diǎn)十一拋物線的實(shí)際應(yīng)用 223考點(diǎn)十二拋物線與橢圓的綜合 225考點(diǎn)十三拋物線與雙曲線的綜合 228 第一章空間向量的運(yùn)算及應(yīng)用知識(shí)梳理1、用已知向量表示未知向量的解題策略(1)用已知向量來(lái)表示未知向量，一定要結(jié)合圖形，以圖形為指導(dǎo)是解題的關(guān)鍵．(2)要正確理解向量加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量，我們可把這個(gè)法則稱為向量加法的多邊形法則．(3)在立體幾何中要靈活應(yīng)用三角形法則，向量加法的平行四邊形法則在空間中仍然成立．2、證明空間任意三點(diǎn)共線的方法對(duì)空間三點(diǎn)P，A，B可通過(guò)證明下列結(jié)論成立來(lái)證明三點(diǎn)共線.(1)；(2)對(duì)空間任一點(diǎn)O，；(3)對(duì)空間任一點(diǎn)O，．3、證明空間四點(diǎn)共面的方法對(duì)空間四點(diǎn)P，M，A，B可通過(guò)證明下列結(jié)論成立來(lái)證明四點(diǎn)共面(1)；(2)對(duì)空間任一點(diǎn)O，；(3)對(duì)空間任一點(diǎn)O，；(4)∥(或∥或∥)．4、空間向量數(shù)量積計(jì)算的兩種方法(1)基向量法：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)坐標(biāo)法：設(shè)a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，則a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2.5、空間向量數(shù)量積的三個(gè)應(yīng)用求夾角設(shè)向量a，b所成的角為θ，則cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)，進(jìn)而可求兩異面直線所成的角求長(zhǎng)度(距離)運(yùn)用公式|a|2＝a·a，可使線段長(zhǎng)度的計(jì)算問題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的計(jì)算問題解決垂直問題利用a⊥b?a·b＝0(a≠0，b≠0)，可將垂直問題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的計(jì)算問題注：①當(dāng)題目條件有垂直關(guān)系時(shí)，常轉(zhuǎn)化為數(shù)量積為零進(jìn)行應(yīng)用；②當(dāng)異面直線所成的角為時(shí)，常利用它們所在的向量轉(zhuǎn)化為向量的夾角θ來(lái)進(jìn)行計(jì)算．應(yīng)該注意的是，，所以③立體幾何中求線段的長(zhǎng)度可以通過(guò)解三角形，也可依據(jù)|a|＝eq\r(a2)轉(zhuǎn)化為向量求解．6、空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算（1）設(shè)i、j、k為兩兩垂直的單位向量，如果，則叫做向量的坐標(biāo)．（2）設(shè)a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，那么①a±b＝．②a·b＝，③cos〈a，b〉＝，④|a|＝eq\r(a·a)＝，⑤λa＝，⑥a∥b?(λ∈R)，⑦a⊥b?.（3）設(shè)點(diǎn)M1(x1，y1，z1)、M2(x2，y2，z2)，則考點(diǎn)一空間向量的概念及其線性運(yùn)算1．（2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）下列關(guān)于空間向量的命題中，正確的序號(hào)是______.①若兩個(gè)空間向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同；②是向量的必要非充分條件；③向量、相等的充要條件是④若A、B、C、D是不共線的四點(diǎn)，則是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件.2．（2023·福建·三明市第二中學(xué)高二開學(xué)考試）下列命題中為真命題的是（

）A．空間向量與的長(zhǎng)度相等B．將空間中所有的單位向量移到同一個(gè)起點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)圓C．空間向量就是空間中的一條有向線段D．不相等的兩個(gè)空間向量的模必不相等3．（2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，在長(zhǎng)方體中，，，，，分別是，的中點(diǎn)，則在以八個(gè)頂點(diǎn)中的兩個(gè)分別為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中：（1）的相等向量是______；（2）的相反向量是______；（3）的共線向量（平行向量）為______；（4）模為的向量是______；（5）向量，，______（填“共面”或“不共面”）.4．（2023·重慶·高二期末）在長(zhǎng)方體中，（

）A． B． C． D．5．（2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）在三棱錐中，是的中點(diǎn)，則______.6．（2023·廣東揭陽(yáng)·高二期末）已知空間中三點(diǎn)，，，則下列結(jié)論中正確的有（

）A．平面ABC的一個(gè)法向量是 B．的一個(gè)單位向量的坐標(biāo)是C． D．與是共線向量考點(diǎn)二共線、共面向量定理的應(yīng)用空間向量共線問題7．（2023·山西呂梁·高二期末）在平行六面體中，點(diǎn)P在上，若，則（

）A． B． C． D．8．（2023·四川雅安·高二期末（理））向量，分別是直線，的方向向量，且，，若，則（

）A．， B．，C．， D．，9．（2023·重慶長(zhǎng)壽·高二期末）已知是直線l的方向向量，為平面的法向量，若，則y的值為（

）A． B．C． D．410．（2023·全國(guó)·高二期末）已知，，若與為共線向量，則x＝_________．11．（2023·吉林·四平市第一高級(jí)中學(xué)高二期末）已知是空間的一個(gè)基底，若，，若，則（

）A． B． C．3 D．12．（2023·浙江·安吉縣上墅私立高級(jí)中學(xué)高二期末）在棱長(zhǎng)為1的正四面體中，點(diǎn)滿足，點(diǎn)滿足，當(dāng)和的長(zhǎng)度都為最短時(shí)，的值是（

）A． B． C． D．（二）空間向量共面問題13．【多選】（2023·福建·漳州市第一外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高二期末）關(guān)于空間向量，以下說(shuō)法正確的是（

）A．向量，，若，則B．若對(duì)空間中任意一點(diǎn)，有，則，，，四點(diǎn)共面C．設(shè)是空間中的一組基底，則也是空間的一組基底D．若空間四個(gè)點(diǎn)，，，，，則，，三點(diǎn)共線14．（2023·上海市建平中學(xué)高二期末）已知A?B?C?D?E是空間中的五個(gè)點(diǎn)，其中點(diǎn)A?B?C不共線，則“平面ABC”是“存在實(shí)數(shù)x?y，使得的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件15．（2023·黑龍江·嫩江市第一中學(xué)校高二期末）已知P，A，B，C四點(diǎn)共面，對(duì)空間任意一點(diǎn)O，若，則______.16．（2023·福建·廈門外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高二期末）以下四組向量在同一平面的是（

）A．、、 B．、、C．、、 D．、、17．（2023·江西·臨川一中高二期末（理））已知空間向量，，，若，，共面，則m＋2t＝（

）A．－1 B．0 C．1 D．－618．（2023·全國(guó)·高二期末）已知，，，若P，A，B，C四點(diǎn)共面，則λ=___________.考點(diǎn)三空間向量基本定理的應(yīng)用（一）用基底表示空間向量19．（2023·重慶長(zhǎng)壽·高二期末）如圖，在斜棱柱中，AC與BD的交點(diǎn)為點(diǎn)M，，，，則（

）A． B．C． D．20．（2023·河南鄭州·高二期末（理））已知三棱錐O—ABC，點(diǎn)M，N分別為線段AB，OC的中點(diǎn)，且，，，用，，表示，則等于（

）A． B． C． D．21．（2023·廣東梅州·高二期末）已知四棱錐，底面為平行四邊形，M，N分別為棱BC，PD上的點(diǎn)，，，設(shè)，，，則向量用為基底表示為（

）A． B．C． D．22．（2023·河北滄州·高二期末）如圖，在正方體中，，，，若為的中點(diǎn)，在上，且，則等于（

）A． B．C． D．23．【多選】（2023·湖南省臨湘市教研室高二期末）已知M，A，B，C四點(diǎn)互不重合且任意三點(diǎn)不共線，則下列式子中能使成為空間的一個(gè)基底的是（

）A． B．C． D．（二）利用空間向量基本定理求參數(shù)24．（2023·甘肅·民勤縣第一中學(xué)高二期末（理））在長(zhǎng)方體中，M、N分別是BC、的中點(diǎn)，若，則______．25．（2023·湖北·十堰市教育科學(xué)研究院高二期末）《九章算術(shù)》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積的計(jì)算，其中塹堵是指底面為直角三角形的直棱柱.如圖，在塹堵中，分別是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，若，則（

）A．1 B． C． D．26．（2023·山東聊城·高二期末）如圖，在空間平移到，連接對(duì)應(yīng)頂點(diǎn).是的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，若，則（

）A． B． C．1 D．27．（2023·陜西·寶雞市渭濱區(qū)教研室高二期末（理））已知向量，，不共線，點(diǎn)在平面內(nèi)，若存在實(shí)數(shù)，，，使得，那么的值為________.28．（2023·四川雅安·高二期末（理））設(shè)是正三棱錐，G是的重心，D是PG上的一點(diǎn)，且，若，則為（

）A． B． C． D．考點(diǎn)四空間向量的坐標(biāo)與空間直角坐標(biāo)系29．（2023·內(nèi)蒙古烏蘭察布·高二期末（理））已知向量，則（

）A． B． C． D．30．（2023·福建寧德·高二期末）已知，，，則的坐標(biāo)為______．31．（2023·福建莆田·高二期末）已知在空間直角坐標(biāo)系中，平行四邊形ABCD三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．32．（2023·貴州遵義·高二期末（理））在空間直角坐標(biāo)系中，與點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)為（

）A． B． C． D．33．（2023·江蘇無(wú)錫·高二期末）已知點(diǎn)B是A（3，4，5）在坐標(biāo)平面xOy內(nèi)的射影，則||＝（）A． B． C．5 D．534．（2023·貴州貴陽(yáng)·高二期末（理））在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A，若點(diǎn)P滿足，則_______．35．（2023·江西贛州·高二期末（文））在空間直角坐標(biāo)系中，已知，，則MN的中點(diǎn)P到坐標(biāo)原點(diǎn)О的距離為（

）A． B． C．2 D．336．（2023·江蘇蘇州·高二期末）若，則與向量同方向的單位向量的坐標(biāo)為____________.考點(diǎn)五空間向量數(shù)量積的應(yīng)用空間向量數(shù)量積的運(yùn)算37．（2023·江蘇連云港·高二期末）已知=(3，2，－1)，(2，1，2)，則=___________．38．（2023·河南新鄉(xiāng)·高二期末（理））已知空間向量，，，則（

）A． B． C． D．39．（2023·福建省華安縣第一中學(xué)高二期末）三棱錐中，，，，則______．40．（2023·河南焦作·高二期末（理））已知在四面體ABCD中，，，則______．41．（2023·廣西欽州·高二期末（理））如圖，正四棱柱是由四個(gè)棱長(zhǎng)為1的小正方體組成的，是它的一條側(cè)棱，是它的上底面上其余的八個(gè)點(diǎn)，則集合的元素個(gè)數(shù)（

）A．1 B．2 C．4 D．842．（2023·安徽·安慶市第二中學(xué)高二期末）已知圓柱的軸截面是邊長(zhǎng)為2的正方形，為圓的直徑，為圓上的點(diǎn)，則的最大值為（

）A．4 B． C．5 D．利用空間向量的數(shù)量積求夾角43．（2023·福建廈門·高二期末）在四面體OABC中，，，，則與AC所成角的大小為（

）A．30° B．60° C．120° D．150°44．（2023·江蘇宿遷·高二期末）四面體中，，則（

）A． B． C． D．45．（2023·吉林遼源·高二期末）已知空間向量，是單位向量，，則向量與的夾角為______.46．（2023·全國(guó)·高二期末）若向量，，，夾角為鈍角，則的取值范圍是______.利用空間向量的數(shù)量積解決垂直問題47．（2023·福建莆田·高二期末）已知向量，且與互相垂直，則k的值為（

）A．－2 B．－ C． D．248．（2023·河北保定·高二期末）已知，，若，則實(shí)數(shù)______．49．（2023·黑龍江·哈爾濱工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校高二期末（文））已知向量a→=(1，1，k)，b→A． B． C． D．50．（2023·廣東茂名·高二期末）在空間直角坐標(biāo)系中，若三點(diǎn)、、滿足，則實(shí)數(shù)的值為__________.利用空間向量的數(shù)量積求模長(zhǎng)(即線段長(zhǎng)度)51．（2023·河北邯鄲·高二期末）已知平行六面體的棱長(zhǎng)均為4，，E為棱的中點(diǎn)，則___________.52．（2023·湖北·監(jiān)利市教學(xué)研究室高二期末）如圖：二面角等于，是棱上兩點(diǎn)，分別在半平面內(nèi)，，則的長(zhǎng)等于__________.53．（2023·安徽省臨泉第一中學(xué)高二期末）在平行六面體中，，，，，，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．54．（2023·湖南益陽(yáng)·高二期末）已知向量，，若，則（

）A．1 B． C． D．255．（2023·廣東珠?！じ叨谀┮阎臻g向量，，則（

）A． B．19 C．17 D．56．（2023·江蘇·南京市大廠高級(jí)中學(xué)高二期末）向量，，，且，，則______.利用空間向量的數(shù)量積求投影57．（2023·上海金山·高二期末）在空間直角坐標(biāo)系中，已知向量，則在軸上的投影向量為________.58．（2023·天津天津·高二期末）已知空間向量，，則向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)是__________．59．（2023·廣東惠州·高二期末）已知，，則在上的投影向量為（

）A．1 B． C． D．第二章空間距離與角度知識(shí)梳理1、用向量法求點(diǎn)到直線的距離的一般步驟(1)求直線的方向向量．(2)計(jì)算所求點(diǎn)與直線上某一點(diǎn)所構(gòu)成的向量在直線的方向向量上的投影向量的長(zhǎng)度．(3)利用勾股定理求解．另外，要注意平行直線間的距離與點(diǎn)到直線的距離之間的轉(zhuǎn)化．2、求點(diǎn)到平面的距離的四步驟注：線面距、面面距實(shí)質(zhì)上都是求點(diǎn)面距，求直線到平面、平面到平面的距離的前提是線面、面面平行．3、求異面直線所成的角（1）基向量法求異面直線的夾角的一般步驟①找基底．②用同一組基底表示兩異面直線的方向向量．③利用向量夾角公式求出兩條直線的方向向量夾角的余弦值．④結(jié)合異面直線的夾角范圍得到異面直線的夾角．（2）用空間向量法求異面直線夾角的步驟①確定兩條異面直線的方向向量．②確定兩個(gè)向量夾角的余弦值的絕對(duì)值．③得出兩條異面直線所成的角．4、求直線與平面所成角的思路與步驟思路一：找直線在平面內(nèi)的射影，充分利用面與面垂直的性質(zhì)及解三角形知識(shí)可求得夾角(或夾角的某一三角函數(shù)值)．思路二：用向量法求直線與平面所成角可利用向量夾角公式或法向量．利用法向量求直線與平面所成角的基本步驟：①建立空間直角坐標(biāo)系；②求直線的方向向量eq\o(AB,\s\up7(→))；③求平面的法向量n；④計(jì)算：設(shè)線面角為θ，則sinθ＝eq\f(|n·eq\o(AB,\s\up7(→))|,|n|·|eq\o(AB,\s\up7(→))|).5、求兩平面夾角的兩種方法(1)定義法：在兩個(gè)平面內(nèi)分別找出與兩平面交線垂直的直線，這兩條直線的夾角即為兩平面的夾角．也可轉(zhuǎn)化為求與兩平面交線垂直的直線的方向向量的夾角，但要注意其異同．(2)法向量法：①建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)；②求出兩個(gè)半平面的法向量n1，n2；③設(shè)兩平面的夾角為θ，則cosθ＝|cos〈n1，n2〉|.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(當(dāng)〈n1，n2〉∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))時(shí)))或π－〈n1，n2〉eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(當(dāng)〈n1，n2〉∈\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))時(shí).))注：若要求的是二面角，則根據(jù)圖形判斷該二面角是鈍角還是銳角，從而用法向量求解．考點(diǎn)一點(diǎn)到直線的距離1．（2023·吉林白山·高二期末）已知，，，則點(diǎn)C到直線AB的距離為（

）A．3 B． C． D．2．（2023·浙江紹興·高二期末）如圖，在正三棱柱中，若，則C到直線的距離為（

）A． B． C． D．3．（2023·安徽·六安外國(guó)語(yǔ)高級(jí)中學(xué)有限公司高二期末）如圖，在四棱錐中，平面，，，則點(diǎn)到直線的距離為（

）A． B． C． D．24．（2023·江蘇常州·高二期末）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段D1E上，點(diǎn)P到直線CC1的距離的最小值為（）A． B．C． D．5．（2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在四棱錐中，，底面為菱形，邊長(zhǎng)為，，，且，異面直線與所成的角為．若是線段的中點(diǎn)，求點(diǎn)到直線的距離．6．（2023·浙江省杭州學(xué)軍中學(xué)高二期末）如圖甲，平面圖形中，，沿將折起，使點(diǎn)到點(diǎn)的位置，如圖乙，使.(1)求證：平面平面；(2)若點(diǎn)滿足，求點(diǎn)到直線的距離.7．（2023·山東淄博·高二期末）已知四棱錐中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，，，點(diǎn)M在PD上，且.(1)求的值；(2)求點(diǎn)B到直線CM的距離.考點(diǎn)二點(diǎn)到平面的距離8．（2023·廣東茂名·高二期末）已知為平面的一個(gè)法向量，為內(nèi)的一點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為（

）A． B． C． D．9．（2023·浙江省杭州第九中學(xué)高二期末）若兩平行平面、分別經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O和點(diǎn)，且兩平面的一個(gè)法向量為，則兩平面間的距離是______．10．（2023·福建福州·高二期末）如圖，在正四棱柱中，已知，，E，F(xiàn)分別為，上的點(diǎn)，且．(1)求證：平面ACF：(2)求點(diǎn)B到平面ACF的距離．11．（2023·湖南·周南中學(xué)高二期末）某校積極開展社團(tuán)活動(dòng)，在一次社團(tuán)活動(dòng)過(guò)程中，一個(gè)數(shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)《九章算術(shù)》中提到了“芻甍”這個(gè)五面體，于是他們仿照該模型設(shè)計(jì)了一道數(shù)學(xué)探究題，如圖1，E、F、G分別是正方形的三邊AB、CD、AD的中點(diǎn)，先沿著虛線段FG將等腰直角三角形FDG裁掉，再將剩下的五邊形ABCFG沿著線段EF折起，連接AB、CG就得到了一個(gè)“芻甍”（如圖2）．(1)若是四邊形對(duì)角線的交點(diǎn)，求證：平面；(2)若二面角是直二面角，求點(diǎn)到平面的距離．12．（2023·江蘇南通·高二期末）如圖，在四面體中，平面，，，點(diǎn)在線段上．(1)當(dāng)是線段中點(diǎn)時(shí)，求到平面的距離；(2)若二面角的余弦值為，求的值．13．（2023·江蘇·南京師大附中高二期末）在矩形ABCD中，，點(diǎn)E是線段AD的中點(diǎn)，將△ABE沿BE折起到△PBE位置（如圖），點(diǎn)F是線段CP的中點(diǎn)．(1)求證：DF∥平面PBE：(2)若二面角的大小為，求點(diǎn)A到平面PCD的距離．14．（2023·江蘇·高郵市第一中學(xué)高二期末）如圖，四棱錐的底面是矩形，，，，且底面，若棱上存在異于，的一點(diǎn)，使得.(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)當(dāng)取最大值時(shí)，求點(diǎn)到平面的距離.考點(diǎn)三異面直線的距離15．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）長(zhǎng)方體中，，，為的中點(diǎn)，則異面直線與之間的距離是（

）A． B． C． D．16．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）正四棱錐的高，底邊長(zhǎng)，則異面直線和之間的距離A． B． C． D．17．（2023·遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二開學(xué)考試）正四棱柱中，底面邊長(zhǎng)為1，側(cè)棱長(zhǎng)為分別是異面直線和上的任意一點(diǎn)，則間距離的最小值為___________.18．（2023·山西·運(yùn)城市景勝中學(xué)高二階段練習(xí)）如圖，正四棱錐的棱長(zhǎng)均為2，點(diǎn)E為側(cè)棱PD的中點(diǎn)．若點(diǎn)M，N分別為直線AB，CE上的動(dòng)點(diǎn)，則MN的最小值為______．考點(diǎn)四異面直線所成的角19．（2023·陜西·長(zhǎng)安一中高二期末（理））空間四邊形中，，，，，，，則與所成角的余弦值等于___________．20．（2023·江蘇·揚(yáng)中市第二高級(jí)中學(xué)高二期末）在平行六面體中，，，，，，則與夾角的余弦值為__________.21．（2023·江蘇省鎮(zhèn)江第一中學(xué)高二期末）如圖所示，在三棱柱中，，點(diǎn)在平面ABC上的射影為線段AC的中點(diǎn)D，側(cè)面是邊長(zhǎng)為2的菱形．(1)若△ABC是正三角形，求異面直線與BC所成角的余弦值；(2)當(dāng)直線與平面所成角的正弦值為時(shí)，求線段BD的長(zhǎng)．22．【多選】（2023·福建·廈門外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高二期末）在棱長(zhǎng)為2的正方體中，E，F(xiàn)分別是棱AB，BC上的動(dòng)點(diǎn)，且，，，則（

）A．當(dāng)時(shí)，B．當(dāng)時(shí)，異面直線與所成角的余弦值為C．三棱錐的體積的最大值為1D．不論取何值，都有23．（2023·上?！?fù)旦附中高二期末）如圖所示，是棱長(zhǎng)為1的正方體.(1)設(shè)的重心為O，求證：直線平面；(2)設(shè)E?F分別是棱?上的點(diǎn)，且，M為棱的中點(diǎn)，若異面直線與EF所成的角的余弦值為，求a的值.24．（2023·江蘇省如皋中學(xué)高二期末）如圖，直三棱柱中，，，是棱的中點(diǎn)，(1)求異面直線所成角的余弦值；(2)求二面角的余弦值．25．（2023·黑龍江·雙鴨山一中高二期末）如圖，在四棱錐中，底面為等腰梯形，，，面，，點(diǎn)為線段中點(diǎn)(1)求證：面；(2)求異面直線與所成角的大小.考點(diǎn)五直線與平面所成的角26．（2023·杭州求是高級(jí)中學(xué)高二期末）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)棱底面，二面角的大小是45°，?分別是?的中點(diǎn)，交于點(diǎn).(1)求證：???四點(diǎn)共面；(2)設(shè)是線段的中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值.27．（2023·浙江·杭州四中高二期末）如圖，已知平面，底面為矩形，，，分別為，的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求與平面所成角的正弦值；(3)求平面與平面的夾角的余弦值.28．（2023·北京市第五十七中學(xué)高二期末）如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為的菱形，，為正三角形，為的中點(diǎn)，且平面平面，是線段上的點(diǎn)．(1)當(dāng)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)時(shí)，證明直線平面(2)求證：；(3)點(diǎn)在線段上，且，求直線與平面的夾角的正弦值29．（2023·甘肅酒泉·高二期末（理））如圖，在四棱錐中，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，，，，，，，分別是線段，的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求證：平面平面；(3)求直線與平面所成角的正弦值．30．（2023·黑龍江·大慶中學(xué)高二期末）如圖，在四棱錐中，，，底面是菱形，是的中點(diǎn)，．(1)證明：平面平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值．31．（2023·內(nèi)蒙古通遼·高二期末（理））如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，分別為，的中點(diǎn)，(1)證明：平面.(2)若平面，，且，求直線與平面所成角的正弦值.32．（2023·四川南充·高二期末（理））如圖，四棱錐中，平面平面，平面平面，四邊形中，，，，.(1)求證：平面；(2)設(shè)，若直線與平面所成的角為，求線段的長(zhǎng).考點(diǎn)六平面與平面所成的角（二面角）33．（2023·湖北武漢·高二期末）如圖，在三棱柱中，平面平面，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，是的中點(diǎn)，，直線與平面所成的角為.(1)求證：平面；(2)求二面角的余弦值.34．（2023·貴州黔東南·高二期末（理））在四棱中，(1)證明：PB⊥平面PAD；(2)求二面角的正弦值.35．（2023·四川達(dá)州·高二期末（理））如圖在四棱錐中，，，，，點(diǎn)F，Q分別為CD，PB的中點(diǎn).(1)證明：平面PAD；(2)若，平面ABCD，AP與平面ABCD所成的角為，求二面角的余弦值.36．（2023·浙江·高二期末）如圖，四棱錐，，，，為等邊三角形，平面平面，為中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值.37．（2023·甘肅臨夏·高二期末（理））如圖，直三棱柱中，E是側(cè)棱的中點(diǎn)，，，．(1)求證：平面平面；(2)若，求平面與平面ABE所成的銳二面角的余弦值．38．（2023·江西·豐城九中高二期末）如圖，四棱錐的底面是平行四邊形，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足.(1)證明：平面平面；(2)若，求二面角的余弦值.考點(diǎn)七角度與距離的綜合問題39．【多選】（2023·福建省福州華僑中學(xué)高二期末）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中（

）A．與的夾角為 B．二面角的平面角的正切值為C．與平面所成角的正切值 D．點(diǎn)到平面的距離為40．【多選】（2023·福建漳州·高二期末）已知正方體的棱長(zhǎng)為，則下列命題正確的是（

）A．點(diǎn)到平面的距離為B．直線與平面所成角的余弦值為C．若、分別是、的中點(diǎn)，直線平面，則D．為側(cè)面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，則三棱錐的體積為定值41．（2023·遼寧·高二期末）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是一個(gè)直角梯形，其中∠BAD=90°，AB∥DC，PA⊥底面ABCD，AB=AD=PA=2，DC=1，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別為PA和PC的中點(diǎn)．(1)證明：直線DM∥平面PBC；(2)求直線BM和平面BDN所成角的余弦值；(3)求二面角M-BD-N的正弦值；(4)求點(diǎn)P到平面DBN的距離；(5)設(shè)點(diǎn)N在平面BDM內(nèi)的射影為點(diǎn)H，求線段HA的長(zhǎng)．考點(diǎn)八探索性動(dòng)點(diǎn)問題42．（2023·天津市西青區(qū)楊柳青第一中學(xué)高二期末）如圖，垂直于梯形所在平面，，為中點(diǎn)，，，四邊形為矩形．(1)求證：平面；(2)求二面角的大小；(3)在線段上是否存在一點(diǎn)，使得與平面所成角的大小為？若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由．43．（2023·重慶南開中學(xué)高二期末）在四棱錐中，已知，，，，，，是上的點(diǎn)．(1)求證：底面；(2)是否存在點(diǎn)使得與平面所成角的正弦值為？若存在，求出該點(diǎn)的位置；不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．44．（2023·江蘇泰州·高二期末）如圖，在正四棱錐P－ABCD中，AC，BD交于點(diǎn)O，，．(1)求二面角的大?。?2)在線段AD上是否存在一點(diǎn)Q，使得PQ與平面APB所成角的正弦值為？若存在，指出點(diǎn)Q的位置；若不存在，說(shuō)明理由．45．（2023·浙江省杭州第九中學(xué)高二期末）如圖，在三棱錐中，，，為的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)若點(diǎn)在棱上，，且二面角為30°，求的值.46．（2023·四川甘孜·高二期末（理））如圖，四棱錐中，底面為矩形，平面，點(diǎn)在線段上.(1)若為的中點(diǎn)，證明：平面；(2)若，，若二面角的大小為，試求的值.47．（2023·廣東汕尾·高二期末）如圖（1）所示的四邊形中，，，，，沿將進(jìn)行翻折，使得，得到如圖（2）所示的四棱錐.四棱錐的體積為，點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)（與端點(diǎn)，不重合）.(1)求證：平面；(2)探求是否存在大小為的二面角.如果存在，求出此時(shí)線段的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.48．（2023·福建·泉州科技中學(xué)高二期末）如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為正方形，底面ABCD，M為線段PC的中點(diǎn)，，N為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)．(1)證明：平面平面(2)當(dāng)點(diǎn)N在線段BC的何位置時(shí)，平面MND與平面PAB所成銳二面角的大小為30°？指出點(diǎn)N的位置，并說(shuō)明理由．49．（2023·浙江紹興·高二期末）如圖，在三棱柱中，，D為BC的中點(diǎn)，平面平面ABC．證明：；已知四邊形是邊長(zhǎng)為2的菱形，且，問在線段上是否存在點(diǎn)E，使得平面EAD與平面EAC的夾角的余弦值為，若存在，求出CE的長(zhǎng)度，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由第三章直線的方程知識(shí)梳理1、求直線的傾斜角的方法及兩點(diǎn)注意(1)方法：結(jié)合圖形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角．(2)兩點(diǎn)注意：①當(dāng)直線與x軸平行或重合時(shí)，傾斜角為0°，當(dāng)直線與x軸垂直時(shí)，傾斜角為90°.②注意直線傾斜角的取值范圍是0°≤α＜180°.2、利用斜率公式求直線的斜率應(yīng)注意的事項(xiàng)(1)運(yùn)用公式的前提條件是“x1≠x2”，即直線不與x軸垂直，因?yàn)楫?dāng)直線與x軸垂直時(shí)，斜率是不存在的；(2)斜率公式與兩點(diǎn)P1，P2的先后順序無(wú)關(guān)，也就是說(shuō)公式中的x1與x2，y1與y2可以同時(shí)交換位置．3、在0°≤α<180°范圍內(nèi)的一些特殊角的正切值要熟記.傾斜角α0°30°45°60°120°135°150°斜率k0eq\f(\r(3),3)1eq\r(3)－eq\r(3)－1－eq\f(\r(3),3)4、斜率與傾斜角的關(guān)系1．由傾斜角(或范圍)求斜率(或范圍)利用定義式k＝tanα(α≠90°)解決．2．由兩點(diǎn)坐標(biāo)求斜率運(yùn)用兩點(diǎn)斜率公式k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)(x1≠x2)求解．5、求直線的點(diǎn)斜式方程的方法步驟(1)求直線的點(diǎn)斜式方程的步驟：定點(diǎn)(x0，y0)→定斜率k→寫出方程y－y0＝k(x－x0)；(2)點(diǎn)斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示過(guò)點(diǎn)P(x0，y0)的所有直線，但x＝x0除外．6、直線的斜截式方程的求解策略(1)斜截式方程的應(yīng)用前提是直線的斜率存在．(2)用斜截式求直線方程，只要確定直線的斜率和截距即可，同時(shí)要特別注意截距和距離的區(qū)別；(3)直線的斜截式方程y＝kx＋b不僅形式簡(jiǎn)單，而且特點(diǎn)明顯，k是直線的斜率，b是直線在y軸上的截距，只要確定了k和b的值，直線的圖象就一目了然．因此，在解決一次函數(shù)的圖象問題時(shí)，常通過(guò)把一次函數(shù)解析式化為直線的斜截式方程，利用k，b的幾何意義進(jìn)行判斷．7、求直線的兩點(diǎn)式方程的策略以及注意點(diǎn)(1)當(dāng)已知兩點(diǎn)坐標(biāo)，求過(guò)這兩點(diǎn)的直線方程時(shí)，首先要判斷是否滿足兩點(diǎn)式方程的適用條件：兩點(diǎn)的連線不平行于坐標(biāo)軸，若滿足，則考慮用兩點(diǎn)式求方程．在斜率存在的情況下，也可以先應(yīng)用斜率公式求出斜率，再用點(diǎn)斜式寫方程．(2)由于減法的順序性，一般用兩點(diǎn)式求直線方程時(shí)常會(huì)將字母或數(shù)字的順序錯(cuò)位而導(dǎo)致錯(cuò)誤．在記憶和使用兩點(diǎn)式方程時(shí)，必須注意坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)關(guān)系．8、截距式方程應(yīng)用的注意事項(xiàng)(1)如果問題中涉及直線與坐標(biāo)軸相交，則可考慮選用截距式直線方程，用待定系數(shù)法確定其系數(shù)即可．(2)選用截距式直線方程時(shí)，必須首先考慮直線能否過(guò)原點(diǎn)以及能否與兩坐標(biāo)軸垂直．(3)要注意截距式直線方程的逆向應(yīng)用．9、求直線一般式方程的策略(1)當(dāng)A≠0時(shí)，方程可化為x＋eq\f(B,A)y＋eq\f(C,A)＝0，只需求eq\f(B,A)，eq\f(C,A)的值；若B≠0，則方程化為eq\f(A,B)x＋y＋eq\f(C,B)＝0，只需確定eq\f(A,B)，eq\f(C,B)的值．因此，只要給出兩個(gè)條件，就可以求出直線方程．(2)在求直線方程時(shí)，設(shè)一般式方程有時(shí)并不簡(jiǎn)單，常用的還是根據(jù)給定條件選用四種特殊形式之一求方程，然后可以轉(zhuǎn)化為一般式．10、含參直線方程的研究策略(1)若方程Ax＋By＋C＝0表示直線，則需滿足A，B不同時(shí)為0.(2)令x＝0可得在y軸上的截距．令y＝0可得在x軸上的截距．若確定直線斜率存在，可將一般式化為斜截式．(3)解分式方程要注意驗(yàn)根．11、利用直線的斜截式方程解決直線平行與垂直問題的策略已知直線l1：y＝k1x＋b1與直線l2：y＝k2x＋b2，(1)若l1∥l2，則k1＝k2，此時(shí)兩直線與y軸的交點(diǎn)不同，即b1≠b2；反之k1＝k2，且b1≠b2時(shí)，l1∥l2.所以有l(wèi)1∥l2?k1＝k2，且b1≠b2.(2)若l1⊥l2，則k1·k2＝－1；反之k1·k2＝－1時(shí)，l1⊥l2.所以有l(wèi)1⊥l2?k1·k2＝－1.注：若已知含參數(shù)的兩條直線平行或垂直，求參數(shù)的值時(shí)，要注意討論斜率是否存在，若是平行關(guān)系注意考慮b1≠b2這個(gè)條件．12、利用一般式解決直線平行與垂直問題的策略直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0，(1)若l1∥l2?A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)．(2)若l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.13、與已知直線平行(垂直)的直線方程的求法（1）由已知直線求出斜率，再利用平行(垂直)的直線斜率之間的關(guān)系確定所求直線的斜率，由點(diǎn)斜式寫方程．（2）①可利用如下待定系數(shù)法：與直線Ax＋By＋C＝0(A，B不同時(shí)為0)平行的直線方程可設(shè)為Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)，再由直線所過(guò)的點(diǎn)確定C1；②與直線Ax＋By＋C＝0(A，B不同時(shí)為0)垂直的直線方程可設(shè)為Bx－Ay＋C2＝0，再由直線所過(guò)的點(diǎn)確定C2.14、利用兩條直線平行或垂直判定圖形形狀的步驟15、兩條直線相交的判定方法方法一：聯(lián)立直線方程解方程組，若有一解，則兩直線相交．方法二：兩直線斜率都存在且斜率不等．16、過(guò)兩條直線交點(diǎn)的直線方程的求法(1)常規(guī)解法(方程組法)：一般是先解方程組求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合其他條件寫出直線方程．(2)特殊解法(直線系法)：運(yùn)用過(guò)兩直線交點(diǎn)的直線系方程：若兩直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0有交點(diǎn)，則過(guò)l1與l2交點(diǎn)的直線系方程為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ為待定常數(shù)，不包括直線l2)，設(shè)出方程后再利用其他條件求解．17、計(jì)算兩點(diǎn)間距離的方法(1)對(duì)于任意兩點(diǎn)P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，則|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).(2)對(duì)于兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)相等的情況，可直接利用距離公式的特殊情況求解．18、解決過(guò)定點(diǎn)問題常用的三種方法(1)特殊值法，給方程中的參數(shù)取兩個(gè)特殊值，可得關(guān)于x，y的兩個(gè)方程，從中解出的x，y的值即為所求定點(diǎn)的坐標(biāo)．(2)點(diǎn)斜式法，將含參數(shù)的直線方程寫成點(diǎn)斜式y(tǒng)－y0＝k(x－x0)，則直線必過(guò)定點(diǎn)(x0，y0)．(3)分離參數(shù)法，將含參數(shù)的直線方程整理為過(guò)交點(diǎn)的直線系方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0的形式，則該方程表示的直線必過(guò)直線A1x＋B1y＋C1＝0和A2x＋B2y＋C2＝0的交點(diǎn)，而此交點(diǎn)就是定點(diǎn)．比較這三種方法可知，方法一計(jì)算較煩瑣，方法二變形較困難，方法三最簡(jiǎn)便因而也最常用．19、應(yīng)用點(diǎn)到直線的距離公式應(yīng)注意的三個(gè)問題(1)直線方程應(yīng)為一般式，若給出其他形式應(yīng)化為一般式．(2)點(diǎn)P在直線l上時(shí)，點(diǎn)到直線的距離為0，公式仍然適用．(3)直線方程Ax＋By＋C＝0中，A＝0或B＝0公式也成立，但由于直線是特殊直線(與坐標(biāo)軸垂直)，故也可用數(shù)形結(jié)合求解．20、求兩條平行直線間距離的兩種方法(1)轉(zhuǎn)化法：將兩條平行直線間的距離轉(zhuǎn)化為一條直線上一點(diǎn)到另一條直線的距離，即化線線距為點(diǎn)線距來(lái)求．(2)公式法：設(shè)直線l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，則兩條平行直線間的距離d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).21、中心對(duì)稱問題的兩種類型及求解方法(1)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱：若點(diǎn)M(x1，y1)及N(x，y)關(guān)于P(a，b)對(duì)稱，則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2a－x1，,y＝2b－y1，))進(jìn)而求解．(2)直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱，主要求解方法是：①在已知直線上取兩點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出它們關(guān)于已知點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)式求出直線方程；②求出一個(gè)對(duì)稱點(diǎn)，再利用兩對(duì)稱直線平行，由點(diǎn)斜式得到所求直線方程．22、軸對(duì)稱問題的兩種類型及求解方法(1)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱：①若兩點(diǎn)P1(x1，y1)與P2(x2，y2)關(guān)于直線l：Ax＋By＋C＝0對(duì)稱，由方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))＋B\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y1＋y2,2)))＋C＝0，,\f(y2－y1,x2－x1)·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(A,B)))＝－1，))可得到點(diǎn)P1關(guān)于l對(duì)稱的點(diǎn)P2的坐標(biāo)(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)．（關(guān)鍵詞：垂直、平分）設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)關(guān)于直線y＝kx＋b的對(duì)稱點(diǎn)為P′(x′，y′)，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y′－y0,x′－x0)·k＝－1，,\f(y′＋y0,2)＝k·\f(x′＋x0,2)＋b，))可求出x′，y′.②若兩點(diǎn)P1(x1，y1)與P2(x2，y2)關(guān)于直線l：Ax＋By＋C＝0對(duì)稱，則，故可設(shè)的方程為，代入，即可求出m，聯(lián)立直線和的方程，求出兩條直線的交點(diǎn)，即為中點(diǎn)，進(jìn)一步利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求的坐標(biāo)(2)直線關(guān)于直線的對(duì)稱：①若直線與對(duì)稱軸平行，則在直線上取一點(diǎn)，求出該點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，然后用點(diǎn)斜式求解．②若直線與對(duì)稱軸相交，則先求出交點(diǎn)，然后再取直線上一點(diǎn)，求該點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，最后由兩點(diǎn)式求解．考點(diǎn)一直線的傾斜角與斜率1．（2023秋·江蘇連云港·高二期末）經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，的直線的傾斜角是鈍角，則實(shí)數(shù)m的范圍是（

）A． B．C． D．2．（2023秋·上海普陀·高二曹楊二中?？计谀┮阎本€，，則直線的傾斜角的取值范圍是______.3．（2023秋·江蘇泰州·高二統(tǒng)考期中）設(shè)直線的傾斜角分別為，則（

）A． B． C． D．4．（2023秋·黑龍江綏化·高二?？计谀┲本€的傾斜角是直線的傾斜角的倍，與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積等于，試求和的值．5．（2023春·上海松江·高二統(tǒng)考期末）若直線與直線的夾角為，則實(shí)數(shù)的值為_________.6．（2023秋·廣西桂林·高二?？计谥校﹫D中的直線的斜率分別為，則有（

）A． B．C． D．7．（2023秋·遼寧鞍山·高二鞍山一中?？计谥校┲本€的傾斜角為，斜率為．若的取值范圍是，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．（2023秋·江蘇連云港·高二校考期末）設(shè)，為實(shí)數(shù)，已知直線的斜率，且，，是這條直線上的三個(gè)點(diǎn)，則（

）A．4 B．3 C． D．19．（2023秋·江蘇常州·高二常州市第三中學(xué)?？计谀┮阎c(diǎn).若直線與線段相交，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．考點(diǎn)二兩條直線的平行和垂直10．【多選】（2023秋·吉林·高二統(tǒng)考期中）已知兩條不重合的直線，，下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則11．（2023秋·四川內(nèi)江·高二四川省內(nèi)江市第六中學(xué)?？计谥校┮阎本€，的斜率是方程的兩個(gè)根，則（

）A． B．C．與相交但不垂直 D．與的位置關(guān)系不確定12．（2023秋·福建福州·高二校考期中）設(shè)，直線：，直線，若，則（

）A． B． C． D．或13．（2023·全國(guó)·高二期末）已知直線，．請(qǐng)從以下三個(gè)條件中選出兩個(gè)求實(shí)數(shù)，的值．(1)；(2)；(3)．14．（2023秋·新疆伊犁·高二?？计谥校┮阎獌蓷l直線：，：，．(1)若，求的值；(2)若，求的值．15．（2023秋·湖北十堰·高二校聯(lián)考期中）已知四邊形的頂點(diǎn)，則四邊形的形狀為___________.考點(diǎn)三直線的方程16．（2023秋·北京·高二北大附中?？计谀┮阎本€，下列說(shuō)法中正確的是（

）A．直線的傾斜角為 B．是直線的一個(gè)方向向量C．直線的斜率為 D．是直線的一個(gè)法向量17．（2023秋·上海普陀·高二曹楊二中?？计谀┤糁本€的一個(gè)法向量為，則過(guò)原點(diǎn)的直線的方程為______.18．（2023秋·河北衡水·高二河北武強(qiáng)中學(xué)校考期中）如果，，那么直線不經(jīng)過(guò)（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限19．（2023秋·陜西咸陽(yáng)·高一統(tǒng)考期末）已知直線：，點(diǎn).(1)求過(guò)點(diǎn)且與平行的直線方程；(2)求過(guò)點(diǎn)且與垂直的直線方程.20．（2023秋·福建南平·高二校考期中）已知，，，在中：(1)求BC邊所在直線的方程；(2)求BC邊上的中線?高線所在直線的方程.21．（2023秋·廣東江門·高二臺(tái)山市第一中學(xué)校考期中）已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別為，，．(1)求邊的垂直平分線的方程；(2)求的面積．考點(diǎn)四截距式及截距應(yīng)用22．（2023秋·廣東廣州·高二校考期中）直線在軸上的截距為，在軸上的截距為，則______，______．23．（2023秋·四川成都·高二成都外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谥校┮阎本€在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則實(shí)數(shù)（

）A．2或1 B．或 C． D．24．（2023秋·四川成都·高二成都七中?？计谥校┻^(guò)點(diǎn)且橫、縱截距的絕對(duì)值相等的直線其條數(shù)為（

）A． B． C． D．25．（2023秋·四川遂寧·高二遂寧中學(xué)校考期中）已知直線兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)，則實(shí)數(shù)a＝（

）A．1 B．－1C．2或1 D．2或-126．【多選】（2023秋·黑龍江·高二統(tǒng)考期中）已知直線l過(guò)點(diǎn)，且在x軸上的截距是在y軸上的截距的2倍，則直線l的方程可以為（

）A． B．C． D．27．（2023秋·河南信陽(yáng)·高二統(tǒng)考期中）過(guò)點(diǎn)作直線l分別交x，y軸于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積等于12時(shí)，這樣的直線有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條考點(diǎn)五動(dòng)直線恒過(guò)定點(diǎn)問題及其應(yīng)用動(dòng)直線恒過(guò)定點(diǎn)28．（2023秋·安徽合肥·高二統(tǒng)考期末）不論為何實(shí)數(shù)，直線恒過(guò)定點(diǎn)_________.29．（2023秋·河北張家口·高二校聯(lián)考期中）已知直線．(1)求證：直線l恒過(guò)定點(diǎn)；(2)已知兩點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)A的直線l與線段有公共點(diǎn)，求直線l的傾斜角的取值范圍．30．（2023秋·河北張家口·高二校聯(lián)考期中）已知直線恒過(guò)定點(diǎn)Q，Q點(diǎn)在直線l上，則l的方程可以是（

）．A． B．C． D．31．（2023秋·浙江杭州·高二學(xué)軍中學(xué)?？计谥校┮阎本€的方程為：.(1)求證：不論為何值，直線必過(guò)定點(diǎn)；(2)過(guò)點(diǎn)引直線，使它與兩坐標(biāo)軸的負(fù)半軸所圍成的三角形面積最小，求的方程.32．（2023秋·北京·高二人大附中?？计谀┮阎本€：經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，且的方向向量，則直線的方程為（

）A． B．C． D．動(dòng)直線與距離最值問題33．（2023·高二單元測(cè)試）當(dāng)實(shí)數(shù)k變化時(shí)，直線到直線的距離的最大值是______.34．（2023秋·山東棗莊·高二統(tǒng)考期中）若直線與直線交于點(diǎn)，則到坐標(biāo)原點(diǎn)距離的最大值為（

）A． B． C． D．35．（2023秋·山東·高二沂水縣第一中學(xué)期末）已知直線與、軸的交點(diǎn)分別為、，且直線與直線相交于點(diǎn)，則面積的最大值是（

）A． B．C． D．36．（2023秋·山東菏澤·高二?？计谥校┲本€過(guò)定點(diǎn)___________，原點(diǎn)到直線l的距離的最大值為___________.37．（2023秋·浙江·高二校聯(lián)考期中）點(diǎn)到直線的距離的最大值為（

）A． B． C．3 D．考點(diǎn)六直線的交點(diǎn)坐標(biāo)和距離問題求兩直線的交點(diǎn)問題38．（2023秋·廣西·高二廣西師范大學(xué)附屬中學(xué)?？计谥校┮阎本€，點(diǎn)(1)求線段的中垂線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)求的最小值．39．（2023秋·北京·高二人大附中?？计谀┮阎饩€經(jīng)過(guò)已知直線和的交點(diǎn)M，且射到x軸上一點(diǎn)后被x軸反射．(1)求反射光線所在的直線的方程．(2)求與距離為的直線方程．40．（2023秋·廣東江門·高二臺(tái)山市第一中學(xué)?？计谥校┮阎叫蔚闹行臑橹本€，的交點(diǎn)，正方形一邊所在的直線方程為，則它鄰邊所在的直線方程為___________．41．（2023秋·浙江杭州·高二杭師大附中?？计谥校┢叫兴倪呅蔚乃倪吽诘闹本€分別是：，，(1)求直線交點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求平行四邊形的面積．42．【多選】（2023秋·河北張家口·高二校聯(lián)考期中）若直線，，不能構(gòu)成三角形，則m的取值可能為（

）．A． B． C． D．兩點(diǎn)間的距離問題43．（2023秋·新疆巴音郭楞·高二?？计谥校┮阎c(diǎn)A、B是直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，則（

）A． B． C．1 D．244．（2023秋·吉林長(zhǎng)春·高二校考期中）已知直線l與x軸和y軸分別交于A，B兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（

）A． B．C． D．45．（2023秋·江蘇蘇州·高二蘇州中學(xué)校考期末）在平行四邊形ABCD中，，，，點(diǎn)E是線段BC的中點(diǎn)．(1)求直線CD的方程；(2)求四邊形ABED的面積．點(diǎn)到直線的距離問題46．（2023秋·新疆巴音郭楞·高二?？计谥校┣簏c(diǎn)（2,）到直線的距離為______47．【多選】（2023秋·廣東佛山·高二佛山一中校考期中）已知三邊所在直線分別為，則（

）A．AB邊上的高所在直線方程為 B．AB邊上的高為C．的面積為 D．是直角三角形48．（2023秋·福建南平·高二校考期中）點(diǎn)到直線的距離是，那么m的值是（

）A．4 B． C．4或 D．或449．（2023秋·浙江金華·高二統(tǒng)考期末）已知兩點(diǎn)到直線的距離相等，則（

）A．2 B． C．2或 D．2或50．（2023秋·江蘇連云港·高二期末）過(guò)點(diǎn)的直線被兩平行直線與所截線段的中點(diǎn)恰在直線上，則直線的方程是________．兩平行線間的距離問題51．（2023秋·天津南開·高二崇化中學(xué)?？计谀﹥蓷l平行直線與間的距離為_______．52．（2023秋·江蘇泰州·高二統(tǒng)考期中）已知直線與直線平行，則它們之間的距離是（

）A． B．2 C． D．53．【多選】（2023秋·湖北武漢·高二武漢市第十七中學(xué)校聯(lián)考期中）若直線m被兩平行直線與所截得的線段長(zhǎng)為，則直線m的傾斜角可以是（

）A． B． C． D．54．（2023·高二單元測(cè)試）若動(dòng)點(diǎn)A，B分別在直線l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移動(dòng)，則AB的中點(diǎn)M到原點(diǎn)的距離的最小值為()A．3 B．2 C．3 D．455．【多選】（2023秋·山東青島·高二統(tǒng)考期中）已知直線：，：，則下列選項(xiàng)正確的為（

）A．直線過(guò)定點(diǎn) B．當(dāng)時(shí)，或C．當(dāng)時(shí)，和相交 D．當(dāng)時(shí)，兩直線，之間的距離為1考點(diǎn)七直線的對(duì)稱問題56．（2023秋·河北張家口·高二校聯(lián)考期中）點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（

）．A． B． C． D．57．（2023秋·福建福州·高二?？计谥校┮阎c(diǎn)，直線：，則點(diǎn)到直線的距離為______，直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線方程為______．58．（2023秋·重慶沙坪壩·高二重慶市第七中學(xué)校?？计谥校┲本€關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線方程為（

）A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝059．（2023秋·四川成都·高二成都七中校考期中）已知直線的方程為，點(diǎn)的坐標(biāo)為?.(1)若直線與關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，求的方程;(2)若點(diǎn)與關(guān)于直線對(duì)稱，求的坐標(biāo).60．（2023·高二單元測(cè)試）已知直線，，．（1）求直線關(guān)于直線的對(duì)稱直線的方程；（2）求直線關(guān)于直線的對(duì)稱直線的方程．61．（2023秋·四川成都·高二校聯(lián)考期中）已知兩點(diǎn)A（2，3），B（3，2），點(diǎn)C在x軸上，則的最小值為（

）A． B．5 C．2 D．62．（2023秋·甘肅張掖·高二高臺(tái)縣第一中學(xué)?？计谥校┲本€和兩點(diǎn)，若直線上存在點(diǎn)M使得最小，求點(diǎn)M的坐標(biāo)_____.63．（2023秋·江蘇蘇州·高二統(tǒng)考期中）已知點(diǎn)在直線上，點(diǎn)，則取得最小值時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為________．考點(diǎn)八直線的綜合問題64．【多選】（2023秋·山東·高二沂水縣第一中學(xué)期末）已知直線l在x軸，y軸上的截距分別為1，，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．直線l的方程為B．過(guò)點(diǎn)O且與直線l平行的直線方程為C．若點(diǎn)到直線l的距離為，則D．點(diǎn)O關(guān)于直線l對(duì)稱的點(diǎn)為65．（2023秋·河北張家口·高二統(tǒng)考期末）已知，則的最小值為（

）A． B． C． D．66．（2023秋·北京·高二人大附中?？计谀┮阎?分別在直線與直線上，且，點(diǎn)，，則的最小值為___________.67．（2023秋·湖北·高二宜城市第一中學(xué)校聯(lián)考期中）已知直線(1)若直線的傾斜角，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)若直線l分別與x軸，y軸的正半軸交于A，B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，求面積的最小值及此時(shí)直線l的方程．68．（2023·高二單元測(cè)試）已知直線和點(diǎn)（1）直線l上是否存在點(diǎn)C，使得為直角三角形，若存在，請(qǐng)求出C點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）在直線l上找一點(diǎn)P，使得最大，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)第四章圓的方程知識(shí)梳理1、求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程就是設(shè)法確定圓心C(a，b)及半徑r，其求解的方法：一是待定系數(shù)法，建立關(guān)于a，b，r的方程組，進(jìn)而求得圓的方程；二是借助圓的幾何性質(zhì)直接求得圓心坐標(biāo)和半徑．常用到中點(diǎn)坐標(biāo)公式、兩點(diǎn)間距離公式，有時(shí)還用到平面幾何知識(shí)，如“弦的中垂線必過(guò)圓心”“兩條弦的中垂線的交點(diǎn)必為圓心”等．一般地，在解決有關(guān)圓的問題時(shí)，有時(shí)利用圓的幾何性質(zhì)作轉(zhuǎn)化較為簡(jiǎn)捷．2、待定系數(shù)法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的一般步驟3、判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的方法(1)確定圓的方程：化為(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(2)將點(diǎn)的坐標(biāo)代入代數(shù)式(x－a)2＋(y－b)2，比較代數(shù)式的值與r2的大小關(guān)系．(3)下結(jié)論：若(x－a)2＋(y－b)2＝r2，表示點(diǎn)在圓上；若(x－a)2＋(y－b)2＞r2，表示點(diǎn)在圓外；若(x－a)2＋(y－b)2＜r2，表示點(diǎn)在圓內(nèi)．此外，也可以利用點(diǎn)與圓心的距離d與半徑r的大小關(guān)系來(lái)判斷．當(dāng)d＞r時(shí)，點(diǎn)在圓外；當(dāng)d＝r時(shí)，點(diǎn)在圓上；當(dāng)d<r時(shí)，點(diǎn)在圓內(nèi)．4、圓的一般方程辨析判斷二元二次方程與圓的關(guān)系時(shí)，一般先看這個(gè)方程是否具備圓的一般方程的特征，當(dāng)它具備圓的一般方程的特征時(shí)，再看它能否表示圓．此時(shí)有兩種途徑：一是看D2＋E2－4F是否大于零；二是直接配方變形，看方程等號(hào)右端是否為大于零的常數(shù)．5、方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的圖形條件圖形D2＋E2－4F<0不表示任何圖形D2＋E2－4F＝0表示一個(gè)點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))D2＋E2－4F>0表示以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))為圓心，以eq\f(\r(D2＋E2－4F),2)為半徑的圓6、利用待定系數(shù)法求圓的方程的解題策略(1)如果由已知條件容易求得圓心坐標(biāo)、半徑或需利用圓心的坐標(biāo)或半徑列方程，一般采用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再用待定系數(shù)法求出a，b，r.(2)如果已知條件與圓心和半徑都無(wú)直接關(guān)系，一般采用圓的一般方程，再用待定系數(shù)法求出常數(shù)D，E，F(xiàn).7、求與圓有關(guān)的軌跡問題的方程(1)直接法：直接根據(jù)題目提供的條件列出方程．(2)定義法：根據(jù)圓、直線等定義列方程．(3)代入法：找到要求點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系，代入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式等．用代入法求軌跡方程的一般方法8、判斷直線與圓位置關(guān)系的方法(1)幾何法：由圓心到直線的距離d與圓的半徑r的大小關(guān)系判斷．(2)代數(shù)法：根據(jù)直線與圓的方程組成的方程組解的個(gè)數(shù)來(lái)判斷．9、過(guò)圓上一點(diǎn)(x0，y0)的圓的切線方程的求法先求切點(diǎn)與圓心連線的斜率k，再由垂直關(guān)系得切線的斜率為－eq\f(1,k)，由點(diǎn)斜式可得切線方程．如果斜率為零或不存在，則由圖形可直接得切線方程y＝y(tǒng)0或x＝x0.10、過(guò)圓外一點(diǎn)(x0，y0)的切線方程的求法設(shè)切線方程為y－y0＝k(x－x0)，由圓心到直線的距離等于半徑建立方程，可求得k，也就得切線方程．當(dāng)用此法只求出一個(gè)方程時(shí)，另一個(gè)方程應(yīng)為x＝x0，因?yàn)樵谏厦娼夥ㄖ胁话ㄐ甭什淮嬖诘那闆r，而過(guò)圓外一點(diǎn)的切線有兩條．一般不用聯(lián)立方程組的方法求解．11、求切線長(zhǎng)(最值)的兩種方法(1)(代數(shù)法)直接利用勾股定理求出切線長(zhǎng)，把切線長(zhǎng)中的變量統(tǒng)一成一個(gè)，轉(zhuǎn)化成函數(shù)求最值；(2)(幾何法)把切線長(zhǎng)最值問題轉(zhuǎn)化成圓心到直線的距離問題．12、求弦長(zhǎng)的兩種方法(1)由半徑長(zhǎng)r、弦心距d、弦長(zhǎng)l的一半構(gòu)成直角三角形，所以利用勾股定理d2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,2)))2＝r2求解，這是常用解法．(2)聯(lián)立直線與圓的方程，消元得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到兩交點(diǎn)橫坐標(biāo)(或縱坐標(biāo))之間的關(guān)系，代入兩點(diǎn)間距離公式求解．此解法很煩瑣，一般不用．13、坐標(biāo)方法解決平面幾何問題的“三步曲”14、判斷兩圓的位置關(guān)系的兩種方法(1)幾何法：將兩圓的圓心距d與兩圓的半徑之差的絕對(duì)值，半徑之和進(jìn)行比較，進(jìn)而判斷出兩圓的位置關(guān)系，這是在解析幾何中主要使用的方法．(2)代數(shù)法：將兩圓的方程組成方程組，通過(guò)解方程組，根據(jù)方程組解的個(gè)數(shù)進(jìn)而判斷兩圓位置關(guān)系．15、公共弦長(zhǎng)的求法(1)代數(shù)法：將兩圓的方程聯(lián)立，解出交點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出弦長(zhǎng)．(2)幾何法：求出公共弦所在直線的方程，利用圓的半徑、半弦長(zhǎng)、弦心距構(gòu)成的直角三角形，根據(jù)勾股定理求解．注：求兩圓的相交弦的垂直平分線的方程即為經(jīng)過(guò)兩圓的圓心的直線方程考點(diǎn)一求圓的方程1．（2023秋·廣東江門·高二臺(tái)山市第一中學(xué)?？计谥校┰O(shè)，，則以線段為直徑的圓的方程為（

）A． B． C． D．2．（2023秋·廣東清遠(yuǎn)·高二校聯(lián)考期中）圓心為且和軸相切的圓的方程是（）A． B．C． D．3．（2023秋·新疆烏魯木齊·高二烏市一中?？计谥校┤舻娜齻€(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，，則外接圓的圓心坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．4．（2023秋·福建漳州·高二校聯(lián)考期中）已知圓C的圓心在直線上，且過(guò)點(diǎn)和，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．5．（2023秋·廣東茂名·高二統(tǒng)考期中）與圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程是（

）A． B．C． D．6．（2023秋·天津·高二天津市寧河區(qū)蘆臺(tái)第一中學(xué)校聯(lián)考期中）圓的圓心在軸的負(fù)半軸上，與軸相交于點(diǎn)，且直線被圓截得的弦長(zhǎng)為.則圓的方程為（

）A． B．C． D．7．（2023秋·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱市第六中學(xué)校?？计谥校┢矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，，，若動(dòng)點(diǎn)在直線上，圓過(guò)A，B，C三點(diǎn)，則圓的半徑最小值為（

）A． B． C． D．1考點(diǎn)二點(diǎn)和圓的位置關(guān)系8．（2023秋·江蘇鹽城·高二江蘇省響水中學(xué)?？计谥校┤酎c(diǎn)在圓的內(nèi)部，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．9．（2023秋·河南鄭州·高二鄭州市回民高級(jí)中學(xué)?？计谥校┤酎c(diǎn)在圓的外部，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．10．（2023秋·內(nèi)蒙古包頭·高二包頭一中?？计谥校┲本€與圓有公共點(diǎn)是點(diǎn)在該圓外的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件11．（2023秋·江蘇蘇州·高二統(tǒng)考期中）已知四點(diǎn)共圓，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．12．（2023秋·江蘇連云港·高二期末）設(shè)，為實(shí)數(shù)，若直線與圓相交，則點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是（

）A．在圓上 B．在圓外 C．在圓內(nèi) D．不能確定13．（2023秋·福建三明·高二校聯(lián)考期中）過(guò)點(diǎn)總可以向圓作兩條切線，則的取值范圍是（

）A． B．C．或 D．或14．（2023秋·四川遂寧·高二校考期中）已知函數(shù)，若，且，則坐標(biāo)原點(diǎn)O與圓的位置關(guān)系是（

）A．點(diǎn)O在圓內(nèi) B．點(diǎn)O在圓上 C．點(diǎn)O在圓外 D．不能確定考點(diǎn)三直線和圓的位置關(guān)系15．（2023秋·遼寧·高二校聯(lián)考期中）圓與直線的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．不能確定16．（2023秋·新疆巴音郭楞·高二?？计谥校┮阎獔A與直線相切，則（

）A． B．-1C．或 D．-1或317．（2023秋·廣東廣州·高二校考期末）關(guān)于的方程有唯一解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．或B．或或C．或或D．或18．（2023秋·江蘇連云港·高二期末）設(shè)為實(shí)數(shù),若圓上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離都等于1,則的值是（

）A． B． C． D．19．（2023秋·河南洛陽(yáng)·高二統(tǒng)考期中）若圓上至少有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線l：的距離為，則直線l的傾斜角的取值范圍是（

）A． B．C． D．考點(diǎn)四圓的弦長(zhǎng)問題20．（2023秋·江蘇連云港·高二?？计谀﹫A被直線所截得的弦長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．21．（2023秋·河南洛陽(yáng)·高二統(tǒng)考期中）已知直線l：和圓C：交于A，B兩點(diǎn)，則弦AB所對(duì)的圓心角的大小為（

）A． B． C． D．22．（2023秋·江蘇連云港·高二期末）已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且被圓截得的弦長(zhǎng)為4，則直線l的方程是

（

）A． B．或C． D．或23．（2023秋·四川成都·高二成都七中?？计谥校┻^(guò)點(diǎn)?的直線?與曲線?交于?、兩點(diǎn)，且滿足，則直線?的斜率為（

）A．? B．? C．? D．?24．（2023秋·福建龍巖·高二校聯(lián)考期中）已知直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線被圓截得的弦長(zhǎng)為，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．4 B． C．8 D．25．（2023·高二單元測(cè)試）已知圓截直線所得的弦長(zhǎng)為．則圓M與圓的位置關(guān)系是（

）A．內(nèi)切 B．相交 C．外切 D．相離26．（2023春·上海嘉定·高二上海市嘉定區(qū)第一中學(xué)?？计谀┮阎獔A，直線，若當(dāng)?shù)闹蛋l(fā)生變化時(shí)，直線被圓所截的弦長(zhǎng)的最小值為2，則值為_____．27．（2023秋·湖北荊州·高二荊州中學(xué)?？计谀┮阎獔A和直線.(1)判斷直線與圓的位置關(guān)系；(2)求直線被圓截得的最短弦長(zhǎng)及此時(shí)直線的方程.考點(diǎn)五圓的切線問題28．（2023秋·四川成都·高二樹德中學(xué)校考期末）已知圓C上有兩個(gè)點(diǎn)A，B，且AB為直徑．(1)求圓C的方程；(2)已知P，求過(guò)點(diǎn)P且與圓C相切的直線方程．29．（2023秋·廣東廣州·高二廣州市第九十七中學(xué)?？计谀┻^(guò)點(diǎn)作圓的切線，則切線的方程為（

）A． B．C．或 D．或30．（2023秋·四川內(nèi)江·高二威遠(yuǎn)中學(xué)校?？计谥校┮粭l光線從點(diǎn)射出，經(jīng)x軸反射后，與圓相切，則反射后光線所在的直線方程為（

）A．或 B．或C．或 D．31．（2023秋·河北張家口·高二統(tǒng)考期末）過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則直線的方程為_______________．32．（2023秋·廣東廣州·高二校聯(lián)考期中）已知圓和圓外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓的切線，則兩條切線夾角的正切值是______________．33．（2023秋·天津津南·高二天津市咸水沽第一中學(xué)?？计谀c(diǎn)P是直線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓的兩條切線PA和PB，A和B是切點(diǎn)，的最大值是，則r的值______．34．（2023秋·浙江·高二校聯(lián)考期中）已知圓，直線為上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)分別為，當(dāng)最小時(shí)，直線的方程為（

）A． B．C． D．考點(diǎn)六直線和圓的應(yīng)用35．（2023·浙江紹興·高二期中）臺(tái)風(fēng)中心從A地以每小時(shí)20km的速度向東北方向移動(dòng)，離臺(tái)風(fēng)中心30km內(nèi)的地區(qū)為危險(xiǎn)地區(qū)，若城市B在A地正東40km處，則B城市處于危險(xiǎn)區(qū)